Macierze
Dziaªania na macierzach
1. Niech b¦d¡ dane macierze
A =
1 2
−3 0
, B =
0 −8
4
12
, C =
1
2 3
3
−1 2
, D =
1 2 2
0 1 0
5 0 2
,
E
=
3
−1
2
−3
2
0
, F =
1
2
3 1
0
0
−1 0
1
−1
4 0
6
3
0 1
, G =
0 2
0 1
−2 0
1 3
1 0
−3 0
2 0
0 1
, H =
1 0
0 4
0 1
1 0
1 3
−5 1
.
a) Obliczy¢
A + B, 2A
− 3B,
1
2
A, 3C, A
· B, B · C, D · E, E · C, A
T
, C
T
, D
T
+ D, D
T
· H.
b) Czy mo»na wykona¢ nast¦puj¡ce dziaªania?
A + C,
2C
− E
T
,
H
· F,
H
T
· D,
(F
· G) · H,
C
T
· H
T
.
2. Wykona¢ podane dziaªania:
a)
1 n
0 1
·
1 m
0
1
;
b)
cos α − sin α
sin α
cos α
·
cos β − sin β
sin β
cos β
;
c)
3
0 3
2
−3 0
3
−5 1
·
3 0
2 2
0 3
;
d)
1 3
5 0
3 1
·
0 1 0 2 0
1 3 5 7 9
;
f )
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 3
0 0 3 1
·
1 1
0
0
1 1
0
0
0 0
1
−1
0 0
−1
1
;
g)
1
1
1
−1
−5
−3
−4
4
5
1
4
−3
−16 −11 −15
14
·
7
−2 3 4
11
0
3 4
5
4
3 0
22
2
9 8
.
1
3. Policzy¢
a)
1 −2
3
−4
3
;
b)
4 −1
5
−2
5
;
c)
2 −1
3
−2
n
;
d)
cos α − sin α
sin α
cos α
n
;
e)
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 0 . . . 1
.
.
.
. . .
.
0 0 0 . . . 1
3
;
f )
1 1 0 0 . . . 0 0
0 1 1 0 . . . 0 0
0 0 1 1 . . . 0 0
.
.
.
.
. . .
.
.
0 0 0 0 . . . 0 1
n
;
g) 2
·
3 0 2 0
0 1 2 1
2 3 0 0
·
1
−2
2
2
−1
1
−1
1
−2
2
2
−1
+
−2
0
−3
0
6
−3
−3 −2
0
T
.
h)
1 0 2 0
0 1 0 1
−1 2 0 0
0 0 0 1
−1
·
1
−2
2
−1
−1
1
2
2
+
−2 0 −3 1 1
0 6
−3 1 0
T
.
3. Znale¹¢ macierze odwrotne do macierzy
a)
2 3
4 3
,
b)
3
−4
5
2
−3
1
3
−5 −1
,
c)
1
2
2
2
1
−2
2
−2
1
,
d)
1
1
1
1
1
1
−1 −1
1
−1
1
−1
1
−1 −1
1
.
4. Pomno»y¢ podane macierze w pier±cieniu Z/6.
a)
1 5
0 3
·
1 4
0 1
;
b)
1 2
4 3
·
0 2
5 4
;
c)
3
0 3
4
−3 0
3
−2 1
·
4
0
2
−1
0
3
;
d)
−2 3
0
0
−3 1
·
0 1
0
2 0
1 3
−5 3 2
;
f )
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 3
0 0 3 1
·
1 1
0
0
1 1
0
0
0 0
1
−1
0 0
−1
1
;
g)
1
1
1
−1
−5 −3 −4
4
5
1
4
−3
4
0
0
1
·
1
−2 3 4
1
0
3 4
5
4
3 0
2
2
5 0
.
2
Macierz odwrotna, transponowana. Równania macierzowe
5. Znale¹¢ macierz odwrotn¡ do macierzy stopnia n
a)
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 1 . . . 1
.
.
.
. . .
.
0 0 0 . . . 1
,
b)
1 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
.
.
.
. . .
.
0 0 0 . . . 1
,
c)
1 2 3 4 . . . n
− 1
n
0 1 2 3 . . . n
− 2 n − 1
0 0 1 2 . . . n
− 3 n − 2
.
.
.
.
. . .
.
.
0 0 0 0 . . .
1
2
0 0 0 0 . . .
0
1
.
6. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe
a)
2 1
1 0
· A
T
−1
=
2 2
1 0
,
b)
1 2 3
1 2 4
3 2 1
· X =
−1
2
3
−1
1
1
,
7. Wyznaczy¢ macierz
A
− C
T
T
A B
2
,
gdzie A =
2 1
1 3
−2 0
, B =
1 2
3 4
, C =
1 1 1
0 5 1
.
8. Rozwi¡za¢ równania macierzowe
a) X
0 0 2
0 2 0
2 0 0
=
1 0 2
2 0 1
1 1 1
T
,
b)
1 1 0
0 2 0
0 1 2
1 0 1
T
X =
2 1
1 0
.
