Zapis liczb binarnych ze

znakiem

W tej prezentacji:

Zapis Znak-Moduł (ZM)

Zapis uzupełnień do 1 (U1)

Zapis uzupełnień do 2 (U2)

Koncepcyjnie zapis znak - moduł

(w skrócie ZM - ang.

SM Signed Magnitude)

jest najbardziej zbliżony do

systemu zapisu liczb używanego przez nas samych.
Liczba ZM składa się z dwóch części - bitu znaku oraz
bitów wartości liczby

(modułu)

:

b

n-1

b

n-2

b

n-3

... b

2

b

1

b

0

b

n-1

- bit znaku liczby

b

n-3

... b

0

- bity modułu liczby

Dla liczb dodatnich i zera bit znaku ma wartość 0, dla
liczb ujemnych i zera ma wartość 1. Format zapisu ZM
musi być ściśle ustalony, aby wiadomo było, który bit jest

bitem znaku - w operacjach arytmetycznych bit znaku
musimy traktować inaczej niż inne bity.

Zapis Znak-Moduł (ZM)

Wartość dziesiętna liczby
w zapisie ZM

Moduł liczby ZM jest zapisany w

naturalnym kodzie

dwójkowym NBC

, zatem w celu obliczenia jej wartości

moduł mnożymy przez 1, gdy bit znaku wynosi 0 lub
przez -1, gdy bit znaku wynosi 1. Wzór jest następujący:

L

ZM

=

(-1)

bit znaku

x

moduł liczby

Rozpisując poszczególne bity otrzymujemy:

b

n-1

b

n-2

...b

2

b

1

b

0

=

(-1)b

n-1

(b

n-2

2

n-2

+ ... + b

2

2

2

+ b

1

2

1

+ b

0

2

0

)

gdzie

b

- bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1

n

- liczba bitów w zapisie liczby

Przykład 1

Obliczyć wartość dziesiętną liczby 10110111

(ZM)

.

Pierwszy bit zapisu ZM jest bitem znaku. Wartość 1
informuje nas, iż jest to liczba ujemna. Pozostałe bity
tworzą wartość liczby.

Moduł jest zapisany w

naturalnym systemie dwójkowym

,

zatem:

1

0110111

(ZM)

=

(-1)

1

(2

5

+ 2

4

+ 2

2

+ 2

1

+ 2

0

)

1

0110111

(ZM)

= - (32 + 16 + 4 + 2 + 1)

1

0110111

(ZM)

= - 55

(10)

Przykład 2

Obliczyć wartość dziesiętną liczby 00011111

(ZM)

.

Bit znaku ma wartość 0, zatem jest to liczba dodatnia.
Wartość tej liczby jest równa wartości jej modułu
zapisanego w

naturalnym kodzie dwójkowym

.

0

0011111

(ZM)

=

(-1)

0

(2

4

+ 2

3

+ 2

2

+ 2

1

+ 2

0

)

0

0011111

(ZM)

= (16 + 8 + 4 + 2 + 1)

0

0011111

(ZM)

= 31

(10)

Procedura wyznaczania zapisu ZM liczby
dziesiętnej

1.

Jeśli liczba jest dodatnia, to bit znaku ma wartość 0. W
przeciwnym razie bit znaku ma wartość 1.

2.

Obliczamy wartość absolutną liczby, czyli jej moduł.

3.

Wyznaczamy bity modułu

4.

Otrzymane bity modułu uzupełniamy w miarę potrzeby
bitami o wartości 0, aby otrzymać ustaloną w formacie
liczbę bitów dla modułu.

5.

Do bitów modułu dodajemy bit znaku i otrzymujemy
zapis ZM.

Przykład

Przedstawić w 8-mio bitowym kodzie ZM liczbę o

wartości dziesiętnej -9.

Wyznaczamy bit znaku. Liczba -9 jest ujemna, zatem b

7

= 1

(najstarszy bit)

.

Wartość absolutna z -9 to 9

(po prostu opuszcza się

znak -)

.

