Macierze i wyznaczniki

background image

1

Macierze

Definicja (macierzy)
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru

k

w

, gdzie

N

k

w

,

, nazywamy prostokątną tablicę złożoną

z

k

w

liczb rzeczywistych (zespolonych)

ij

a

dla

w

i

,

,

2

,

1

,

k

j

,

,

2

,

1

ustawionych w

w wierszach i

k

kolumnach:

wk

w

w

k

k

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

1

2

22

21

1

12

11

Oznaczenie macierzy:

 duże litery np. A, B, X lub

k

w

k

w

k

w

X

A

,

, B

 

ij

a

lub

 

k

w

ij

a

UWAGA: Rozważa się także, macierze, których elementami są funkcje.
Definicja (równości macierzy)
Macierze

 

n

m

ij

a

,

 

q

p

ij

b

są równe

wtedy i tylko wtedy, gdy

Mają ten sam wymiar (

p

m

i

)

q

n

oraz

ij

ij

b

a

, dla każdego

m

i

1

,

n

j

1


Definicja (rodzaje macierzy)

1. Macierz zerowa 0

k

w

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2. Macierz kwadratowa – macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn(

k

w

)

Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny tworzą główną przekątną
macierzy
Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej

3. Macierz trójkątna dolna – macierz kwadratowa stopnia

2

w

, w której wszystkie elementy nad

główną przekątną są równe 0

ww

w

w

w

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

3

2

1

33

32

31

22

21

11

0

0

0

0

0

4. Macierz trójkątna górna – macierz kwadratowa stopnia

2

w

w której wszystkie elementy pod

główną przekątną są równe 0

5. Macierz diagonalna – macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy pod główną przekątną i

nad główną przekątną są równe 0

ww

a

a

a

a

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

33

22

11

background image

2

6. Macierz jednostkowa – macierz diagonalna, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są

równe 1. Oznaczenie: I, I

n

I=

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

Działania na macierzach

Definicja (suma macierzy)
Niech

A

,

B

, będą macierzami tego samego wymiaru


A+B=

wk

wk

w

w

w

w

k

k

k

k

wk

w

w

k

b

k

wk

w

w

k

k

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

2

1

1

2

2

22

22

21

21

1

1

12

12

11

11

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

2

22

21

1

12

11


Definicja (iloczyn macierzy przez liczbę)
Niech

A

, będzie macierzą wymiaru

k

w

oraz niech

b

będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną.

wk

w

w

k

k

wk

w

w

k

k

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

A

b

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

2

22

21

1

12

11


Definicja (iloczyn macierzy)
Niech macierz

A

będzie wymiaru

k

p  a macierz

B

wymiaru

n

k

.

(Niech liczba kolumn pierwszej macierzy będzie równa liczbie wierszy drugiej macierzy)

kn

pk

n

p

n

p

k

pk

p

p

k

pk

p

p

kn

k

n

n

k

k

k

k

kn

k

n

n

k

k

k

k

kn

k

k

n

n

pk

p

p

k

k

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

B

A

2

2

1

1

2

22

2

12

1

1

21

2

11

1

2

2

22

1

21

2

2

22

22

12

21

1

2

21

22

11

21

1

2

12

1

11

2

1

22

12

12

11

1

1

21

12

11

11

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

2

22

21

1

12

11

Definicja (macierz transponowana)

Niech

wk

w

w

k

k

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

2

1

2

22

21

1

12

11

, będzie macierzą wymiaru

k

w

.

Macierz transponowana

T

A jest określona następująco:

wk

k

k

w

w

T

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

2

1

2

22

12

1

21

11

background image

3

Własności działań na macierzach

Niech

C

B

A

,

,

- macierze podanego wymiaru,

,

- liczby

1.

k

w

k

w

k

w

k

w

A

B

B

A

2.

)

(

)

(

k

w

k

w

k

w

k

w

k

w

k

w

C

A

B

C

B

A

3.

k

w

k

w

k

w

k

w

k

w

A

A

A

0

0

4.

