Macierze

Dziaªania na macierzach

1. Niech b¦d¡ dane macierze

A =

1 2

−3 0

, B =

0 −8

4

12

, C =

1

2 3

3

−1 2

, D =





1 2 2
0 1 0
5 0 2





,

E

=





3

−1

2

−3

2

0





, F =







1

2

3 1

0

0

−1 0

1

−1

4 0

6

3

0 1







, G =







0 2

0 1

−2 0

1 3

1 0

−3 0

2 0

0 1







, H =





1 0

0 4

0 1

1 0

1 3

−5 1





.

a) Obliczy¢

A + B, 2A

− 3B,

1

2

A, 3C, A

· B, B · C, D · E, E · C, A

T

, C

T

, D

T

+ D, D

T

· H.

b) Czy mo»na wykona¢ nast¦puj¡ce dziaªania?

A + C,

2C

− E

T

,

H

· F,

H

T

· D,

(F

· G) · H,

C

T

· H

T

.

2. Wykona¢ podane dziaªania:

a)

1 n

0 1

·

1 m

0

1

;

b)

cos α − sin α

sin α

cos α

·

cos β − sin β

sin β

cos β

;

c)





3

0 3

2

−3 0

3

−5 1





·





3 0
2 2
0 3





;

d)





1 3
5 0
3 1





·

0 1 0 2 0

1 3 5 7 9

;

f )







1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 3
0 0 3 1







·







1 1

0

0

1 1

0

0

0 0

1

−1

0 0

−1

1







;

g)







1

1

1

−1

−5

−3

−4

4

5

1

4

−3

−16 −11 −15

14







·







7

−2 3 4

11

0

3 4

5

4

3 0

22

2

9 8







.

1

3. Policzy¢

a)

1 −2

3

−4

3

;

b)

4 −1

5

−2

5

;

c)

2 −1

3

−2

n

;

d)

cos α − sin α

sin α

cos α

n

;

e)









1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 0 . . . 1

.

.

.

. . .

.

0 0 0 . . . 1









3

;

f )









1 1 0 0 . . . 0 0
0 1 1 0 . . . 0 0
0 0 1 1 . . . 0 0

.

.

.

.

. . .

.

.

0 0 0 0 . . . 0 1









n

;

g) 2

·





3 0 2 0
0 1 2 1
2 3 0 0





·







1

−2

2

2

−1

1

−1

1

−2

2

2

−1







+





−2

0

−3

0

6

−3

−3 −2

0





T

.

h)







1 0 2 0
0 1 0 1

−1 2 0 0

0 0 0 1







−1

·







1

−2

2

−1

−1

1

2

2







+

−2 0 −3 1 1

0 6

−3 1 0

T

.

3. Znale¹¢ macierze odwrotne do macierzy

a)

2 3

4 3

,

b)





3

−4

5

2

−3

1

3

−5 −1





,

c)





1

2

2

2

1

−2

2

−2

1





,

d)







1

1

1

1

1

1

−1 −1

1

−1

1

−1

1

−1 −1

1







.

4. Pomno»y¢ podane macierze w pier±cieniu Z/6.

a)

1 5

0 3

·

1 4

0 1

;

b)

1 2

4 3

·

0 2

5 4

;

c)





3

0 3

4

−3 0

3

−2 1





·





4

0

2

−1

0

3





;

d)





−2 3

0

0

−3 1





·

0 1

0

2 0

1 3

−5 3 2

;

f )







1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 3
0 0 3 1







·







1 1

0

0

1 1

0

0

0 0

1

−1

0 0

−1

1







;

g)







1

1

1

−1

−5 −3 −4

4

5

1

4

−3

4

0

0

1







·







1

−2 3 4

1

0

3 4

5

4

3 0

2

2

5 0







.

2

Macierz odwrotna, transponowana. Równania macierzowe

5. Znale¹¢ macierz odwrotn¡ do macierzy stopnia n

a)









1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 1 . . . 1

.

.

.

. . .

.

0 0 0 . . . 1









,

b)









1 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0

.

.

.

. . .

.

0 0 0 . . . 1









,

c)











1 2 3 4 . . . n

− 1

n

0 1 2 3 . . . n

− 2 n − 1

0 0 1 2 . . . n

− 3 n − 2

.

.

.

.

. . .

.

.

0 0 0 0 . . .

1

2

0 0 0 0 . . .

0

1

.











6. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe

a)

2 1

1 0

· A

T

−1

=

2 2

1 0

,

b)





1 2 3
1 2 4
3 2 1





· X =





−1

2

3

−1

1

1





,

7. Wyznaczy¢ macierz

A

− C

T

T

A B

2

,

gdzie A =





2 1
1 3

−2 0





, B =

1 2

3 4

, C =

1 1 1

0 5 1

.

8. Rozwi¡za¢ równania macierzowe

a) X





0 0 2
0 2 0
2 0 0





=





1 0 2
2 0 1
1 1 1





T

,

b)

1 1 0

0 2 0

0 1 2

1 0 1

T

X =

2 1

1 0

.

