Wykład 5. Wyznaczniki, definicja i własno´sci.
Macierze, definicja i własno´sci
5.1. Podstawowe poj ˛ecia
Definicja 5.1.1. (Macierzy) Je˙zeli ka˙zdej upo-
rz ˛
adkowanej parze liczb naturalnych i, j ∈
N
,
gdzie 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n, przyporz ˛
adkujemy
dowoln ˛
a liczb ˛e a
ij
∈
K
(lub funkcj ˛e) to otrzy-
mamy
A
=
a
11
a
12
. . .
a
1j
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2j
. . .
a
2n
...
...
. ..
...
. . .
...
a
i
1
a
i
2
. . .
a
ij
. . .
a
in
...
...
. ..
...
. . .
...
a
m
1
a
m
2
. . . a
mj
. . . a
mn
któr ˛
a b ˛edziemy nazywa ´
c macierz ˛
a prostok ˛
atn ˛
a
o wymiarze m × n.
Dygresja: Macierze b ˛edziemy zazwyczaj ozna-
cza ´
c du˙zymi literami, np. A, B, C lub
h
a
ij
i
m
×n
lub
h
a
ij
i
.
Przykłady macierzy:
A
=
"
1
2
3
4
0 −3 −2 1
#
B
=
h
1 + i 1 −
√
3i 2 + 2
√
3i
i
X
=
"
ln x
e
−2x
tgx − cos x
#
Definicja 5.1.2. Rodzaje macierzy:
1. Macierz A b ˛edziemy nazywa ´
c macierz ˛
a kwa-
dratow ˛
a, gdy m = n. Dodatkowo dla ma-
cierzy kwadratowych m (czy n) nazywa si ˛e
stopniem macierzy. Elementy a
ii
, dla
1 ≤ i ≤ n, tworz ˛
a główn ˛
a przek ˛
atn ˛
a ma-
cierzy. Przykłady:
[1]
- macierz stopnia pierwszego,
"
−3
4
2
−1
#
− macierz stopnia drugiego
2. Macierz zerowa:
0
m
×n
=
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
... ... ... ...
0 0 . . . 0
3. Macierz kwadratowa trójk ˛
atna dolna
L
=
a
11
0
0
. . .
0
a
21
a
22
0
. . .
0
a
31
a
31
a
33
. . .
0
...
...
...
. . .
...
a
n
1
a
n
2
a
n
3
. . . a
nn
4. Macierz kwadratowa trójk ˛
atna górna
U
=
a
11
a
12
a
13
. . . a
1n
0
a
22
a
23
. . . a
2n
0
0
a
33
. . . a
3n
...
...
...
. . .
...
0
0
0
. . . a
nn
5. Macierz diagonalna
D
=
a
11
0
0
. . .
0
0
a
22
0
. . .
0
0
0
a
33
. . .
0
...
...
...
. . .
...
0
0
0
. . . a
nn
6. Macierz jednostkowa
I
= E =
1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
... ... ... ... ...
0 0 0 . . . 1
Cz ˛esto macierz jednostkow ˛
a oznaczamy sym-
bolem
δ
ij
=
(
1
dla i = j
0
dla i 6= j
,
który nazywamy delt ˛
a Kroneckera.
7. Macierz kwadratowa charakterystyczna
W
(λ) =
a
11
− λ
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
− λ . . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
n
1
a
n
2
. . . a
nn
− λ
gdzie λ ∈
K
jest dowoln ˛
a zmienn ˛
a.
8. Macierz blokowa
B
=
A
11
A
12
A
13
. . .
A
1n
A
21
A
22
A
23
. . .
A
2n
A
31
A
32
A
33
. . .
A
3n
...
...
...
. ..
...
A
m
1
A
m
2
A
m
3
. . . A
mn
gdzie macierze A
i
1
, A
i
2
, . . . , A
in
stoj ˛
ace w
i
-tym wierszu musz ˛
a mie ´
c tak ˛
a sam ˛
a liczb ˛e
wierszy. Podobnie dla A
1j
, A
2j
, . . . , A
mj
sto-
j ˛
ace w j-tej kolumnie musz ˛
a mie ´
c takie same
liczby kolumn. Cz ˛esto u˙zywamy poj ˛ecia ma-
cierzy doł ˛
aczonej, która jest macierz ˛
a blo-
kow ˛
a.
