background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

ROZWI

Ą

ZANIE RAMY PŁASKIEJ METOD

Ą

 SIŁ I OBLICZENIE PRZEMIESZCZE

Ń

 

 

1

 

DANE  WYJŚCIOWE 

Dana jest rama jak na rysunku.  

3

,0

0

m

q

=

5

,0

0

k

N

/m

P=20,00kN

M=15,00 kNm

i

k

1

= 0.5 EI

m

3

k

2

=

 1

E

I

m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

1

2

-30

o

C

10

o

C

20

o

C

-5

o

C

r =1cm

r = 1.5

o

j

EI

1.3889 EI

    

Błędy montażu

1.5

o

1

o

1.2

 cm

L

2

=1cm

2

L

1

-1

.5

cm

1

1.4 cm

  

Rozwiązać ją metodą sił od danego obciążenia siłami, od zmiany temperatury oraz od błędów montażu 
i przemieszczeń podpór. Sporządzić wykresy sił przekrojowych i dokonać kontroli rozwiązania od 
jednego z wymienionych wpływów. Obliczyć zaznaczone przemieszczenia. 
Uwaga dotycząca oznaczeń. 

Aby  uniknąć  niejednoznaczności  oznaczeń  wszystkie  przemieszczenia  obliczane  w  statycznie 

wyznaczalnym  układzie  podstawowym  i  dotyczące  tylko  układu  podstawowego  oznaczać  będziemy 
małym symbolem 

δ

 a przemieszczenia obliczane w statycznie niewyznaczalnym układzie danym lub 

obliczane w układzie podstawowym a dotyczące układu danego oznaczać będziemy dużym symbolem 

.  Siły  przekrojowe  i  reakcje  wyznaczane  w  układzie  podstawowym  oznaczać  będziemy 

odpowiednim  symbolem  z  nadkreśleniem  (np.  )  a  w  układzie  danym  oznaczać  będziemy 
odpowiednim symbolem bez nadkreślenia (np.  ).  
 
2

 

WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 

Aby skorzystać z wzoru 

t

e

n

h

=

3

  

przekształcamy układ dany w zbiór tarcz „sztywnych” 
otwartych przez usunięcie więzi podporowych, 
dokonanie przecięć wszędzie tam gdzie połączenie nie 
jest pełne oraz „otwarcie” tarcz zamkniętych. 
Zilustrowano to na rysunku obok. Na rysunku tym w 
nawiasach podano liczby usuniętych więzi, których 
suma jest liczbą więzi 

e

 w przytoczonym wzorze.  

3

 

ROZWIĄZANIE RAMY OD OBCIĄŻENIA SIŁAMI 

3.1

 

UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ 

KANONICZNYCH 

3.1.1

 

UKŁAD PODSTAWOWY 

 
Układ podstawowy tworzymy z układu 
danego przez zastąpienie 

h

n

 więzi 

niewiadomymi siłami w taki sposób by 
powstały układ był geometrycznie 
niezmienny.  
Uwaga: Liniami przerywanymi wzdłuż osi 
prętów wyróżniono włókna do znakowania 
momentów zginających

.  

 

3.1.2

 

UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH 

0

1

1

2

12

1

11

=

=

+

+

F

rz

F

F

F

X

X

δ

δ

δ

0

2

2

2

22

1

21

=

=

+

+

F

rz

F

F

F

X

X

δ

δ

δ

(e=2)

(e=3)

2

=

t

(e=3)

8

2

3

2

=

+

=

e

2

2

3

8

=

=

h

n

3

,0

0

m

q

=

5

,0

0

k

N

/m

P=20,00kN

M=15,00 kNm

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

EI

1.3889 EI

X

1

X

2

y

x

A

B

C

D

E

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

3.2

 

ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO 

3.2.1

 

ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD DANEGO OBCIĄŻENIA  

F=(M,P,Q) 

 
Uwaga: Wszystkie wielkości 
wyznaczane w tym punkcie wyróżniamy 
nadkreśleniem i indeksem górnym F.  
Dla skrócenia zapisu w obliczeniach 
pominiemy te wyróżniki stosując pełne 
symbole tylko w oznaczeniach 
wielkości, z których korzystać będziemy 
w dalszych obliczeniach.

  

 
3.2.1.1

 

WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR 

=

+

+

+

=

0

2

/

3

3

6

10

m

m

q

M

m

P

m

V

M

B

A

           ⇒  

0

2

/

3

3

/

5

15

6

20

10

=

+

+

+

m

m

m

kN

kNm

m

kN

m

V

B

   

⇒  

kN

V

V

F

B

B

75

.

15

=

=

=

+

=

0

P

V

V

Y

B

A

     

⇒        

0

20

75

.

15

=

+

kN

kN

V

A

   

⇒  

kN

V

V

F

A

A

25

.

4

=

=

=

+

=

0

3m

q

H

X

A

        ⇒  

  

0

3

/

5

=

+

m

m

kN

H

A

 

            ⇒     

kN

H

H

F

A

A

00

.

15

=

=

Kontrola  

 

=

+

+

=

2

/

3

3

4

10

3

m

m

q

M

m

P

m

V

m

H

M

A

A

B

   

0

)

2

/

3

3

5

15

4

20

10

25

.

4

3

15

(

=

+

+

=

kNm

        

 

3.2.1.2

 

OBLICZENIE WARTOŚCI RZĘDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIŁ 
PRZEKROJOWYCH. 

0

=

A

M

 

=

=

2

/

5

.

1

5

.

1

5

.

1

2

m

m

q

m

H

m

V

M

A

A

E

 

,

375

.

25

2

/

5

.

1

5

.

1

/

5

5

.

1

15

2

25

.

4

kNm

m

m

m

kN

m

kN

m

kN

=

+

=

 

kNm

m

m

m

kN

m

kN

m

m

m

q

m

H

m

V

M

A

A

CA

50

.

39

2

/

3

3

/

5

3

15

4

25

.

4

2

/

3

3

3

4

=

+

=

=

kNm

kNm

kNm

M

M

M

CA

CD

50

.

54

15

5

.

39

=

+

=

+

=

kNm

m

kN

m

V

M

B

D

00

.

63

4

75

.

15

4

=

=

=

,  

 

 

0

=

B

M

(

)

kN

kN

H

V

V

A

A

AC

40

.

12

6

.

0

15

8

.

0

25

.

4

sin

cos

=

+

=

=

α

α

,         

(

)

kN

kN

H

V

N

A

A

AC

45

.

9

8

.

0

15

6

.

0

25

.

4

cos

sin

=

+

=

=

α

α

(

)

kN

kN

m

q

H

V

V

A

A

CA

40

.

3

6

.

0

3

5

6

.

0

15

8

.

0

25

.

4

sin

3

sin

cos

=

+

=

=

α

α

α

        

(

)

kN

kN

m

q

H

V

N

A

A

CA

55

.

2

8

.

0

3

5

8

.

0

15

6

.

0

25

.

4

cos

3

cos

sin

=

+

=

=

α

α

α

kN

kN

kN

V

P

V

B

CD

25

.

4

75

.

15

20

=

=

=

,  

kN

V

V

B

DB

75

.

15

=

=

0

=

CB

N

Rzędne środkowe momentów zginających dla przedziału CD i DB, wykorzystując ich 

prostoliniowy charakter, obliczono jako średnie arytmetyczne z wartości brzegowych.  

(

)

(

)

kNm

kNm

M

M

M

D

CD

CD

s

75

.

58

2

/

63

5

.

54

2

/

,

=

+

=

+

=

,

(

)

(

)

kNm

kNm

M

M

M

B

D

DB

s

50

.

31

2

/

0

63

2

/

,

=

+

=

+

=

 

Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:  

 

kN

V

S

A

F

25

.

4

1

=

=

 

Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:  

kNm

M

S

CA

F

50

.

39

2

=

=

 

3

,0

0

m

q

=

5

,0

0

k

N

/m

P=20,00kN

M=15,00 kNm

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

y

x

V

A

H

A

V

B

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

3

,0

0

m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

y

x

V

A

H

A

V

B

X

1

3.2.1.3

 

WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH. 

39

,5

0k

N

m

5

4

,5

0

k

N

m

6

3

,0

0

k

N

m

25

,3

75

kN

m

M

F

+

+

5

8

,7

5

k

N

m

3

1

,5

0

k

N

m

 

12

,4

0k

N

3,4

0k

N

4

,2

5

k

N

4

,2

5

k

N

1

5

,7

5

k

N

1

5

,7

5

k

N

V

F

+

+

-

 

2,5

5k

N

9,4

5k

N

+

-

N

F

 

 

3.2.2

 

ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA  X

1

 = 1 

 

Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane w tym 
punkcie wyróżniamy nadkreśleniem i indeksem 
górnym 1. Dla skrócenia zapisu w obliczeniach 
pominiemy te wyróżniki stosując pełne 
symbole tylko w oznaczeniach wielkości, 
z których korzystać będziemy w dalszych 
obliczeniach.  

 
 

3.2.2.1

 

WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR 

 

=

+

=

0

1

10m

V

M

B

A

          

 

 

⇒         

m

V

V

B

B

/

10

.

0

1

=

=

=

=

0

B

A

V

V

Y

          

 

 

 

⇒         

m

V

V

A

A

/

10

.

0

1

=

=

=

=

0

A

H

X

            

 

 

 

⇒         

0

1

=

=

A

A

H

H

Kontrola 

 

0

1

10

1

.