9. Korzystaj¡c z wªasno±ci dziaªa« na macierzach oraz wªasno±ci transponowa-

nia macierzy uzasadni¢ nast¦pujace to»samo±ci

a)

(ABC)

T

= C

T

B

T

A

T

,

gdzie A, B, C s¡ macierzami o wymiarach odpowiednio nxm, mxk, kxl,

3

b)

(A

± B)

2

= A

2

± 2AB + B

2

,

gdzie A i B s¡ przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych

stopni.

10. Rozwi¡za¢ równanie

a)





1

1 1

2

4 0

5

−1 1





· X =





3

−5

1





,

b)





1 2 3

−1 0 2

3 3 3





· X =





2 2
3 3
4 6





.

11. Znale¹¢ wszystkie macierze A takie, »e

1 2

0 1

· A = A ·

1 2

0 1

.

12. Rozwi¡za¢ równania

a) X

− iX

T

=

1

−2

−3

2

,

b) X

· X

T

− X

2

=

−3

0

1

−1

.

13. Sprawdzi¢, »e macierz A =

1 −1

0

2

speªnia równanie

A

2

− 3A + 2I = 0

i korzystaj¡c z tego faktu pokaza¢,»e

A

−1

=

1

2

(3I

− A) ,

gdzie I jest tu macierz¡ jednostkow¡ stopnia drugiego

14. Udowodni¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci macierzy:

a) Ró»nica dwóch macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz¡ diagonaln¡.

b) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A − A

T

jest sko±nie symetryczna.

Macierz kwadratow¡ P nazywamy idempotentn¡ je»eli P

2

= P.

4

c)

Je»eli macierz P jest idempotentna, to dla ka»dej macierz A tego samego stopnia

co P macierz Q = P + AP − P AP jest idempotentna.

d)

Je»eli macierz P jest macierza idempotentn¡, to macierz Q = I − aP jest
odwracalna dla a 6= 1 i Q

−1

= I +

a

1

− a

P.

e)

Je»eli macierze B i BC s¡ odwracalne, to macierz C jest odwracalna.

Rozwi¡zywanie ukªadów równa« liniowych

metod¡ Gaussa

Nast¦puj¡ce ukªady równa« rozwi¡za¢ stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa:

a)

x + y + 2z =

1

b)

− 2x + 3y + 3z = −9

c)

x + y + z = 4

3x

− y + z = −1

3x

− 4y + z = 5

x + z = 5

−x + 3y + 4z =

1

− 5 x + 7y + 2z = −14

2x + 5y + 2z = 5,

d)

x

1

+ 3x

2

+ x

3

= 4

e)

3x

1

+ x

2

− 2x

3

= 11

−3x

1

+ x

2

= 4

− 2x

1

+ x

2

+ 3x

3

=

−5

2x

1

+ 3x

2

+ x

3

= 3,

2x

1

+ x

2

− x

3

= 8,

f )

x

1

− 3x

2

− x

4

=

−1

g)

x

1

− x

2

+ x

3

− 2x

4

+ x

5

= 0

−x

1

+ 3x

2

+ x

3

+ x

4

=

3

3 x

1

+ 4x

2

− x

3

+ x

4

+ 3x

5

= 1

2x

1

− 6x

2

+ x

3

− x

5

=

−1

x

1

− 8x

2

+ 5x

3

− 9x

4

+ x

5

=

−1

−x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

+ 5x

4

+ x

5

=

6,

2 x

1

− 9x

2

+ 6x

3

+ 11x

4

+ 2x

5

=

−1.

h)

6 x

1

− 4x

2

+ 5x

3

+ 2x

4

+ 3x

5

= 1

i)

2 x

1

− x

2

+ x

3

+ 2x

4

+ 3x

5

= 2

3 x

1

− 2x

2

+ 4x

3

+ x

4

+ 2x

5

= 3

6 x

1

− 3x

2

+ 2x

3

+ 4x

4

+ 5x

5

= 3

3 x

1

− 2x

2

− 2x

3

+ x

4

=

−7

6 x

1

− 3x

2

+ 4x

3

+ 8x

4

+ 13x

5

= 9

9 x

1

− 6x

2

+ 3x

3

+ 3x

4

+ 2x

5

= 2

,

4 x

1

− 2x

2

+ x

3

+ x

4

+ 2x

5

= 1

,

j)

x

1

− x

2

+ 2x

3

− x

4

+ x

5

= 0

k)

2x

1

+ x

2

− x

3

+ x

4

− x

5

= 1

x

1

+ 2x

2

− x

3

+ x

4

+ 2x

5

= 1

x

1

− 2x

2

+ x

3

− x

4

− x

5

=

−1

x

1

+ 2x

3

− x

4

=

−1,

5x

1

− 2x

2

− 4x

5

= 0

,

5

l)

2x + 3y + 2z

− t = 3

2x +

y

+

z

+ 2s + 3t =

6

3x

− z

+

s

+

t

=

3

y

+ 4s +

t

=

1

2x +

y

+

z

− 2s + 5t = 8.

