B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

1

Metody numeryczne

w technice

dr inż. Barbara Szyszka

www.math.put.poznan.pl/~bszyszka

Instytut Matematyki

Zakład Analizy Funkcjonalnej i Numerycznej

Wydział Elektryczny Politechniki Poznańskiej,

e-mail:

[e-mail]

Kształcenie w zakresie matematyki
Algebra macierzy. Rozwi_zywanie układów algebraicznych
równa_ liniowych. Rachunek ró_niczkowy i całkowy funkcji jednej i

wielu zmiennych.

Równania ró_niczkowe zwyczajne. Wst_p do równa_ ró_niczkowych

cz_stkowych.

Efekty kształcenia – umiej_tno_ci i kompetencje: modelowania i

obliczania zło_onych

układów mechanicznych z wykorzystaniem metod numerycznych.

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

2

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

3

Metody numeryczne

w technice

Organizacja przedmiotu:

• wykład

,

• ćwiczenia

.

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

4

Zakres materiału:

• arytmetyka zmiennopozycyjna,
• interpolacja wielomianowa,
• całkowanie numeryczne,
• równania nieliniowe,
• układy równań liniowych,
• (równania różniczkowe, układy równań

nieliniowych,
aproksymacja).

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

5

Literatura:

• Björck, Dahlquist, Metody numeryczne PWN

Warszawa,

• Dryja, Jankowska, Jankowski, Przegląd metod

i algorytmów numerycznych, WNT,

• Fortuna, Macukow, Wąsowski, Metody

numeryczne WNT,

• Kincaid, Cheney, Analiza numeryczna, WNT

2005,

• Stoer, Bulirsch, Wstęp do analizy

numerycznej PWN Warszawa,

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

6

Wykład nr 1/2

1. Arytmetyka zmiennopozycyjna

• Reprezentacje zmiennopozycyjne liczb
• Liczby rzeczywiste i liczby maszynowe
• Działania arytmetyczne na liczbach

zmiennopozycyjnych,

2. Błędy numeryczne,
3. Algorytmy stabilne i niestabilne.

Uwarunkowanie zadań.

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

7

1. Arytmetyka zmiennopozycyjna

2

7

6

5

4

3

2

1

0

2

5

4

3

2

1

0

1

2

10

5

4

3

2

1

10

0

1

2

10

10

)

10

5

10

2

10

1

10

8

10

7

10

6

10

2

10

4

(

10

2678125

.

4

10

5

10

2

10

1

10

8

10

7

10

6

10

2

10

4

78125

.

426

10

5

10

2

10

1

10

8

10

7

0.78125

10

6

10

2

10

4

426











































































































































Układ dziesiętny.

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

8

8

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

8

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

5

4

3

2

1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

2

)

2

1

2

0

2

0

2

1

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

1

(

2

001

1010101011

.

1

2

1

2

0

2

0

2

1

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

1

11001

.

110101010

)

0.78125

0.03125

25

.

0

5

.

0

(

2

1

2

0

2

0

2

1

2

1

0.11001

)

426

2

8

32

128

256

(

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

1

110101010

























































































































































































































































Układ dwójkowy

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

9

Przy konwersji liczb pomiędzy układami mogą
pojawić się błędy, np.:

10

2

2

10

59375

0.09997558

0011...

0011

0011

0.0

0011...

0011

0011

0.0

1

.

0





Zamiana liczb z układu dziesiętnego na binarny:

23

10

=10111

2

(liczbę dzielimy przez dwa, zapisujemy resztę z
każdego dzielenia i odczytujemy od końca),

0.8125

10

=0.1101

2

(liczbę mnożymy przez dwa, zapisujemy część
całkowitą
z każdego mnożenia i odczytujemy od początku).

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

10

23
11
5
2
1
0

1
1
1
0
1

:2

0.8125
0.625
0.25
0.5
0

0.
1
1
0
1

·2

23

10

=10111

2

0.8125

10

=0.1101

2

75

.

13

25

.

0

5

.

0

1

4

8

2

1

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

1101.11

-2

-1

0

1

2

3

2







































B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

11

8765

.

0

8765432

.

0

0000

.

1

9999500

.

0

1735

.

0

1735499

.

0







Zaokrąglanie

Sposób zaokrąglania liczby y do n-cyfr zależy od
(n+1)-szej cyfry. Jeżeli jest nią 0, 1, 2, 3, 4 to n-
tej cyfry nie zmieniamy. Jeśli (n+1)-szą cyfrą jest
5, 6, 7, 8, 9 to po odrzuceniu cyfr jak wyżej
dodajemy do liczby 10

-n

.

Przykład poprawnego zaokrąglenia liczb 7-
cyfrowych

do

4-cyfr po kropce:

Jeśli liczba dodatnia x jest zaokrąglona do
przybliżenia
x* mającego n-cyfr po kropce, to

.

