MET-NUM Lab1 mathcad

Laboratorium z metod numerycznych.

1. ĆWICZENIA Z PODSTAW OBSŁUGI MATHCAD-a Uwaga: Instrukcja do ćwiczeń sporządzona jest w programie MathCad, należy wygenerować w ramach ćwiczenia podobny dokument zawierający: Opisy, Obliczenia, Wykresy

1.Oblicz sumę wyrażenia przy założeniu: k := 1240⋅ 7

:= oznacza przypisanie

= ewaluacja (wyliczenie) wyrażenia - wyświetlenie wyniku m := 4467

d := k + m

d = 7.748 × 10

2. Podaj otrzymany wynik:

a) w postaci wykładniczej (format General) z dokładnością do czterech miejsc po przecinku (zmiana postaci wyniku: menu Format->Result albo dwuklik lewym przyciskiem myszy na wyniku) b) w postaci liczby dziesiętnej (format Decimal) 3

d = 7.7477 × 10

d = 7747.732

3. Oblicz pole powierzchni walca o promieniu podstawy r = 17 i wysokości h = 33. Stała π jest zdefiniowana w programie (Shift+Ctrl+P lub z menu Greek). Proszę oznaczyć pole powierzchni przez S i wypisać wzory.

4. Przećwicz wprowadzanie formuł matematycznych, w których występują rozmaite operatory i symbole. Skorzystaj z menu: Calculus, Calculator, Matrix lub skrótów klawiaturowych .

⌠

⎮

(

)

2⋅x + x

⎛1 0 3 ⎞

x−1

⎮

⎜1 1 2

(

)

x − α

z := 4 + 5i

⎮

⎜

∏

⋅x − 4⋅x

⎮

⎝1 0 1 ⎠

α = 0

⌡

5i bez mnożenia!

Macierz:CTRL + M

Całka: CTRL + I

(poprzez i lub j oznacza

się l.zespoloną)

Kreska ułamkowa: /

Iloczyn: CTRL + Shift + 3

UWAGA: Podczas edycji kolejne, coraz większe, części wyrażenia zaznaczamy naciskając spację!

5. Opisz uprzednio wprowadzone formuły przy użyciu pól tekstowych (znak cudzysłowu lub menu Insert->Text Region).

6. Oblicz wartość wyrażenia B:

x1 := 0.3452

t := 23.9

r := 0.2

nazwę zmiennej najlepiej zapisać jako x1 ( istnieje co prawda tzw. opisowy indeks dolny uzyskiwany przez x1 + r

t⋅r

B :=

⋅(x1)

naciśnięcie klawisza kropki x1 , lecz łatwo go pomylić z r⋅sin(2⋅x1) + 3.3456

indeksem macierzowym x1 wobec czego odradzamy jego stosowanie !! )

7. Poniżej dana jest macierz M, wyznacz numerycznie macierz odwrotną M-1, macierz transponowaną MT, wyznacznik macierzy |M|. Skorzystaj z menu Matrix.

⎛ a 1 a

− ⎞

⎜

Skróty klawiszowe: M-1 to M^-1

a :=

M :=

⎜

MT to Ctrl+1 zaś |M| to M|

⎝ a

− a 1 ⎠

8. Zdefiniuj wektor w1, którego składowymi są pola 3-ciej KOLUMNY macierzy M. Następnie zdefiniuj wektor w2 z drugiego WIERSZA macierzy M. Elementy macierzy/wektorów są domyślnie indeksowane od zera. Można to zmienić w opcjach (menu Tools->Worksheet Options) lub ustawiając zmienną ORIGIN:=1.

9. Rozwiąż, równianie kwadratowe 2y2 + 3y - 12 = 0, numerycznie przy użyciu funkcji root() i polyroots() MathCADa.

a := 2

b := 3

c :=

− 2

⎛c ⎞

⎜

⎛

Ogólnie: współczynniku wielomianu umieszczamy w 3.312

−

⎞

A :=

polyroots(A) = ⎜

⎜

wektorze w kolejności od najmniejszej potęgi do

⎝ 1.812 ⎠

⎝

największej.

a ⎠

mojafunkcja(y) := a⋅y + b⋅y + c

Przykład definiowania własnej funkcji w MathCADzie x := 10 Punkt startowy.

root(mojafunkcja(x) , x) = 1.812

Funkcja root() znajduje tylko jeden pierwiastek.