0

)

(

k

w

k

w

A

A

5.

k

w

k

w

k

w

k

w

A

B

B

A

)

(

6.

k

w

k

w

k

w

A

A

A

)

(

7.

)

(

)

(

k

w

k

w

A

A

8.

)

(

)

(

l

k

k

n

n

m

l

k

k

n

n

m

C

B

A

C

B

A

9.

k

n

n

m

k

n

n

m

k

n

k

n

n

m

C

A

B

A

C

B

A

)

(

10.

k

n

n

m

k

n

n

m

k

n

n

m

n

m

C

A

C

A

C

B

A

)

(

11.

)

(

)

(

)

(

k

n

n

m

k

n

n

m

k

n

n

m

B

A

B

A

B

A

12.

n

m

n

m

m

n

n

m

A

A

I

I

A

13.

T

k

w

T

k

w

T

k

w

k

w

B

A

B

A

)

(

)

(

)

(

14.

T

k

w

T

n

k

T

n

k

k

w

A

B

B

A

)

(

)

(

)

(

15.

k

w

T

T

k

w

A

A

)

)

((

UWAGA:

1. Mnożenie macierzy nie jest przemienne
2.

n

n

A

A

A

A

A

A

 

 

Definicja (wyznacznika)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A

jest liczba

A

det

przyporządkowana macierzy kwadratowej A

według następującej reguły:

1. Jeśli

 

11

a

A

jest macierzą stopnia 1, to

11

det

a

A

2. Jeśli

nn

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

3

2

1

3

33

32

31

2

23

22

21

1

13

12

11

jest macierzą stopnia

2

n

, to

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

2

1

3

33

32

2

23

22

11

1

1

det

)

1

(

det

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

3

1

3

33

31

2

23

21

12

2

1

det

)

1

(

+

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

1

3

32

31

2

22

21

13

3

1

det

)

1

(

+

)

1

(

2

1

)

1

(

3

32

31

)

1

(

2

22

21

1

1

det

)

1

(

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a


w skrócie wyznacznik macierzy stopnia

2

n

określamy następująco:

n

n

n

A

a

A

a

A

a

A

1

1

1

12

12

2

1

11

11

1

1

det

)

1

(

det

)

1

(

det

)

1

(

det

,

gdzie

ij

A

oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie

i

- tego wiersza i

j -tej kolumny.

background image

4

UWAGA
Inne oznaczenie wyznacznika macierzy A

 |A|

]

det[

ij

a

 det

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

1

2

22

21

1

12

11

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

1

2

22

21

1

12

11

Przykład

Obliczyć wyznacznik macierzy:

6

2

1

3

5

0

3

4

2

2

1

5

0

3

)

1

(

6

1

3

0

)

4

(

)

1

(

6

2

3

5

2

)

1

(

6

2

1

3

5

0

3

4

2

3

1

2

1

1

1

Obliczenia pomocnicze:

36

6

30

)

2

(

3

6

5

]

2

det[

3

)

1

(

]

6

det[

5

)

1

(

6

2

3

5

3

2

3

]

1

det[

3

)

1

(

]

6

det[

0

)

1

(

6

1

3

0

3

2

5

]

1

det[

5

)

1

(

]

2

det[

0

)

1

(

2

1

5

0

3

2

zatem

45

15

12

72

)

5

(

3

)

3

(

)

4

(

)

1

(

36

2

6

2

1

3

5

0

3

4

2

Do zapamiętania




Do zapamiętania

Tzw. reguła Sarrusa

(dotyczy TYLKO wyznaczników stopnia trzeciego)




21

12

22

11

22

21

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

23

22

21

13

12

11

21

12

33

11

32

23

31

22

13

23

12

31

13

32

21

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

background image

5


Własności wyznaczników

1. Jeśli w wyznaczniku występuje kolumna (wiersz) zer, to wyznacznik jest równy zero.

2. Jeśli w wyznaczniku występują dwie jednakowe kolumny (wiersze), to wyznacznik jest równy zero

Ogólnie:

Jeśli w wyznaczniku występują dwie „ proporcjonalne” kolumny (wiersze), to
wyznacznik jest równy zero

3. Jeśli w wyznaczniku przestawione zostaną dwie kolumny (dwa wiersze) to wyznacznik zmieni się na

przeciwny.

