Computational Methods
1D Examples
Małgorzata Stojek
Cracow University of Technology
March 2012
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
1 / 44
Beam Example
M = qL
2
2L
L
P = qL
q
e1
e2
θ
1
w
1
θ
θ
w
w
2
2
3
3
d
1
d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
=
w
1
θ
1
w
2
θ
2
w
3
θ
3
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
2 / 44
Beam Element Library
Prismatic Beam
Stiffness Matrix
:
K
e
=
EI
h
3
12
6h
−
12
6h
4h
2
−
6h
2h
2
12
−
6h
symm
4h
2
Consistent Nodal Forces:
constant
distributed load
concentrated
force
q
(
x
) =
q
q
(
x
) =
P
δ
x
(
x
−
h
2
)
F
e
q
=
q
h
1
2
1
12
h
1
2
−
1
12
h
F
e
q
=
P
1
2
1
8
h
1
2
−
1
8
h
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
3 / 44
First Element
Stiffness Matrix
DOFs: 1, 2, 3, 4; h
=
2L
K
e
1
4
×
4
=
EI
(
2L
)
3
12
6
(
2L
)
−
12
6
(
2L
)
6
(
2L
)
4
(
2L
)
2
−
6
(
2L
)
2
(
2L
)
2
−
12
−
6
(
2L
)
12
−
6
(
2L
)
6
(
2L
)
2
(
2L
)
2
−
6
(
2L
)
4
(
2L
)
2
=
EI
2L
3
3
3L
−
3
3L
3L
4L
2
−
3L
2L
2
−
3
−
3L
3
−
3L
3L
2L
2
−
3L
4L
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
4 / 44
First Element
Consistent Nodal Forces
F
e
1
q
=
q
(
2L
)
1
2
1
12
(
2L
)
1
2
−
1
12
(
2L
)
=
qL
1
1
3
L
1
−
1
3
L
y
1
3
qL
2
x
1
3
qL
2
[
element 1
]
↓
qL
↓
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
5 / 44
Second Element
DOFs: 3, 4, 5, 6; h
=
L
Stiffness Matrix
K
e
2
4
×
4
=
EI
(
L
)
3
12
6
(
L
)
−
12
6L
6
(
L
)
4
(
L
)
2
−
6
(
L
)
2
(
L
)
2
−
12
−
6
(
L
)
12
−
6
(
L
)
6
(
L
)
2
(
L
)
2
−
6
(
L
)
4
(
L
)
2
Consistent Nodal Forces
P
=
qL
F
e
2
q
=
P
1
2
1
8
L
1
2
−
1
8
L
y
1
8
qL
2
x
1
8
qL
2
[
element 2
]
↓
1
2
qL
↓
1
2
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
6 / 44
Assembly
Global Stiffness Matrix
K
=
0
6
×
6
(+)
K
e
1
4
×
4
(+)
K
e
2
4
×
4
K
=
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
3
2
+
12
−
3
2
L
+
6L
−
12
6L
3
2
L
L
2
−
3
2
L
+
6L
2L
2
+
4L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
K
=
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
27
2
9
2
L
−
12
6L
3
2
L
L
2
9
2
L
6L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
7 / 44
Assembly
Global Load Vector
F
q
=
0
6
×
1
(+)
F
e
1
q
4
×
1
(+)
F
e
2
P
4
×
1
0
0
0
0
0
0
→
qL
1
3
qL
2
qL
−
1
3
qL
2
0
0
→
qL
1
3
qL
2
qL
+
1
2
qL
−
1
3
qL
2
+
1
8
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
=
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
8 / 44
Assembly
Generic System of Linear Equations
Kd
=
F
q
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
27
2
9
2
L
−
12
6L
3
2
L
L
2
9
2
L
6L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
w
1
θ
1
w
2
θ
2
w
3
θ
3
=
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
NOTE:
det K
=
0,
rank
(
K
) =
4
.
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
9 / 44
Boundary Conditions
kinematic constraints
natural
BCs
(essential "BCs")
(nonhomogeneous)
w
1
=
0,
θ
1
=
0,
w
2
=
0
at x
=
3L,
M
=
qL
2
w
1
θ
1
w
2
θ
2
w
3
θ
3
→
0
0
0
θ
2
w
3
θ
3
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
→
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
+
qL
2
NOTE:
rank
(
K
) =
4
&
3
support constraints
←→
beam is
statically indeterminate
.
