Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Dariusz Uci ´nski

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Universytet Zielonogórski

Wykład 9

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Metoda Eulera

Rozwa˙zmy równanie ró˙zniczkowe

dy (t )

dt

=

f (t, y (t)),

y (t

0

) =

y

0

którego rozwi ˛

azanie chcemy wyznaczy´c w przedziale [t

0

,

t

f

]

.

Podzielmy [t

0

,

t

f

]

na N podprzedziałów o długo´sci

h =

t

f

− t

0

N

Wielko´s´c h nazywamy długo´sci ˛

a kroku. Ustalamy

t

k

=

t

0

+

kh,

k = 1, . . . , N

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Metoda Eulera

Przybli˙zmy pochodn ˛

a w chwili t

k

ilorazem ró˙znicowym:

dy (t

k

)

dt

≈

y (t

k +1

) −

y (t

k

)

h

Mo˙zna wi ˛ec zapisa´c

y (t

k +1

) −

y (t

k

)

h

=

f (t

k

,

y (t

k

))

Oznacza to, ˙ze dla k = 1, . . . , N zachodzi

Schemat Eulera wprzód

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

h f (t

k

,

y (t

k

))

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Metoda Eulera

Przybli˙zmy pochodn ˛

a w chwili t

k

ilorazem ró˙znicowym:

dy (t

k

)

dt

≈

y (t

k +1

) −

y (t

k

)

h

Mo˙zna wi ˛ec zapisa´c

y (t

k +1

) −

y (t

k

)

h

=

f (t

k

,

y (t

k

))

Oznacza to, ˙ze dla k = 1, . . . , N zachodzi

Schemat Eulera wprzód

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

h f (t

k

,

y (t

k

))

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Alternatywne wyprowadzenie metody Eulera

Całkuj ˛

ac obie strony równania

dy (t )

dt

=

f (t, y (t)),

y (t

0

) =

y

0

otrzymamy

Z

t

k

+

h

t

k

dy (t )

dt

dt =

Z

t

k

+

h

t

k

f (t, y (t)) dt

czyli

y (t

k

+

h) − y (t

k

) =

Z

t

k

+

h

t

k

f (t, y (t))

|

{z

}

g(t)

dt

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Alternatywne wyprowadzenie metody Eulera

Mamy formuł ˛e prostok ˛

atów:

Z

t

k

+

h

t

k

g(t) dt ≈ h g(t

k

)

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Schemat Eulera wstecz

Tu inaczej przybli˙zmy pochodn ˛

a:

dy (t

k

)

dt

≈

y (t

k

) −

y (t

k −1

)

h

Prowadzi to do schematu niejawnego:

Schemat Eulera wstecz

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

h f (t

k +1

,

y (t

k +1

))

Pytanie: Jak to rozwi ˛

azywa´c?

Metoda Eulera nie jest zbyt dokładna, dlatego te˙z potrzeba
bardziej wyrafinowanych technik.

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Schemat Eulera wstecz

Tu inaczej przybli˙zmy pochodn ˛

a:

dy (t

k

)

dt

≈

y (t

k

) −

y (t

k −1

)

h

Prowadzi to do schematu niejawnego:

Schemat Eulera wstecz

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

h f (t

k +1

,

y (t

k +1

))

Pytanie: Jak to rozwi ˛

azywa´c?

Metoda Eulera nie jest zbyt dokładna, dlatego te˙z potrzeba
bardziej wyrafinowanych technik.

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Schemat Eulera wstecz

Tu inaczej przybli˙zmy pochodn ˛

a:

dy (t

k

)

dt

≈

y (t

k

) −

y (t

k −1

)

h

Prowadzi to do schematu niejawnego:

Schemat Eulera wstecz

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

h f (t

k +1

,

y (t

k +1

))

Pytanie: Jak to rozwi ˛

azywa´c?

Metoda Eulera nie jest zbyt dokładna, dlatego te˙z potrzeba
bardziej wyrafinowanych technik.

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Algorytm przewidywania i korekcji (metoda Heuna)

Mamy formuł ˛e trapezów:

Z

t

k

+

h

t

k

g(t) dt ≈ h

g(t

k

) +

g(t

k +1

)

2

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Algorytm przewidywania i korekcji (metoda Heuna)

Z równo´sci

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

Z

t

k +1

t

k

f (t, y (t))

|

{z

}

g(t)

dt

wynika wi ˛ec

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

h
2

h

f (t

k

,

y (t

k

)) +

f (t

k +1

,

y (t

k +1

)

|

{z

}

nieznane!

i

Jest to wi ˛ec schemat niejawny, który mo˙zna uwa˙za´c za
poł ˛

aczenie algortmów Eulera wprzód i wstecz (dlaczego?).

Pytanie: Jak uczyni´c go u˙zytecznym?

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Algorytm przewidywania i korekcji (metoda Heuna)

Przewidywanie (predykcja) — por. metod ˛e Eulera

y

?

(

t

k +1

) =

y (t

k

) +

h f (t

k

,

y (t

k

))

Korekcja

y (t

k

+

h) = y (t

k

) +

h
2

h

f (t

k

,

y (t

k

)) +

f (t

k +1

,

y

?

(

t

k +1

)

i

Etap korekcji mo˙zna implementowac z zastosowaniem metody
iteracji prostej.

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Algorytm przewidywania i korekcji (metoda Heuna)

Przewidywanie (predykcja) — por. metod ˛e Eulera

y

?

(

t

k +1

) =

y (t

k

) +

h f (t

k

,

y (t

k

))

Korekcja

y (t

k

+

h) = y (t

k

) +

h
2

h

f (t

k

,

y (t

k

)) +

f (t

k +1

,

y

?

(

t

k +1

)

i

Etap korekcji mo˙zna implementowac z zastosowaniem metody
iteracji prostej.

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Algorytm Rungego

Mamy formuł ˛e Simpsona:

Z

t

k

+

h

t

k

g(t) dt ≈

h
6

(

x

0

+

4x

1

+

x

2

)

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Uzasadnienie

Przybli˙zaj ˛

ac g(t) parabol ˛

a at

2

+

bt + c mamy

x

0

=

a

h

2

4

− b

h
2

+

c

x

1

=

c

x

2

=

a

h

2

4

+

b

h
2

+

c

sk ˛

ad

c = x

1

b =

x

2

− x

0

h

a =

2

h

2

(

x

0

− 2x

1

+

x

2

)

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Uzasadnienie (c.d.)

Pole pod parabol ˛

a wynosi

Z

h/2

−h/2

(

at

2

+

bt + c) dt

=

Z

h/2

−h/2



2

h

2

(

x

0

− 2x

1

+

x

2

)

t

2

+

x

2

− x

0

h

t + x

1



dt

=

h
6

(

x

0

+

4x

1

+

x

2

)

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne

Algorytm Rungego

Z równo´sci

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

Z

t

k +1

t

k

f (t, y (t)) dt

wynika wi ˛ec

y (t

k +1

) =

y (t

k

) +

h
6

(

m

0

+

4m

1

+

m

3

)

gdzie:

m

0

=

f (t

k

,

y (t

k

))

m

1

=

f (t

k

+

h
2

,

y

k

+

m

0

h
2

)

m

2

=

f (t

k

+

h, y

k

+

m

0

h)

m

3

=

f (t

k

+

h, y

k

+

m

2

h)

Dariusz Uci ´nski

Równania ró˙zniczkowe — metody numeryczne