0

3

0

10

3

1

=

+

=

+

+

=

X

m

V

m

H

M

A

A

B

        

 
3.2.2.2

 

OBLICZENIE WARTOŚCI RZĘDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIŁ 
PRZEKROJOWYCH 

0

=

A

M

 

 

 

 

 

40

.

0

3

4

=

=

m

H

m

V

M

A

A

C

 

60

.

0

1

4

=

=

m

V

M

B

D

 

 

 

1

=

B

M

m

H

V

V

A

A

AC

/

08

.

0

sin

cos

=

=

α

α

 

m

H

V

N

A

A

AC

/

06

.

0

cos

sin

=

=

α

α

m

V

V

B

CB

/

10

.

0

=

=

 

 

 

0

=

CB

N

(

)

(

)

20

.

0

2

/

4

.

0

0

2

/

,

=

=

+

=

=

C

A

AC

s

E

M

M

M

M

(

)

(

)

50

.

0

2

/

6

.

0

4

.

0

2

/

,

=

=

+

=

D

C

CD

s

M

M

M

,     

(

)

(

)

80

.

0

2

/

1

6

.

0

2

/

,

=

=

+

=

B

D

DB

s

M

M

M

(

)

(

)

70

.

0

2

/

1

4

.

0

2

/

,

=

=

+

=

B

C

CB

s

M

M

M

Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:  

 

m

V

S

A

/

10

.

0

1
1

=

=

 

Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:  

40

.

0

1

2

=

=

C

M

S

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

3

,0

0

m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

y

x

V

A

H

A

V

B

X

2

3.2.2.3

 

WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH 

0

,4

0

0,4

0

0

,6

0

1

,0

0

-

-

M

1

0

,5

0

0

,8

0

0,2

0

 

 

0,0

8/m

0

,1

0

/m

-

-

V

1

0

,1

0

/m

0

,1

0

/m

 

0,0

6/m

0,0

6/m

+

N

1

 

3.2.3

 

ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA  X

2

 = 1 

 

Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane w tym 
punkcie wyróżniamy nadkreśleniem i indeksem 
górnym 2. Dla skrócenia zapisu w obliczeniach 
pominiemy te wyróżniki stosując pełne symbole 
tylko w oznaczeniach wielkości, z których 
korzystać będziemy w dalszych 
obliczeniach.  
 
 
3.2.3.1

 

WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR 

=

+

=

0

3

1

10

m

m

V

M

B

A

          ⇒  

                

30

.

0

2

=

=

B

B

V

V

=

=

0

B

A

V

V

Y

          

 

 

 

⇒         

30

.

0

2

=

=

A

A

V

V

=

+

=

0

1

A

H

X

          

 

 

 

⇒         

1

2

=

=

A

A

H

H

Kontrola 

 

0

)

10

)

3

.

0

(

3

)

1

(

(

10

3

=

+

=

+

=

m

m

V

m

H

M

A

A

B

            

3.2.3.2

 

OBLICZENIE WARTOŚCI RZĘDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIŁ 
PRZEKROJOWYCH 

0

=

A

M

 

 

 

 

m

m

H

m

V

M

A

A

C

80

.

1

3

4

=

=

m

m

V

M

B

D

20

.

1

4

=

=

 

 

0

=

B

M

36

.

0

sin

cos

=

=

α

α

A

A

AC

H

V

V

98

.

0

cos

sin

=

=

α

α

A

A

AC

H

V

N

30

.

0

=

=

B

CB

V

V

,   

 

 

1

=

CB

N

(

)

(

)

m

m

M

M

M

M

C

A

AC

s

E

90

.

0

2

/

8

.

1

0

2

/

,

=

+

=

+

=

=

(

)

(

)

m

m

M

M

M

D

C

CD

s

50

.

1

2

/

2

.

1

8

.

1

2

/

,

=

+

=

+

=

(

)

(

)

m

m

M

M

M

B

D

DB

s

60

.

0

2

/

0

2

.

1

2

/

,

=

+

=

+

=

(

)

(

)

m

m

M

M

M

B

C

CB

s

90

.

0

2

/

0

8

.

1

2

/

,

=

+

=

+

=

Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:  

 

30

.

0

2

1

=

=

A

V

S

 

Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:  

m

M

S

C

80

.

1

2
2

=

=

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

3.2.3.3

 

WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH 

1

,8

0

 m

1

,2

0

m

1,8

0 m

M

2

1

,5

0

 m

0,9

0 m

0

.6

0

m

 

0,3

60

0,3

60

-0

,3

0

0

-0

,3

0

0

-0

,3

0

0

V

2

0,

98

0

0

,9

8

0

1

,0

0

0

1

,0

0

0

1

,0

0

0

N

2

 

 

3.3

 

OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW I ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ 

3.3.1

 

OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ 

Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory 

+

=

s

j

s

i

s

j

i

ij

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

 

+

=

s

F
s

i
s

F

i

iF

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

Do obliczenia całek w powyższych wzorach zastosowano wzór Simpsona lub Mohra. Ze względu na 
charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach przedstawiono w postaci 
sum 3 lub 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje podcałkowe spełniają 
założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.  

=

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

1
1

1
1

1

1

1

1

11

1

1

k

S

S

k

S

S

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

CB

CB

AC

AC

δ

 

(

)

+

+

+

+

=

)

1

(

)

1

(

)

7

.

0

(

)

7

.

0

(

4

)

4

.

0

(

)

4

.

0

(

6

6

3889

.

1

1

)

4

.

0

(

3

2

2

5

4

.

0

1

m

EI

m

EI

 

EI

m

m

EI

m

EI

m

m

693049

.

2

/

)

4

.

0

(

)

4

.

0

(

/

5

.

0

/

1

.

0

/

1

.

0

3

=

+

+

=

+

+

+

=

=

2

2
2

1

2

1

2

1

1
1

2

1

2

1

21

12

1

1

k

S

S

k

S

S

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

CB

CB

AC

AC

δ

δ

 

(

)

+

+

+

+

=

2

0

)

1

(

9

.

0

)

7

.

0

(

4

8

.

1

4

.

0

6

6

3889

.

1

1

8

.

1

3

2

2

5

4

.

0

1

m

EI

m

m

EI

 

EI

m

m

EI

m

m

EI

m

2

3

192781

.

4

/

8

.

1

)

4

.

0

(

/

5

.

0

3

.

0

/

1

.

0

=

+

+

=

+

+

+

=

2

2
2

2
2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

22

1

1

k

S

S

k

S

S

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

CB

CB

AC

AC

δ

 

EI

m

m

EI

m

m

EI

m

m

m

EI

m

m

m

EI

3

3

485563

.

13

/

8

.

1

8

.

1

/

5

.

0

3

.

0

3

.

0

8

.

1

3

2

2

6

8

.

1

3889

.

1

1

8

.

1

3

2

2

5

8

.

1

1

=

+

+

+

=

+

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

DB

F

DB

CD

F

CD

AC

F

AC

F

1

1

1

1

1

1

1

δ

=

+

2

2

1

2

1

1

1
1

k

S

S

k

S

S

F

F

 

(

)

+

+

+

=

kNm

kNm

m

EI

5

.

39

)

4

.

0

(

375

.

25

)

2

.

0

(

4

0

0

6

5

1

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

(

)

+

+

+

+

2

63

)

6

.

0

(

75

.

58

)

5

.

0

(

4

5

.

54

4

.

0

6

2

3889

.

1

1

kNm

EI

 

(

)

=

+

+

+

+

+

m

EI

kNm

m

EI

kN

m

kNm

EI

/

5

.

39

)

4

.

0

(

/

5

.

0

)

25

.

4

(

/

1

.

0

0

)

1

(

5

.

31

)

8

.

0

(

4

63

6

.

0

6

4

3889

.

1

1

3

2

 

EI

kNm

2

764461

.

155

=

 

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

DB

F

DB

CD

F

CD

AC

F

AC

F

+

+

=

2

2

2

2

1

1

1

δ

=

+

+

2

2

2
2

1

1

2

1

k

S

S

k

S

S

F

F

 

(

)

+

+

+

=

kNm

m

kNm

m

m

EI

5

.

39

8

.

1

375

.

25

9

.

0

4

0

0

6

5

1

 

(

)

+

+

+

+

3

63

2

.

1

75

.

58

5

.

1

4

5

.

54

8

.

1

6

2

3889

.

1

1

kNm

EI

 

EI

kNm

m

EI

kNm

m

EI

kN

kNm

EI

3

3

3

787409

.

402

/

5

.

39

8

.

1

/

5

.

0

)

25

.

4

(

3

.

0

63

3

2

2

4

2

.

1

3889

.

1

1

=

+

+

+

 

3.3.2

 

POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE  

0

764461

.

155

192781

.

4

693049

.

2

2

2

2

1

=

EI

kNm

X

EI

m

X

EI

m

F

F

0

787409

.

402

485563

.

13

192781

.

4

3

2

3

1

2

=

+

+

EI

kNm

X

EI

m

X

EI

m

F

F

 

kNm

X

F

975393

.

21

1

=

,             

kN

X

F

035701

.

23

2

=

3.4

 

OBLICZENIE WARTOŚCI „RZECZYWISTYCH” REAKCJI I SIŁ PRZEKROJOWYCH 

F

r

F

r

F

r

F

r

R

X

R

X

R

R

+

+

=

2

2

1

1

        

F

F

F

F

M

X

M

X

M

M

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

F

F

F

F

N

X

N

X

N

N

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

 

F

F

F

F

V

X

V

X

V

V

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

F

F

F

F

S

X

S

X

S

S

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

kN

kN

kN

kNm

H

X

H

X

H

H

F

A

A

A

F

A

036

.