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
10 / 44
Solution I
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
27
2
9
2
L
−
12
6L
3
2
L
L
2
9
2
L
6L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
0
0
0
θ
2
w
3
θ
3
=
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
7
8
qL
2
EI
(
L
)
3
6L
2
−
6L
2L
2
−
6L
12
−
6L
2L
2
−
6L
4L
2
θ
2
w
3
θ
3
=
−
5
24
qL
2
1
2
qL
7
8
qL
2
+
−
EI
(
L
)
3
3
2
L L
2
9
2
L
0
0
−
12
0
0
6L
0
0
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
11 / 44
Solution II
RECALL:
EI
(
L
)
3
6L
2
−
6L
2L
2
−
6L
12
−
6L
2L
2
−
6L
4L
2
θ
2
w
3
θ
3
=
−
5
24
qL
2
1
2
qL
7
8
qL
2
Solution is:
θ
2
w
3
θ
3
=
7
12
qL
3
EI
19
16
qL
4
EI
41
24
qL
3
EI
→
d
=
0
0
0
θ
2
w
3
θ
3
=
0
0
0
7
12
qL
3
EI
19
16
qL
4
EI
41
24
qL
3
EI
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
12 / 44
Postprocessing
Siły Przyw ˛ezłowe
RECALL:
K
e
d
e
=
F
e
=
F
e
q
+
W
e
W
e
=
Q
1
M
1
Q
2
M
2
=
K
e
d
e
−
F
e
q
y
M
1
↓
Q
1
[
beam element
]
↓
Q
2
y
M
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
13 / 44
Siły Przyw ˛ezłowe
Element 1
y
M
1
↓
Q
1
[
beam element
]
↓
Q
2
y
M
2
W
e
1
=
K
e
1
d
e
1
−
F
e
1
q
W
e
1
=
EI
2L
3
3
3L
−
3
3L
3L
4L
2
−
3L
2L
2
−
3
−
3L
3
−
3L
3L
2L
2
−
3L
4L
2
0
0
0
7
12
qL
3
EI
−
qL
1
1
3
L
1
−
1
3
L
Q
e
1
1
M
e
1
1
Q
e
1
2
M
e
1
2
=
−
1
8
qL
1
4
qL
2
−
15
8
qL
3
2
qL
2
→
y
1
4
qL
2
y
3
2
qL
2
[
element 1
]
↑
1
8
qL
↑
15
8
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
14 / 44
Siły Przyw ˛ezłowe
Element 2
y
M
1
↓
Q
1
[
beam element
]
↓
Q
2
y
M
2
W
e
2
=
K
e
2
d
e
2
−
F
e
2
q
W
e
2
=
EI
L
3
12
6L
−
12
6L
6L
4L
2
−
6L
2L
2
−
12
−
6L
12
−
6L
6L
2L
2
−
6L
4L
2
0
7
24
qL
3
EI
43
48
qL
4
EI
17
12
qL
3
EI
−
qL
1
2
1
8
L
1
2
−
1
8
L
Q
e
2
1
M
e
2
1
Q
e
2
2
M
e
2
2
=
−
qL
−
3
2
qL
2
0
qL
2
→
x
3
2
qL
2
y
qL
2
[
element 2
]
↑
qL
↓
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
15 / 44
Reactions at Supports I
1
4
qL
2
y
y
3
2
qL
2
[
element 1
]
1
8
qL
↑
↑
15
8
qL
3
2
qL
2
x
y
qL
2
[
element 2
]
qL
↑
↓
0
−
15
8
qL
+
R
2
=
ql
R
2
=
ql
+
15
8
qL
=
23
8
qL
8
1
1
4
2
qL
23
8
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
16 / 44
Reactions at Supports II
8
1
1
4
2
qL
23
8
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
W
=
Kd
−
F
q
=
K
0
0
0
7
12
qL
3
EI
19
16
qL
4
EI
41
24
qL
3
EI
−
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
=
−
1
8
qL
1
4
qL
2
−
23
8
qL
0
0
qL
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
17 / 44
Equations of Equilibrium
8
1
1
4
2
qL
23
8
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
∑
i
P
i
y
?
=
0
1
8
qL
−
q
·
2L
+
23
8
qL
−
qL
=
0
∑
i
M
i
x
=
0
?
