Temat 1
Zmiany grawitacji wywołane przez jednorodne bryły – wychylenie linii pionu
x y z
z
x y z
y
x y z
x
z
y
x
zdxdydz
G
g
z
y
x
ydxdydz
G
g
z
y
x
xdxdydz
G
g
0 0 0
2
/
3
2
2
2
0 0 0
2
/
3
2
2
2
0 0 0
2
/
3
2
2
2
Rozwiązanie całek:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
ln
z
y
x
yz
xarctg
y
x
z
z
y
x
y
z
y
y
z
y
x
y
z
y
x
z
z
y
z
y
G
g
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
ln
z
y
x
xz
yarctg
y
x
x
z
y
x
z
z
x
z
x
y
x
z
z
y
x
x
z
x
x
y
G
g
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
ln
z
y
x
xy
zarctg
z
y
y
z
y
x
x
y
x
x
y
y
x
x
z
y
x
y
z
x
y
x
G
g
z
Zmiana granic dla prostopadłościanu nieprzylegającego do osi układu XYZ z uwzględnieniem
dodatkowo wprowadzonych oznaczeń (r,s,F
1
, t,u,F
2
, p,q,F
3
):
Dla kierunku osi X:
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
;
;
;
x
y
r
x
y
r
x
y
r
x
y
r
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
;
;
;
x
z
s
x
z
s
x
z
s
x
z
s
1
1
1
ln
1
1
ln
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
s
r
rs
arctg
s
s
s
r
r
s
r
r
s
r
r
s
r
s
s
r
s
r
G
s
r
F
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
{
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
s
r
cF
s
r
bF
s
r
aF
s
r
F
x
s
r
cF
s
r
bF
s
r
aF
s
r
F
x
g
x
x
X
y
z
Z
Y
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
O
Z
Y
Podobnie dla kierunku osi Y:
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
;
;
;
y
x
t
y
x
t
y
x
t
y
x
t
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
;
;
;
y
z
u
y
z
u
y
z
u
y
z
u
1
1
1
ln
1
1
ln
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u
t
tu
arctg
t
t
u
t
u
u
t
u
t
u
u
u
t
t
u
t
t
u
G
u
t
F
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
{
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
u
t
fF
u
t
eF
u
t
dF
u
t
F
y
u
t
fF
u
t
eF
u
t
dF
u
t
F
y
g
y
oraz osi Z:
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
;
;
;
z
x
p
z
x
p
z
x
p
z
x
p
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
;
;
;
z
y
q
z
y
q
z
y
q
z
y
q
1
1
1
ln
1
1
ln
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
q
p
pq
arctg
q
q
q
p
p
q
p
p
q
p
p
q
p
q
q
p
q
p
G
q
p
F
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
{
1
1
3
1
2
3
2
1
3
2
2
3
1
1
1
3
1
2
3
2
1
3
2
2
3
2
q
p
iF
q
p
hF
q
p
gF
q
p
F
z
q
p
iF
q
p
hF
q
p
gF
q
p
F
z
g
z
gdzie: G = 6.677
10
-11
kg
-1
m
3
s
-2
= gęstość [kg m
-3
]
a,b,c,d,e,f ,g,h,i – współczynniki (równe 1 lub -1), zależne od położenia osi względem bryły
Różne przypadki położenia osi układu XYZ względem bryły:
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
i
h
g
f
e
d
c
b
a
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
i
h
g
f
e
d
c
b
a
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
i
h
g
f
e
d
c
b
a
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
1
;
1
;
1
i
h
g
f
e
d
c
b
a
Obliczenie przyrostów składowych odchylenia linii pionu:
x
g
- dla składowej południkowej (kierunek osi X),
y
g
- dla składowej poprzecznej (kierunek osi Y),
Przykład: Dla bryły o gęstości
b
= 2.2 g/cm
3
i rozmiarze 2km
2km
0.1km
O
x
1
x
2
y
1
y
2
O
x
1
x
2
y
1
y
2
O
x
1
x
2
y
1
y
2
O
x
1
x
2
y
1
y
2
1)
2)
3)
4)
Obliczyć wartości przyrostu odchylenia linii pionu w kierunku osi X, w zależności
od odległości od boku bryły o kształcie prostopadłościanu (z podstawą kwadratu (a)
i wysokością (h)) i o gęstości
(przypadek nr 2 położenia osi: przyjąć z
1
>0, np. z
1
= 0.01 m )
x
g
(przyjąć
=
52
= 9.812436 m/s
2
)
Wykres wartości
w zależności od odległości (d) od ściany bryły
(prostopadłościanu o rozmiarach a
a
h)
d [m]
wykres wychylenia l.p. od strony północnej
dla bryły (2x2x0.1 km,
=2.2g/cm
3
)
[
]
a
50
100
150
200
450 m
h
300
50
100
150
200
450 m
300
a
Z
X
X
a/2
a/2
Y
odległość od bryły
odległość od bryły