Praca kontrolna nr 1

1. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym a : n

6n + 2n · 3n−1 − 5n

√

1

a) a =

b) a = 3n − 9n2 + 6n + 1 c) a = √

n

4

n

n

n − 3 · 6n+1

n2 + 7n − n

2

6

!2n −3

3n + 1 n

n

n

n2 − 1

d) a =

e) a =

f) a =

n

3n − 2

n

n + 3

n

n2

2. Wyznaczyć dziedziny naturalne funkcji

√

1

x − 1

a) y =

1 + x +

b) y = arcsin

+ log(6x2 − x − 2)

log(x2 + 2x + 2)

2

s

x + 1

q

c) y =

ln

d) y =

1 + ln(x).

x − 1

2

3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: s 3n + 2n

2n2 + sin n!

a) lim n

b) lim

n→∞

5n + 4n

n→∞ 4n2 − 3 cos n2

√

√

c) lim n 3 + sin n

d) lim n 2 + 5n2 + 3n5

n→∞

n→∞

4. Obliczyć:

a) arcsin(1) + arccos(1) + arcsin(−1) + arccos(−1) 2

2

2

2

√

√

b) 3 arccos(− 3) + arcsin(1) + arctg(− 3) 2

2

5. Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i naszkicować wykres funkcji danej wzorem: a) y = 2 arcsin(x − 1) + 1

c) y = −2arctgx + π

c) y = ln(x + 2) − 1

Wyznaczyć funkcje do nich odwrotne 6. Obliczyć granice funkcji x + x3

x2 + 5x − 14

1 √

a) lim

b) lim

c) lim

2x + 9 − 3

x→−∞ 1 − 2x3

x→2 x3 − 4x2 + 4x

x→0 x

sin2 x

1 x

2 + x

d) lim

e) lim

1 −

e) lim arccos

.

x

x

x→0− |x| tg x

→∞

2x

→∞

2 − x

7. Wyznaczyć wartość parametru a tak , aby podana funkcja była ciągła.







x3



1



− 1



− cos x







,

x 6= 0



, x 6= 0









a) f (x) =

1 − x

b) f (x) =

x2



















6a2 − a − 5 , x = 1



2a − 1 ,

x = 0



