Wykład 5. Wyznaczniki, definicja i własności.

Macierze, definicja i własności

5.1. Podstawowe poj ęcia

Definicja 5.1.1. ( Macierzy) Jeżeli każdej upo-rządkowanej parze liczb naturalnych i, j ∈ N, gdzie 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n, przyporządkujemy dowolną liczb ę aij ∈ K (lub funkcj ę) to otrzy-mamy



a



11

a12 . . . a1j . . . a1n



a21 a22 . . . a2





j

. . .

a2n 



..

..

. ..

..

. . .

..



A = 









ai1

ai2 . . . aij

. . .

ain 



.





..

..

. ..

..

. . .

.. 





am1 am2 . . . amj . . . amn

którą b ędziemy nazywa ć macierz ˛

a prostok ˛

atn ˛

a

o wymiarze m × n.

Dygresja: Macierze b ędziemy zazwyczaj ozna-

h

i

cza ć dużymi literami, np. A, B, C lub aij m×n h

i

lub aij .

Przykłady macierzy:

"

1

2

3

4 #

A =

0 −3 −2 1

h

√

√

i

B =

1 + i 1 − 3i 2 + 2 3i

"

#

ln x

e−2x

X =

tgx − cos x

Definicja 5.1.2. Rodzaje macierzy:

1. Macierz A b ędziemy nazywa ć macierz ˛

a kwa-

dratow ˛

a, gdy m = n. Dodatkowo dla ma-

cierzy kwadratowych m (czy n) nazywa si ę

stopniem macierzy. Elementy aii, dla

1 ≤ i ≤ n, tworzą główn ˛

a przek ˛

atn ˛

a ma-

cierzy. Przykłady:

[1] - macierz stopnia pierwszego,

"

#

−3

4

− macierz stopnia drugiego

2

−1

2. Macierz zerowa:



0 0 . . . 0 



0 0 . . . 0 

0m×n =  .





.

.. . . . .. 





0 0 . . . 0

3. Macierz kwadratowa trójk ˛

atna dolna





a11

0

0

. . .

0



a





21

a22

0

. . .

0 

L = 





a31 a31 a33 . . .

0 



.





.

..

..

. . .

.. 





an1 an2 an3 . . . ann

4. Macierz kwadratowa trójk ˛

atna górna





a11 a12 a13 . . . a1n



0

a





22

a23 . . . a2n 

U = 





0

0

a33 . . . a3n 



..





.

...

...

. . .

... 





0

0

0

. . . ann

5. Macierz diagonalna





a11

0

0

. . .

0



0

a





22

0

. . .

0 

D =  0

0





a33 . . .

0 



.





.

..

..

. . .

.. 





0

0

0

. . . ann

6. Macierz jednostkowa





1 0 0 . . . 0



0 1 0 . . . 0 





I = E = 





0 0 1 . . . 0 



..





.

... ... ... ... 





0 0 0 . . . 1

Cz ęsto macierz jednostkow ˛

a oznaczamy sym-

bolem

(

1 dla i = j

δij =

,

0 dla i 6= j

który nazywamy deltą Kroneckera.

7. Macierz kwadratowa charakterystyczna



a



11 − λ

a12

. . .

a1n



a



W (λ) =

21

a22 − λ . . .

a2n



.





.

..

. . .

..







an1

an2

. . . ann − λ

gdzie λ ∈ K jest dowolną zmienną.

8. Macierz blokowa





A11 A12 A13 . . . A1n



A





21

A22 A23 . . . A2n 

B = 





A31 A32 A33 . . . A3n 



.





.

..

..

. ..

.. 





Am1 Am2 Am3 . . . Amn

gdzie macierze Ai1, Ai2, . . . , Ain stojące w i-tym wierszu muszą mie ć taką samą liczb ę

wierszy. Podobnie dla A1j, A2j, . . . , Amj stojące w j-tej kolumnie muszą mie ć takie same

liczby kolumn. Cz ęsto używamy poj ęcia macierzy doł ˛

aczonej, która jest macierzą blo-

kową.

9. Macierz transponowana powstaje przez zamian ę wierszy z kolumnami dla 1 ≤ i ≤ m i

1 ≤ j ≤ n. Wtedy piszemy AT - co oznacza

macierz transponowan ˛

a. Cz ęsto te ż nazy-

wamy ją macierz ˛

a przestawion ˛

a. Np.:

"

#

h

i

a

A =

a

1

1

a2 ,

AT =

a2

"

#

"

#

b

b

B =

11

b12

,

BT =

11

b21

b21 b22

b12 b22

10. Macierz minorów - powstaje przez skreśle-nie wewnątrz macierzy A i-tego wiersza oraz

j-tej kolumny. Przykładowo mając daną ma-

cierz



a



11

a12 a13

A =  a21 a22 a23 





a31 a32 a33

tworzymy przykładowe macierze dopełnie ń

algebraicznych

"