9. Macierz transponowana powstaje przez za-
mian ˛e wierszy z kolumnami dla 1 ≤ i ≤ m i
1 ≤ j ≤ n. Wtedy piszemy A
T
- co oznacza
macierz transponowan ˛
a. Cz ˛esto te ˙z nazy-
wamy j ˛
a macierz ˛
a przestawion ˛
a. Np.:
A
=
h
a
1
a
2
i
,
A
T
=
"
a
1
a
2
#
B
=
"
b
11
b
12
b
21
b
22
#
,
B
T
=
"
b
11
b
21
b
12
b
22
#
10. Macierz minorów - powstaje przez skre´sle-
nie wewn ˛
atrz macierzy A i-tego wiersza oraz
j
-tej kolumny. Przykładowo maj ˛
ac dan ˛
a ma-
cierz
A
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
tworzymy przykładowe macierze dopełnie ´n
algebraicznych
M
11
=
"
a
22
a
23
a
32
a
33
#
−skre´slaj ˛
ac 1 wiersz i 1 kolumn ˛e
M
32
=
"
a
11
a
13
a
21
a
23
#
−skre´slaj ˛
ac 3 wiersz i 2 kolumn ˛e
11. Macierz kwadratowa odwrotna A
−1
, tj. taka
macierz, dla której A
−1
A
= AA
−1
= I.
12. Macierz kwadratowa symetryczna - taka ma-
cierz, dla której a
ij
= a
ji
.
Dla tej macierzy
zachodzi A
T
= A.
13. Macierz kwadratowa sko´snosymetryczna -
taka macierz, dla której a
ij
= −a
ji
.
Dla tej
macierzy zachodzi A
T
= −A.
14. Macierz kwadratowa nieosobliwa - to poj ˛e-
cie wprowadzimy za chwil ˛e.
15. Macierz kwadratowa ortogonalna, taka ma-
cierz dla której zachodzi
AA
T
= A
T
A
= I
Przykładowo macierz A jest ortogonalna je-
´sli A
−1
= A
T
.
16. Macierz sprz ˛e ˙zona to taka macierz zło˙zona
z liczb zespolonych, dla których zachodzi
A
=
h
a
ij
i
17. Macierz kwadratowa hermitowska - dla niej
a
ij
= a
ji
.
W tym przypadku zachodzi rów-
nie ˙z A = A
T
.
18. Macierz unitarna - dla niej mamy AA
T
= I.
Wobec powy˙zszego A
T
= A
−1
19. Macierze przemienne: AB = BA (nale ˙zy
pami ˛eta ´
c, ˙ze mno˙zenie macierzy nie jest
przemienne!)
20. ... i wiele innych, np. macierze przekształ-
ce ´n liniowych, macierze wielopasmowe, ma-
cierze rzadkie itd.
Wprowadzenie do wyznaczników macierzy
Definicja 5.1.3. Permutacj ˛
a n-elementow ˛
a
(n ∈
N
) nazywamy ka˙zde ró˙znowarto´sciowe od-
wzorowanie p zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie i za-
pisujemy j ˛
a w postaci
p
= {p
1
p
2
. . . p
i
. . . p
n
} ,
gdzie p
i
oznacza warto´s ´
c permutacji dla indeksu
i
, 1 ≤ i ≤ n. Zbiór wszystkich permutacji
n
-elementowych oznaczamy przez P
n
.
Dygresja: Istnieje n! ró˙znych permutacji
n
-elementowych.
Definicja 5.1.4. Je´sli p =
n
p
1
p
2
. . . p
i
. . . p
j
. . . p
n
o
b ˛edzie permutacj ˛
a n-elementow ˛
a i dowolna para
n
p
i
, p
j
o
elementów tej permutacji tworzy inwer-
sj ˛e (przestawienie) dla
p
i
> p
j
oraz i < j
to znak tej permutacji okre´slany jest wzorem
sgn(p) = (−1)
k
,
gdzie k oznacza liczb ˛e inwersji (nieporz ˛
adków)
w permutacji p.