=
0
1
4
qL
2
+
q
·
2L
·
L
−
23
8
qL
·
2L
+
qL
·
2L
+
L
2
+
qL
2
=
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
18 / 44
Wykresy Sił Przekrojowych
8
1
1
4
2
qL
23
8
8
1
8
15
qL
2
qL
1
4
2
3
qL
2
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
Q(x)
qL
qL
M(x)
2
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
19 / 44
Truss Example
3
2
5
1
4
EA
EA
y
x
1
1
1
2EA
2EA
EA
1
2
3
4
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
20 / 44
Truss Discretization
3
2
5
1
4
EA
EA
1
1
1
2 EA
2 EA
EA
x
y
1
2
4
3
u
u
u
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
6
7
8
no elem.
nodes
global DOFs
length
α
c
=
cos α
s
=
sin α
1
1, 3
1, 2, 5, 6
√
2
π
/
4
√
2/2
√
2/2
2
1, 2
1, 2, 3, 4
1
0
1
0
3
3, 2
5, 6, 3, 4
1
−
π
2
0
−
1
4
2, 4
3, 4, 7, 8
√
2
π
/
4
√
2/2
√
2/2
5
3, 4
5, 6, 7, 8
1
0
1
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
21 / 44
Truss Element Library
Prismatic Bar
Stiffness Matrix
:
K
e
=
EA
L
c
2
cs
−
c
2
−
cs
cs
s
2
−
cs
−
s
2
−
c
2
−
cs
c
2
cs
−
cs
−
s
2
cs
s
2
=
EA
L
c
2
cs
−
c
2
−
cs
s
2
−
cs
−
s
2
c
2
cs
symm
s
2
Consistent Nodal Forces:
constant
distributed load
q
(
x
) =
q
F
e
q
=
qL
2
c
s
c
s
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
22 / 44
Element Stiffness Matrix
K
e
1
4
×
4
=
K
e
4
4
×
4
=
EA
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
K
e
2
4
×
4
=
K
e
5
4
×
4
=
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
K
e
3
4
×
4
=
EA
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
−
1 0
1
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
23 / 44
Assembly
Global Stiffness Matrix
K
=
0
8
×
8
(+)
K
e
1
4
×
4
(+)
K
e
2
4
×
4
(+)
K
e
3
4
×
4
(+)
K
e
4
4
×
4
(+)
K
e
5
4
×
4
F
q
=
0
8
×
1
(no distributed loads)
Before assembly
K
=
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
24 / 44
no elem.
global DOFs
1
1, 2, 5, 6
K
e
1
4
×
4
=
EA
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
K
=
EA
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
25 / 44
no elem.
global DOFs
2
1, 2, 3, 4
K
e
2
4
×
4
=
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
+
0
−
1 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
+
0
√
2
2
+
0
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
−
1
0
1 0
0
0 0 0
0
0
0 0
0
0 0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
0
0
0 0
0
0 0 0
0
0
0 0
0
0 0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
26 / 44
no elem.
global DOFs
3
5, 6, 3, 4
K
e
3
4
×
4
=
EA
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
−
1 0
1
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
−
1
0 1
+
0
0
0
0
0 0
0
0
0
1
0
−
1
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
0
√
2
2
+
0
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
+
0
√
2
2
+
1
0 0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
27 / 44
no elem.
global DOFs
4
3, 4, 7, 8
K
e
4
4
×
4
=
EA
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0 1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
28 / 44
no elem.
global DOFs
5
5, 6, 7, 8
K
e
5
4
×
4
=
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0 1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
1
√
2
2
+
0
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
+
0
√
2
2
+
1
+
0
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
+
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
0
√
2
2
+
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
29 / 44
Assembly
Generic System of Linear Equations
Kd
=
F
q
=
0
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0 1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
det K
=
0,
rank
(
K
) =
5
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
30 / 44
Boundary Conditions
kinematic constraints
external nodal forces
(essential "BCs")
(natural "BCs")
u
1
=
0,
u
2
=
0,
u
4
=
0
at node no 4,
P
=
10
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
→
0
0
u
3
0
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
0
0
0
0
0
0
→
0
0
0
0
0
0
0
−
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
31 / 44
Solution I
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0
1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
u
3
0
u
5
u
6
u
7
u
8
=
0
0
0
0
0
0
0
−
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
32 / 44
Solution II
EA
1
+
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
0
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
u
3
u
5
u
6
u
7
u
8
=
0
0
0
0
−
P
+
−
EA
−
1
0
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
0
−
√
2
2
0
0
−
√
2
2
0
0
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
33 / 44
Solution III
Solution is:
u
3
u
5
u
6
u
7
u
8
=
1
EA
−
P
P
√
2
+
1
−
P
P
√
2
+
2
−
P
2
√
2
+
3
→
d
=
0
0
u
3
0
u
5
u
6
u
7
u
8
=
1
EA
0
0
−
P
0
P
√
2
+
1
−
P
P
√
2
+
2
−
P
2
√
2
+
3
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
34 / 44
Reactions at Supports
W
=
Kd
−
F
q
=
K
1
EA
0
0
−
P
0
P
√
2
+
1
−
P
P
√
2
+
2
−
P
2
√
2
+
3
−
0
=
0
−
P
0
2P
0
0
0
−
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
35 / 44
Equations of Equilibrium
2
3
4
P
1
1
1
x
y
1
0
P
2P
∑
i
P
i
y
?
