MMF 1 – Egzamin ‘po l´

owkowy’ – 6.12.2008

1. (2+1+2 pkt)

a) Przedstaw liczb

ι

e zespolon

ι

a 1 − i

√

3 w postaci trygonometrycznej.

b) Oblicz (1 − i

√

3)

6

, a wynik przedstaw w postaci algebraicznej a + ib gdzie

a

i b to liczby rzeczywiste.

c) Znajd´

z wszystkie pierwiastki (w postaci algebraicznej a + ib) r´

ownania

iz

3

− (1 − i

√

3)

6

= 0

2. (0.5+1+1.5+2 pkt) Podaj definicj

ι

e iloczynu skalarnego w przestrzeni zespolonej

C

3

. Nast

ι

epnie korzystaj

ι

ac z metody ortogonalizacji Grama-Schmidta, zortonor-

malizuj uk lad wektor´

ow tak aby jeden z nowych wektor´

ow mia l ten sam kierunek

i zwrot co wektor ~

v

1

:

~

v

1

=






2

i

0






,

~

v

2

=






1
0
1






,

~

v

3

=






1

−1

1 − i






3. (1+2+2 pkt) Dana jest macierz A =






1 + i i 1 − i

i

i

0

1

0

4






a) Oblicz wyznacznik det A metod

ι

a rozwini

ι

ecia Laplace’a,

b) Znajd´

z macierz odwrotn

ι

a A

−

1

metod

ι

a Gaussa,

c) Znajd´

z macierz odwrotn

ι

a A

−

1

metod

ι

a dope lnie´

n algebraicznych.

4. (3+2 pkt) Podaj liczb

ι

e rozwi

ι

aza´

n uk ladu r´

owna´

n w zale˙zno´

sci od warto´

sci para-

metr´

ow a i b. W przypadkach kiedy istniej

ι

a rozwi

ι

azania znajd´

z je.

3x − 2y + z =

b

5x − 8y + 9z =

3

2x + y + az = −1

Rozwi

ι

a˙z to zadanie a) metod

ι

a Gaussa, b) metod

ι

a wyznacznikow

ι

a.