8

15

)

035701

.

23

(

)

1

(

975393

.

21

0

2

2

1

1

=

+

=

+

+

=

 

kN

kN

kN

kNm

m

V

X

V

X

V

V

F

A

A

A

F

A

963

.

8

25

.

4

)

035701

.

23

(

)

3

.

0

(

975393

.

21

/

1

.

0

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

=

kN

kN

kN

kNm

m

V

X

V

X

V

V

F

B

B

B

F

B

037

.

11

75

.

15

)

035701

.

23

(

3

.

0

975393

.

21

/

1

.

0

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

=

 

=

+

+

=

F

E

E

E

F

E

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

 

kNm

kNm

kN

m

kNm

2478

.

0

375

.

25

)

035701

.

23

(

9

.

0

975393

.

21

2

.

0

=

+

+

=

 

=

+

+

=

F

CA

CA

CA

F

CA

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

 

kNm

kNm

kN

m

kNm

7544

.

10

5

.

39

)

035701

.

23

(

8

.

1

975393

.

21

4

.

0

=

+

+

=

 

=

+

+

=

F

CD

CD

CD

F

CD

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

 

kNm

kNm

kN

m

kNm

2456

.

4

5

.

54

)

035701

.

23

(

8

.

1

975393

.

21

4

.

0

=

+

+

=

 

=

+

+

=

F

DC

DC

DC

F

DC

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

 

kNm

kNm

kN

m

kNm

1719

.

22

63

)

035701

.

23

(

2

.

1

975393

.

21

4

.

0

=

+

+

=

 

kNm

M

M

F

DC

F

DB

1719

.

22

=

=

 

kNm

kN

kNm

M

X

M

X

M

M

F

BD

BD

BD

F

BD

9754

.

21

0

)

035701

.

23

(

0

975393

.

21

1

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

=

 

kN

kN

kN

kNm

m

V

X

V

X

V

V

F

AC

AC

AC

F

AC

349

.

2

4

.

12

)

035701

.

23

(

36

.

0

975393

.

21

08

.

0

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

=

kN

kN

kN

kNm

m

V

X

V

X

V

V

F

CA

CA

CA

F

CA

651

.

6

4

.

3

)

035701

.

23

(

36

.

0

975393

.

21

/

08

.

0

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

=

kN

kN

kN

kNm

m

V

X

V

X

V

V

F

CD

CD

CD

F

CD

963

.

8

25

.

4

)

0357019

.

23

(

)

3

.

0

(

975393

.

21

1

.

0

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

=

kN

V

V

F

CD

F

DC

963

.

8

=

=

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

=

+

+

=

F

DB

DB

DB

F

DB

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

 

kN

kN

kN

kNm

m

037

.

11

75

.

15

)

035701

.

23

(

)

3

.

0

(

975393

.

21

/

1

.

0

=

+

=

 

kN

V

V

F

DB

F

BD

037

.

11

=

=

 

=

+

+

=

F

AC

AC

AC

F

AC

N

X

N

X

N

N

2

2

1

1

 

kN

kN

kN

kNm

m

807

.

11

45

.

9

)

035701

.

23

(

98

.

0

975393

.

21

/

06

.

0

=

+

+

=

 

kN

kN

kN

kNm

m

N

X

N

X

N

N

F

CA

CA

CA

F

CA

807

.

23

55

.

2

)

035701

.

23

(

98

.

0

975393

.

21

06

.

0

2

2

1

1

=

+

=

+

+

=

kN

kN

kNm

N

X

N

X

N

N

F

CD

CD

CD

F

CD

036

.

23

0

)

035701

.

23

(

1

975393

.

21

0

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

=

 

kN

N

N

N

N

F

BD

F

DB

F

CD

F

DC

036

.

23

=

=

=

=

 

kN

kN

kN

kNm

m

S

X

S

X

S

S

F

F

9632

.

8

25

.

4

)

035701

.

23

(

3

.

0

975393

.

21

/

1

.

0

1

2

2

1

1

1
1

1

=

+

=

+

+

=

kNm

kN

kN

m

kNm

S

X

S

X

S

S

F

F

F

F

7544

.

10

5

.

39

)

035701

.

23

(

8

.

1

975393

.

21

4

.

0

1

2

2
2

1

1

2

2

=

+

+

=

+

+

=

 

3.5

 

WYKRESY „RZECZYWISTYCH” SIŁ PRZEKROJOWYCH 

-1

0,7

54

 k

N

m

0,2

48

 k

N

m

4

,2

4

6

 k

N

m

2

2

,1

7

2

 k

N

m

-2

1

,9

7

5

 k

N

m

M

F

1

3

,2

0

9

 k

N

m

0

,0

9

8

 k

N

m

 

2,3

49

 k

N

-6

,6

51

 k

N

8

,9

6

3

 k

N

-1

1

,0

3

7

 k

N

V F

8

,9

6

3

 k

N

-1

1

,0

3

7

 k

N

  

-1

1,8

07

 k

N

-2

3,8

08

 k

N

-2

3

,0

3

6

 k

N

-2

7

,1

9

9

 k

N

-2

3

,0

3

6

 k

N

NF

 

Rzeczywiste  wartości  sił  przekrojowych  można  też  policzyć  rozwiązując  układ  podstawowy  od 
działającego  równocześnie  obciążenia  danego  i  znanych  już  sił  hiperstatycznych.  Wyniki  obliczeń 
musiałyby być identyczny (w granicach dokładności rachunkowej) jak przedstawione powyżej. 

 

3.6

 

KONTROLA POPRAWNOŚCI ROZWIĄZANIA. 

Kontrola  poprawności  rozwiązania  polega  na  sprawdzeniu  czy  otrzymane  rozwiązanie  jest 

statycznie  i  kinematycznie  dopuszczalne,  czyli  czy  siły  spełniają  równania  równowagi  a 
przemieszczenia są zgodne z warunkami podparcia i ciągłości.  

 

3.6.1

 

KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA 

Dokonując  kontroli  równań  równowagi  należy  pamiętać,  że  kontroli  podlegają  tylko  te 

wartości,  które  występują  w  obliczeniach  kontrolnych.  Zaleca  się,  więc  aby  do  sprawdzenia  równań 
równowagi,  podzielić  układ  na  pręty  i  węzły  i  dla  każdego  tak  wydzielonego  elementu  napisać  3 
równania  równowagi.  W  tym  przypadku  kontroli  podlegają  wszystkie  wartości  brzegowe  sił 
przekrojowych.  Na  rysunku  poniżej  pokazano  elementy,  dla  których  sprawdzimy  równania 
równowagi.  

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

q

=

5

,0

0

k

N

/m

M=15,00 kNm

P=20,00kN

A

B

C

D

x

y

x

y

x

y

N

AC

N

CA

N

CA

M

CA

M

AC

V

CA

V

CA

V

AC

V

CD

V

CD

M

CD

V

BD

N

CD

N

CD

N

BD

B

D

x

y

V

DB

M

DB

M

BD

V

BD

N

DB

N

BD

M

CA

M

CD

M

BD

 

Dla pręta AC 

0

8

.

0

3

5

)

808

.

23

(

)

807

.

11

(

cos

3

+

+

=

+

+

=

α

m

q

N

N

X

CA

AC

0

6

.

0

3

5

)

651

.

6

(

349

.

2

sin

3

+

+

=

+

+

=

α

m

q

V

V

Y

CA

AC

 , 

0

5

.

1

3

5

5

)

651

.

6

(

)

754

.

10

(

0

5

.

1

3

5

+

+

=

+

+

=

m

m

q

m

V

M

M

M

CA

CA

AC

A

  

Dla węzła C   

0

6

.

0

)

651

.

6

(

8

.

0

)

808

.

23

(

036

.

23

sin

cos

=

=

α

α

CA

CA

CD

V

N

N

X

0

8

.

0

)

651

.

6

(

6

.

0

)

808

.

23

(

963

.

8

cos

sin

+

=

+

=

α

α

CA

CA

CD

V

N

V

Y

0

15

246

.

4

754

.

10

+

=

+

=

M

M

M

M

CD

CA

c

  

Dla pręta CB 

0

036

.

23

)

036

.

23

(

=

=

+

=

BD

CD

N

N

X

0

20

)

037

.

11

(

963

.

8

=

+

+

=

+

+

=

P

V

V

Y

BD

CD

0

2

20

6

)

037

.

11

(

)

975

.

21

(

246

.

4

2

6

+

+

=

+

+

=

m

P

m

V

M

M

M

BD

BD

CD

C

  

Dla pręta DB 

0

036

.

23

)

036

.

23

(

=

=

+

=

BD

DB

N

N

X

0

)

037

.

11

(

)

037

.

11

(

=

+

=

+

=

BD

DB

V

V

Y

 , 

0

4

)

037

.

11

(

)

975

.

21

(

172

.

22

4

+

=

+

=

m

V

M

M

M

BD

BD

DB

D

 

3.6.2

 

KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOŚCI PRZEMIESZCZEŃ. 

