4

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Definicja

Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n



, gdzie

N



n

m,

, nazywamy prostokątną

tablicę złożoną z m n



liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w

m wierszach i n

kolumnach:

11

12

1

1

21

22

2

2

1

2

1

2

ty wiersz

ta kolumna

j

n

j

n

i

i

ij

in

m

m

mj

mn

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

i

a

a

a

j

















 































a

a

a

a

ij

a - element macierzy

A

stojący w i -tym wierszu oraz w j -tej kolumnie.

Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu, np.

,

,

A B X

, itp. lub w postaci

ij

m n

a



 

 

,

ij

a

 

 

,

gdy znany jest jej wymiar.
Macierze

A

i

B

są sobie równe, gdy mają te same wymiary

m n



oraz

ij

ij

a

b



dla każdego

1 i

m

 

oraz

1

j

n

 

.

Rodzaje macierzy

1. Macierz wymiaru

m n



, której wszystkie elementy są równe

0

nazywamy macierzą

zerową wymiaru m n



i oznaczamy przez

m n



0

lub

0

, gdy znamy jej wymiar:

0

0

0

0

0

0

0

0

wierszy

0

0

0

0

kolumn

m n

m

n





 



 













 



 



 

0

2. Macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą

kwadratową. Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy
kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny, tworzą
główną przekątną macierzy:

11

12

1

21

22

2

1

2

macierz kwadratowa

n

n

n

n

nn

a

a

a

a

a

a











 

















a

a

a

3. Macierz kwadratową stopnia

2

n



, w której wszystkie elementy stojące nad główną

przekątną są równe

0

, nazywamy macierzą trójkątną dolną:

główna przekątna



5

11

21

22

31

32

33

1

2

3

0

0

0

0

0

0

macierz trójkątna dolna

n

n

n

nn















 

















a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Podobnie określamy macierz trójkątną górną:

11

12

13

1

22

23

2

33

3

0

0

0

macierz trójkątna górna

0

0

0

n

n

n

nn















 

















a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

4. Macierz kwadratową stopnia

n , w której wszystkie elementy nie stojące na głównej

przekątnej są równe

0

, nazywamy macierzą diagonalną lub przekątniową stopnia n:

11

22

33

0

0

0

0

0

0

0

0

0

macierz diagonalna

0

0

0

nn















 

















a

a

a

a

Macierz diagonalną stopnia n , w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe

1, nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez

n

I lub przez I , gdy znany jest jej stopień.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

macierz jednostkowa

0

0

0

n





































1

1

1

1

I

Definicja

Niech

ij

A

a

 

  

i

ij

B

b

 

  

będą macierzami wymiaru

m n



. Sumą (różnicą) macierzy

A

i

B

nazywamy macierz

ij

C

c

 

  

, której elementy są określone wzorem:

ij

ij

ij

c

a

b





dla

1 i

m

 

oraz 1

j

n

 

. Piszemy wtedy

C

A B

 

.

Definicja

Niech

ij

A

a

 

  

będzie macierzą wymiaru m n



oraz niech



będzie liczbą rzeczywistą lub

zespoloną. Iloczynem macierzy

A

przez liczbę



nazywamy macierz

ij

B

b

 

  

, której

elementy są określone wzorem:

ij

ij

b

a



 

dla

1 i

m

 

oraz 1

j

n

 

. Piszemy wtedy

B

A



 

.

6

Własności działań na macierzach

Niech

,

,

A B C

będą dowolnymi macierzami rzeczywistymi (zespolonymi) tego samego

wymiaru oraz niech

,

 

będą liczbami rzeczywistymi (zespolonymi). Wtedy:

1.

A B

B

A

  

2.



 



A

B C

A B

C











3.

A

A

A

   

0

0

4.

 

A

A

 



0

5.





A B

A

B













6.





A

A

A

 











7.

A

A

 

1

8.

 

 

A

A



 



Definicja

Niech macierz

ij

A

a

 

  

ma wymiar

m n



, a macierz

ij

B

b

 

  

wymiar

n k



. Iloczynem

macierzy

A

i

B

nazywamy macierz

ij

C

c

 

  

wymiaru

m k



, której elementy określone są

wzorem:

1 1

2 2

...

ij

i

j

i

j

in nj

c

a b

a b

a b





 

dla

1 i

m

 

oraz

1

j

n

 

. Piszemy wtedy

C

AB



.

Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A równa
się liczbie wierszy macierzy B .

Własności iloczynu macierzy

1. Niech macierz

A

ma wymiar

m n



, a macierze

B

i

C

wymiar

n k



. Wtedy:





A B C

AB

AC







2. Niech macierze

A

i

B

mają wymiar

m n



, a macierz

C

wymiar

n k



. Wtedy:





A B C

AC

BC







3. Niech macierz

A

ma wymiar

m n



, a macierz

B

wymiar

n k



oraz niech



będzie

liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy:

   

 

A

B

A B

AB











4. Niech macierz

A

ma wymiar

m n



, macierz

B

wymiar

n k



, a macierz

C

wymiar

k l



. Wtedy:

 

 

AB C

A BC



5. Niech macierz

A

ma wymiar

m n



. Wtedy:

n

m

AI

I A

A





Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne, bowiem na ogół

AB

BA



. Zamiast

czynników

...

n

A A

A

piszemy

n

A .

Definicja

Niech

ij

A

a

 

  

będzie macierzą wymiaru

m n



. Macierzą transponowaną do macierzy A

nazywamy macierz

ij

B

b

 

  

wymiaru n m



, której elementy są określone wzorem:

ij

ji

b

a



gdzie

1 i

m

 

oraz

1

j

n

 

. Macierz transponowaną do macierzy

A

oznaczamy przez

T

A .