9. Korzystaj¡c z wªasno±ci dziaªa« na macierzach oraz wªasno±ci transponowa-
nia macierzy uzasadni¢ nast¦pujace to»samo±ci
a)
(ABC)
T
= C
T
B
T
A
T
,
gdzie A, B, C s¡ macierzami o wymiarach odpowiednio nxm, mxk, kxl,
3
b)
(A
± B)
2
= A
2
± 2AB + B
2
,
gdzie A i B s¡ przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych
stopni.
10. Rozwi¡za¢ równanie
a)
1
1 1
2
4 0
5
−1 1
· X =
3
−5
1
,
b)
1 2 3
−1 0 2
3 3 3
· X =
2 2
3 3
4 6
.
11. Znale¹¢ wszystkie macierze A takie, »e
1 2
0 1
· A = A ·
1 2
0 1
.
12. Rozwi¡za¢ równania
a) X
− iX
T
=
1
−2
−3
2
,
b) X
· X
T
− X
2
=
−3
0
1
−1
.
13. Sprawdzi¢, »e macierz A =
1 −1
0
2
speªnia równanie
A
2
− 3A + 2I = 0
i korzystaj¡c z tego faktu pokaza¢,»e
A
−1
=
1
2
(3I
− A) ,
gdzie I jest tu macierz¡ jednostkow¡ stopnia drugiego
14. Udowodni¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci macierzy:
a) Ró»nica dwóch macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz¡ diagonaln¡.
b) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A − A
T
jest sko±nie symetryczna.
Macierz kwadratow¡ P nazywamy idempotentn¡ je»eli P
2
= P.
4
c)
Je»eli macierz P jest idempotentna, to dla ka»dej macierz A tego samego stopnia
co P macierz Q = P + AP − P AP jest idempotentna.
d)
Je»eli macierz P jest macierza idempotentn¡, to macierz Q = I − aP jest
odwracalna dla a 6= 1 i Q
−1
= I +
a
1
− a
P.
e)
Je»eli macierze B i BC s¡ odwracalne, to macierz C jest odwracalna.
Rozwi¡zywanie ukªadów równa« liniowych
metod¡ Gaussa
Nast¦puj¡ce ukªady równa« rozwi¡za¢ stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa:
a)
x + y + 2z =
1
b)
− 2x + 3y + 3z = −9
c)
x + y + z = 4
3x
− y + z = −1
3x
− 4y + z = 5
x + z = 5
−x + 3y + 4z =
1
− 5 x + 7y + 2z = −14
2x + 5y + 2z = 5,
d)
x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 4
e)
3x
1
+ x
2
− 2x
3
= 11
−3x
1
+ x
2
= 4
− 2x
1
+ x
2
+ 3x
3
=
−5
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 3,
2x
1
+ x
2
− x
3
= 8,
f )
x
1
− 3x
2
− x
4
=
−1
g)
x
1
− x
2
+ x
3
− 2x
4
+ x
5
= 0
−x
1
+ 3x
2
+ x
3
+ x
4
=
3
3 x
1
+ 4x
2
− x
3
+ x
4
+ 3x
5
= 1
2x
1
− 6x
2
+ x
3
− x
5
=
−1
x
1
− 8x
2
+ 5x
3
− 9x
4
+ x
5
=
−1
−x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 5x
4
+ x
5
=
6,
2 x
1
− 9x
2
+ 6x
3
+ 11x
4
+ 2x
5
=
−1.
h)
6 x
1
− 4x
2
+ 5x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
= 1
i)
2 x
1
− x
2
+ x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
= 2
3 x
1
− 2x
2
+ 4x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 3
6 x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
+ 5x
5
= 3
3 x
1
− 2x
2
− 2x
3
+ x
4
=
−7
6 x
1
− 3x
2
+ 4x
3
+ 8x
4
+ 13x
5
= 9
9 x
1
− 6x
2
+ 3x
3
+ 3x
4
+ 2x
5
= 2
,
4 x
1
− 2x
2
+ x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 1
,
j)
x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0
k)
2x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
− x
5
= 1
x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 1
x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
− x
5
=
−1
x
1
+ 2x
3
− x
4
=
−1,
5x
1
− 2x
2
− 4x
5
= 0
,
5
l)
2x + 3y + 2z
− t = 3
2x +
y
+
z
+ 2s + 3t =
6
3x
− z
+
s
+
t
=
3
y
+ 4s +
t
=
1
2x +
y
+
z
− 2s + 5t = 8.
Wyznaczniki
1. Policzy¢ wyznaczniki:
a)
1 3
2 4
,
b)
i
1
− i
2i
1
,
c)
sin α
cos α
− cos α sin α
,
d)
z
−
_
z
z
_
z
,
e)
1
1
1
−1
0
1
−1 −1 0
,
f)
0 1 1
1 0 1
1 1 0
,
g)
a
a a
−a
a x
−a −a x
,
h)
1
i
1 + i
−i
1
0
1
− i 0
1
,
i)
1
1
1
1
ω
ω
1 ω
2
ω
, gdzie ω = cos
2π
3
+ i sin
2π
3
;
j)
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
,
k)
1
−1
1
−1
1
i
−1 −i
1
1
1
1
1
2
4
8
,
l)
0
0
i
0 1
0
0
0 0 2
0
0
2
i
0
cos x
− sin x 0 0 0
sin x
cos x
2
i
0
,
ª)
6 9 4 3 8
9 0 6 0 0
4 2 5 0 7
2 0 7 0 1
8 0 5 0 0
.
2. Elementy macierzy A oraz A
−1
s¡ liczbami caªkowitymi. Jaka jest warto±¢
wyznacznika macierzy A?
3. Nie obliczaj¡c wyznaczników znale¹¢ rozwi¡zania podanych równa«:
a)
2
2
2 4x
− 2
2
2
2
4
3
x + 2 3
6
x + 1
4
4
8
= 0,
b)
1
x
2
4x
−1
1
−2
−4
1
−1 x
2
− 2 x + 3
−1
1
−2
−4
= 0.
4. Obliczy¢ podane wyznaczniki stopnia n:
a)
1
2
3
· · · n
−1
0
3
· · · n
−1 −2
0
· · · n
... ... ... ... ...
−1 −2 −3 · · · 0
,
b)
1 2 2
· · · 2
2 1 2
· · · 2
2 2 1
· · · 2
... ... ... ... ...
2 2 2
· · · 1
,
c)
0 0 0
· · · 0 1
0 0 0
· · · 1 0
... ... ... ... ... ...
1 0 0
· · · 0 0
.
6
5. Jakie s¡ mo»liwe warto±ci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia
n, je»eli:
a) A
2
= 8A
−1
;
b) A
3
− A = 0;
c) A
T
= 4A
−1
?
6. Korzystaj¡c z twierdzenia o macierzy odwrotnej znale¹¢ macierze odwrotne
do podanych macierzy:
a)
2 4
1 3
,
b)
cos α − sin α
sin α
cos α
,
gdzie α ∈ R;
c)
1 3 0
1 4 0
1 1 1
.
7. Policzy¢ wyznaczniki:
a)
−x
a
b
c
a
−x
c
b
b
c
−x
a
c
b
a
−x
;
b)
1
1
2
3
1 2
− x
2
2
3
2
3
1
5
2
3
1 9
− x
2
;
c)
1 + x
1
1
1
1
1 + x
1
1
1
1
1
− z
1
1
1
1
1
− z
8. Niech A i B b¦d¡ macierzami tego samego stopnia. Wskaza¢ które
z podanych ni»ej wzorów s¡ ogólnie prawdziwe. Do wzorów nieprawdziwych
poda¢ kontrprzykªady.
a) det (A + B) = det A + det B;
b) det (λA) = λ det A,
gdzie λ ∈ R;
c) det (A
2
) = det A det(A
T
).
Wyznacznikiem Vandermonde'a nazywamy wyznacznik postaci
V
n
=
1 x
1
x
2
1
· · · x
n
−1
1
1 x
2
x
2
2
· · · x
n
−1
2
... ... ... ... ...
1 x
n
x
2
n
· · · x
n
−1
n
=
Y
1
≤l<k≤n
(x
k
− x
l
).
9. Wykaza¢, »e
7
a)
1 1
1
· · ·
1
1 2
4
· · · 2
n
−1
1 3
9
· · · 3
n
−1
... ... ... ... ...
1 n n
· · · n
n
−1
=
∞
Y
k=1
k! ;
b)
1
2
3
. . .
n
1 2
2
3
2
· · · n
2
... ... ... ... ...
1 2
n
3
n
· · · n
n
=
∞
Y
k=1
k! .
Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A = [a
ij
]
stopnia n nazywamy wyznacznik postaci
ω (λ) =
a
11
− λ
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
− λ · · ·
a
2n
...
...
...
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
− λ
.
10. Znale¹¢ wielomian charakterystyczny macierzy diagonalnej stopnia n
która na gªównej przek¡tnej ma kolejne liczby naturalne.
8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Inf macierze wyznaczniki
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze i wyznaczniki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Matematyka, semestr 2
1 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
11 Macierze i wyznaczniki
ZAdania z matematyki, MACIERZE I WYZNACZNIKI-2010, MACIERZE I WYZNACZNIKI - ZADANIA
C 01 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki zadania
Mieloszyk E Macierze, wyznaczniki i układy równań
Macierze i wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, wyklad Nieznany
macierze i wyznaczniki, lista zadań
6-MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH, MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki2, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
Macierze wyznaczniki Wykład 3
więcej podobnych podstron