Obliczamy

zapis dwójkowy

modułu 9

(10)

= 1001

(2)

.

Moduł 8-mio bitowej liczby ZM składa się z 7 bitów,

zatem do otrzymanego wyniku dodajemy trzy

początkowe zera otrzymując 0001001.

Łączymy bit znaku 1 z bitami modułu 0001001 i
dostajemy zapis ZM liczby -9

(10)

= 10001001

(ZM)

Zakres liczb w zapisie ZM

Zadanie polega na znalezieniu najmniejszej i
największej wartości liczby, którą da się przedstawić w
danym zapisie ZM. Łatwo zauważyć, że w obu

przypadkach moduł musi mieć wartość maksymalną, a
bit znaku 1 dla wartości najmniejszej i 0 dla wartości
największej. Ponieważ moduł jest zapisany w

naturalnym kodzie dwójkowym NBC, jego wartość jest
równa

maksymalnej wartości

n-1 bitowej liczby

dwójkowej. Dla n bitów otrzymujemy:

min

(ZM)

= 1b

n-2

b

n-3

...b

2

b

1

b

0

= (-1) (b

n-2

2

n-2

+ b

n-3

2

n-3

+ ...b

2

2

2

+ b

1

2

1

+ b

0

2

0

) = -2

n-1

+ 1

max

(ZM)

= 0b

n-2

b

n-3

...b

2

b

1

b

0

= 1 (b

n-2

2

n-2

+ b

n-3

2

n-3

+ ...b

2

2

2

+ b

1

2

1

+ b

0

2

0

) = 2

n-1

- 1

Zakres liczby w zapisie ZM

Zakres n bitowej liczby w kodzie ZM wynosi

Z

(ZM)

= <-2

n-1

+ 1, 2

n-1

- 1>

Zapis U1

Drugim podejściem do rozwiązania problemu
liczb ze znakiem jest system uzupełnień do 1
zwany systemem U1

(ang. 1C - One's

Complement)

.

W systemie tym wszystkie bity zapisu liczby
posiadają swoje wagi

(w ZM bit znaku nie

posiadał wagi)

.

Najstarszy bit jest bitem znaku i ma wagę równą
(-2

n-1

+1)

, gdzie n oznacza ilość bitów w zapisie

liczby.

Pozostałe bity posiadają wagi takie jak w

naturalnym systemie dwójkowym

Wartość dziesiętna liczby w zapisie U1

Wartość liczby U1 obliczamy zgodnie z

poznanymi zasadami

- cyfry mnożymy przez

wagi pozycji, na których się znajdują i dodajemy
otrzymane iloczyny:

b

n-1

b

n-2

b

n-3

...b

2

b

1

b

0 (U1)

=

b

n-1

(-2

n-1

+1)

+ b

n-2

2

n-2

+ b

n-3

2

n-3

+ ... +

b

2

2

2

+ b

1

2

1

+ b

0

2

0

gdzie:

b

- bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1

n

- liczba bitów w zapisie liczby

Przeliczanie liczb dziesiętnych
na zapis U1

Jeśli liczba jest dodatnia, to najstarszy bit znakowy
posiada wartość

0

. Pozostałe bity służą do zapisu liczby

w naturalnym kodzie binarnym:

0

111

(U1)

= 7

(10)

,

0

001

(U1)

= 1

(10)

,

0

1111111

(U1)

= 127

(10)

Jeśli liczba jest ujemna, to najstarszy bit znakowy ma
wartość

1

. Pozostałe bity są

negacjami

bitów modułu

wartości liczby:

1

101

(U1)

= (-2)

(10)

:

moduł 2

(10)

= 010

(2)

: NOT 010 =

101

1

100

(U1)

= (-3)

(10)

:

moduł 3

(10)

= 011

(2)

: NOT 011 =

100

1

010

(U1)

= (-5)

(10)

:

moduł 5

(10)

= 101

(2)

: NOT 101 =

010

Procedura wyznaczania zapisu U1
dla liczby dziesiętnej

1.

