MMF 1 – Egzamin ‘po l´

owkowy’ – 12.12.2009

1. (5 pkt) Korzystaj

ι

ac z metody indukcji matematycznej udowodnij twierdzenie:

p

X

k=0

p
k

!

n

− p

m

− k

!

=

n

m

!

gdzie m i n s

ι

a ustalonymi liczbami naturalnymi takimi, ˙ze 0 ≤ m ≤ n oraz

0 ≤ p ≤ n − m.

2. (3+2 pkt) Dane s

ι

a liczby zespolone:

z

1

=

√

6 +

√

2 + i



√

6 −

√

2



z

2

=

√

6 −

√

2 + i



√

6 +

√

2



a) Poka˙z, ˙ze faz

ι

a liczby z

1

jest

π

12

oraz znajd´

z faz

ι

e liczby z

2

.

b) Nast

ι

epnie, korzystaj

ι

ac z postaci wyk ladniczej liczby zespolonej, oblicz pier-

wiastek czwartego stopnia z liczby zespolonej w =

z

1

z

2

, a wyniki przedstaw w

postaci algebraicznej a + ib gdzie a i b to liczby rzeczywiste.

3. (1+4 pkt) Podaj og´

oln

ι

a definicj

ι

e iloczynu skalarnego.

Nast

ι

epnie poka˙z, ˙ze

formu l

ι

e h~

x

|~

y

i =

P

4

i=1

x

⋆
i

y

i

mo˙zna przyj

ι

a´

c jako definicj

ι

e iloczynu skalarnego w

przestrzeni C

4

. Korzystaj

ι

ac z metody ortogonalizacji Grama-Schmidta, zorto-

normalizuj podany uk lad wektor´

ow tak aby jeden z nowych wektor´

ow mia l ten

sam kierunek i zwrot co wektor ~

v

1

:

~

v

1

=








1

i

1

i








,

~

v

2

=








1
0
1
0








,

~

v

3

=








−1
−1

i
i








,

~

v

4

=








0
1

i

0








4. (1+2+2 pkt) Dana jest macierz A =






1 + i

i

1

i

i

i

1 − i

0

1 − i






a) Oblicz wyznacznik det A metod

ι

a rozwini

ι

ecia Laplace’a,

b) Znajd´

z macierz odwrotn

ι

a A

−

1

metod

ι

a Gaussa,

c) Znajd´

z macierz odwrotn

ι

a A

−

1

metod

ι

a dope lnie´

n algebraicznych.

5. (3+2 pkt) Podaj liczb

ι

e rozwi

ι

aza´

n uk ladu r´

owna´

n w zale˙zno´

sci od warto´

sci para-

metru a. W przypadkach kiedy istniej

ι

a rozwi

ι

azania znajd´

z je.

ax

− 2y +

az

= −1

x

+ ay +

az

=

4

2x − y + (a + 1)z =

3

Rozwi

ι

a˙z to zadanie a) metod

ι

a Gaussa, b) metod

ι

a wyznacznikow

ι

a.

Dodatkowe informacje:

sin α ± sin β = 2 sin

α

± β

2

cos

α

∓ β

2

,

cos α ± cos β = ±2 cos

α

+ β

2

cos

α

− β

2

sin (α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α,

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β