Dygresja: Przykładowo dla n = 3 mamy do-
kładnie 6 permutacji
1 2 3,
2 3 1,
3 1 2,
1 3 2,
2 1 3,
3 2 1.
Liczby inwersji (przestawie ´n) dla ka˙zdej z nich
wynosz ˛
a odpowienio: 0, 2, 2, 1, 1, 3. Wobec
powy˙zszego znaki sgn(p) dla ka˙zdej z permu-
tacji wynosz ˛
a 1, 1, 1, −1, −1, −1.
Definicja 5.1.5. (Wyznacznika przez permuta-
cje) Wyznacznikiem z macierzy kwadratowej
A
=
h
a
ij
i
n
×n
nazywamy liczb ˛e okre´slon ˛
a wzo-
rem
det A =
X
p
∈P
n
sgn(p)a
1p
1
a
2p
2
. . . a
np
n
gdzie p =
n
p
1
p
2
. . . p
i
. . . p
j
. . . p
n
o
,
a sumo-
wanie obejmuje wszystkie permutacje n-elementowe
(a jest ich n!).
Dygresja: Wyznacznik z macierzy kwadratowej
oznaczamy równie ˙z przez
det
h
a
ij
i
,
lub
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
...
...
. ..
...
a
n
1
a
n
2
. . . a
nn
Definicja 5.1.6. (Dopełnienie algebraiczne) Do-
pełnieniem algebraicznym wyró˙znionego ele-
mentu a
ij
macierzy kwadratowej A stopnia n
nazywamy liczb ˛e
d
ij
= (−1)
i
+j
det M
ij
,
gdzie M
ij
jest macierz ˛
a minorów stopnia n − 1
(def. 5.1.2. - pkt. 10).
Twierdzenie 5.1.1. (Rozwini ˛ecie wyznacznika me-
tod ˛
a Laplace’a) Dla zadanej macierzy kwadra-
towej A stopnia n ≥ 2 wyznacznik tej macierzy
obliczamy nast ˛epuj ˛
aco:
1. jako suma iloczynów elementów i-tego wier-
sza i ich dopełnie ´n algebraicznych, tzn.
det A =
n
X
k
=1
a
ik
d
ik
Jest to rozwini ˛ecie Laplace’a wyznacznika
wzgl ˛edem i-tego wiersza.
2. jako suma iloczynów elementów j-tej ko-
lumy i ich dopełnie ´n algebraicznych, tzn.
det A =
n
X
k
=1
a
kj
d
kj
Jest to rozwini ˛ecie Laplace’a wyznacznika
wzgl ˛edem j-tej kolumny.
Definicja 5.1.7. (Uzupełnienie def. 5.1.2. - pkt.
14) Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa je-
˙zeli det A 6= 0.
Dygresja: Nie trudno si ˛e domy´sle ´
c, ˙ze macierz
osobliwa to taka, dla której det A = 0.
5.2. Własno´sci (macierzy i wyznaczników)
Własno´s ´
c 5.2.1. Mno˙zenie macierzy przez liczb ˛e
oznacza mno˙zenie ka˙zdego jej elementu przez
t ˛
a liczb ˛e, tzn.
αA
=
αa
11
αa
12
. . .
αa
1n
αa
21
αa
22
. . .
αa
2n
...
...
. . .
...
αa
m
1
αa
m
2
. . . αa
mn
Własno´s ´
c 5.2.2. (Metoda Sarrusa) Bezpo´sred-
nio z definicji wyznacznika (def. 5.1.5.) wynikaj ˛
a
rozwini ˛ecia wyznaczników stopnia drugiego i trze-
ciego
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
21
a
22
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
= a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
−
a
13
a
22
a
31
− a
11
a
23
a
32
− a
12
a
21
a
33
Własno´s ´
c 5.2.3. Podstawowe własno´sci wyznacz-
ników:
1. Wyznacznik macierzy (kwadratowej) jest równy
wyznacznikowi macierzy transponowanej
det A = det A
T
2. je ˙zeli jeden wiersz (lub kolumna) składa si ˛e
z samych zer to wyznacznik jest równy zero,
np.
