1
Macierze
Definicja (macierzy)
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru
k
w
, gdzie
N
k
w
,
, nazywamy prostokątną tablicę złożoną
z
k
w
liczb rzeczywistych (zespolonych)
ij
a
dla
w
i
,
,
2
,
1
,
k
j
,
,
2
,
1
ustawionych w
w wierszach i
k
kolumnach:
wk
w
w
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
Oznaczenie macierzy:
duże litery np. A, B, X lub
k
w
k
w
k
w
X
A
,
, B
ij
a
lub
k
w
ij
a
UWAGA: Rozważa się także, macierze, których elementami są funkcje.
Definicja (równości macierzy)
Macierze
n
m
ij
a
,
q
p
ij
b
są równe
wtedy i tylko wtedy, gdy
Mają ten sam wymiar (
p
m
i
)
q
n
oraz
ij
ij
b
a
, dla każdego
m
i
1
,
n
j
1
Definicja (rodzaje macierzy)
1. Macierz zerowa 0
k
w
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. Macierz kwadratowa – macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn(
k
w
)
Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny tworzą główną przekątną
macierzy
Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej
3. Macierz trójkątna dolna – macierz kwadratowa stopnia
2
w
, w której wszystkie elementy nad
główną przekątną są równe 0
ww
w
w
w
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
33
32
31
22
21
11
0
0
0
0
0
4. Macierz trójkątna górna – macierz kwadratowa stopnia
2
w
w której wszystkie elementy pod
główną przekątną są równe 0
5. Macierz diagonalna – macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy pod główną przekątną i
nad główną przekątną są równe 0
ww
a
a
a
a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
33
22
11
2
6. Macierz jednostkowa – macierz diagonalna, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są
równe 1. Oznaczenie: I, I
n
I=
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Działania na macierzach
Definicja (suma macierzy)
Niech
A
,
B
, będą macierzami tego samego wymiaru
A+B=
wk
wk
w
w
w
w
k
k
k
k
wk
w
w
k
b
k
wk
w
w
k
k
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11
Definicja (iloczyn macierzy przez liczbę)
Niech
A
, będzie macierzą wymiaru
k
w
oraz niech
b
będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną.
wk
w
w
k
k
wk
w
w
k
k
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
A
b
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11
Definicja (iloczyn macierzy)
Niech macierz
A
będzie wymiaru
k
p a macierz
B
wymiaru
n
k
.
(Niech liczba kolumn pierwszej macierzy będzie równa liczbie wierszy drugiej macierzy)
kn
pk
n
p
n
p
k
pk
p
p
k
pk
p
p
kn
k
n
n
k
k
k
k
kn
k
n
n
k
k
k
k
kn
k
k
n
n
pk
p
p
k
k
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
B
A
2
2
1
1
2
22
2
12
1
1
21
2
11
1
2
2
22
1
21
2
2
22
22
12
21
1
2
21
22
11
21
1
2
12
1
11
2
1
22
12
12
11
1
1
21
12
11
11
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11
Definicja (macierz transponowana)
Niech
wk
w
w
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
, będzie macierzą wymiaru
k
w
.
Macierz transponowana
T
A jest określona następująco:
wk
k
k
w
w
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
12
1
21
11
3
Własności działań na macierzach
Niech
C
B
A
,
,
- macierze podanego wymiaru,
,
- liczby
1.
k
w
k
w
k
w
k
w
A
B
B
A
2.
)
(
)
(
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
C
A
B
C
B
A
3.
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
A
A
A
0
0
4.
0
)
(
k
w
k
w
A
A
5.
k
w
k
w
k
w
k
w
A
B
B
A
)
(
6.
k
w
k
w
k
w
A
A
A
)
(
7.
)
(
)
(
k
w
k
w
A
A
8.
)
(
)
(
l
k
k
n
n
m
l
k
k
n
n
m
C
B
A
C
B
A
9.
k
n
n
m
k
n
n
m
k
n
k
n
n
m
C
A
B
A
C
B
A
)
(
10.
k
n
n
m
k
n
n
m
k
n
n
m
n
m
C
A
C
A
C
B
A
)
(
11.
)
(
)
(
)
(
k
n
n
m
k
n
n
m
k
n
n
m
B
A
B
A
B
A
12.
n
m
n
m
m
n
n
m
A
A
I
I
A
13.
T
k
w
T
k
w
T
k
w
k
w
B
A
B
A
)
(
)
(
)
(
14.
T
k
w
T
n
k
T
n
k
k
w
A
B
B
A
)
(
)
(
)
(
15.
k
w
T
T
k
w
A
A
)
)
((
UWAGA:
1. Mnożenie macierzy nie jest przemienne
2.
n
n
A
A
A
A
A
A
Definicja (wyznacznika)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A
jest liczba
A
det
przyporządkowana macierzy kwadratowej A
według następującej reguły:
1. Jeśli
11
a
A
jest macierzą stopnia 1, to
11
det
a
A
2. Jeśli
nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
jest macierzą stopnia
2
n
, to
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
3
33
32
2
23
22
11
1
1
det
)
1
(
det
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
1
3
33
31
2
23
21
12
2
1
det
)
1
(
+
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
3
32
31
2
22
21
13
3
1
det
)
1
(
+
)
1
(
2
1
)
1
(
3
32
31
)
1
(
2
22
21
1
1
det
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
w skrócie wyznacznik macierzy stopnia
2
n
określamy następująco:
n
n
n
A
a
A
a
A
a
A
1
1
1
12
12
2
1
11
11
1
1
det
)
1
(
det
)
1
(
det
)
1
(
det
,
gdzie
ij
A
oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie
i
- tego wiersza i
j -tej kolumny.