Jeśli liczba

jest dodatnia, znajdujemy jej

reprezentację w naturalnym kodzie binarnym i
uzupełniamy bitami o wartości 0 do uzyskania
zadanej liczby bitów wymaganej przez przyjęty
format zapisu U1.

2.

Jeśli liczba jest ujemna, obliczamy jej moduł.
Moduł

przedstawiamy w naturalnym systemie

dwójkowym uzupełniając go bitami o wartości 0
do długości przyjętego formatu U1. Następnie
wszystkie bity zamieniamy na przeciwne i w
wyniku otrzymujemy zapis U1.

Przykład 1

Wyznaczyć 8-mio bitowy zapis U1

liczby

dziesiętnej 76.

Liczba 76 jest dodatnia, zatem wyznaczamy jej

zapis w naturalnym systemie dwójkowym

:

76

(10)

= 1001100

(2)

Otrzymaną liczbę dwójkową uzupełniamy bitami
o wartości 0 do długości formatu otrzymując:

76

(10)

= 01001100

(U1)

Przykład 2

Wyznaczyć 8-mio bitowy zapis U1

liczby

dziesiętnej (-113).

Liczba (-113) jest ujemna. Jej moduł wynosi 113.
Wyznaczamy

zapis dwójkowy modułu

:

113

(10)

= 1110001

(2)

Otrzymany zapis uzupełniamy bitami 0 do
długości 8 bitów.
Następnie negujemy wszystkie bity i otrzymujemy
w ten sposób zapis U1 liczby -113:

-113

(10)

= NOT 01110001 = 10001110

(U1)

.

Zakres liczb w zapisie U1

Liczba U1 przyjmuje wartość największą dla bitu znaku
równego 0 i pozostałych bitów równych 1. Ponieważ
pozostałe bity przedstawiają w tym przypadku liczbę n-1
bitową w

naturalnym kodzie dwójkowym

, to dla n

bitowego kodu U1 otrzymujemy:

max

(U1)

= 2

n-1

- 1.

Najmniejszą wartość liczba U1 przyjmuje dla bitu
znakowego równego 1

(waga ujemna)

i pozostałych

bitów równych 0. Ponieważ w tym przypadku do wagi
bitu znakowego nic nie dodajemy, otrzymujemy:

min

(U1)

= -2

n-1

+ 1

Zakres liczb w zapisie U1

Zakres n bitowej liczby w kodzie U1 wynosi

Z

(U1)

= (-2

n-1

+ 1, 2

n-1

- 1)

Zakres ten jest identyczny z

zakresem liczb w

kodzie ZM

.

19

Zapis U2

Zapis U1 posiada kilka niedogodności
(arytmetyka zmieniamy wagę bitu znakowego z
(-2

n-1

+ 1)

na (-2

n-1

)

, gdzie n oznacza ilość bitów

w formacie kodu.

Wagi stają się teraz jednorodne - bit znakowy
posiada wagę ujemną, lecz o wartości
bezwzględnej takiej samej jak w

naturalnym

kodzie dwójkowym

.

Nowy kod nosi nazwę uzupełnień do podstawy 2
lub w skrócie U2

(ang. 2C - Two's Complement)

.

Wartość dziesiętna liczby
w zapisie U2

Wartość liczby U2 obliczamy zgodnie z

poznanymi

zasadami

- cyfry mnożymy przez wagi pozycji,

na których się znajdują i dodajemy otrzymane
iloczyny. Waga bitu znakowego jest ujemna.

b

n-1

b

n-2

b

n-3

...b

2

b

1

b

0 (U2)

=

b

n-1

(-2

n-1

)

+ b

n-2

2

n-2

+ b

n-3

2

n-3

+

... + b

2

2

2

+ b

1

2

1

+ b

0

2

0

gdzie

b

- bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1

n

- liczba bitów w zapisie liczby

Przykład

Najstarszy bit określa znak liczby. Jeśli jest równy 0, liczba jest

dodatnia i resztę zapisu możemy potraktować jak liczbę w

naturalnym kodzie dwójkowym

.

01101011(U2) = 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 107(10).

