MACIERZE I WYZNACZNIKI

I . Podstawowe określenia

Macierzą wymiaru
, gdzie
, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z
liczb rzeczywistych ( lub zespolonych ) ustawionych w
wierszach i
kolumnach

.

Uwaga .

1) Macierze oznaczać będziemy dużymi literami alfabetu .

2) Element macierzy
stojący w
wierszu oraz w
kolumnie oznaczamy
.

3) Macierz
można także zapisywać w postaci
.

Rodzaje macierzy :

1. Macierz wymiaru
, której wszystkie elementy są równe zero nazywamy macierzą zerową

=
.

2. Macierz , której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową

3. Macierz kwadratową stopnia
, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe zero , nazywamy macierzą trójkątną dolną . Podobnie określa się macierz trójkątną górną .

Przykład :

,
.

4. Macierz kwadratową stopnia
, w której elementy poza główną są równe zero , nazywamy macierzą diagonalną .

Macierz diagonalną stopnia
, w której elementy głównej przekątnej są równe 1 , nazywamy macierzą jednostkową .

Przykład :
,
=
.

II . Działania na macierzach

Niech
i
będą macierzami ( tego samego ! ) wymiaru
.

1. Sumą ( różnicą ) macierzy
i
nazywamy macierz
, której elementy są określone wzorem :

.

Zatem
.

2. Iloczynem macierzy
przez liczbę
nazywamy macierz
.

Przykład :

1)
,

2)
,

3)
.

Własności działań na macierzach

Niech
,
i
będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz niech
,
będą dowolnymi liczbami . Wtedy

1)
; 2)
;

3)
; 4)
;

5)
; 6)
;

7)
; 8)
.

3. Niech macierz
ma wymiar
, a macierz
wymiar
.

Iloczynem macierzy
i
nazywamy macierz
wymiaru
, której elementy określone są wzorem :
dla
,
.

Uwaga . Iloczyn macierzy
i
można obliczyć tylko wtedy , gdy liczba kolumn macierzy
równa się liczbie wierszy macierzy
.

Przykład :

1)
=
;

2)
.

Macierzą transponowaną do macierzy
wymiaru
nazywamy macierz
wymiaru
.

Uwaga . Przy transponowaniu , kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami macierzy transponowanej .

Własności transpozycji macierzy

1. Niech
i
będą macierzami wymiaru
. Wtedy

.

2. Niech
będzie macierzą wymiaru
oraz
dowolną liczbą . Wtedy

oraz
.

3. Niech
będzie macierzą wymiaru
, a
macierzą wymiaru
. Wtedy

.

Wyznacznik macierzy

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję , która każdej macierzy
przyporządkowuje liczbę
.

Uwaga . Wyznacznik macierzy
oznaczamy także przez
lub
.

Reguły obliczania wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego

1)
;

2)
.

Niech
będzie macierzą kwadratową stopnia
.

Dopełnieniem algebraicznym elementu
macierzy
nazywamy liczbę :

,

gdzie
oznacza macierz stopnia
otrzymaną przez skreślenie
wiersza i
kolumny macierzy
.

Rozwinięcie Laplace'a wyznacznika

Niech
będzie macierzą kwadratową stopnia
oraz niech liczby naturalne
oraz
, gdzie
będą ustalone . Wtedy wyznacznik macierzy
można obliczyć ze wzorów :

1.

( Wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów
wiersza i ich dopełnień

algebraicznych - rozwinięcie Laplace'a względem
wiersza ) .

2.

( Wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów
kolumny i ich dopełnień algebraicznych - rozwinięcie Laplace'a względem
kolumny ) .

Własności wyznaczników

1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej jedną kolumnę ( lub jeden wiersz ) złożoną z samych zer jest równy zero .

Przykład .
.

2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak , jeżeli przestawimy między sobą dwie kolumny ( lub dwa wiersze ) .

Przykład .
.

3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe kolumny ( dwa jednakowe wiersze ) jest równy zero .

Przykład .
,
.

4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny ( pewnego wiersza ) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik , to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy .

Przykład .
.

5. Wyznacznik macierzy kwadratowej , której elementy pewnej kolumny ( pewnego wiersza ) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy , w której elementy tej kolumny ( tego wiersza ) są zastąpione tymi składnikami .

Przykład .

6. Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się , jeżeli do elementów dowolnej kolumny ( dowolnego wiersza ) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny ( innego wiersza ) tej macierzy pomnożonych przez dowolne liczby .

7.
.

8. Jeżeli macierze
i
są tego samego stopnia , to

.

Uwaga . Na ogół wyznacznik sumy macierzy nie równa się sumie ich wyznaczników , np.

.

Macierz odwrotna

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej
stopnia
nazywamy macierz oznaczoną przez
, która spełnia warunek :

,

gdzie
jest macierzą jednostkową stopnia
.

Macierz kwadratową
nazywamy osobliwą , gdy
. W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz
jest nieosobliwa .

Jeżeli macierz
stopnia
jest nieosobliwa , to

=
,

gdzie
oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów
macierzy
.

Bezwyznacznikowa metoda znajdowania macierzy odwrotnej

Niech
będzie macierzą nieosobliwą . Aby znaleźć macierz odwrotną do macierzy
postępujemy w następujący sposób .

Z prawej strony macierzy
dopisujemy macierz jednostkową
tego samego stopnia . Na wierszach otrzymanej macierzy blokowej
będziemy wykonywać następujące operacje elementarne :

1. przestawiać między sobą dwa dowolne wiersze
;

2. dowolny wiersz mnożyć przez stałą różną od zera
;

3. do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy

pomnożonych przez dowolne liczby
.

Przy pomocy tych operacji sprowadzamy macierz blokową
do postaci
. Macierz
jest wtedy macierzą odwrotną do macierzy
tj.
.

Rząd macierzy

Niech
będzie macierzą wymiaru
oraz niech
.

Minorem stopnia
macierzy
nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej , która powstała po skreśleniu
wierszy i
kolumn w macierzy
.

Rzędem macierzy nazywamy największy stopień niezerowego minora tej macierzy i oznaczamy
.

Uwaga .

1. Rząd macierzy
wymiaru
spełnia nierówność :
.

2. Rząd macierzy ( kwadratowej ) nieosobliwej jest równy jej stopniowi .

3. Rząd macierzy transponowanej :
.

Macierz nazywamy schodkową , gdy pierwsze niezerowe elementy w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach .

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy .

Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniają jej rzędu .

7

---