Wyznaczniki

1. Policzy¢ wyznaczniki:

a)

1 3
2 4

,

b)

i

1

− i

2i

1

,

c)

sin α

cos α

− cos α sin α

,

d)

z

−

_

z

z

_

z

,

e)

1

1

1

−1

0

1

−1 −1 0

,

f)

0 1 1
1 0 1
1 1 0

,

g)

a

a a

−a

a x

−a −a x

,

h)

1

i

1 + i

−i

1

0

1

− i 0

1

,

i)

1

1

1

1

ω

ω

1 ω

2

ω

, gdzie ω = cos

2π

3

+ i sin

2π

3

;

j)

3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3

,

k)

1

−1

1

−1

1

i

−1 −i

1

1

1

1

1

2

4

8

,

l)

0

0

i

0 1

0

0

0 0 2

0

0

2

i

0

cos x

− sin x 0 0 0

sin x

cos x

2

i

0

,

ª)

6 9 4 3 8
9 0 6 0 0
4 2 5 0 7
2 0 7 0 1
8 0 5 0 0

.

2. Elementy macierzy A oraz A

−1

s¡ liczbami caªkowitymi. Jaka jest warto±¢

wyznacznika macierzy A?

3. Nie obliczaj¡c wyznaczników znale¹¢ rozwi¡zania podanych równa«:

a)

2

2

2 4x

− 2

2

2

2

4

3

x + 2 3

6

x + 1

4

4

8

= 0,

b)

1

x

2

4x

−1

1

−2

−4

1

−1 x

2

− 2 x + 3

−1

1

−2

−4

= 0.

4. Obliczy¢ podane wyznaczniki stopnia n:

a)

1

2

3

· · · n

−1

0

3

· · · n

−1 −2

0

· · · n

... ... ... ... ...

−1 −2 −3 · · · 0

,

b)

1 2 2

· · · 2

2 1 2

· · · 2

2 2 1

· · · 2

... ... ... ... ...

2 2 2

· · · 1

,

c)

0 0 0

· · · 0 1

0 0 0

· · · 1 0

... ... ... ... ... ...

1 0 0

· · · 0 0

.

6

5. Jakie s¡ mo»liwe warto±ci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia

n, je»eli:

a) A

2

= 8A

−1

;

b) A

3

− A = 0;

c) A

T

= 4A

−1

?

6. Korzystaj¡c z twierdzenia o macierzy odwrotnej znale¹¢ macierze odwrotne

do podanych macierzy:

a)

2 4

1 3

,

b)

cos α − sin α

sin α

cos α

,

gdzie α ∈ R;

c)





1 3 0
1 4 0
1 1 1





.

7. Policzy¢ wyznaczniki:

a)

−x

a

b

c

a

−x

c

b

b

c

−x

a

c

b

a

−x

;

b)

1

1

2

3

1 2

− x

2

2

3

2

3

1

5

2

3

1 9

− x

2

;

c)

1 + x

1

1

1

1

1 + x

1

1

1

1

1

− z

1

1

1

1

1

− z

8. Niech A i B b¦d¡ macierzami tego samego stopnia. Wskaza¢ które

z podanych ni»ej wzorów s¡ ogólnie prawdziwe. Do wzorów nieprawdziwych

poda¢ kontrprzykªady.

a) det (A + B) = det A + det B;

b) det (λA) = λ det A,

gdzie λ ∈ R;

c) det (A

2

) = det A det(A

T

).

Wyznacznikiem Vandermonde'a nazywamy wyznacznik postaci

V

n

=

1 x

1

x

2
1

· · · x

n

−1

1

1 x

2

x

2
2

· · · x

n

−1

2

... ... ... ... ...

1 x

n

x

2
n

· · · x

n

−1

n

=

Y

1

≤l<k≤n

(x

k

− x

l

).

9. Wykaza¢, »e

7

a)

1 1

1

· · ·

1

1 2

4

· · · 2

n

−1

1 3

9

· · · 3

n

−1

... ... ... ... ...

1 n n

· · · n

n

−1

=

∞

Y

k=1

k! ;

b)

1

2

3

. . .

n

1 2

2

3

2

· · · n

2

... ... ... ... ...

1 2

n

3

n

· · · n

n

=

∞

Y

k=1

k! .

Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A = [a

ij

]

stopnia n nazywamy wyznacznik postaci

ω (λ) =

a

11

− λ

a

12

· · ·

a

1n

a

21

a

22

− λ · · ·

a

2n

...

...

...

...

a

n1

a

n2

. . .

a

nn

− λ

.

10. Znale¹¢ wielomian charakterystyczny macierzy diagonalnej stopnia n

która na gªównej przek¡tnej ma kolejne liczby naturalne.

8