Temat 1
Zmiany grawitacji wywołane przez jednorodne bryły – wychylenie linii pionu











































x y z

z

x y z

y

x y z

x

z

y

x

zdxdydz

G

g

z

y

x

ydxdydz

G

g

z

y

x

xdxdydz

G

g

0 0 0

2

/

3

2

2

2

0 0 0

2

/

3

2

2

2

0 0 0

2

/

3

2

2

2







Rozwiązanie całek:

































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ln

ln

z

y

x

yz

xarctg

y

x

z

z

y

x

y

z

y

y

z

y

x

y

z

y

x

z

z

y

z

y

G

g

x



































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ln

ln

z

y

x

xz

yarctg

y

x

x

z

y

x

z

z

x

z

x

y

x

z

z

y

x

x

z

x

x

y

G

g

y



































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ln

ln

z

y

x

xy

zarctg

z

y

y

z

y

x

x

y

x

x

y

y

x

x

z

y

x

y

z

x

y

x

G

g

z



Zmiana granic dla prostopadłościanu nieprzylegającego do osi układu XYZ z uwzględnieniem
dodatkowo wprowadzonych oznaczeń (r,s,F

1

, t,u,F

2

, p,q,F

3

):

Dla kierunku osi X:

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

;

;

;

x

y

r

x

y

r

x

y

r

x

y

r













1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

;

;

;

x

z

s

x

z

s

x

z

s

x

z

s







































































1

1

1

ln

1

1

ln

)

,

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

s

r

rs

arctg

s

s

s

r

r

s

r

r

s

r

r

s

r

s

s

r

s

r

G

s

r

F





)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

[

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

{

1

1

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

2

s

r

cF

s

r

bF

s

r

aF

s

r

F

x

s

r

cF

s

r

bF

s

r

aF

s

r

F

x

g

x





































x

X

y

z

Z

Y





x

1

x

2

y

1

y

2

z

1

z

2

O

Z

Y

Podobnie dla kierunku osi Y:

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

;

;

;

y

x

t

y

x

t

y

x

t

y

x

t













1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

;

;

;

y

z

u

y

z

u

y

z

u

y

z

u







































































1

1

1

ln

1

1

ln

)

,

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

u

t

tu

arctg

t

t

u

t

u

u

t

u

t

u

u

u

t

t

u

t

t

u

G

u

t

F





)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

[

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

{

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

u

t

fF

u

t

eF

u

t

dF

u

t

F

y

u

t

fF

u

t

eF

u

t

dF

u

t

F

y

g

y





































oraz osi Z:

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

;

;

;

z

x

p

z

x

p

z

x

p

z

x

p













1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

;

;

;

z

y

q

z

y

q

z

y

q

z

y

q











































































1

1

1

ln

1

1

ln

)

,

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

q

p

pq

arctg

q

q

q

p

p

q

p

p

q

p

p

q

p

q

q

p

q

p

G

q

p

F





)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

[

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

{

1

1

3

1

2

3

2

1

3

2

2

3

1

1

1

3

1

2

3

2

1

3

2

2

3

2

q

p

iF

q

p

hF

q

p

gF

q

p

F

z

q

p

iF

q

p

hF

q

p

gF

q

p

F

z

g

z





































gdzie: G = 6.677



10

-11

kg

-1

m

3

s

-2



= gęstość [kg m

-3

]

a,b,c,d,e,f ,g,h,i – współczynniki (równe 1 lub -1), zależne od położenia osi względem bryły

Różne przypadki położenia osi układu XYZ względem bryły:

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1































i

h

g

f

e

d

c

b

a

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1































i

h

g

f

e

d

c

b

a

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1































i

h

g

f

e

d

c

b

a

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1

1

;

1

;

1



























i

h

g

f

e

d

c

b

a

Obliczenie przyrostów składowych odchylenia linii pionu:



















x

g

- dla składowej południkowej (kierunek osi X),



















y

g

- dla składowej poprzecznej (kierunek osi Y),

Przykład: Dla bryły o gęstości



b

= 2.2 g/cm

3

i rozmiarze 2km



2km



0.1km

O

x

1

x

2

y

1

y

2

O

x

1

x

2

y

1

y

2

O

x

1

x

2

y

1

y

2

O

x

1

x

2

y

1

y

2

1)

2)

3)

4)

Obliczyć wartości przyrostu odchylenia linii pionu w kierunku osi X, w zależności
od odległości od boku bryły o kształcie prostopadłościanu (z podstawą kwadratu (a)
i wysokością (h)) i o gęstości



(przypadek nr 2 położenia osi: przyjąć z

1

>0, np. z

1

= 0.01 m )



















x

g

(przyjąć



=



52

= 9.812436 m/s

2

)

Wykres wartości



w zależności od odległości (d) od ściany bryły

(prostopadłościanu o rozmiarach a



a



h)

d [m]

wykres wychylenia l.p. od strony północnej
dla bryły (2x2x0.1 km,



=2.2g/cm

3

)



[



]

a

50

100

150

200

450 m

h

300

50

100

150

200

450 m

300

a

Z

X

X

a/2

a/2

Y

odległość od bryły

odległość od bryły