4
UWAGA
Inne oznaczenie wyznacznika macierzy A
|A|
]
det[
ij
a
det
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
Przykład
Obliczyć wyznacznik macierzy:
6
2
1
3
5
0
3
4
2
2
1
5
0
3
)
1
(
6
1
3
0
)
4
(
)
1
(
6
2
3
5
2
)
1
(
6
2
1
3
5
0
3
4
2
3
1
2
1
1
1
Obliczenia pomocnicze:
36
6
30
)
2
(
3
6
5
]
2
det[
3
)
1
(
]
6
det[
5
)
1
(
6
2
3
5
3
2
3
]
1
det[
3
)
1
(
]
6
det[
0
)
1
(
6
1
3
0
3
2
5
]
1
det[
5
)
1
(
]
2
det[
0
)
1
(
2
1
5
0
3
2
zatem
45
15
12
72
)
5
(
3
)
3
(
)
4
(
)
1
(
36
2
6
2
1
3
5
0
3
4
2
Do zapamiętania
Do zapamiętania
Tzw. reguła Sarrusa
(dotyczy TYLKO wyznaczników stopnia trzeciego)
21
12
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
23
22
21
13
12
11
21
12
33
11
32
23
31
22
13
23
12
31
13
32
21
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
5
Własności wyznaczników
1. Jeśli w wyznaczniku występuje kolumna (wiersz) zer, to wyznacznik jest równy zero.
2. Jeśli w wyznaczniku występują dwie jednakowe kolumny (wiersze), to wyznacznik jest równy zero
Ogólnie:
Jeśli w wyznaczniku występują dwie „ proporcjonalne” kolumny (wiersze), to
wyznacznik jest równy zero
3. Jeśli w wyznaczniku przestawione zostaną dwie kolumny (dwa wiersze) to wyznacznik zmieni się na
przeciwny.
4. Jeżeli do elementów pewnej kolumny wyznacznika dodane zostaną odpowiednie elementy innej
kolumny pomnożone przez stałą, to wyznacznik nie zmieni się. Analogicznie dla wierszy
Ogólnie:
Jeżeli do elementów pewnej kolumny wyznacznika dodana zostanie suma odpowiednich
elementów innych kolumn pomnożonych przez stałą, to wyznacznik nie zmieni się.
Analogicznie dla wierszy
5. Zachodzi równość
nn
nj
nj
n
n
n
j
j
n
j
j
a
c
b
a
a
a
c
b
a
a
a
c
b
a
a
2
1
2
2
2
22
21
1
1
1
12
11
=
=
nn
nj
n
n
n
j
n
j
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
+
nn
nj
n
n
n
j
n
j
a
c
a
a
a
c
a
a
a
c
a
a
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
6. Zachodzi równość
nn
nj
n
n
n
j
n
j
nn
nj
n
n
n
j
n
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
7. Zachodzi równość
nn
nj
n
n
n
j
n
j
n
nn
nj
n
n
n
j
n
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
8. Zachodzi równość: det
T
A =detA
Twierdzenie (rozwinięcie Laplace`a
Niech
ij
a
A
będzie macierzą kwadratową stopnia
2
n
. Niech liczby naturalne i, j będą ustalone
(
n
i
1
,
n
j
1
).Wtedy wyznacznik można obliczyć za pomocą jednego ze wzorów:
6
1.
in
in
n
i
i
i
i
i
i
i
A
a
A
a
A
a
A
det
)
1
(
det
)
1
(
det
)
1
(
det
2
2
2
1
1
1
,
2.
nj
nj
j
n
j
j
j
j
j
j
A
a
A
a
A
a
A
det
)
1
(
det
)
1
(
det
)
1
(
det
2
2
2
1
1
1
gdzie
ij
A
oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie
i
- tego wiersza i
j -tej kolumny.
UWAGA
1. Wzór 1 nazywamy się rozwinięciem Laplace`a względem i-tego wiersza.
Wzór 2 nazywamy się rozwinięciem Laplace`a względem j-tej kolumny.
2. Liczbę
ij
j
i
ij
A
D
det
)
1
(
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu
ij
a
macierzy
kwadratowej
A
.
Definicja (macierzy odwrotnej)
Niech macierz A będzie macierzą kwadratową stopnia n
Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez
1
A , która spełnia warunek:
n
I
A
A
A
A
1
1
gdzie
n
I jest macierzą jednostkową stopnia n
Uwaga
1. Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy A, to macierz A nazywamy odwracalną i wówczas
0
det
A
.
2. Macierz odwrotna jest określona jednoznacznie.
Fakt
A-macierz odwracalna
0
det
A
Twierdzenie
Niech
ij
a
A
- macierz stopnia n i
0
det
A
wtedy:
T
nn
n
n
n
n
D
D
D
D
D
D
D
D
D
A
A
2
1
2
22
21
1
12
11
1
det
1
gdzie
ij
D
oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów
ij
a
macierzy A
Zadanie
Znaleźć
1
A macierzy
1
5
3
2
4
0
3
1
2
A
Odp.
detA=2,
4
2
13
6
2
3
5
8
7
2
7
1
A