0 b
0 d
= 0,
lub
0 0
c
d
= 0
3. przestawienie dwóch wierszy (lub kolumn)
w wyznaczniku zmienia jego znak na prze-
ciwny, np.
a b
c d
= −
c d
a b
= −
b a
d c
4. je ˙zeli w wyznaczniku dwie wiersze (lub dwie
kolumny) s ˛
a identyczne to wyznacznik jest
równy zero, np.
a b
a b
=
b b
d d
= 0
5. pomno˙zy ´
c wyznacznik przez liczb ˛e oznacza
pomno˙zy ´
c jego dowolny wiersz (lub kolumn ˛e)
przez liczb ˛e, np.
α
a b
c d
=
a
b
αc αd
=
a αb
c αd
6. wyznacznik o dwóch wierszach (lub kolum-
nach) proporcjonalnych jest równy zero, np.
αa c
αc c
=
αa αb
a
b
= 0
7. dodawanie wyznaczników o identycznych
wierszach n − 1 (kolumnach), np.
a b
c d
+
e b
f d
=
a
+ e b
c
+ f d
8. je ˙zeli jeden wiersz (lub kolumna) jest liniow ˛
a
kombinacj ˛
a wierszy (lub kolumn) pozosta-
łych to wyznacznik jest równy zero, np.
a d αa
+ βd
b
e
αb
+ βe
c f
αc
+ βf
= 0
9. mo˙zna bezkarnie dodawa ´
c (odejmowa ´
c)
do wiersza (lub kolumny) liniow ˛
a kombina-
cj ˛e wierszy (lub kolumn) pozostałych, np.
a d g
+ αa + βd
b e
h
+ αb + βe
c f
i
+ αc + βf
i warto´s ´
c wyznacznika nie ulegnie zmianie.
10. je ˙zeli wyznacznik jest równy zero to jeden z
jego wierszy (lub kolumna) jest liniow ˛
a kom-
binacj ˛
a wierszy (lub kolumn) pozostałych.
Dygresja: Szczególne rodzaje wyznaczników:
1. wyznacznik Vandermonde’a
V
n
=
1 x
1
x
2
1
. . . x
n
−1
1
1 x
2
x
2
2
. . . x
n
−1
2
1 x
3
x
2
3
. . . x
n
−1
3
...
...
... ...
...
1 x
n
x
2
n
. . . x
n
−1
n
=
n
Y
i,j
=1 (i>j)
x
i
− x
j
2. wyznacznik charakterystyczny (patrz def. 5.1.2.
- pkt. 7)
w
(λ) =
a
11
− λ
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
− λ . . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
n
1
a
n
2
. . . a
nn
− λ
=
(−1)
n
λ
n
− m
1
λ
n
−1
+ m
2
λ
n
−2
− . . . + (−1)
n
m
n
,
gdzie m
k
jest sum ˛
a wszystkich minorów głów-
nych stopnia k macierzy A. Minory główne
to minory, które na swojej głównej przek ˛
at-
nej maj ˛
a wył ˛
acznie elementy głównej prze-
k ˛
atnej macierzy A, np.
m
1
=
n
X
i
=1
a
ii
i
m
n
= det A.
3. wyznacznik cykliczny .... - zoabcz w ksi ˛
a˙zce
[Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej,
PWN, Warszawa 1975].
Literatura
•
Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛
a, PWN,
Warszawa 1976.
•
Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.
•
Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.
•
Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
•
Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
•
Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.
•
Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra I wyklad 05
Wyklad 05 kinematyka MS
Kwalifikowana pierwsza pomoc (wykład 05 11 2008r )
2010 11 WIL Wyklad 05
CHiF wyklad 05 2013
wyklad 2 c.d.- 05.03.2012, ALMAMER Fizjoterapia, Masaż
Wykład 05 - Psychospołeczne koncepcje rozwoju. Problem mora, Psychologia UJ, Psychologia rozwojowa
wyklad' 05
FIZJOLOGIA CZŁOWIEKA (X WYKŁAD 5 05 2011 r )
Wykład& 05 2014
Biomedyka wykład 05
NANOC W Nano Wyklad 05 Synteza Metodami Chemicznymi II (1)
więcej podobnych podstron