Funkcje dwóch i trzech zmiennych
Niech R
2
= {(x, y) : x, y ∈ R} oznacza płaszczyznę,
R
3
= {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} przestrzeń.
Odległość punktów będziemy określali następująco:
|P
1
P
0
| =
q
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
, P
0
= (x
0
, y
0
), P
1
= (x
1
, y
1
),
|P
1
P
0
| =
q
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
+ (z
1
− z
0
)
2
, P
0
= (x
0
, y
0
, z
0
), P
1
= (x
1
, y
1
, z
1
).
Definicja 1 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P
0
na płaszczyźnie lub w przestrzeni
nazywamy zbiór
O(P
0
, r) = {P : |P
0
P | < r} .
Definicja 2 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze
wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja 3 Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R
2
(R
3
) o wartościach
w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby
rzeczywistej.
z = f (x, y), (x, y) ∈ A
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D
f
.
Definicja 4 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D
f
} .
Definicja 5 Poziomicą wykresu funkcji f , odpowiadającą poziomowi h ∈ R, nazywamy
zbiór
{(x, y) ∈ D
f
: f (x, y) = h} .
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x
0
, y
0
).
Definicja 6 f jest ciągła w punkcie (x
0
, y
0
), gdy
^
>0
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< δ) ⇒ (|f (x, y) − f (x
0
, y
0
)| < )]
Pochodne cząstkowe
Definicja 7 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x
0
, y
0
)
określamy wzorem
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
∆x
,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 1 Niech F (x) = f (x, y
0
). Wtedy
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) = F
0
(x
0
).
Analogicznie
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = lim
∆y→0
f (x
0
, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
∆y
,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 2 Niech G(y) = f (x
0
, y). Wtedy
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = G
0
(y
0
).
Definicja 8 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru
otwartego D ⊂ R
2
, to funkcje
∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y), gdzie (x, y) ∈ D
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.
Płaszczyzna styczna
Załóżmy, że pochodne cząstkowe
∂f
∂x
,
∂f
∂y
są ciągłe w punkcie (x
0
, y
0
). Wtedy płaszczyzna
o równaniu
z =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
) + f (x
0
, y
0
)
jest styczna do wykresu funkcji z = f (x, y) w punkcie (x
0
, y
0
, f (x
0
, y
0
)).
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Niech f ma pochodne
∂f
∂x
,
∂f
∂y
na zbiorze otwartym D oraz niech (x
0
, y
0
) ∈ D.
Definicja 9 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x
0
, y
0
) określamy wzorami:
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)(x
0
, y
0
) = f
xx
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)(x
0
, y
0
) = f
xy
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y∂x
(x
0
, y
0
) =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)(x
0
, y
0
) = f
yx
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
) =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)(x
0
, y
0
) = f
yy
(x
0
, y
0
)
Twierdzenie 1 (Schwartza o pochodnych mieszanych)
Niech pochodne cząstkowe
∂
2
f
∂x∂y
,
∂
2
f
∂y∂x
istnieją na otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) oraz będą ciągłe
w punkcie (x
0
, y
0
). Wtedy
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
) =
∂
2
f
∂y∂x
(x
0
, y
0
).
Pochodna cząstkowa n-tego rzędu
∂
n
f
∂y
k
∂x
l
(x
0
, y
0
), gdzie k + l = n
-pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
) powstała w wyniku l-
krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania
względem zmiennej y
Pochodna kierunkowa funkcji
Niech ~
v = (v
x
, v
y
) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze
otwartym D ⊂ R
2
oraz niech punkt (x
0
, y
0
) ∈ D.
Definicja 10 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
) w kierunku wersora ~
v
określamy wzorem:
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) = lim
t→0
+
f (x
0
+ tv
x
, y
0
+ tv
y
) − f (x
0
, y
0
)
t
.
Uwaga 3 Niech F (t) = f (x
0
+ tv
x
, y
0
+ tv
y
). Wtedy
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) = F
0
+
(0).
Gradient funkcji
Definicja 11 Niech istnieją pochodne cząstkowe
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
). Gradientem funkcji
f w punkcie (x
0
, y
0
) nazywamy wektor
grad f (x
0
, y
0
) = (
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)).
Twierdzenie 2 Niech pochodne
∂f
∂x
,
∂f
∂y
istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w
punkcie (x
0
, y
0
) ∈ D. Wtedy
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) = grad f (x
0
, y
0
) ◦ ~
v.
Interpretacja geometryczna
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punk-
cie.
Ekstrema lokalne
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x
0
, y
0
).
Definicja 12 f ma w punkcie (x
0
, y
0
) minimum lokalne, jeżeli
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(x, y) ∈ O((x
0
, y
0
), δ) ⇒ f (x, y) f (x
0
, y
0
)].
Twierdzenie 3 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x
0
, y
0
). Jeśli f ma ekstremum lokalne w
(x
0
, y
0
) i istnieją pochodne cząstkowe
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) to
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = 0.
Twierdzenie 4 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) i
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = 0 oraz
det
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)
> 0
to f ma ekstremum lokalne w (x
0
, y
0
) i jest to :
minimum lokalne właściwe , gdy
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) > 0 albo
maksimum lokalne właściwe, gdy
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) < 0.
Uwaga 4 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x
0
, y
0
) ekstremum lokalnego.
Ekstrema warunkowe
Definicja 13 Funkcja f ma w punkcie (x
0
, y
0
) minimum lokalne właściwe z warunkiem
g(x, y) = 0 gdy g(x
0
, y
0
) = 0 i
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(x, y) ∈ S((x
0
, y
0
), δ) ∧ g(x, y) = 0] ⇒ [f (x, y) > f (x
0
, y
0
)]
Zbiory domknięte
Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni:
Definicja 14 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli
^
r>0
O(P, r) ∩ A 6= ∅ oraz O(P, r) ∩ A
0
6= ∅.
A
0
-dopełnienie zbioru A.
Definicja 15 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.
Definicja 16 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.
Definicja 17 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu
_
P
0
_
r>0
D ⊂ O(P
0
, r).
Twierdzenie 5 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to
_
(x
1
,y
1
)∈D
f (x
1
, y
1
) = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
_
(x
2
,y
2
)∈D
f (x
2
, y
2
) = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na
zbiorze domkniętym
1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne
(ekstrema warunkowe).
Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.
Całki podwójne
Całka podwójna po prostokącie
Niech P = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} = [a, b] × [c, d]
i P = {P
1
, P
2
, ..., P
n
} będzie podziałem prostokąta P na prostokąty P
k
, 1 ¬ k ¬ n.
Oznaczmy
∆x
k
, ∆y
k
-wymiary prostokąta P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
d
k
=
q
(∆x
k
)
2
+ (∆y
k
)
2
-długość przekątnej prostokąta P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {d
k
: 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x
∗
k
, y
∗
k
) ∈ P
k
-punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x
∗
k
, y
∗
k
) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P.
Definicja 18 Sumę
σ(f, P) =
n
X
k=1
f (x
∗
k
, y
∗
k
)∆x
k
∆y
k
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (P
n
) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli
lim
n→∞
δ(P
n
) = 0.
Definicja 19 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem
R R
P
f (x, y)dxdy = lim
n→∞
σ(f, P
n
)
gdzie (P
n
) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla
dowolnego normalnego ciągu podziałów (P
n
) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów
pośrednich Σ
n
Twierdzenie 6 (Warunek wystarczający całkowania funkcji)
Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty niecią-
głości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).
Twierdzenie 7 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c ∈ R, to
R R
P
(f (x, y) + g(x, y))dxdy =
R R
P
f (x, y)dxdy +
R R
P
g(x, y)dxdy,
R R
P
cf (x, y)dxdy = c
R R
P
f (x, y)dxdy,
R R
P
f (x, y)dxdy =
R R
P
1
f (x, y)dxdy +
R R
P
2
f (x, y)dxdy
gdzie {P
1
, P
2
} jest podziałem prostokąta P na prostokąty P
1
, P
2
.
Twierdzenie 8 Jeżeli istnieje
R R
P
f (x, y)dxdy oraz istnieje całka
d
R
c
f (x, y)dy dla każdego
x, to
R R
P
f (x, y)dxdy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y)dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f (x, y)dx.
Wniosek 1 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] × [c, d]. Wtedy
R R
P
f (x, y)dxdy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y)dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f (x, y)dx.
Interpretacja geometryczna
Niech V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ P, 0 ¬ z ¬ f (x, y)} . Wtedy
|V | =
R R
P
f (x, y)dxdy.
Obszary
Definicja 20 Zbiór D ⊂ R
2
(R
3
) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa
punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.
Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
Całka podwójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D ⊂ R
2
.
Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D ⊂ P. Określamy funkcję
f
∗
(x, y) =
(
f (x, y) dla
(x, y) ∈ D
0
dla (x, y) ∈ R
2
− D.
Definicja 21 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem
R R
D
f (x, y)dxdy =
R R
P
f
∗
(x, y)dxdy.
Definicja 22 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór
{(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}
gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x ∈ (a, b).
b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór
{(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)}
gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y ∈ (c, d).
Twierdzenie 9 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym
a) D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}, to
R R
D
f (x, y)dxdy =
b
Z
a
(
h(x)
Z
g(x)
f (x, y)dy)dx,
b)D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} , to
R R
D
f (x, y)dxdy =
d
Z
c
(
q(y)
Z
p(y)
f (x, y)dx)dy.
Całka podwójna po obszarze regularnym
Definicja 23 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę-
dem osi Ox lub Oy ) D
1
, ..., D
n
o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 10 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to
R R
D
f (x, y)dxdy =
R R
D
1
f (x, y)dxdy + ... +
R R
D
n
f (x, y)dxdy.
Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
Współrzędne biegunowe
P = (x, y) ≈ (ϕ, ρ),
gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P
0 ¬ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ¬ π),
ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych.
B :=
(
x =
ρcosϕ
y = ρsinϕ.
B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y).
Twierdzenie 11 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normal-
nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, g(ϕ) ¬ ρ ¬ h(ϕ)} ,
gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] ⊂ [0, 2π]. Niech f będzie ciągła
na obszarze D = B(U ). Wtedy
R R
D
f (x, y)dxdy =
R R
U
f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ =
β
Z
α
[
h(ϕ)
Z
g(ϕ)
f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.
Całki potrójne
Całka potrójna po prostopadłościanie
Niech P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q} = [a, b] × [c, d] × [p, q]
i P = {P
1
, P
2
, ..., P
n
} będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P
k
, 1 ¬
k ¬ n.
Oznaczmy
∆x
k
, ∆y
k
, ∆z
k
-wymiary prostopadłościanu P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
d
k
=
q
(∆x
k
)
2
+ (∆y
k
)
2
+ (∆z
k
)
2
-długość przekątnej prostopadłościanu P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {d
k
: 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x
∗
k
, y
∗
k
, z
∗
k
) ∈ P
k
-punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x
∗
k
, y
∗
k
, z
∗
k
) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P.
Definicja 24 Sumę
σ(f, P) =
n
X
k=1
f (x
∗
k
, y
∗
k
, z
∗
k
)∆x
k
∆y
k
∆z
k
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (P
n
) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli
lim
n→∞
δ(P
n
) = 0.
Definicja 25 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz = lim
n→∞
σ(f, P
n
)
gdzie (P
n
) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla
dowolnego normalnego ciągu podziałów (P
n
) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów
pośrednich Σ
n
Interpretacja fizyczna całki potrójnej
Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę
M =
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz.
Twierdzenie 12 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α ∈ R, β ∈ R,
to
R R R
P
(αf (x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz + β
R R R
P
g(x, y, z)dxdydz,
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz =
R R R
P
1
f (x, y, z)dxdydz +
R R R
P
2
f (x, y, z)dxdydz
gdzie {P
1
, P
2
} jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P
1
, P
2
.
Twierdzenie 13 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną)
Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Wtedy
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz =
b
Z
a
dx
d
Z
c
dy
q
Z
p
f (x, y, z)dz
Całka potrójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V ⊂ R
3
.
Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję
f
∗
(x, y, z) =
(
f (x, y, z) dla
(x, y, z) ∈ V
0
dla (x, y, z) ∈ R
3
− V.
Definicja 26 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
R R
P
f
∗
(x, y, z)dxdydz.
Definicja 27 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy nazywamy zbiór
{(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
gdzie U jest obszarem regularnym na xOy, funkcje D i G są ciągłe na U , przy czym
D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U.
Analogicznie:
b) względem xOz
{(x, y, z) : (x, z) ∈ U, D(x, z) ¬ y ¬ G(x, z)}
c) względem yOz
{(x, y, z) : (y, z) ∈ U, D(y, z) ¬ x ¬ G(y, z)} .
Twierdzenie 14 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
normalnym względem płaszczyzny xOy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regu-
larnym U , to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
R R
U
(
G(x,y)
Z
D(x,y)
f (x, y, z))dxdy.
Jeżeli
U = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)} ,
gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
b
Z
a
dx
g(x)
Z
d(x)
dy
G(x,y)
Z
D(x,y)
f (x, y, z)dz.
Całka potrójna po obszarze regularnym
Definicja 28 Obszar V , który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę-
dem płaszczyzn układu ) V
1
, ..., V
n
o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 15 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V , to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
R R R
V
1
f (x, y, z)dxdydz + ... +
R R R
V
n
f (x, y, z)dxdydz.
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
Współrzędne walcowe
P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ρ, h),
gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y),
0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), 0 ¬ ρ < ∞, −∞ < h < ∞
W :=
x = ρcosϕ
y = ρsinϕ
z =
h.
W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 16 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normal-
nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ, h) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ρ) ¬ h ¬ G(ϕ, ρ)} ,
gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze
{(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ)} .
Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U ), to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
β
Z
α
dϕ
g(ϕ)
Z
d(ϕ)
dρ
G(ϕ,ρ)
Z
D(ϕ,ρ)
f (ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
met num w anal mat
Wyklad2 mat
Mat 10 Ceramika
Mat dla stud 2
Wyklad7 mat
mat skale pomiarowe
logika mat
Magn mat
7Komunikacja org mat
mat bud 006 (Kopiowanie) (Kopiowanie)
Materialy do seminarium inz mat 09 10 czesc III
mat bud 102 (Kopiowanie) (Kopiowanie)
mat 2013 k11
Mat 3
MB2 mat pom 1 id 289843 Nieznany
mat dp14 mat dp14
więcej podobnych podstron