Numeryczne rozwiązywanie równań z 1niewiadomą:

1. f(x)=0 <a,b>

2. f(a)*f(b)≤0 1pierwiastek lub nieparzysta ilość. Albo 0 albo a lub b będzie rozwiązaniem x₀,x₁…x_n=α → α f(x_n)≤ε ε-dokładność

Warunki zakończenia: 1: If(x_n)I≤ε_y ε_y → 0 2:Ix_n-x_n-1I≤ε_x ] ε_x → 0

3: w programowaniu: i=maxn

Metoda Bisekcji x₀=a+b//2 i wychodzą 2przedziały <a,x_o> <x_o,b> i jest <-+> i <++> więc bierzemy pierwszy(_i niby to przedział<a₁,b₁> itd.) i dalej i mamy <a,x₁><x₁,x_o> i jest < -- > i <-+> więc drugi dalej.

1. Robimy to co ↑. Aż otrzymamy X_n=a_n+b_n/2

2. f(x_n)≤ε_x Iα-x_nI≤ ε_x b-a//2ⁿ⁺¹≤ ε_x Z tej równości wyliczamy liczbe kroków metody bisekcji równą n potrzebną do wyznaczenia wozwiązania równania 1. Z dokładnością ε_x Iα-x_oI≤ b-a//2 Iα-x₁I≤ b-a//2² … Iα-x_nI≤ b-a//2ⁿ⁺¹

3. log₂( b-a//2ⁿ⁺¹ )≤log₂ε_x n≥log₂(b-a// ε_x)-1

4. n=$\left\lceil \operatorname{}{\left( \frac{b - a}{\varepsilon_{x}} \right) - \left. \ 1 \right\rceil} \right.\ $ zaokrąglenie w ↑ do całkow

Metoda Newtona: f(x)=0 <a,b> f(a)*f(b)≤0 f’(x)w<a,b> ma stały znak czyli f’(x)≠0 (→ g(x)=0) f’’(x)w<a,b> ma stały znak czyli f’’(x)≠0 (→ g(x)=0)

X_o: f(x_o)*f’’(x_o)>0 →x_o=a lub b Wzór$\left\{ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \right.\ $: x_i=x_i-1-$\frac{f(x_{i - 1})}{f'(x_{i - 1})}$ i=1,2,…,n x_o

Przykład: f(x)=x²-2=0 <1,4> 2W: f(1)*f(4)<0 ok. 3W: f’(x)=2x >0w<1,4>

4W: f’’(x)=2 >0w<1,4> czyli stały znak. Wybieramy pkt początkowy: f(4)*f’’(4)>0 →x_o=4 x₁=4-f(4)/f’(4)=2,25 x₂=2,25-f(2,25)/f’(2,25)=1,569(4)

X₃=1,431890363 x₄=1,414234285 x₅=1,414213562 x₆=-II-

M. siecznych: f’(x_i-1)=$\frac{f\left( x_{i - 1} \right) - f\left( x_{i - 2} \right)}{x_{i - 1} - x_{i - 2}}$ $\left\{ \begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $ i x_i= x_i-1-f(x_i-1)*$\ \frac{\left( x_{i - 1} \right)\ x_{i - 2}}{f\left( x_{i - 1} \right) - f\left( x_{i - 2} \right)}$

I=2,3…n W4: Ix_o-x₁I> Ix₁-x₂I>… >Ix_n-1-x_nI