Kontrola  zgodności  przemieszczeń  polega  na  sprawdzeniu  zgodności  przemieszczeń  układu 

rozwiązanego  z  przemieszczeniami  rzeczywistymi  w  tylu  miejscach  ile  wynosi  stopień  statycznej 
niewyznaczalności. Można tego dokonać postępując, w fazie początkowej, analogicznie jak buduje się 
układ  równań  kanonicznych,  to  jest:  przyjąć  układ  podstawowy  metody  sił  i  sporządzić  wykresy 
momentów  zginających  od  jednostkowych  wartości  sił  hiperstatycznych  a  następnie  policzyć 

przemieszczenia  w  układzie  danym  ze  wzoru 

+

=

s

s

F

s

s

F

F

k

S

S

dx

EI

M

M

α

α

α

  w  miejscach,  w 

których  przecięto  (usunięto)  więzi  tworząc  układ  podstawowy.  Wartości  tych  przemieszczeń  muszą 
być  takie,  jakie  wynikają  ze  sposobu  podparcia  układu  i  połączenia  jego  elementów.  Wystarczające 
jest  jednak  sprawdzenie  przemieszczeń  w  miejscach  sił  hiperstatycznych  przyjętych  do  rozwiązania 
układu.  W  tym  przypadku  wykresy  momentów  zginających  od  jednostkowych  wartości  sił 
hiperstatycznych są już określone i wystarczy policzyć przemieszczenia 

F

1

 i 

F

2

+

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

DB

F

DB

CD

F

CD

AC

F

AC

F

1

1

1

1

1

1

1

=

+

2

2

1

2

1

1

1
1

k

S

S

k

S

S

F

F

 

(

)

+

+

+

=

kNm

kNm

m

EI

)

754

.

10

(

)

4

.

0

(

248

.

0

)

2

.

0

(

4

0

0

6

5

1

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

(

)

+

+

+

+

kNm

m

EI

172

.

22

)

6

.

0

(

209

.

13

)

5

.

0

(

4

246

.

4

4

.

0

6

2

3889

.

1

1

 

(

)

+

+

+

+

kNm

m

EI

)

975

.

21

(

)

1

(

098

.

0

)

8

.

0

(

4

172

.

22

6

.

0

6

4

3889

.

1

1

 

0

/

)

754

.

10

(

4

.

0

/

5

.

0

)

963

.

8

(

/

1

.

0

3

+

+

m

EI

kNm

m

EI

kN

m

 

+

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

DB

F

DB

CD

F

CD

AC

F

AC

F

2

2

2

2

1

1

1

=

+

2

2

2
2

1

1

2

1

k

S

S

k

S

S

F

F

 

(

)

+

+

+

=

kNm

m

kNm

m

m

EI

)

754

.

10

(

8

.

1

248

.

0

9

.

0

4

0

0

6

5

1

 

(

)

+

+

+

+

2

172

.

22

2

.

1

209

.

13

5

.

1

4

246

.

4

8

.

1

6

2

3889

.

1

1

kNm

m

EI

 

(

)

+

+

+

+

2

)

975

.

21

(

0

098

.

0

6

.

0

4

172

.

22

2

.

1

6

4

3889

.

1

1

kNm

m

EI

 

0

/

)

754

.

10

(

8

.

1

/

5

.

0

)

963

.

8

(

3

.

0

3

+

+

m

EI

kNm

m

m

EI

kN

4

 

ROZWIĄZANIE RAMY OD ZMIAN TEMPERATURY 

 

4.1

 

UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ 

KANONICZNYCH 

 

4.1.1

 

UKŁAD PODSTAWOWY  

 
Przyjęto układ podstawowy taki jak dla 
rozwiązania od obciążeń siłami, aby móc 
wykorzystać w obliczeniach wykonane już 
rozwiązania od obciążeń hiperstatycznych 

 

4.1.2

 

UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH 

0

1

1

2

12

1

11

=

=

+

+

T

rz

T

T

T

X

X

δ

δ

δ

0

2

2

2

22

1

21

=

=

+

+

T

rz

T

T

T

X

X

δ

δ

δ

4.2

 

ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO 

4.2.1

 

ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD ZMIAN TEMPERATURY 

Ponieważ układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym zmiany temperatury  

nie wywołują w nim żadnych sił 

 

 

0

2

1

=

=

=

=

=

T

T

T

T

T

S

S

V

N

M

 

4.2.2

 

ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA  X

1

 = 1  I  X

2

 = 1 

Ze względu na to, że przyjęto układ podstawowy analogiczny jak dla rozwiązania od 

obciążenia siłami (różne jest tylko obciążenie) rozwiązania układu podstawowego od obciążenia  

X

1

 = 1  i  X

2

 = 1  są identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4. 

4.3

 

OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW I ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ 

4.3.1

 

OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ 

Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory 

+

=

s

j

s

i

s

j

i

ij

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

(

)

+

=

p

p

N

T

p

p

M

T

iT

i

i

To

h

Tp

Tw

α

α

δ

)

(

Uwzględniając fakt, że rozwiązania układu podstawowego od obciążenia  X

1

 = 1  i  X

2

 = 1  są 

identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 współczynniki  

11

δ

21

12

δ

δ

=

 i 

22

δ

 mają wartości takie jak 

obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy więc tylko współczynniki  

T

1

δ

 i  

T

2

δ

Określenie składników wzorów dla poszczególnych prętów 

Dla pręta AC  

m

m

m

M

1

2

5

4

.

0

1

=

=

2

5

.

4

2

5

8

.

1

2

m

m

m

M

=

=

,  

3

,0

0

m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

EI

1.3889 EI

X

1

X

2

-30

o

C

10

o

C

20

o

C

-5

o

C

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

10 

3

.

0

5

/

06

.

0

1

=

=

m

m

N

m

m

N

9

.

4

5

98

.

0

2

=

=

C

Tw

o

5

=

,     

C

Tp

o

20

=

,      

C

Tp

Tw

To

o

5

.

7

2

20

5

2

=

+

=

+

=

  (przekrój symetryczny), 

m

m

h

22

.

0

5

044

.

0

=

=

,  

h

Tp

Tw

m

C

m

C

o

o

636

.

113

22

.

0

)

20

5

(

=

=

1

)

(

)

(

1

M

T

AC

T

h

Tp

Tw

=

α

δ

1

N

T

To

α

(

)

T

o

o

o

T

C

C

m

m

C

α

α

=

+

=

886364

.

115

3

.

0

5

.

7

)

1

(

/

636

.

113

2

)

(

)

(

2

M

T

AC

T

h

Tp

Tw

=

α

δ

2

N

T

To

α

=

 

(

)

T

o

o

o

T

m

C

m

C

m

m

C

α

α

=

+

=

613636

.

474

9

.

4

5

.

7

5

.

4

/

636

.

113

2

 

Dla pręta CB    

m

m

M

2

.

4

2

6

)

1

4

.

0

(

1

=

+

=

,   

2

4

.

5

2

6

8

.

1

2

m

m

m

M

=

=

,    

0

1

=

N

,    

 

 

m

m

N

6

6

1

2

=

=

C

Tw

o

10

=

,   

C

Tp

o

30

=

,   

C

To

o

10

2

30

10

=

=

   (przekrój symetryczny),    

m

m

h

24

.

0

6

04

.

0

=

=

h

Tp

Tw

)

(

m

C

m

C

o

o

6667

.

166

24

.

0

))

30

(

10

(

=

=

1

)

(

)

(

1

M

T

CB

T

h

Tp

Tw

=

α

δ

1

N

T

To

α

=

(

)

T

o

o

T

C

m

m

C

α

α

=

+

700

0

)

2

.

4

(

/

6667

.

166

2

)

(

)

(

2

M

T

CB

T

h

Tp

Tw

=

α

δ

=

2

N

T

To

α

 

(

)

m

C

m

C

m

m

C

T

o

o

o

T

=

+

=

α

α

840

6

5

.

7

4

.

5

/

636

.

113

2

 

Szukane współczynniki: 

 

  

T

o

T

o

T

C

C

α

α

δ

=

=

113636

.

584

)

700

8864

.

115

(

1

m

C

m

C

T

o

T

o

T

=

+

=

α

α

δ

386363

.

365

)

840

613636

.

474

(

2

4.3.2

 

POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE 

0

1136

.

584

192781

.

4

693049

.

2

2

2

1

=

T

o

T

T

C

X

EI

m

X

EI

m

α

 

0

386363

.

365

485563

.

13

192781

.

4

2

3

1

2

=

+

+

m

C

X

EI

m

X

EI

m

T

o

T

T

α

 

m

EI

C

X

T

o

T

=

α

6254

.

338

1

,     

2

2

1870

.

78

m

EI

C

X

T

o

T

=

α

4.4

 

OBLICZENIE WARTOŚCI „RZECZYWISTYCH” REAKCJI I SIŁ PRZEKROJOWYCH 

T

r

T

r

T

r

T

r

R

X

R

X

R

R

+

=

2

2

1

1

        

T

T

T

T

M

X

M

X

M

M

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

T

T

T

T

N

X

N

X

N

N

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

 

T

T

T

T

V

X

V

X

V

V

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

 

T

T

T

T

S

X

S

X

S

S

α

α

α

α

+

+

=

2

2

1

1

 

=

+

+

=

T

A

T

A

T

A

T
A

H

X

H

X

H

H

2

2

1

1

2

2

/

1870

.

78

0

/

1870

.

78

)

1

(

0

m

EI

C

m

EI

C

T

o

T

o

=

+

+

α

α

 

=

+

+

=

T

A

T

A

T

A

T

A

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

 

2

2

/

3186

.

