Macierze wyznaczniki Wykład 3

background image

2011-10-22

1

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

1

ALGEBRA MACIERZY

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

2

PRZYKŁAD

Zakład produkcyjny produkuje wyroby w1, w2, w3,

z surowców s1,s2,s3,s4.

Normy

zużycia surowców na jednostkę towaru podaje tabela

w1

w2

w2

s1

1

5

0

s2

4

2

1

s3

5

7

3

s4

0

5

2

Taką tablicę nazywa się macierzą

background image

2011-10-22

2

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

3

Def.Macierzą liczbową o m wierszach i n kolumnach (lub typu mxn )nazywamy
prostokątną tablicę zawierającą m·n liczb. Tablicę taką zapisujemy w postaciach
następujących

:

Jeśli m =n, to macierz A nazywamy macierzą kwadratową stopnia n,

jk

a

jest elementem macierzy leżącym w j-tym wierszu i k-tej kolumnie

𝐴 =

𝑎

11

𝑎

12

… 𝑎

1𝑛

𝑎

21

𝑎

22

… 𝑎

2𝑛

𝑎

𝑚1

𝑎

𝑚2

… 𝑎

𝑚𝑛

= 𝑎

𝑖𝑗

𝑚×𝑛

Przykłady macierzy

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

4

2

2

typu

kwadratowa

macierz

4

3

3

1

x

n

stopnia

a

jednostkow

macierz

1

...

0

0

...

...

...

...

0

...

1

0

0

...

0

1

Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy I

n

background image

2011-10-22

3

Przykłady macierzy c.d.

rozmiarów

dowolnych

zerowa

macierz

0

...

0

...

...

...

0

...

0

0

...

0

2

3

2

5

0

2

7

4

0

0

1

3

0

0

0

2

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

5

macierz trójkątna dolna

główna

przekątna

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

6

PRZYKŁADY MACIERZY C.D.

2

1 −5 1

7

1

0

2

4 11

−5 2

3 −2 0

1

4 −2 −2 8

7 11 0

8

4

Macierz symetryczna

1

2

2

4

5

6

m i a s t a

1

0

10

21

13

6

22

2

10

0

39

14

11

10

3

21

39

0

5

8

4

4

13

14

5

0

5

6

5

6

11

8

5

0

15

6

22

10

4

6

15

0

o d l e g ł o ś c i

m

i

a
s

t

a

background image

2011-10-22

4

Działania na macierzach

    

B

A

b

a

b

a

ij

ij

ij

ij

:

ów

samych typ

tych

B

A,

macierzy

e

odejmowani

i

Dodawanie

Def.

6

4

1

2

3

2

3

3

1

0

1

2

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

7

Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne

Przykład

Działania na macierzach cd.

Mnożenie macierzy A przez liczbę c

   

ij

ij

a

c

a

c

c

A

)

6

(

3

2

3

)

4

(

3

1

3

3

3

)

3

(

3

6

2

4

0

3

3

3

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

8

PRZYKŁAD

background image

2011-10-22

5

Działania na macierzach cd.

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

9

6

5

4

3

2

1

6

4

2

5

3

1

T

Przykład

Def.Macierzą transponowaną do

𝐴 = 𝑎

𝑖𝑗

𝑚×𝑛

nazywamy macierz

𝐴

𝑇

= 𝑎

𝑖𝑗

𝑛×𝑚

.

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

10

Mnożenie macierzy jest łączne ale nieprzemienne. Jeśli AB istnieje, to BA niekoniecznie, a jeśli

nawet istnieją oba iloczyny , to na ogół nie są równe. Zawsze można mnożyd przez siebie

macierze kwadratowe tego samego stopnia

𝐷𝑒𝑓. Niech 𝐴 = 𝑎

𝑖𝑗

𝑚×𝑛

, 𝐵 = 𝑏

𝑗𝑘

𝑛×𝑟

, tj. liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy

B. Wówczas 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶 = 𝑐

𝑖𝑗

𝑚×𝑟

, gdzie

𝑐

𝑖𝑗

= 𝑎

𝑖1

𝑏

1𝑗

+ 𝑎

𝑖2

𝑏

2𝑗

+ ⋯ + 𝑎

𝑖𝑛

𝑏

𝑛𝑗

=

𝑎

𝑖𝑙

𝑏

𝑙𝑗

𝑛

𝑙=1

; i=1, 2, … ,m; j=1, 2, …,r.

(„

iloczyn i-tego wiersza przez j-tą kolumnę

)

u

i-ty wiersz

j-ta

kolumna

background image

2011-10-22

6

Mnożenie macierzy - przykład

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

11

2

0

2

3

2

1

1

1

2

2

0

3

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

12

Def.Wyznacznik macierzy kwadratowej det A, oznaczany jako

określa się następująco:

jeżeli stopień macierzy n=1, to

natomiast dla n>1:

gdzie W

1k

oznacza wyznacznik macierzy powstałej poprzez usunięcie z macierzy A

wiersza 1 i kolumny k

. W ogólnym przypadku wartość wyznacznika W można

wyznaczyć zastępując w powyższej definicji wiersz 1, dowolnym wierszem lub
dowolną kolumną macierzy

A.

background image

2011-10-22

7

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

13

PRZYKŁADY

det [5] = 5, det [-3] =-3

Jeśli

A

a

a

a

a



11

12

21

22

to

.

det

21

12

22

11

22

21

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

A

33

21

12

32

23

11

31

22

13

32

21

13

31

23

12

33

22

11

32

31

22

21

12

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

+

Jest to tzw.schemat Sarrusa

Z .KASPERSKI, wykłady t.3

14

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

1.

A

A

T

det

det

,

2. Jeśli A zawiera wiersz(kolumnę) składającą się z samych

zer, to det A=0,

3.Wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza(kolumny) można

wyjąc przed znak wyznacznika,

4. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny), to wyznacznik

zmieni znak,

5.Jeżeli macierz A ma dwa wiersze (kolumny) proporcjonalne,

to det A= 0,

6.Wyznacznik nie ulegnie zmianie, gdy do dowolnego wiersza

(kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez
dowolną liczbę,

7.

.

det

det

)

det(

B

A

B

A

PRZYKŁADY


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
macierze i wyznaczniki, wyklad Nieznany
macierze i wyznaczniki notatki z wykladu
2 Zadania do wykladu Macierze wyznaczniki
2 Zadania do wykladu Macierze wyznaczniki
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze i wyznaczniki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Matematyka, semestr 2
1 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
11 Macierze i wyznaczniki
ZAdania z matematyki, MACIERZE I WYZNACZNIKI-2010, MACIERZE I WYZNACZNIKI - ZADANIA
C 01 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki zadania
Mieloszyk E Macierze, wyznaczniki i układy równań
Macierze i wyznaczniki
Inf macierze wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, lista zadań

więcej podobnych podstron