7

Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami
macierzy transponowanej.

Własności transpozycji macierzy

1. Niech

A

i

B

będą macierzami wymiaru

m n



. Wtedy:





T

T

T

A B

A

B







2. Niech

A

będzie macierzą wymiaru

m n



oraz niech



będzie liczbą rzeczywistą lub

zespoloną. Wtedy:

 

T

T

A

A



oraz

 

T

T

A

A







3. Niech

A

będzie macierzą wymiaru m n



, a

B

macierzą wymiaru

n k



. Wtedy:

 

T

T

T

AB

B A



4. Niech

A

będzie macierzą kwadratową oraz niech

N



r

. Wtedy:

   

T

r

r

T

A

A



Definicja

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

ij

A

a

 

  

nazywamy liczbę rzeczywistą (zespoloną)

det A

określoną następująco:

1. jeżeli macierz

A

ma stopień

1

n



, to

11

det A

a



2. jeżeli macierz

A

ma stopień

2

n



, to

 

 

 

1 1

1 2

1

11

11

12

12

1

1

det

1

det

1

det

...

1

det

n

n

n

A

a

A

a

A

a

A







 

 

  

gdzie

ij

A oznacza macierz stopnia

1

n



otrzymaną z macierzy

A

przez skreślenie i -tego

wiersza i j -tej kolumny.

Wyznacznik macierzy

A

oznaczamy również przez

det

ij

a

 

 

lub A .

Reguła obliczania wyznaczników stopnia drugiego

det

a

b

ad

bc

c

d

















Reguła obliczania wyznaczników stopnia trzeciego (metoda Sarrusa)



 



det

a

b

c a

b

d

e

f d

e

aei bfg

cdh

ceg

afh bdi

g

h

i g

h

































8

Definicja

Niech

ij

A

a

 

  

będzie macierzą kwadratową stopnia

2

n



. Dopełnieniem algebraicznym

elementu

ij

a

macierzy

A

nazywamy liczbę:

 

1

det

i j

ij

ij

D

A



 

gdzie

ij

A

oznacza macierz stopnia

1

n



otrzymaną przez skreślenie i -tego wiersza i j -tej

kolumny macierzy

A

.

Twierdzenie (Laplace’a)

Wyznacznik macierzy kwadratowej

n

m

A



, (

2



n

) jest równy sumie iloczynów elementów

dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadających tym elementom dopełnień algebraicznych.

Niech

ij

A

a

 

  

będzie macierzą kwadratową stopnia

2

n



oraz niech liczby naturalne i

oraz j , gdzie

1

,

i j

n





, będą ustalone. Wyznacznik macierzy

A

można obliczyć ze

wzorów:

1.

1

1

2

2

det

...

i

i

i

i

in

in

A

a D

a D

a D





 

rozwinięcie Laplace’a względem i – tego wiersza

2.

1

1

2

2

det

...

j

j

j

j

nj

nj

A

a D

a D

a D





 

rozwinięcie Laplace’a względem j -tej kolumny

Własności wyznaczników

1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest

równy

0

.

2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przestawimy między sobą dwie

(dwa) kolumny (wiersze).

3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie (dwa) jednakowe kolumny (wiersze)

jest równy

0

.

4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy kwadratowej

zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej
macierzy.

11

12

1

1

11

12

1

1

21

22

2

2

21

22

2

2

1

2

1

2

j

n

j

n

j

n

j

n

n

n

nj

nn

n

n

nj

nn

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



c

c

c

c

a

a

a

a

a

a

Ponadto

11

12

1

1

11

12

1

1

21

22

2

2

21

22

2

2

1

2

1

2

j

n

j

n

j

n

j

n

n

n

n

nj

nn

n

n

nj

nn

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

5. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza)

dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy
pomnożone przez dowolną liczbę.

6. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.
7. Wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej lub trójkątnej górnej jest równy iloczynowi

elementów stojącej na głównej przekątnej.

9

Definicja

Niech

A

będzie macierzą kwadratową stopnia

n . Macierzą odwrotną do macierzy

A

nazywamy macierz oznaczoną przez

1

A



, która spełnia warunek:

1

1

n

AA

A A

I









gdzie

n

I jest macierzą jednostkową stopnia

n .

Jeżeli macierz

A

ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną i wówczas

det

0

A



.

Definicja

Macierz kwadratową

A

nazywamy macierzą osobliwą, gdy

det

0

A



W przeciwnym wypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.

Twierdzenie

1. Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.

2. Jeżeli macierz

ij

A

a

 

  

stopnia

n jest nieosobliwa, to

11

12

1

21

22

2

1

1

2

1

det

T

n

n

n

n

nn

D

D

D

D

D

D

A

A

D

D

D

































gdzie

ij

D

oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów

ij

a

macierzy

A

.

Macierz

ij

D









oznaczamy symbolem

D

A i nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.

Zatem

 

1

det

T

D

A

A

A





Własności macierzy odwrotnych

Niech macierze

A

i

B

tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech

 

0

\

C





,

N



n

.

Wtedy macierze

1

A



,

T

A ,

AB

,

A



,

n

A także są odwracalne i prawdziwe są równości:

 





1

1

det

det

A

A







 

1

1

A

A







   

1

1

T

T

A

A







 

1

1

1

AB

B A









 

 

1

1

1

A

A











   

1

1

n

n

A

A







Literatura

1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania.