Stacjonarny prąd elektryczny

Natężenie prądu

- ładunek przepływający przez daną powierzchnię w

jednostce czasu.

I

≡

Gęstość prądu

- iloczyn gęstości ładunku

ρ

i prędkość przepływu ładunku

≡ ρ

Wartość skalarna jest równa natężeniu prądu na jednostkę powierzchni
(jednostką jest A/m

2

).

Zatem natężenie prądu przez płaszczyznę d prostopadłą do gęstości prądu
wynosi :

dI = d ( d

- wektor prostopadły do płaszczyzny dA,

liczbowo równy polu powierzchni dA)

Q

t

→

V

→

j

→

V

→

j

→

s

→

j

→

j

→

s

→

s

→

→

Ogólnie, dla powierzchni i gęstości (zmiennej) :

s

j

I = d

∫ j

→

s

→

W przewodnikach metalowych nośnikami ładunku są elektrony (ładunki
ujemne). Mimo to, jako kierunek prądu przyjmuje się kierunek w którym
płynęłyby ładunki dodatnie (tzn. kierunek przeciwny do ruchu
elektronów).

Przykład 1:

Z jaką średnią prędkością (prędkością unoszenia) poruszają

się elektrony przewodnictwa w drucie miedzianym o przekroju s = 0,01
cm

2

przy przepływie prądu I = 1A?

Zakładając, że każdy atom miedzi oddaje 1 elektron, gęstość ładunku

ρ

= N e (N - gęstość atomów miedzi).

N =

(d = 8,9 g/cm

3

; N

A

= 6,02 10

23

1/mol;

M = 63,6 g/mol)

ρ

=

= 8,42 10

22

elektronów/cm

3

j =

ρ

; I = j A

⇒

I =

s

=

= 7,4 10

-5

m/s =

0,074 mm/s

d N

M

A

d N e

M

A

→

V

d N e

M

A

→

V

→

V

IM

sd N e

A

Rezystancja (opór) przewodnika. Prawo Ohma

Definicja rezystancji

: R

≡

(stosunek różnicy potencjałów (napięcia) na końcach przewodnika do
natężenia płynącego prądu).

Jednostka rezystancji : 1

Ω =

Prawo Ohma

: stosunek w stałej temperaturze jest niezależny od I:

R =

Prawo Ohma można wyprowadzić (dla metali):

- gęstość elektronów przewodnictwa:

ρ

= N e

- średnia droga swobodna: w
- czas pomiędzy zderzeniami elektronów przewodnictwa :

∆t

-średnia prędkość elektronów pomiędzy zderzeniami: u =

V

I

1
1

V

A

V

I

V

I

w

t

∆

Przyłożenie napięcia do przewodnika wywoła przepływ elektronów. Na
elektron działa siła F = e E; z 2-go prawa Newtona:

m

= e E

∆

t

∆

u

tzn. po czasie

∆

t wszystkie elektrony uzyskają prędkość unoszenia

=

∆

u =

Wskutek częstych zderzeń (małej drogi swobodnej w ) prędkość

<< u.

I = j s =

ρ

s = N e

#

Przy założeniu stałości pola E, różnica potencjałów na końcach
przewodnika o długości x: V = E x

⇒

E =

czyli :

I =

inaczej :

(z definicji rezystancji: R = )

R

∼

x

i R

∼

Dla ustalonych x i s, R pozostaje stałe gdy u jest stałe, tzn. dla stałej
temperatury (jest to prawo Ohma)

.

v

eE t

m

ew

mu

E

∆

=

v

v

ew

mu

Es

V

x

Ne w

mu

s

x

V

2

V

I

mu

Ne w

x

s

R

2

=

=

V

I

1

s

- zależy od właściwości materiału, oznacza się

ρ

R =

ρ

ρ

- rezystywność

(opór właściwy)

ρ

= R

⇒

ρ

- rezystancja jednostki objętości

Przewodnictwo elektryczne

σ

określone jest zależnością

j =

σ

E

j = =

σ

E

⇒

σ

=

korzystając ze wzoru #:

σ

=

σ

=

x

s

x

s

I

s

I

s

I

sE

Ne wsE

mu

sE

Ne w

mu

2

2

=

1

ρ

mu

Ne w

2

Wskutek zderzenia elektron traci przyrost prędkości

∆u uzyskany na drodze

swobodnej pod działaniem pola elektrycznego. Energia uzyskana w polu
elektrycznym przez ładunek dq zamienia się w ciepło

dE

ciepło

= V dq

: dt

= V = V I

Straty mocy elektrycznej

:

P = V I

(moc elektryczna zamieniona w ciepło).

Jednostka mocy 1 W (wat) = 1V 1A

P = V I = I

2

R =

d E

dt

ciep o

ł

dq

dt

2

V

R

Obwody prądu stałego - prawa Kirchhoffa

Elementy obwodów prądu stałego (stacjonarnego):
rezystory (oporniki) i źródła energii elektrycznej (źródła siły
elektromotorycznej - SEM)

SEM

- przetwarza na energię elektryczną inne rodzaje energii

np. chemiczną (ogniwa), mechaniczną (generatory),
świetlną (fotoogniwa, baterie słoneczne).

ε

≡

∆

W - energia uzyskana przez ładunek

∆

q przy przejściu przez

źródło SEM

Siła elektromotoryczna jest energią potrzebną do oddzielenia jednego
kulomba ładunku dodatniego od ujemnego. Gdy źródło SEM stanowi
element obwodu zamkniętego, SEM jest energią potrzebną do
przesunięcia ładunku wzdłuż obwodu.
Jednostką SEM jest wolt (V)

1V =

∆

∆

W

q

1

1

J

C

Algebraiczna suma natężeń
prądów przepływających przez
węzeł równa się zeru:

Σ I

n

= 0

(

1-sze prawo Kirchhoffa

)

inaczej : suma bezwzględnych wartości prądów wpływających do węzła
równa się sumie bezwzględnych wartości wypływających z węzła:

ΣI

wpł.

=

ΣI

wypł.

W dowolnej pętli zamkniętej
suma algebraicznych przyrostów
napięcia jest równa zeru.
(spadek napięcia jest ujemnym
przyrostem napięcia)

(

2-gie prawo Kirchhoffa

)

inaczej: w dowolnej pętli zamkniętej suma algebraiczna SEM zawartych
w pętli równa się sumie iloczynów natężeń prądów i rezystancji
poszczególnych gałęzi pętli :

n

I

n

R

i

i

n

ε

∑

= ∑

Rozpatrzmy element obwodu zawierający rezystory połączone równolegle

Z 1-go prawa Kirchhoffa:
I = I

1

+ I

2

+ I

3

(węzeł A) (*)

I

1

+ I

2

+ I

3

= I

’

(węzeł B)

I = I

’

Dzieląc obie strony równania (*) przez różnicę potencjałów V między
punktami A i B

czyli

gdzie R - rezystancja całkowita układu rezystorów połączonych równolegle

Rezystancja całkowita (zastępcza) R
jest mniejsza od najmniejszego z

rezystorów połączonego równolegle.

Gdy R

1

= R

2

= R

3

= .... = R

n

to R =

1

1

1

1

1

2

3

R

R

R

R

=

+

+

I

V

I

V

I

V

I

V

=

+

+

1

2

3

n

R

n

Dla dwóch rezystorów połączonych równolegle :

z 2-go prawa Kirchhoffa :

0 = I

1

R

1

- I

2

R

2

I

1

R

1

= I

2

R

2

Rozpatrzmy element obwodu zawierający rezystory połączone szeregowo:

Z prawa Ohma: R

1

=

; R

2

= ;

R

3

=

; czyli : V

1

= R

1

I; V

2

= R

2

I; V

3

= R

3

I

oraz, dla rezystancji całkowitej: R = czyli V = R I

1

2

2

1

I

I

R

R

=

1

V

I

2

V

I

3

V

I

ponieważ: V = V

1

+ V

2

+ V

3

, po podstawieniu: R I = R

1

I + R

2

I + R

3

I



:I

czyli: R = R

1

+ R

2

+ R

3

Przy przejściu przez źródło SEM przyrost
napięcia jest dodatni gdy zwrot od - do +

Przy przejściu przez rezystor przyrost
napięcia jest ujemny (spadek) gdy
zwrot zgodny ze wzrostem prądu.

R

1

- odbiornik energii wymagający

dużego prądu i stałego napięcia.

Dla bardziej złożonych obwodów należy stosować prawa Kirchhoffa do
poszczególnych fragmentów obwodu: węzłów i pętli.

Przykład

: Stabilizator napięcia

1

1

R

R

2

1

ε ε

−

po odjęciu stronami :

ε

2

-

ε

1

- I

2

R

2

= 0 (

⇒ I

2

=

)

Dla pętli zewnętrznej (zgodnie z ruchem wskazówek zegara)

(z 2-go pr. Kirchhoffa)

ε

2

- I

2

R

2

- I

3

R

1

= 0

Dla małej pętli :

ε

1

= I

3

R

1

= 0 (

⇒ I

3

= )

(z 1-go pr.Kirchhoffa) I

1

+ I

2

- I

3

= 0

ε

2

I

1

= I

3

- I

2

=

=

ε

1

(

) -

ε

2

jeśli

ε

1

(

to I

1

= 0 ; I

2

= I

3

(

wtedy

ε

1

- niskoprądowe, wzorcowe źródło SEM

)

1

1

2

1

2

R

R

ε ε ε

−

−

1

1

1

2

R

R

+

1

2

R

1

R

1

R

1

R

1

2

2

2

+

=

)

ε