#

a

M

22

a23

11 =

−skreślając 1 wiersz i 1 kolumn ę

a32 a33

"

#

a

M

11

a13

32 =

−skreślając 3 wiersz i 2 kolumn ę

a21 a23

11. Macierz kwadratowa odwrotna A−1, tj. taka macierz, dla której A−1A = AA−1 = I.

12. Macierz kwadratowa symetryczna - taka macierz, dla której aij = aji. Dla tej macierzy zachodzi AT = A.

13. Macierz kwadratowa skośnosymetryczna -

taka macierz, dla której aij = −aji. Dla tej

macierzy zachodzi AT = −A.

14. Macierz kwadratowa nieosobliwa - to poj ę-

cie wprowadzimy za chwil ę.

15. Macierz kwadratowa ortogonalna, taka macierz dla której zachodzi

AAT = AT A = I

Przykładowo macierz A jest ortogonalna je-

śli A−1 = AT .

16. Macierz sprz ę żona to taka macierz złożona z liczb zespolonych, dla których zachodzi

h

i

A = aij

17. Macierz kwadratowa hermitowska - dla niej aij = aji. W tym przypadku zachodzi równie ż A = AT .

18. Macierz unitarna - dla niej mamy AAT = I.

Wobec powyższego AT = A−1

19. Macierze przemienne: AB = BA (nale ży pami ęta ć, że mnożenie macierzy nie jest

przemienne!)

20. ... i wiele innych, np. macierze przekształ-

ce ń liniowych, macierze wielopasmowe, macierze rzadkie itd.

Wprowadzenie do wyznaczników macierzy

Definicja 5.1.3. Permutacją n-elementową

(n ∈ N) nazywamy każde różnowartościowe od-

wzorowanie p zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie i za-pisujemy ją w postaci

p = {p1 p2 . . . pi . . . pn} ,

gdzie pi oznacza wartoś ć permutacji dla indeksu i, 1 ≤ i ≤ n. Zbiór wszystkich permutacji

n-elementowych oznaczamy przez Pn.

Dygresja: Istnieje n! różnych permutacji

n-elementowych.

n

o

Definicja 5.1.4. Jeśli p = p1 p2 . . . pi . . . pj . . . pn b ędzie permutacją n-elementową i dowolna para n

o

pi, pj elementów tej permutacji tworzy inwer-

sj ę (przestawienie) dla

pi > pj oraz i < j

to znak tej permutacji określany jest wzorem

sgn(p) = (−1)k,

gdzie k oznacza liczb ę inwersji (nieporządków) w permutacji p.

Dygresja: Przykładowo dla n = 3 mamy do-

kładnie 6 permutacji

1 2 3,

2 3 1,

3 1 2,

1 3 2,

2 1 3,

3 2 1.

Liczby inwersji (przestawie ń) dla każdej z nich wynoszą odpowienio: 0, 2, 2, 1, 1, 3. Wobec

powyższego znaki sgn(p) dla każdej z permu-

tacji wynoszą 1, 1, 1, −1, −1, −1.

Definicja 5.1.5. ( Wyznacznika przez permutacje) Wyznacznikiem z macierzy kwadratowej h

i

A = aij

nazywamy liczb ę określoną wzo-

n×n

rem

det A = X sgn(p)a1p a

. . . a

1 2p2

npn

p∈Pn

n

o

gdzie p =

p1 p2 . . . pi . . . pj . . . pn , a sumo-

wanie obejmuje wszystkie permutacje n-elementowe (a jest ich n!).

Dygresja: Wyznacznik z macierzy kwadratowej

oznaczamy równie ż przez

a11 a12 . . . a1n

h

i

a

det a

21

a22 . . . a2n

ij ,

lub

.

..

...

. ..

...

an1 an2 . . . ann

Definicja 5.1.6. ( Dopełnienie algebraiczne) Do-pełnieniem algebraicznym wyróżnionego ele-

mentu aij macierzy kwadratowej A stopnia n

nazywamy liczb ę

dij = (−1)i+j det Mij,

gdzie Mij jest macierzą minorów stopnia n − 1

( def. 5.1.2. - pkt. 10).

Twierdzenie 5.1.1. ( Rozwini ęcie wyznacznika me-tod ˛

a Laplace’a) Dla zadanej macierzy kwadratowej A stopnia n ≥ 2 wyznacznik tej macierzy obliczamy nast ępująco:

1. jako suma iloczynów elementów i-tego wier-

sza i ich dopełnie ń algebraicznych, tzn.

n

det A = X aikdik

k=1

Jest to rozwini ęcie Laplace’a wyznacznika

wzgl ędem i-tego wiersza.