57

0

/

1870

.

78

)

3

.

0

(

/

6254

.

338

/

1

.

0

m

EI

C

m

EI

C

m

EI

C

m

T

o

T

o

T

o

=

+

+

=

α

α

α

 

=

+

+

=

T

B

T

B

T

B

T

B

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

 

2

2

/

3186

.

57

0

/

1870

.

78

3

.

0

/

6254

.

338

/

1

.

0

m

EI

C

m

EI

C

m

EI

C

m

T

o

T

o

T

o

=

+

+

=

α

α

α

 

=

+

+

=

T

CA

T

CA

T

CA

T

CA

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

 

m

EI

C

m

EI

C

m

m

EI

C

T

o

T

o

T

o

/

2865

.

5

0

/

1870

.

78

8

.

1

/

6254

.

338

4

.

0

2

=

+

+

=

α

α

α

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

11 

T

CA

T

CB

M

M

=

 

=

+

+

=

T

BC

T

BC

T

BC

T
BC

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

 

m

EI

C

m

EI

C

m

EI

C

T

o

T

o

T

o

/

6254

.

338

0

/

1870

.

78

0

/

6254

.

338

1

2

=

+

+

=

α

α

α

 

=

+

+

=

T

AC

T

AC

T

AC

T

AC

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

 

2

2

/

0573

.

1

0

/

1870

.

78

36

.

0

/

6254

.

338

/

08

.

0

m

EI

C

m

EI

C

m

EI

C

m

T

o

T

o

T

o

=

+

+

=

α

α

α

 

T

AC

T

CA

V

V

=

 

=

+

+

=

T

CB

T

CB

T

CB

T

CB

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

 

2

2

/

3186

.

57

0

/

1870

.

78

)

3

.

0

(

/

6254

.

338

/

1

.

0

m

EI

C

m

EI

C

m

EI

C

m

T

o

T

o

T

o

=

+

+

=

α

α

α

 

T

CB

T

BC

V

V

=

 

=

+

+

=

T

AC

T

AC

T

AC

T
AC

N

X

N

X

N

N

2

2

1

1

 

2

2

/

9408

.

96

0

/

1870

.

78

98

.

0

/

6254

.

338

/

06

.

0

m

EI

C

m

EI

C

m

EI

C

m

T

o

T

o

T

o

=

+

+

=

α

α

α

 

T
AC

T

CA

N

N

=

 

=

+

+

=

T
CB

T

CB

T

CB

T

CB

N

X

N

X

N

N

2

2

1

1

2

2

/

1770

.

78

0

/

1870

.

78

1

0

m

EI

C

m

EI

C

T

o

T

o

=

+

+

α

α

 

T

CB

T
BC

N

N

=

 

=

+

+

=

T

T

T

T

S

X

S

X

S

S

1

2

2

1

1

1
1

1

 

2

2

/

3186

.

57

0

/

1870

.

78

3

.

0

/

6254

.

338

/

1

.

0

m

EI

C

m

EI

C

m

EI

C

m

T

o

T

o

T

o

=

+

+

=

α

α

α

 

=

+

+

=

T

T

T

T

S

X

S

X

S

S

2

2

2
2

1

1

2

2

 

m

EI

C

m

EI

C

m

m

EI

C

T

o

T

o

T

o

/

2865

.

5

0

/

1870

.

78

8

.

1

/

6254

.

338

4

.

0

2

=

+

+

=

α

α

α

 

4.5

 

WYKRESY „RZECZYWISTYCH” SIŁ PRZEKROJOWYCH 

m

EI

C

T

o

α

2865

.

5

M

T

m

EI

C

T

o

α

6254

.

338

m

EI

C

T

o

α

6695

.

166

 

VT

2

1090

.

1

m

EI

C

T

o

α

2

3186

.

57

m

EI

C

T

o

α

  

2

9408

.

96

m

EI

C

T

o

α

2

1870

.

78

m

EI

C

T

o

α

NT

 

Rzeczywiste  wartości  sił  przekrojowych  mogą  też  być  wyznaczone  w  wyniku  rozwiązania  układu 
podstawowego  od  działających  równocześnie  znanych  już  sił  hiperstatycznych.  Wyniki  obliczeń 
musiałyby być identyczny (w granicach dokładności rachunkowej) jak przedstawione powyżej. 
 
 
 
 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

12 

4.6

 

 KONTROLA POPRAWNOŚCI ROZWIĄZANIA. 

 

4.6.1

 

KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA 

 
 
Podział na elementy  

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Równania równowagi 
Dla pręta AC 

0

9408

.

96

9408

.

96

=

+

=

+

=

CA

AC

N

N

X

0

0573

.

1

0573

.

1

=

+

=

+

=

CA

AC

V

V

Y

 , 

0

5

0573

.

1

2865

.

5

0

5

=

+

=

+

=

m

V

M

M

M

CA

CA

AC

A

  

Dla węzła C   

0

6

.

0

0573

.

1

8

.

0

9408

.

96

1870

.

78

sin

cos

=

=

α

α

CA

CA

CB

V

N

N

X

0

8

.

0

0573

.

1

6

.

0

9408

.

96

3186

.

57

cos

sin

+

=

+

=

α

α

CA

CA

CB

V

N

V

Y

0

2865

.

5

2865

.

5

=

=

=

CD

CA

C

M

M

M

  

Dla pręta CB 

0

1870

.

78

1870

.

78

=

+

=

+

=

BC

CB

N

N

X

0

3186

.

57

3186

.

57

=

+

=

+

=

BC

CB

V

V

Y

0

6

)

3186

.

57

(

)

6254

.

338

(

2865

.

5

6

+

=

+

=

m

V

M

M

M

BC

BC

CB

C

  

4.6.2

 

KONTROLA KINEMATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA 

Wykorzystujemy tu wzór na wyznaczanie przemieszczeń od zmian temperatury 

  

+

=

s

s

T

s

s

T

T

k

S

S

dx

EI

M

M

α

α

α

(

)

+

+

p

p

N

T

p

p

M

T

To

h

Tp

Tw

α

α

α

α

)

(

  

Obliczając 

T

1

 i 

T

2

 możemy  wykorzystać fakt, że suma trzeciego i  czwartego członu powyższego 

wzoru dla 

T

1

 wynosi 

T

1

δ

 a suma trzeciego i czwartego członu powyższego wzoru dla 

T

2

 wynosi 

T

2

δ

, które to wielkości zostały już policzone (p.3.4.2) 

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

T

CB

AC

T

AC

T

s

s

T

s

s

T

T

1

1

1

1

1

1

1

1

δ

 

+

=

+

+

+

)

4

.

0

(

3

2

2

5

/

2865

.

5

1

1

2

2

1

2

1

1

1
1

m

m

EI

C

EI

k

S

S

k

S

S

T

o

T

T

T

α

δ

 

(

)

+

+

+

+

m

EI

C

m

EI

T

o

α

)

6254

.

338

(

)

1

(

)

6695

.

166

(

)

7

.

0

(

4

2865

.

5

4

.

0

6

6

3889

.

1

1

 

0

1136

.

584

/

1

/

2865

.

5

4

.

0

/

5

.

0

/

3186

.

57

/

1

.

0

3

2

+

+

T

o

T

o

T

o

C

m

EI

m

EI

C

m

EI

m

EI

C

m

α

α

α

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

T

CB

AC

T

AC

T

s

s

T

s

s

T

T

2

2

2

2

2

2

1

1

δ

 

A

B

C

D

x

y

x

y

x

y

N

AC

N

CA

N

CA

M

CA

M

AC

V

CA

V

CA

V

AC

V

CD

V

CD

M

CD

V

BD

N

CD

N

CD

N

BD

M

CA

M

CD

M

BD

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

13 

+

=

+

+

+

m

m

m

EI

C

EI

k

S

S

k

S

S

T

o

T

T

T

8

.

1

3

2

2

5

/

2865

.

5

1

2

2

2

2
2

1

1

2

1

α

δ

 

(

)

+

+

+

+

m

EI

C

m

m

m

EI

T

o

α

0

6695

.

166

9

.

0

4

2865

.

5

8

.

1

6

6

3889

.

1

1

 

0

3863

.

365

/

1

/

2865

.

5

8

.

1

/

5

.

0

/

3186

.

57

3

.

0

3

2

+

+

+

T

o

T

o

T

o

m

C

m

EI

m

EI

C

m

m

EI

m

EI

C

α

α

α

5

 

ROZWIĄZANIE RAMY OD PRZEMIESZCZEŃ PODPÓR I BŁĘDÓW MONTAŻU 

5.1

 

UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ 

KANONICZNYCH 

5.1.1

 

UKŁAD PODSTAWOWY  

 
Przyjęto układ podstawowy taki jak dla 
rozwiązania od obciążeń siłami, aby móc 
wykorzystać w obliczeniach wykonane już 
rozwiązania od obciążeń hiperstatycznych  

 
 
 
 

5.1.2

 

UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH 

02618

.

0

180

/

5

.

1

1

1

2

12

1

11

=

=

=

+

+

o

o

rz

X

X

π

δ

δ

δ

0

2

2

2

22

1

21

=

=

+

+

rz

X

X

δ

δ

δ

 

UWAGA: Ponieważ usunięto więź podporową (zastępując ją siłą X

1

), w której zadano 

przemieszczenie, prawa strona pierwszego równania, to jest przemieszczenie 
rzeczywiste w tym miejscu równe jest temu przemieszczeniu.  

