1. INTERPOLACJA

Zadaniem interpolacji jest utworzenie funkcji, która przebiega przez zadane punkty. Stosuje się różne klasy funkcji do interpolowania - wielomiany algebraiczne, funkcje sklejane, funkcje trygonometryczne.

 Zadanie interpolacji możemy sformułować następująco:

W przedziale [a,b] mamy danych n+1 różnych punktów x₀,x₁,...,x_n (węzły interpolacji) oraz wartości funkcji y=f(x) w tych punktach f(x₀)=y₀,f(x₁)=y₁,...,f(x_n)=y_n . Znaleźć funkcję F(x), która w węzłach interpolacji ma te same wartości co f(x) i przybliża f(x) w punktach.

I. Interpolacja wielomianowa:

Twierdzenie

Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n (nႳ0), który w punktach x₀, x₁,...,x_n przyjmuje wartości y₀,y₁,...,y_n

Wzór Lagrange'a

x₀, x₁,...,x_n - zadany zbiór punktów

y₀,y₁,...,y_n - zadane wartości funkcji w punktach

 oznaczmy W_n+1=(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)

- jest to wzór interpolacyjny Lagrange'a, podstawiając do

niego zadane wartości otrzymujemy wzór wielomianu przechodzącego przez zadane punkty

 II. Interpolacja funkcjami sklejanymi

Interpolacja funkcjami sklejanymi polega na „łączeniu punktów”, w każdym odcinku przybliżamy funkcję wielomianem ustalonego (niskiego) stopnia, tak aby funkcja przybliżająca była ciągła wraz z pochodnymi na przedziale interpolacji [a,b]

Interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia pierwszego

Załóżmy, że dysponujemy zbiorem n+1 węzłów interpolacji wraz z wartościami funkcji

(x₀,y₀), (x₁,y₁), ..., (x_n,y_n). W przypadku wielomianowych metod interpolacji może się zdarzyć,

że charakter interpolowanej funkcji uniemożliwia dobre odwzorowanie za pomocą

wielomianu interpolującego. Możemy w takich przypadkach spróbować zastosować liniową

interpolację pomiędzy poszczególnymi węzłami:

  s_k(x)=y_k+d_k(x-x_k) gdzie

 W ten sposób otrzymamy zestaw funkcji interpolujących przebieg pomiędzy węzłami

dzielącymi przedział interpolacji na podprzedziały. Sklejając te funkcje razem otrzymamy

funkcję interpolującą następującej postaci:

Można zwrócić uwagę na to, że pochodna funkcji s(x) jest nieciągła we wszystkich punktach

x_k dla k=1,...,n-1

 2. APROKSYMACJA

 Zadaniem aproksymacji jest przybliżenie funkcji F(x) (albo tablicy charakteryzujących funkcję) funkcją f(x) tak aby była ona do niej najbardziej podobna.

 F(x) - znana funkcja lub określona tablica

f(x) - funkcja aproksymująca

Przybliżenie obarczone jest błędem aproksymacji.

Aproksymacja liniowa

 X - przestrzeń liniowa unormowana (skończenie lub nieskończenie wymiarowa)

F(x)჎ X - funkcja aproksymująca X_n - n wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni X

 

Aproksymacja funkcji F(x) polega na wyznaczeniu takich współczynników a₀,a₁,...,a_n funkcji:

f(x)= a₀ၪ₀(x)+ a₁ၪ₁(x)+….+ a_nၪ_n(x)

gdzie: ၪ₀,ၪ₁,…,ၪ_n są funkcjami bazowymi n+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X_n+1, aby f(x) spełniała pewne warunki np. minimalizowała normę różnicy | f(x) - F(x) |

Aproksymacja wymierna

 gdzie ၪ_i(x), ၹ_i(x) są elementami tej samej bazy k-wymiarowej podprzestrzeni liniowej k=max(n,m), zaś a_i,b_i są stałymi współczynnikami, które należy wyznaczyć.

 W aproksymacji liniowej należy określić:

- odpowiednią podprzestrzeń liniową X_n i związaną bazę

- odpowiednią miarę.

 Wybór podprzestrzeni:

Jeśli funkcja F(x) jest ciągła na przedziale (a,b) (F(x)჎C(a,b)) to funkcje ၪ_k(x) będą elementami pewnej n+1 wymiarowej podprzestrzeni C(a,b).

 Jeśli F(x) jest okresowa, to przydatna jest podprzestrzeń funkcji trygonometrycznych z bazą:

1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, ..., sinkx, coskx

 Podprzestrzeń wielomianów - stopnia co najwyżej n z bazą jednomianów :

1, x, x²,..., xⁿ lub bazą wielomianów Czebyszewa T₀(x),T₁(x), T₂(x),..., T_n(x)

- funkcje bazowe mało wrażliwe na błędy

Można też użyć bazy wielomianów Lagrange'a

3) Kwadratury interpolacyjne

Rozpatrujemy funkcję f ciągłą i ograniczoną w[x 0 ,x n ]. Przedział ten dzielimy na skończoną liczbę pod przedziałów wyróżniając następujące krańce pod przedziałów

x 0 <x 1 <...<x n .1 <x n

Na ogół punkty x_i tworzą siatkę o stałym kroku, tj. x i +1 =x i +h ;h =const .

---