=
0
−
P
+
2P
−
P
=
0
∑
i
M
i
1
?
=
0
2P
·
1
−
P
·
2
=
0
∑
i
M
i
4
?
=
0
P
·
2
−
2P
·
1
=
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
36 / 44
Postprocessing in Global Coordinate System
Siły przyw ˛ezłowe W
−→
W
e
x
1
,
↑
W
e
y
1
α
−→
W
e
x
2
,
↑
W
e
y
2
W
e
=
W
e
x
1
W
e
y
1
W
e
x
2
W
e
y
2
=
K
e
d
e
−
F
e
q
=
K
e
d
e
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
37 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
1
1
,
3
1, 2
,
5, 6
EA
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
0
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
=
−
P
−
P
P
P
x
y
1
3
1
P
P
P
P
pr ˛et rozci ˛agany
P
√
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
38 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
2
1
,
2
1, 2
,
3, 4
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
0
0
−
P
EA
0
=
P
0
−
P
0
2
2
1
P
P
x
y
pr ˛et ´sciskany
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
39 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
3
3
,
2
5, 6
,
3, 4
EA
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
−
1 0
1
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
−
P
EA
0
=
0
−
P
0
P
3
3
2
P
P
x
y
pr ˛et ´sciskany
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
40 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
4
2
,
4
3, 4
,
7, 8
EA
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
=
P
P
−
P
−
P
x
y
4
4
2
P
P
P
P
pr ˛et ´sciskany
P
√
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
41 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
5
3
,
4
5, 6
,
7, 8
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
=
−
P
0
P
0
5
3
4
P
P
x
y
pr ˛et rozci ˛agany
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
42 / 44
Sprawdzenie
Siły przyw ˛ezłowe w pr ˛etach.
Reakcje wi ˛ezów, obci ˛a˙zenia w ˛ezłów.
3
3
2
P
P
2
2
1
P
P
4
4
2
P
P
P
P
5
3
4
P
P
1
3
1
P
P
P
P
x
y
x
y
2
3
4
P
1
0
P
2P
Równowaga w ˛ezłów:
P
1
P
1
P
2
1
P
1
P
2
P
3
4
P
2
2P
4
P
P
1
P
1
P
3
P
5
3
P
4
P
4
P
5
4
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
43 / 44
Axial Forces
G l o ba l i z a ti o n : Fo rce Tra n s fo rm a ti o n
x
y
i
j
f
xi
f
yi
f
xj
f
yj
f
yi
f
xi
f
xj
f
yj
α
_
_
_
_
T
=
c
s
0
0
−
s
c
0
0
0
0
c
s
0
0
−
s
c
f
x
i
f
y
i
f
x
j
f
y
j
=
c
s
0
0
−
s
c
0
0
0
0
c
s
0
0
−
s
c
f
x
i
f
y
i
f
x
j
f
y
j
W
e
=
T
W
e
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
44 / 44
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4 MS lect5 mo id 37217 Nieznany (2)
LC MS Lek a srodowisko id 26394 Nieznany
MS powerpoint2007 cz3 id 309477 Nieznany
Belka MS id 82485 Nieznany (2)
NiSHiP spr lab2 MS i MT id 3201 Nieznany
Lab ME MS instrukcja 2012 E id Nieznany
MS przyk2 id 309498 Nieznany
Belka MS id 82485 Nieznany (2)
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
więcej podobnych podstron