MMF 1 – Egzamin ‘po l´
owkowy’ – 12.12.2009
1. (5 pkt) Korzystaj
ι
ac z metody indukcji matematycznej udowodnij twierdzenie:
p
X
k=0
p
k
!
n
− p
m
− k
!
=
n
m
!
gdzie m i n s
ι
a ustalonymi liczbami naturalnymi takimi, ˙ze 0 ≤ m ≤ n oraz
0 ≤ p ≤ n − m.
2. (3+2 pkt) Dane s
ι
a liczby zespolone:
z
1
=
√
6 +
√
2 + i
√
6 −
√
2
z
2
=
√
6 −
√
2 + i
√
6 +
√
2
a) Poka˙z, ˙ze faz
ι
a liczby z
1
jest
π
12
oraz znajd´
z faz
ι
e liczby z
2
.
b) Nast
ι
epnie, korzystaj
ι
ac z postaci wyk ladniczej liczby zespolonej, oblicz pier-
wiastek czwartego stopnia z liczby zespolonej w =
z
1
z
2
, a wyniki przedstaw w
postaci algebraicznej a + ib gdzie a i b to liczby rzeczywiste.
3. (1+4 pkt) Podaj og´
oln
ι
a definicj
ι
e iloczynu skalarnego.
Nast
ι
epnie poka˙z, ˙ze
formu l
ι
e h~
x
|~
y
i =
P
4
i=1
x
⋆
i
y
i
mo˙zna przyj
ι
a´
c jako definicj
ι
e iloczynu skalarnego w
przestrzeni C
4
. Korzystaj
ι
ac z metody ortogonalizacji Grama-Schmidta, zorto-
normalizuj podany uk lad wektor´
ow tak aby jeden z nowych wektor´
ow mia l ten
sam kierunek i zwrot co wektor ~
v
1
:
~
v
1
=
1
i
1
i
,
~
v
2
=
1
0
1
0
,
~
v
3
=
−1
−1
i
i
,
~
v
4
=
0
1
i
0
4. (1+2+2 pkt) Dana jest macierz A =
1 + i
i
1
i
i
i
1 − i
0
1 − i
a) Oblicz wyznacznik det A metod
ι
a rozwini
ι
ecia Laplace’a,
b) Znajd´
z macierz odwrotn
ι
a A
−
1
metod
ι
a Gaussa,
c) Znajd´
z macierz odwrotn
ι
a A
−
1
metod
ι
a dope lnie´
n algebraicznych.
5. (3+2 pkt) Podaj liczb
ι
e rozwi
ι
aza´
n uk ladu r´
owna´
n w zale˙zno´
sci od warto´
sci para-
metru a. W przypadkach kiedy istniej
ι
a rozwi
ι
azania znajd´
z je.
ax
− 2y +
az
= −1
x
+ ay +
az
=
4
2x − y + (a + 1)z =
3
Rozwi
ι
a˙z to zadanie a) metod
ι
a Gaussa, b) metod
ι
a wyznacznikow
ι
a.
Dodatkowe informacje:
sin α ± sin β = 2 sin
α
± β
2
cos
α
∓ β
2
,
cos α ± cos β = ±2 cos
α
+ β
2
cos
α
− β
2
sin (α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α,
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β