2011-10-22
1
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
1
ALGEBRA MACIERZY
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
2
PRZYKŁAD
Zakład produkcyjny produkuje wyroby w1, w2, w3,
z surowców s1,s2,s3,s4.
Normy
zużycia surowców na jednostkę towaru podaje tabela
w1
w2
w2
s1
1
5
0
s2
4
2
1
s3
5
7
3
s4
0
5
2
Taką tablicę nazywa się macierzą
2011-10-22
2
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
3
Def.Macierzą liczbową o m wierszach i n kolumnach (lub typu mxn )nazywamy
prostokątną tablicę zawierającą m·n liczb. Tablicę taką zapisujemy w postaciach
następujących
:
•
Jeśli m =n, to macierz A nazywamy macierzą kwadratową stopnia n,
jk
a
jest elementem macierzy leżącym w j-tym wierszu i k-tej kolumnie
𝐴 =
𝑎
11
𝑎
12
… 𝑎
1𝑛
𝑎
21
𝑎
22
… 𝑎
2𝑛
…
…
…
…
𝑎
𝑚1
𝑎
𝑚2
… 𝑎
𝑚𝑛
= 𝑎
𝑖𝑗
𝑚×𝑛
Przykłady macierzy
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
4
2
2
typu
kwadratowa
macierz
4
3
3
1
x
n
stopnia
a
jednostkow
macierz
1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy I
n
2011-10-22
3
Przykłady macierzy c.d.
rozmiarów
dowolnych
zerowa
macierz
0
...
0
...
...
...
0
...
0
0
...
0
2
3
2
5
0
2
7
4
0
0
1
3
0
0
0
2
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
5
macierz trójkątna dolna
główna
przekątna
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
6
PRZYKŁADY MACIERZY C.D.
2
1 −5 1
7
1
0
2
4 11
−5 2
3 −2 0
1
4 −2 −2 8
7 11 0
8
4
Macierz symetryczna
1
2
2
4
5
6
m i a s t a
1
0
10
21
13
6
22
2
10
0
39
14
11
10
3
21
39
0
5
8
4
4
13
14
5
0
5
6
5
6
11
8
5
0
15
6
22
10
4
6
15
0
o d l e g ł o ś c i
m
i
a
s
t
a
2011-10-22
4
Działania na macierzach
B
A
b
a
b
a
ij
ij
ij
ij
:
ów
samych typ
tych
B
A,
macierzy
e
odejmowani
i
Dodawanie
Def.
6
4
1
2
3
2
3
3
1
0
1
2
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
7
Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne
Przykład
Działania na macierzach cd.
Mnożenie macierzy A przez liczbę c
ij
ij
a
c
a
c
c
A
)
6
(
3
2
3
)
4
(
3
1
3
3
3
)
3
(
3
6
2
4
0
3
3
3
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
8
PRZYKŁAD
2011-10-22
5
Działania na macierzach cd.
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
9
6
5
4
3
2
1
6
4
2
5
3
1
T
•
Przykład
Def.Macierzą transponowaną do
𝐴 = 𝑎
𝑖𝑗
𝑚×𝑛
nazywamy macierz
𝐴
𝑇
= 𝑎
𝑖𝑗
𝑛×𝑚
.
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
10
Mnożenie macierzy jest łączne ale nieprzemienne. Jeśli AB istnieje, to BA niekoniecznie, a jeśli
nawet istnieją oba iloczyny , to na ogół nie są równe. Zawsze można mnożyd przez siebie
macierze kwadratowe tego samego stopnia
𝐷𝑒𝑓. Niech 𝐴 = 𝑎
𝑖𝑗
𝑚×𝑛
, 𝐵 = 𝑏
𝑗𝑘
𝑛×𝑟
, tj. liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy
B. Wówczas 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶 = 𝑐
𝑖𝑗
𝑚×𝑟
, gdzie
𝑐
𝑖𝑗
= 𝑎
𝑖1
𝑏
1𝑗
+ 𝑎
𝑖2
𝑏
2𝑗
+ ⋯ + 𝑎
𝑖𝑛
𝑏
𝑛𝑗
=
𝑎
𝑖𝑙
𝑏
𝑙𝑗
𝑛
𝑙=1
; i=1, 2, … ,m; j=1, 2, …,r.
(„
iloczyn i-tego wiersza przez j-tą kolumnę
)
u
i-ty wiersz
j-ta
kolumna
2011-10-22
6
Mnożenie macierzy - przykład
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
11
2
0
2
3
2
1
1
1
2
2
0
3
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
12
Def.Wyznacznik macierzy kwadratowej det A, oznaczany jako
określa się następująco:
jeżeli stopień macierzy n=1, to
natomiast dla n>1:
gdzie W
1k
oznacza wyznacznik macierzy powstałej poprzez usunięcie z macierzy A
wiersza 1 i kolumny k
. W ogólnym przypadku wartość wyznacznika W można
wyznaczyć zastępując w powyższej definicji wiersz 1, dowolnym wierszem lub
dowolną kolumną macierzy
A.
2011-10-22
7
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
13
PRZYKŁADY
det [5] = 5, det [-3] =-3
Jeśli
A
a
a
a
a
11
12
21
22
to
.
det
21
12
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
A
33
21
12
32
23
11
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
32
31
22
21
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
Jest to tzw.schemat Sarrusa
Z .KASPERSKI, wykłady t.3
14
WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW
1.
A
A
T
det
det
,
2. Jeśli A zawiera wiersz(kolumnę) składającą się z samych
zer, to det A=0,
3.Wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza(kolumny) można
wyjąc przed znak wyznacznika,
4. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny), to wyznacznik
zmieni znak,
5.Jeżeli macierz A ma dwa wiersze (kolumny) proporcjonalne,
to det A= 0,
6.Wyznacznik nie ulegnie zmianie, gdy do dowolnego wiersza
(kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez
dowolną liczbę,
7.
.
det
det
)
det(
B
A
B
A
PRZYKŁADY