Jeśli chciałoby się mieć 

0

1

=

rz

 

to należałoby przyjąć układ podstawowy dokonując 
przecięcia odpowiednich więzi tak jak na rysunku 
 obok.  W tym przypadku równanie pierwsze 
opisywałoby zmianę kąta między przekrojami,  
w których przyłożono siły X

1

.  

Dalsze obliczenia będą  

wykonywane dla układu przyjętego  
w punkcie 5.1.1. 

5.2

 

ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO 

5.2.1

 

ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD PRZEMIESZCZEŃ PODPÓR I 

BŁĘDÓW MONTAŻU 

Ponieważ układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym przemieszczenia podpór i błędy 

montażu nie wywołują w nim żadnych sił   

 

0

2

1

=

=

=

=

=

S

S

V

N

M

 

 

5.2.2

 

ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA  X

1

 = 1  I  X

2

 = 1 

Ze względu na to, że przyjęto układ podstawowy analogiczny jak dla rozwiązania od 

obciążenia siłami (różne jest tylko obciążenie) rozwiązania układu podstawowego od obciążenia  

X

1

 = 1  i  X

2

 = 1  są identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4. 

5.3

 

OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW I ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ 

5.3.1

 

OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ 

Współczynniki układu równań obliczamy wykorzystując wzory 

+

=

s

j

s

i

s

j

i

ij

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

+

+

=

r

r

i
r

n

n

i
n

v

v

i
v

m

m

i
m

i

R

L

N

h

V

M

ϕ

δ

Uwzględniając fakt, że rozwiązania układu podstawowego od obciążenia  X

1

 = 1  i  X

2

 = 1  są 

identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 współczynniki  

11

δ

21

12

δ

δ

=

 i 

22

δ

 mają wartości takie jak 

obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy więc tylko współczynniki  

1

δ

 i  

2

δ

3

,0

0

m

k

1

= 0.5 EI

L

3

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

1

2

r =1cm

r

1

 = 1.5

o

EI

1.3889 EI

X

1

X

2

=

 1

E

I

m

k

2

3

,0

0

m

k

1

= 0.5 EI

L

3

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

2,00m

1

2

r =1cm

r

1

 = 1.5

o

EI

1.3889 EI

X

1

X

2

=

 1

E

I

m

k

2

X

1

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

14 

Błędy montażu wystąpiły w dwóch przekrojach, co 

symbolicznie zilustrowano na rysunku obok. 

 

Błędy montażu znakuje się analogicznie jak 

odpowiednie siły przekrojowe tzn. zmiany kąta jak 
momenty zginające, przesunięcia poprzeczne jak siły 
tnące a odkształcenia podłużne jak siły osiowe. 

Odkształceniom podłużnym 

1

L

 i 

2

L

 przypisano 

znaki zgodnie z zasadą: wydłużenie i siła osiowa 
rozciągająca „+”, skrócenie i siła osiowa ściskająca „-„.  

 
Symbole odkształceń kątowych ilustrują zmiany kąta 

między przekrojami równoległymi, co symbolicznie na osi 
pręta i dla elementu odkształconego przedstawiono na 
rysunku obok. 

Jeśli tej zmianie kąta towarzyszy wydłużenie włókien 

wyróżnionych (symbol lewy) to takiej zmianie kąta 
przypisujemy znak „+” w przeciwnym przypadku (symbol 
prawy) znak „-„.  

Wynika stąd, że odkształceniu kątowemu w przekroju  „1” należy przypisać znak „-„  

a odkształceniu kątowemu w przekroju „2” znak „+”. 

Symbole odkształceń postaciowych ilustrują wzajemne poprzeczne przesunięcie osi pręta, co 

symbolicznie na osi pręta i dla elementu odkształconego 
przedstawiono na rysunku obok 

Symbol lewy oznacza deformację  h

 o zwrocie 

zgodnym z dodatnimi zwrotami siły poprzecznej (znak „+”) a 
symbol prawy oznacza deformację  h

 o zwrocie prze-

ciwnym do dodatnich zwrotów siły poprzecznej (znak „-”). 

Wynika stąd, że odkształceniu postaciowemu w przekroju 

„1” należy przypisać znak „-„  

a odkształceniu postaciowemu w przekroju „2” znak „+”. 

Wartości błędów montażu są, więc następujące: 

 

02618

.

0

180

5

.

1

5

.

1

1

=

=

=

o

o

o

π

ϕ

 

0175

.

0

180

1

1

2

=

=

=

o

o

o

π

ϕ

 

m

cm

h

012

.

0

2

.

1

1

=

=

,   

 

 

m

cm

h

014

.

0

4

.

1

2

=

=

 

 

m

cm

L

015

.

0

5

.

1

1

=

=

,   

 

 

m

cm

L

01

.

0

1

2

=

=

 

Siły przekrojowe od obciążeń jednostkowych, w miejscach błędów, mają wartości 

 

2

.

0

1
1

=

M

,   

8

.

0

1

2

=

M

,    

m

V

/

08

.

0

1
1

=

,  

m

V

/

1

.

0

1

2

=

,  

m

N

/

06

.

0

1
1

=

,  

0

1

2

=

N

 

m

M

9

.

0

2

1

=

,  

m

M

6

.

0

2
2

=

,  

36

.

0

2

1

=

V

,          

3

.

0

2
2

=

V

,       

98

.

0

2

1

=

N

,       

1

2
2

=

N

Przemieszczenia podpór wystąpiły w kierunku reakcji 

B

V

 i  kąt obrotu podpory B.  

Wynoszą one   

 

 

m

cm

B

V

01

.

0

1

=

=

02618

.

0

180

/

5

.

1

5

.

1

=

=

=

π

ϕ

o

R

B

Zwroty reakcji 

B

V

 w rozwiązaniach od obciążeń jednostkowych przyjęto przeciwnie do zwrotu 

przemieszczenia podpory, więc do obliczania przemieszczeń zmieniamy znaki tej reakcji 

 

m

V

B

/

1

.

0

1

=

3

.

0

2

=

B

V

Przyjmując układ podstawowy usunięto więź rotacyjną podpory B, więc   

0

2

1

=

=

ϕ

ϕ

B

B

R

R

(

Gdyby przyjąć układ podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2  byłoby

 

1

1

=

ϕ

B

R

,    

0

2

=

ϕ

B

R

). 

Szukane współczynniki: 

 

+

+

+

=

0

)

015

.

0

(

/

06

.

0

014

.

0

/

1

.

0

)

012

.

0

(

/

08

.

0

0175

.

0

8

.

0

)

02618

.

0

(

2

.

0

1

m

m

m

m

m

m

δ

009104

.

0

0

01

.

0

)

/

1

.

0

(

=

m

m

,  

1.5

o

1

o

1.2

 cm

L

2

=1cm

2

L

1

-1

.5

cm

1

1.4 cm

dx

włókna

wyró

ż

nione

dx

włókna

wyró

ż

nione

0

<

ϕ

0

>

ϕ

M

M

dx

dx

V

V

0

>

h

0

<

h

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

15 

+

+

+

+

+

=

m

m

m

m

m

m

01

.

0

1

)

015

.

0

(

98

.

0

014

.

0

3

.

0

)

012

.

0

(

36

.

0

0175

.

0

6

.

0

)

02618

.

0

(

9

.

0

2

δ

m

m

023282

.

0

0

01

.

0

)

3

.

0

(

=

(

Gdyby przyjąć układ podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2 byłoby

 

 

+

+

+

=

0

)

015

.

0

(

/

06

.

0

014

.

0

/

1

.

0

)

012

.

0

(

/

08

.

0

0175

.

0

8

.

0

)

02618

.

0

(

2

.

0

1

m

m

m

m

m

m

δ

035284

.

0

02618

.

0

1

01

.

0

)

/

1

.

0

(

=

m

m

).  

5.3.2

 

POSTAĆ SZCZEGÓŁOWA UKŁADU RÓWNAŃ I JEGO ROZWIĄZANIE  

Równanie pierwsze    

 

02618

.

0

009104

.

0

192781

.

4

693049

.

2

2

2

1

=

X

EI

m

X

EI

m

 

po przekształceniu ma postać  

0

035284

.

0

192781

.

4

693049

.

2

2

2

1

=

X

EI

m

X

EI

m

 

Równanie drugie 

 

    

0

023282

.

0

485563

.

13

192781

.

4

2

3

1

2

=

+

m

X

EI

m

X

EI

m

 

Rozwiązanie układu równań   

m

EI

X

/

030603

.

0

1

=

,             

2

2

/

011241

.

0

m

EI

X

=

 

5.4

 

OBLICZENIE WARTOŚCI „RZECZYWISTYCH” REAKCJI I SIŁ PRZEKROJOWYCH 

+

+

=

r

r

r

r

R

X

R

X

R

R

2

2

1

1

        

+

+

=

α

α

α

α

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

+

+

=

α

α

α

α

N

X

N

X

N

N

2

2

1

1

 

+

+

=

α

α

α

α

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

 

+

+

=

α

α

α

α

S

X

S

X

S

S

2

2

1

1

 

=

+

+

=

A

A

A

A

H

X

H

X

H

H

2

2

1

1

2

2

/

01124

.

0

0

/

011241

.

0

)

1

(

0

m

EI

m

EI

=

+

+

 

=

+

+

=

A

A

A

A

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

2

2

006433

.

0

0

011241

.

0

)

3

.

0

(

030603

.

0

1

.