10

2

1

*

n

x

x









B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

12

± m

0

m

-1

m

-2

… m

-lm+1

± c

lc-1

… c

1

c

0

gdzie mantysę M i cechę C obliczamy ze wzorów:

1

1

1

1

0

0





























lm

lm

p

m

p

m

p

m

M



1

1

1

1

0

0





















lc

lc

p

c

p

c

p

c

C



a liczbę można przedstawić następująco:

C

p

M

L





Reprezentacje zmiennopozycyjne liczb –
liczby maszynowe – arytmetyka fl (p, lm, lc)

lm

lc

Precyzja arytmetyki w komputerze:

1

2







lm



B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

13

± m

0

m

-1

m

-2

± c

0

Przykład f(10,2,1)

Charakterystyka przedstawienia liczb
w arytmetyce fl:

•Czy zbiór liczb w arytmetyce f jest zbiorem
ciągłym?

•Czy można podać najmniejszą i największą
liczbę?

•Jakich liczb nie można przedstawić?

•Czy ilość liczb jest nieograniczona?

•Jakie są odległości pomiędzy liczbami?

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

14

Rodzaje zaokrągleń w komputerze:

•Obcięcie,

•Zaokrąglenie w górę,

•Zaokrąglenie w dół,

•Zaokrąglenie do najbliższej liczby parzystej.

Gdy liczbę rzeczywistą x przybliżamy inną liczbą
x*,

to

błąd

bezwzględny i względny tego przybliżenia są z
definicji równe

*

x

x

błąd względny dla x ≠ 0

x

x

x

*



błąd bezwzględny

W pomiarach niemal zawsze jest istotny błąd względny.

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

15

Błędy numeryczne

•błędy danych wejściowych
mogą pochodzić np. z niedokładnych pomiarów,
lub

z wcześniejszych

obliczeń,

również

obarczonych  błędami,

•błędy reprezentacji danych
wprowadzając dane x

i

(w układzie 10) uzyskuje

się

ich

reprezentacje

maszynowe

f(x

i

)

(najczęściej w układzie 2), które należą do zbioru
liczb maszynowych (jest to podzbiór liczb
rzeczywistych 

dokładnie

reprezentowanych

w komputerze) ,

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

16

•błędy zaokrągleń działań
Wykonując na liczbach x i y operację
arytmetyczną , gdzie {+, -, *, /} otrzymujemy

f(x  y)=(x  y)(1+ ε).

Jest to wynik zmiennoprzecinkowego działania
dla argumentów a i b, w tym przypadku
dokładnie reprezentowanych, tzn. a=f(a) i
b=f(b). Wartość ε (precyzja arytmetyki) spełnia
nierówność |ε|≤2

-t

, gdzie t oznacza liczbę bitów

przeznaczonych do zapisu mantysy w danym
typie zmiennoprzecinkowym.

•błąd metody
Metody

numeryczne,

za

pomocą

których

wykonywane są obliczenia, bardzo często są
metodami przybliżonymi (stąd błąd metody). Nie
dotyczy to metod dokładnych.

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

17

Algorytmy stabilne i niestabilne.
Uwarunkowanie.

•algorytm niestabilny
Małe błędy popełnione w jakimś etapie obliczeń
rosną
w następnych etapach i poważnie zniekształcają
ostateczne wyniki

•uwarunkowanie
Zadanie jest źle uwarunkowane, jeśli małe
zmiany danych początkowych wywołują duże
zmiany wyników (inaczej: wrażliwość
rozwiązania zadania na małe zmiany danych
początkowych).

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

18

Przykład:
W arytmetyce f(10, 2, 1) obliczyć iloczyn

trzech liczb dwoma sposobami:

1. a · b · c
2. b · c · a
dla a =10

-6

, b=10

-6

, c=10

9

.

Czy działania 1. i 2. są równoważne

numerycznie?

B.Szyszka

Metody numeryczne w

technice

19

Ćwiczenie:
Dana jest całka:









1

0

1

dx

e

x

J

x

n

n

Dokładne wartości całki wynoszą odpowiednio
(przy
zaokrągleniu do 2 cyfr):

dla n = 1, 2, …, 7.

Obliczyć wartości tej całki w arytmetyce f(10, 2,
1) korzystając z przekształcenia:

0.11

0.13,

0.14,

0.17,

0.20,

0.26,

0.37,

7

6

5

4

3

2

1















J

J

J

J

J

J

J



















 1

1

1

11

0.36787944

1

n

n

J

n

J

e

J



8.6

,

1

,

34

.

0

,

13

.

0

,

21

.

0

,

26

.

0

0.37,

-39.6

,

8

.

5

0.8,

,

36

.

0

,

6

1

.

0

0.28,

0.36,

7

6

5

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

































J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J