Jeśli bit znaku ustawiony jest na 1, to liczba ma wartość ujemną. Bit
znaku ma wagę (-2n-1), gdzie n oznacza liczbę bitów w wybranym

formacie U2. Reszta bitów jest zwykłą liczbą w naturalnym kodzie
dwójkowym. Wagę bitu znakowego i wartość pozostałych bitów

sumujemy otrzymując wartość liczby U2:

11101011(U2) = (-27) + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = -128 + 107 = (-

21)(10).

Zwróć uwagę, iż postać ujemna liczby U2 nie jest już tak czytelna

dla nas jak w przypadku kodów ZM (tylko zmiana bitu znaku) i U1

(negacja wszystkich bitów).

przeliczanie ujemnej liczby dziesiętnej na zapis
U2 – sposób 1

Liczba ujemna musi mieć ustawiony na 1 bit znaku. Zatem nasze

zadanie sprowadza się do znalezienia wartości pozostałych bitów.

Bit znaku stoi na pozycji o wadze (-2

n-1

)

, n - ilość bitów w formacie

U2. Pozostałe bity zapisu liczby tworzą naturalny od dwójkowy.

Wartość tego kodu musi być taka, aby po dodaniu jej do wagi
pozycji znakowej otrzymać wartość kodowanej liczby. Zapiszmy to

w formie równania:

kodowana liczba = waga bitu znakowego + wartość kodu pozostałych bitów

kodowana liczba = (-2

n-1

) + wartość kodu pozostałych bitów

stąd

wartość kodu pozostałych bitów = 2

n-1

+ kodowana liczba

Po wyznaczeniu wartości tego kodu tworzymy jego

zapis w

systemie dwójkowym

, uzupełniamy w miarę potrzeby bitem 0 do

długości formatu U2 - 1 i dodajemy bit znakowy 1. Konwersja jest

gotowa

Przykład

Wyznaczyć 8-mio bitowy kod U2 dla liczby
dziesiętnej (-45)

(10)

.

Wyznaczamy moduł wagi pozycji znakowej. Dla
n = 8, 2

n-1

= 2

7

= 128

wartość kodu pozostałych bitów = 128 + (-45) = 83 =
1010011

(2)

Dodajemy bit znaku równy 1 i otrzymujemy:

(-45)

(10)

= 11010011

przeliczanie ujemnej liczby dziesiętnej na zapis
U2 – sposób 2

Jeśli do liczby 2

n

(n - ilość bitów w formacie U2)

dodamy przetwarzaną liczbę dziesiętną, to w
wyniku otrzymamy wartość kodu dwójkowego
równoważnego bitowo

(tzn. o takiej samej

postaci)

kodowi U2 przetwarzanej liczby.

Wynik dodawania wystarczy

zapisać w postaci

naturalnego kodu dwójkowego

i konwersja jest

zakończona.

Przykład

Wyznaczyć 8-mio bitowy kod U2

dla liczby dziesiętnej (-45)

(10)

.

2

8

+ (-45) = 256 - 45 = 211 =

11010011

(2)

.

Stąd (-45)

(10)

= 11010011

(U2)

.

Zakres liczb w zapisie U2

Największa liczba U2 powstaje dla bitu znaku równego
0, a pozostałych bitów równych 1. Ponieważ pozostałe
bity przedstawiają wartość w naturalnym kodzie
binarnym i jest ich n-1, to

max

(U2)

= 2

n-1

- 1

Z kolei najmniejszą wartość liczby U2 otrzymamy dla bitu
znaku równego 1, a pozostałych bitów równych 0. W tym
przypadku wartość liczby jest równa wadze pozycji
znakowej, czyli

min

(U2)

= (-2

n-1

)

Zakres liczb w zapisie U2

Zakres n bitowej liczby w kodzie U2 wynosi

Z

(U2)

= (-2

n-1

, 2

n-1

- 1)

W porównaniu z systemami

ZM

i

U1

, zakres liczb U2 jest

niesymetryczny - liczb ujemnych jest o jedną więcej niż
liczb dodatnich