0

m

EI

m

EI

m

EI

m

=

+

+

 

=

+

+

=

B

B

B

B

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

2

2

/

006433

.

0

0

/

011241

.

0

3

.

0

/

030603

.

0

/

1

.

0

m

EI

m

EI

m

EI

m

=

+

+

 

=

+

+

=

CA

CA

CA

CA

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

m

EI

m

EI

m

m

EI

007993

.

0

0

011241

.

0

8

.

1

030603

.

0

4

.

0

2

=

+

+

 

=

CA

CB

M

M

 

=

+

+

=

BC

BC

BC

BC

M

X

M

X

M

M

2

2

1

1

m

EI

m

EI

/

03060

.

0

0

0

/

030603

.

0

1

=

+

+

 

=

+

+

=

AC

AC

AC

AC

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

2

2

001599

.

0

0

011241

.

0

36

.

0

030603

.

0

08

.

0

m

EI

m

EI

m

EI

m

=

+

+

 

=

AC

CA

V

V

 

=

+

+

=

CB

CB

CB

CB

V

X

V

X

V

V

2

2

1

1

2

2

006433

.

0

0

011241

.

0

)

3

.

0

(

030603

.

0

1

.

0

m

EI

m

EI

m

EI

m

=

+

+

 

=

CB

BC

V

V

 

=

+

+

=

AC

AC

AC

AC

N

X

N

X

N

N

2

2

1

1

2

2

01285

.

0

0

011241

.

0

98

.

0

030603

.

0

06

.

0

m

EI

m

EI

m

EI

m

=

+

+

 

=

AC

CA

N

N

 

=

+

+

=

CB

CB

CB

CB

N

X

N

X

N

N

2

2

1

1

2

2

/

01124

.

0

0

/

011241

.

0

1

0

m

EI

m

EI

=

+

+

 

=

CB

BC

N

N

 

=

+

+

=

1

2

2

1

1

1
1

1

S

X

S

X

S

S

2

2

/

006433

.

0

0

/

011241

.

0

3

.

0

/

030603

.

0

/

1

.

0

m

EI

m

EI

m

EI

m

=

+

+

 

=

+

+

=

2

2

2
2

1

1

2

2

S

X

S

X

S

S

m

EI

m

EI

m

m

EI

/

007993

.

0

0

/

011241

.

0

8

.

1

/

030603

.

0

4

.

0

2

=

+

+

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

16 

5.5

 

WYKRESY „RZECZYWISTYCH” SIŁ PRZEKROJOWYCH 

m

EI

007993

.

0

M

∆∆∆∆

m

EI

03060

.

0

m

EI

01131

.

0

 

V

∆∆∆∆

2

001599

.

0

m

EI

2

006433

.

0

m

EI

 

N

∆∆∆∆

2

01285

.

0

m

EI

2

01124

.

0

m

EI

 

Rzeczywiste  wartości  sił  przekrojowych  mogą  też  być  wyznaczone  w  wyniku  rozwiązania  układu 
podstawowego  od  działających  równocześnie  znanych  już  sił  hiperstatycznych.  Wyniki  obliczeń 
musiałyby być identyczny (w granicach dokładności rachunkowej) jak przedstawione powyżej. 

 

5.6

 

KONTROLA POPRAWNOŚCI ROZWIĄZANIA. 

 

5.6.1

 

KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA 

 
Podział na elementy 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Równania równowagi 
Dla pręta AC 

0

011285

.

0

01285

.

0

=

+

=

+

=

CA

AC

N

N

X

0

001599

.

0

001599

.

0

=

+

=

+

=

CA

AC

V

V

Y

 , 

0

5

001599

.

0

007993

.

0

0

5

+

=

+

=

m

V

M

M

M

CA

CA

AC

A

  

Dla węzła C   

0

6

.

0

001599

.

0

8

.

0

01285

.

0

01124

.

0

sin

cos

=

=

α

α

CA

CA

CB

V

N

N

X

0

8

.

0

01285

.

0

6

.

0

01124

.

0

006433

.

0

cos

sin

+

=

+

=

α

α

CA

CA

CB

V

N

V

Y

0

007993

.

0

007993

.

0

=

=

=

CD

CA

C

M

M

M

  

Dla pręta CB 

0

01124

.

0

01124

.

0

=

+

=

+

=

BC

CB

N

N

X

A

B

C

D

x

y

x

y

x

y

N

AC

N

CA

N

CA

M

CA

M

AC

V

CA

V

CA

V

AC

V

CD

V

CD

M

CD

V

BD

N

CD

N

CD

N

BD

M

CA

M

CD

M

BD

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

17 

0

006433

.

0

)

006433

.

0

(

=

=

+

=

BC

CB

V

V

Y

 , 

0

6

)

006433

.

0

(

)

03060

.

0

(

007993

.

0

6

+

=

+

=

m

V

M

M

M

BC

BC

CB

C

  

 

5.6.2

 

KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOŚCI ROZWIĄZANIA 

Wykorzystujemy  tu  wzór  na  wyznaczanie  przemieszczeń  od  przemieszczeń  podpór  i  błędów 

montażu. 

  

+

=

s

s

s

s

k

S

S

dx

EI

M

M

α

α

α

+

+

+

r

r

r

n

n

v

v

v

m

m

m

R

L

N

h

V

M

α

α

α

α

ϕ

Obliczając 

1

 i 

2

 możemy wykorzystać fakt, że człony: trzeci, czwarty, piąty i szósty powyższego 

wzoru dla 

1

 równe są razem 

1

δ

 a człony trzeci, czwarty, piąty i szósty powyższego wzoru dla 

2

 

równe są razem 

2

δ

, które to wielkości zostały już policzone (p.4.4.1) 

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

CB

AC

AC

s

s

s

s

1

1

1

1

1

1

1

1

δ

 

+

=

+

+

+

)

4

.

0

(

3

2

2

5

/

007993

.

0

1

1

2

2

1

2

1

1

1
1

m

m

EI

EI

k

S

S

k

S

S

T

δ

 

(

)

+

+

+

+

m

EI

m

EI

)

0306

.

0

(

)

1

(

)

01131

.

0

(

)

7

.

0

(

4

007993

.

0

4

.

0

6

6

3889

.

1

1

 

02618

.

0

009104

.

0

/

1

/

007993

.

0

4

.

0

/

5

.

0

/

006433

.

0

/

1

.

0

1

3

2

=

+

+

rz

m

EI

m

EI

m

EI

m

EI

m

 

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

CB

AC

AC

s

s

s

s

2

2

2

2

2

2

1

1

δ

 

+

=

+

+

+

m

m

m

EI

EI

k

S

S

k

S

S

8

.

1

3

2

2

5

/

007993

.

0

1

2

2

2

2
2

1

1

2

1

δ

 

(

)

+

+

+

+

m

EI

m

m

m

EI

0

)

01131

.

0

(

9

.

0

4

007993

.

0

8

.

1

6

6

3889

.

1

1

 

0

02328

.

0

/

1

/

007993

.

0

8

.

1

/

5

.

0

/

006433

.

0

3

.

0

3

2

+

+

m

m

EI

m

EI

m

m

EI

m

EI

 

6

 

WYZNACZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEŃ 

6.1

 

ROZWIĄZANIA WIRTUALNE OD OBCIĄŻEŃ JEDNOSTKOWYCH 

Uwzględniając  fakt,  że  układy  zostały  rozwiązane  od  danych  obciążeń,  w  celu  obliczenia 

szukanych  przemieszczeń  należy  uzyskać  rozwiązania  wirtualne  od  obciążeń  jednostkowych 
przyłożonych  w  miejscach  i  kierunkach  szukanych  przemieszczeń.  Rozwiązania  te  otrzymamy 
rozwiązując dowolne układy podstawowe danej ramy od obciążeń 

1

=

i

F

 i 

1

=

j

F

. Może to być taki 

sam układ, jaki był przyjęty do rozwiązania ramy od obciążenia danego. Mogą też być dowolne inne 
układy. Tu przyjęto układy jak na rysunkach poniżej. 

4,00m

2,00m

4,00m

3

,0

0

m

EI

1.3889 EI

F

i

=1

V

B

i

R

B

i

ϕ

     

4,00m

2,00m

4,00m

3

,0

0

m

EI

1.3889 EI

F

j

=1

V

B

j

R

B

j

ϕ

 

 

Reakcje w miejscach przemieszczeń podpór :   

1

=

i

B

V

m

R

i

B

6

=

ϕ

0

=

i

B

V

,    

1

=

i

B

R

ϕ

 
 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

18 

Wykresy sił przekrojowych 

6

 m

M

i

     

1,0

00

M

j

1,0

00

1

,0

0

0

1

,0

0

0

 

1

V

i

N

i

             

V

j

N

j

 

Siły w więziach sprężystych  

 

0

2

1

1

=

=

=

i

j

i

S

S

S

,   

1

2

=

j

S

 

6.2

 

PRZEMIESZCZENIA OD OBCIĄŻEŃ SIŁAMI 

Szukane przemieszczenia obliczymy na podstawie wzorów 

 

+

=

s

s

F

s

i

s

F

i

iF

k

S

S

dx

EI

M

M

,        

+

=

s

s

F

s

j

s

F

j

jF

k

S

S

dx

EI

M

M

Do obliczenia całek w powyższych wzorach zastosowano wzór Simpsona lub Mohra. Ze względu na 
charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach przedstawiono w postaci 
sum 3 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje podcałkowe spełniają 
założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.  