2. jako suma iloczynów elementów j-tej ko-

lumy i ich dopełnie ń algebraicznych, tzn.

n

det A = X akjdkj

k=1

Jest to rozwini ęcie Laplace’a wyznacznika

wzgl ędem j-tej kolumny.

Definicja 5.1.7. (Uzupełnienie def. 5.1.2. - pkt.

14) Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa je-

żeli det A 6= 0.

Dygresja: Nie trudno si ę domyśle ć, że macierz osobliwa to taka, dla której det A = 0.

5.2. Własności (macierzy i wyznaczników)

Własnoś ć 5.2.1. Mnożenie macierzy przez liczb ę oznacza mnożenie każdego jej elementu przez

tą liczb ę, tzn.



αa



11

αa12 . . . αa1n



αa



αA =

21

αa22 . . . αa2n



.





..

..

. . .

..







αam1 αam2 . . . αamn

Własnoś ć 5.2.2. ( Metoda Sarrusa) Bezpośred-nio z definicji wyznacznika ( def. 5.1.5. ) wynikają

rozwini ęcia wyznaczników stopnia drugiego i trze-ciego

a11 a12

= a11a22 − a21a22

a

21

a22

a11 a12 a13 a11 a12

a

a

a

= a11a22a33+

21

a22 a23

21

22

a

a

a

31

a32 a33

31

32

a12a23a31 + a13a21a32−

a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Własnoś ć 5.2.3. Podstawowe własności wyznaczników:

1. Wyznacznik macierzy (kwadratowej) jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej

det A = det AT

2. je żeli jeden wiersz (lub kolumna) składa si ę z samych zer to wyznacznik jest równy zero,

np.

0 b

0 0

= 0,

lub

= 0

0 d

c

d

3. przestawienie dwóch wierszy (lub kolumn) w wyznaczniku zmienia jego znak na prze-ciwny, np.

a b

c d

b a

= −

= −

c d

a b

d c

4. je żeli w wyznaczniku dwie wiersze (lub dwie kolumny) są identyczne to wyznacznik jest

równy zero, np.

a b

b b

=

= 0

a b

d d

5. pomnoży ć wyznacznik przez liczb ę oznacza pomnoży ć jego dowolny wiersz (lub kolumn ę)

przez liczb ę, np.

a b

a

b

a αb

α

=

=

c d

αc αd

c αd

6. wyznacznik o dwóch wierszach (lub kolum-

nach) proporcjonalnych jest równy zero, np.

αa c

αa αb

=

= 0

αc c

a

b

7. dodawanie wyznaczników o identycznych wierszach n − 1 (kolumnach), np.

a b

e b

a + e b

+

=

c d

f d

c + f d

8. je żeli jeden wiersz (lub kolumna) jest liniową kombinacją wierszy (lub kolumn) pozosta-

łych to wyznacznik jest równy zero, np.

a d αa + βd

b

e

αb + βe = 0

c f

αc + βf

9. można bezkarnie dodawa ć (odejmowa ć)

do wiersza (lub kolumny) liniową kombina-

cj ę wierszy (lub kolumn) pozostałych, np.

a d g + αa + βd

b e

h + αb + βe

c f

i + αc + βf

i wartoś ć wyznacznika nie ulegnie zmianie.

10. je żeli wyznacznik jest równy zero to jeden z jego wierszy (lub kolumna) jest liniową kombinacją wierszy (lub kolumn) pozostałych.

Dygresja: Szczególne rodzaje wyznaczników:

1. wyznacznik Vandermonde’a

1 x1 x21 . . . xn−1

1

1 x

n

2

x2

2

. . . xn−1

2

V

Y

n = 1 x

=

3

x2

xi − xj

3

. . . xn−1

3

.

.

..

..

. . .

..

i,j=1 (i>j)

1 xn x2n . . . xn−1

n

2. wyznacznik charakterystyczny ( patrz def. 5.1.2.

- pkt. 7)

a11 − λ

a12

. . .

a1n

a

w(λ) =

21

a22 − λ . . .

a2n

.

=

.

..

. . .

..

an1

an2

. . . ann − λ

(−1)n λn − m1λn−1 + m2λn−2 − . . . + (−1)nmn , gdzie mk jest sumą wszystkich minorów głów-nych stopnia k macierzy A. Minory główne

to minory, które na swojej głównej przekąt-

nej mają wyłącznie elementy głównej prze-

kątnej macierzy A, np.

n

m

X

1 =

aii

i

mn = det A.

i=1

3. wyznacznik cykliczny .... - zoabcz w książce

[Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ższej, PWN, Warszawa 1975].

Literatura

• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-

stochowa 2001.

• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

• Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.

• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.

• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.

• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.