4. Jeżeli do elementów pewnej kolumny wyznacznika dodane zostaną odpowiednie elementy innej

kolumny pomnożone przez stałą, to wyznacznik nie zmieni się. Analogicznie dla wierszy

Ogólnie:
Jeżeli do elementów pewnej kolumny wyznacznika dodana zostanie suma odpowiednich
elementów innych kolumn pomnożonych przez stałą, to wyznacznik nie zmieni się.
Analogicznie dla wierszy

5. Zachodzi równość

nn

nj

nj

n

n

n

j

j

n

j

j

a

c

b

a

a

a

c

b

a

a

a

c

b

a

a

2

1

2

2

2

22

21

1

1

1

12

11

=

=

nn

nj

n

n

n

j

n

j

a

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

+

nn

nj

n

n

n

j

n

j

a

c

a

a

a

c

a

a

a

c

a

a

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11


6. Zachodzi równość

nn

nj

n

n

n

j

n

j

nn

nj

n

n

n

j

n

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

a

a

b

a

a

a

a

b

a

a

a

a

b

a

a

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

7. Zachodzi równość

nn

nj

n

n

n

j

n

j

n

nn

nj

n

n

n

j

n

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11


8. Zachodzi równość: det

T

A =detA



Twierdzenie (rozwinięcie Laplace`a
Niech

 

ij

a

A

będzie macierzą kwadratową stopnia

2

n

. Niech liczby naturalne i, j będą ustalone

(

n

i

1

,

n

j

1

).Wtedy wyznacznik można obliczyć za pomocą jednego ze wzorów:

background image

6

1.

in

in

n

i

i

i

i

i

i

i

A

a

A

a

A

a

A

det

)

1

(

det

)

1

(

det

)

1

(

det

2

2

2

1

1

1

,

2.

nj

nj

j

n

j

j

j

j

j

j

A

a

A

a

A

a

A

det

)

1

(

det

)

1

(

det

)

1

(

det

2

2

2

1

1

1


gdzie

ij

A

oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie

i

- tego wiersza i

j -tej kolumny.


UWAGA

1. Wzór 1 nazywamy się rozwinięciem Laplace`a względem i-tego wiersza.
Wzór 2 nazywamy się rozwinięciem Laplace`a względem j-tej kolumny.
2. Liczbę

ij

j

i

ij

A

D

det

)

1

(

nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu

ij

a

macierzy

kwadratowej

A

.


Definicja (macierzy odwrotnej)
Niech macierz A będzie macierzą kwadratową stopnia n
Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez

1

A , która spełnia warunek:

n

I

A

A

A

A

1

1

gdzie

n

I jest macierzą jednostkową stopnia n


Uwaga

1. Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy A, to macierz A nazywamy odwracalną i wówczas

0

det

A

.

2. Macierz odwrotna jest określona jednoznacznie.

Fakt

A-macierz odwracalna

0

det

A

Twierdzenie
Niech

 

ij

a

A

- macierz stopnia n i

0

det

A

wtedy:

T

nn

n

n

n

n

D

D

D

D

D

D

D

D

D

A

A

2

1

2

22

21

1

12

11

1

det

1


gdzie

ij

D

oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów

ij

a

macierzy A


Zadanie

Znaleźć

1

A macierzy

1

5

3

2

4

0

3

1

2

A

Odp.

detA=2,

4

2

13

6

2

3

5

8

7

2

7

1

A


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze i wyznaczniki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Matematyka, semestr 2
1 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
11 Macierze i wyznaczniki
ZAdania z matematyki, MACIERZE I WYZNACZNIKI-2010, MACIERZE I WYZNACZNIKI - ZADANIA
C 01 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki zadania
Mieloszyk E Macierze, wyznaczniki i układy równań
macierze i wyznaczniki, wyklad Nieznany
Inf macierze wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, lista zadań
6-MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH, MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki2, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
Macierze wyznaczniki Wykład 3
3 Macierze i wyznaczniki

więcej podobnych podstron