=

+

+

=

0

1

1

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

DB

F

i

DB

CD

F

i

CD

iF

 

(

)

+

+

+

=

kNm

m

kNm

m

m

EI

172

.

22

)

2

(

209

.

13

)

1

(

4

0

6

2

3889

.

1

1

 

(

)

EI

kNm

kNm

m

kNm

m

kNm

m

m

EI

3

9264

.

17

)

975

.

21

(

)

6

(

098

.

0

)

4

(

4

172

.

22

2

6

4

3889

.

1

1

=

+

+

+

 

(

)

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

=

1

2

2

172

.

22

246

.

4

3889

.

1

1

)

754

.

10

(

1

248

.

0

1

4

0

1

6

5

1

0

1

1

1

2

2

2

m

kNm

kNm

EI

kNm

kNm

m

EI

k

S

S

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

F

j

DB

F

j

DB

CD

F

j

CD

AC

F

j

AC

jF

 

EI

kNm

m

EI

kNm

m

kNm

kNm

EI

2

4130

.

0

/

1

)

7544

.

10

(

1

1

4

2

975

.

21

172

.

22

3889

.

1

1

=

+

+

 

6.3

 

PRZEMIESZCZENIA OD ZMIAN TEMPERATURY 

Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorów 

 

iT

s

s

T

s

i

s

T

i

iT

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

+

+

=

,        

jT

s

s

T

s

j

s

T

j

jT

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

+

+

=

 

gdzie    

(

)

+

=

p

p

N

T

p

p

M

T

iT

i

i

To

h

Tp

Tw

α

α

δ

)

(

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

19 

(

)

+

=

p

p

N

T

p

p

M

T

jT

j

j

To

h

Tp

Tw

α

α

δ

)

(

.  

Ze względu na charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach 
przedstawiono w postaci sum 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje 
podcałkowe spełniają założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.  
 

Obliczenia rozpoczniemy od wyznaczenia składników 

iT

δ

,

jT

δ

 

Pręt AC 

 

0

=

i

M

m

m

j

M

5

5

1

=

=

,       

0

=

i

N

0

=

j

N

C

Tw

o

5

=

,     

C

Tp

o

20

=

,      

C

Tp

Tw

To

o

5

.

7

2

20

5

2

=

+

=

+

=

  (przekrój symetryczny), 

m

m

h

22

.

0

5

044

.

0

=

=

h

Tp

Tw

m

C

m

C

o

o

636

.

113

22

.

0

)

20

5

(

=

=

i

M

T

AC

iT

h

Tp

Tw

=

)

(

)

(

α

δ

0

=

i

N

T

To

α

j

M

T

AC

jT

h

Tp

Tw

=

)

(

)

(

α

δ

=

j

N

T

To

α

(

)

T

o

o

T

C

m

m

C

α

α

=

+

1818

.

568

0

5

/

636

.

113

 

Dla pręta CB    

2

18

2

/

6

6

m

m

m

i

M

=

=

m

m

j

M

6

6

1

=

=

,       

0

=

i

N

0

=

j

N

C

Tw

o

10

=

,   

C

Tp

o

30

=

,   

C

To

o

10

2

30

10

=

=

   (przekrój symetryczny),    

m

m

h

24

.

0

6

04

.

0

=

=

h

Tp

Tw

)

(

m

C

m

C

o

o

6667

.

166

24

.

0

))

30

(

10

(

=

=

i

M

T

CB

iT

h

Tp

Tw

=

)

(

)

(

α

δ

i

N

T

To

α

(

)

T

o

o

T

m

C

m

m

C

α

α

=

+

=

3000

0

)

18

(

/

6667

.

166

2

j

M

T

CB

jT

h

Tp

Tw

=

)

(

)

(

α

δ

=

j

N

T

To

α

(

)

T

o

o

T

C

m

m

C

α

α

=

+

1000

0

6

/

6667

.

166

 

 

T

o

T

o

iT

m

C

m

C

α

α

δ

=

=

3000

)

3000

0

(

T

o

T

o

jT

C

C

α

α

δ

=

+

=

8182

.

431

)

1000

1818

.

568

(

Szukane przemieszczenia 

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

T

i

CB

AC

T

i

AC

T

s

s

T

s

i

s

T

i

iT

1

1

1

δ

 

=

+

+

+

iT

T

i

T

i

k

S

S

k

S

S

δ

2

2

2

1

1

1

 

(

)

+

+

+

+

+

=

0

)

6254

.

338

(

)

6

(

)

6695

.

166

(

)

3

(

4

0

6

6

3889

.

1

1

0

m

EI

C

m

m

m

EI

T

o

α

 

 

m

C

m

C

T

o

T

o

=

α

α

1373

.

97

3000

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

T

j

CB

AC

T

j

AC

T

s

s

T

s

j

s

T

j

jT

1

1

2

δ

 

+

=

+

+

+

1

2

5

/

2865

.

5

1

2

2

1

1

1

m

m

EI

C

EI

k

S

j

S

k

S

S

T

o

jT

T

T

j

α

δ

 

(

)

+

+

+

+

+

0

)

6254

.

338

(

1

)

6695

.

166

(

1

4

2865

.

5

1

6

6

3889

.

1

1

m

EI

C

m

EI

T

o

α

 

T

o

T

o

T

o

C

C

m

EI

m

EI

C

α

α

α

=

+

+

6855

.

269

8182

.

431

/

1

/

2865

.

5

1

 

background image

METODA SIŁ - przykład 2-siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu                         26-03-09 

 

                                                        

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

 

20 

6.4

 

PRZEMIESZCZENIA OD PRZEMIESZCZEŃ PODPÓR I BŁĘDÓW MONTAŻU 

Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorów 

 

+

+

=

s

i

s

s

i

s

i

i

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

,        

+

+

=

j

s

s

s

j

s

j

j

k

S

S

dx

EI

M

M

δ

 

gdzie  

+

+

=

r

r

i
r

n

n

i
n

v

v

i
v

m

m

i
m

i

R

L

N

h

V

M

ϕ

δ

+

+

=

r

r

j

r

n

n

j

n

v

v

j

v

m

m

j

m

j

R

L

N

h

V

M

ϕ

δ

 

Ze względu na charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach 
przedstawiono w postaci sum 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje 
podcałkowe spełniają założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.  

Błędy montażu scharakteryzowane w punkcie 4.4.1 wynoszą: 

 

02618

.

0

180

5

.

1

5

.

1

1

=

=

=

o

o

o

π

ϕ

 

0175

.

0

180

1

1

2

=

=

=

o

o

o

π

ϕ

 

m

cm

h

012

.

0

2

.

1

1

=

=

,   

m

cm

h

014

.

0

4

.

1

2

=

=

 

 

m

cm

L

015

.

0

5

.

1

1

=

=

,   

m

cm

L

01

.

0

1

2

=

=

 

Siły przekrojowe od obciążeń jednostkowych, w miejscach błędów, mają wartości 

 

0

1

=

i

M

,   

m

M

i

4

2

=

,   

0

1

=

i

V

,   

1

2

=

i

V

,   

0

1

=

i

N

,   

0

2

=

i

N

 

1

1

=

j

M

,   

1

1

2

=

M

,   

0

2

1

=

V

,   

0

2
2

=

V

,   

0

2

1

=

N

,   

0

2
2

=

N

Przemieszczenia podpór wystąpiły w kierunku reakcji 

B

V

 i  kąt obrotu podpory B.  

Wynoszą one   

 

 

m

cm

B

V

01

.

0

1

=

=

02618

.

0

180

/

5

.

1

5

.

1

1

=

=

=

π

o

r

Wartości reakcji odpowiadających tym przemieszczeniom wywołane obciążeniami jednostkowymi 

wynoszą 

 

1

=

i

B

V

m

R

i

B

6

=

ϕ

 

0

=

j

B

V

1

=

j

B

R

ϕ

.  

m

m

m

m

i

23108

.

0

02618

.

0

6

01

.

0

)

1

(

0

0

014

.

0

1

0

0175

.

0

4

0

=

+

+

+

=

δ

,  

0175

.

0

02618

.

0

)

1

(

0

0

0

0

0

0175

.

0

1

)

02618

.

0

(

1

=

+

+

+

+

+

=

j

δ

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

i

CB

AC

i

AC

i

s

s

s

i

s

i

i

1

1

δ

 

=

+

+

+

i

i

i

k

S

S

k

S

S

δ

2

2

2

1

1

1

 

(

)

m

m

m

EI

m

m

m

EI

0012

.

0

23108

.

0

0

)

0306

.

0

(

)

6

(

)

01131

.

0

(

)

3

(

4

0

6

6

3889

.

1

1

0

=

+

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

dx

M

M

EI

dx

M

M

EI

k

S

S

dx

EI

M

M

CB

j

CB

AC

j

AC

s

s

s

j

s

j

j

1

1

2

δ

 

+

=

+

+

+

1

2

5

/

007993

.

0

1

2

2

1

1

1

m

m

EI

EI

k

S

j

S

k

S

S

T

j

δ

 

(

)

=

+

+

+

+

+

+

0175

.

0

/

1

/

007993

.

0

1

0

)

0306

.

0

(

1

)

01131

.

0

(

1

4

007993

.

0

1

6

6

3889

.

1

1

m

EI

m

EI

m

EI

m

EI

o

o

19

.

0

/

180

*

003363

.

0

003363

.

0

=

=

=

π