Praca kontrolna nr 1

1. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym a

n

:

a) a

n

=

6

n

+ 2

n

· 3

n−1

− 5

n

4

n

− 3 · 6

n

+1

b) a

n

= 3n −

√

9n

2

+ 6n + 1 c) a

n

=

1

√

n

2

+ 7n − n

d) a

n

=



3n + 1
3n − 2



6n

e) a

n

=



n

n

+ 3



n

f) a

n

=

n

2

− 1

n

2

!

2n

2

−3

2. Wyznaczyć dziedziny naturalne funkcji

a) y =

√

1 + x +

1

log(x

2

+ 2x + 2)

b) y = arcsin

x

− 1

2

+ log(6x

2

− x − 2)

c) y =

s

ln

x

+ 1

x

− 1

d) y =

q

1 + ln(

x

2

).

3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:

a) lim

n→∞

n

s

3

n

+ 2

n

5

n

+ 4

n

b) lim

n→∞

2n

2

+ sin n!

4n

2

− 3 cos n

2

c) lim

n→∞

n

√

3 + sin n

d) lim

n→∞

n

√

2 + 5n

2

+ 3n

5

4. Obliczyć:

a) arcsin(

1
2

) + arccos(

1
2

) + arcsin(−

1
2

) + arccos(−

1
2

)

b) 3 arccos(−

√

3

2

) + arcsin(

1
2

) + arctg(−

√

3)

5. Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i naszkicować wykres funkcji danej wzorem:

a) y = 2 arcsin(x − 1) + 1

c) y = −2arctgx + π

c) y = ln(x + 2) − 1

Wyznaczyć funkcje do nich odwrotne

6. Obliczyć granice funkcji

a) lim

x→−∞

x

+ x

3

1 − 2x

3

b) lim

x→2

x

2

+ 5x − 14

x

3

− 4x

2

+ 4x

c) lim

x→0

1

x



√

2x + 9 − 3



d) lim

x→0

−

sin

2

x

|x| tg x

e) lim

x→∞



1 −

1

2x



x

e) lim

x→∞

arccos

2 + x
2 − x

.

7. Wyznaczyć wartość parametru a tak , aby podana funkcja była ciągła.

a) f (x) =



























x

3

− 1

1 − x

,

x

6= 0

6a

2

− a − 5 , x = 1

b) f (x) =



























1 − cos x

x

2

, x

6= 0

2a − 1 ,

x

= 0