Który? To zależy od wyboru punktu startowego.

10. Wyznacz numerycznie wszystkie pierwiastki wielomianu 5

x − 7⋅x + 3⋅x + 43⋅x − 28⋅x − 60

11. Rozwiąż numerycznie równianie: cos(x) = x + 0.2

Żeby rozwiązać takie równanie za pomocą funkcji root() należy je przekształcić do postaci f(x) = 0. Sprawdź otrzymane rozwiązanie (trzeba podstawić otrzymaną wartość do wyrażenia).

12. Wygeneruj dowolny ciąg arytmetyczny o kroku różnym od 1.

n := 1 .. 10

Aby uzyskać operator ciągu należy nacisnąć średnik.

n := 1 , 1.2 .. 3

Ogólna postać ciągu arytmetycznego: pierwszy_wyraz, drugi_wyraz . . ostatni wyraz 13. Zdefiniuj funkcję f(x)=x3-3x. Sporządź wykresy funkcji f(x): a) dla argumentu o wartościach z przedziału <-1,1> (z krokiem 0.01) b) dla niezdefiniowanego wcześniej argumentu 3

f(x) := x − 3x

ad a) z := 1

− , 0.99

−

.. 1

ad b) Zmienna y nie została wcześniej zdefiniowan Zwróć uwagę na domyślny zakres argumentu 2

1000

f(z)

f(y)

1000

c) Sprawdź co się stanie jeżeli argument funkcji zostanie zdefiniowany ze zbyt dużym krokiem.

Poeksperymentuj z formatowaniem wykresu.

zz :=

− .. 2

Wykres przykladowy

zbyt duży krok (tu równy 1) może

spowodować uzyskanie "fałszywego"

1.5

kształtu wykresu

f(zz)

1.5

Wartosci funkcji

1.5

Argumenty funkcji

14. Oblicz ilość ciepła, które wydzieli się podczas hamowania przy danych m = 2500g, v = 60km/h m := 2500⋅gm

Żeby dokonać automatycznego przeliczenia między jednostkami klikamy na wyniku a v := 60⋅kph

następnie dwukrotnie klikamy na czarnym 2

m⋅v

kwadraciku za wynikiem. Z listy wybieramy Ilość ciepła oblicz wg zależności: Q :=

właściwą jednostkę.

wynik podaj w dżulach (J) i kilokaloriach (kcal).

15. Sporządź wykres biegunowy relacji x = x dla x od 0 do 8π (polar plot).

Suplement: obliczenia symboliczne w Mathcad S1. Rozwiń podane wyrażenie (menu Symbolics->Expand) i oblicz pochodną otrzymanej formuły (menu Symbolics->Variable->Differentiate). W przypadku wyznaczania pochodnej należy umieścić kursor w bezpośrednim sąsiedztwie zmiennej względem której liczymy pochodną. Np. |x6 albo x|6

⎛

⎜

⎞

x +

⎝

x ⎠

S2 .Wyznacz numerycznie i symbolicznie wartość pochodnej wyrażenia (dla obliczeń 3

numerycznych prosze przyjąć jakąś wartość x): d

(

)

x ⋅sin(x)

(

)

x ⋅sin(x)

pochodna numeryczna:

S3. Wymnóż symbolicznie wyrażenie: 2

(

) 2

⋅(

)

5⋅a ⋅b + 4⋅b

3⋅a + b

S4. Rozłóż wyrażenie na czynniki proste (menu Symbolics->Factor - opcja nie zadziała jeśli pierwiastki wielomianu nie są liczbami całkowitymi): 2

x + 2⋅x − 15

S5. Oblicz symbolicznie macierz transponowaną, macierz odwrotną, wyznacznik macierzy dla macierzy M z zadania 8