Zapis liczb binarnych ze

znakiem

Dotychczas opisany sposób kodowania

dwójkowego umożliwia przedstawianie liczb
dodatnich i zera. Z drugiej strony wiemy, jak
ważne w zastosowaniach są liczby ujemne. W
systemie dziesiętnym sprawę rozwiązaliśmy
przez wprowadzenie znaku przed zapisem cyfr
liczby. Jeśli liczby chcemy przetwarzać za
pomocą komputera, to mamy do dyspozycji
jedynie bity o wartościach 0 lub 1. Bity mogą
kodować cyfry dwójkowe, ale brakuje tutaj
wartości dla znaku '+' lub '-'.

Niestety musimy odejść nieco od naturalnego

systemu dwójkowego i wprowadzić kilka
dodatkowych ustaleń.

• Kodowanie liczb dodatnich i ujemnych opiera się

na stałym formacie zapisu liczby. Oznacza to, iż
z góry ustala się liczbę cyfr używanych do
zapisu wartości, np. 8, 16, 24, 32, ... Jeśli
wybierzemy jeden format, to musimy się go
ściśle trzymać.

• Najstarsza cyfra dwójkowa (bit) ma inne

znaczenie niż reszta cyfr i pełni funkcję bitu
znaku. Jeśli bit ten ma wartość 0, to liczba jest
dodatnia. Jeśli ma wartość 1, to liczba jest
ujemna. W ten sposób kodujemy nasze znaki + i
-.

Istnieją dwa główne sposoby kodowania liczb ze

znakiem - kod ZNAK-MODUŁ, kod U2.

Znak-Moduł

W systemie tym stosujemy bardzo prostą metodę

kodowania liczb ze znakiem. Najstarszy bit liczby jest
bitem znaku. Reszta bitów określa wartość bezwzględną
(moduł) liczby: Jeśli przyjmiemy do zapisu liczb format
całkowity n-bitowy, to liczby w kodzie znak-moduł mają
następującą postać:
znak

moduł

a

n-1

a

n-2

... a

1

a

0

Wartość n-bitowej, całkowitej liczby w dwójkowym kodzie

znak-moduł obliczamy wg wzoru:

n-2

a

n-1

a

n-2

... a

1

a

0

= (1 - 2 * a

n-1

) *

Σ

a

i

* 2

i

i=0

Wyrażenie (1 - 2 x bit znaku) przyjmuje

odpowiednio wartość 1, gdy bit znaku jest
równy 0, a  -1, gdy bit znaku ma wartość 1,
czyli określa liczbę ujemną. W dalszej części
wzoru mamy obliczanie wartości pozostałych
bitów, czyli modułu. Moduł jest przemnażany
przez wyrażenie znakowe i w efekcie
otrzymujemy wartość dodatnią lub ujemną w
zależności od stanu bitu znaku.

Przykład 1:

n = 4 bity

• 0110

ZM

= (1 - 2 * 0) * (0 * 2

0

+ 1 * 2

1

+ 1 * 2

2

)

0110

ZM

= (1 - 2 * 0) * (0 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4)

0110

ZM

= 1 * ( 2 + 4)

0110

ZM

= 6

D

• 1011

ZM

= (1 - 2 * 1) * (1 * 2

0

+ 1 * 2

1

+ 0 * 2

2

)

1011

ZM

= (1 - 2 * 1) * (1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4)

1011

ZM

= -1 * (1 + 2)

1011

ZM

= -3

D

Przykład 2:
Przedstawić wartość -69 w 8-bitowym kodzie znak-

moduł.

1. Znajdujemy przedstawienie dwójkowe modułu

69 / 2 = 34 i reszta 1
34 /2 = 17 i reszta 0
17 / 2 = 8 i reszta 1
8 / 2  = 4 i reszta 0
4 / 2 = 2 i reszta 0
2 / 2 = 1 i reszta 0
1 / 2 = 0 i reszta 1
69

D

= 1000101

B

2. Otrzymaną liczbę dwójkową uzupełniamy bitem

znaku i otrzymujemy:
-69

D

= 11000101

ZM

Zakres n-bitowych liczb w kodzie ZM
Zakres liczb ZM wynika bezpośrednio ze wzoru

obliczeniowego. Wartość maksymalną otrzymamy
przy znaku dodatnim i maksymalnym module. Wartość
minimalną otrzymamy przy znaku ujemnym i również
maksymalnym module. Ponieważ moduł jest o jeden bit
mniejszy niż wynosi długość liczby Z-M, to:

max

ZM

= 2

n-1

- 1,  min

ZM

= -2

n-1

+ 1

dla n=8 -> max

ZM

= 127, min

ZM

= -127

W kodzie ZM można na dwa sposoby zapisać wartość 0,

raz z bitem znaku 0, i raz z bitem znaku 1, np. dla n=4:
0000

ZM

= 0 (zero dodatnie)

1000

ZM

= 0 (zero ujemne, ale też zero)

U2

Wniosek z zapisu liczb w kodzie ZM jest pesymistyczny.

Wymyśliliśmy sposób kodowania liczb ze znakiem,
który sprawia kłopoty przy obliczeniach. Nie może
być inaczej, ponieważ bit znaku jest sztucznie
dołączony do reszty bitów tworzących wartość liczby.

Wykonywanie podstawowych działań arytmetycznych

na liczbach prowadzący do poprawnych wyników jest
możliwe dzięki Kodowi Uzupełnień do 2 (lub
Uzupełnień do Podstawy), w skrócie U2. Budowa
liczby w kodzie U2 jest podobna do kodu znak-moduł.
Jednak teraz pozycja znakowa (najstarszy bit)
posiada swoją wagę i uczestniczy w wartości liczby
jak każda inna pozycja.

Waga pozycji znakowej jest ujemna:

znak moduł
a

n-1

a

n-2

... a

1

a

0

-2

n-1

2

n-2

... 2

1

2

0

Wartość n-bitowej liczby zapisanej w kodzie U2

obliczamy w standardowy sposób: sumując kolejne
iloczyny cyfr przez wagi pozycji.

n-2

a

n-1

a

n-2

... a

1

a

0

= a

n-1

*

(- 2

n-1

) +

Σ

a

i

* 2

i

i=0

Przykład:

n = 4 bity

• 0110

U2

= 0 * (-2

3

) + 0 * 2

0

+ 1 * 2

1

+ 1 * 2

2

0110

U2

= 0 * (-8) + 0 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4

0110

U2

= 2 + 4

0110

U2

= 6

D

• 1110

U2

= 1 * (-2

3

) + 0 * 2

0

+ 1 * 2

1

+ 1 * 2

2

1110

U2

= 1 * (-8) + 0 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4

1110

U2

= -8 + 2 + 4

1110

U2

= -2

Zapis liczb ujemnych
Musimy rozpatrzyć dwa przypadki:
1. Liczba jest dodatnia - znajdujemy jej przedstawienie

binarne i uzupełniamy zerami do przyjętego formatu.
Na przykład przyjmijmy format 4-bitowy i zapiszmy
w nim wartość 3:

3

D

= 11

B

Ponieważ format ma 4 bity, to dodajemy na początku
dwie cyfry 0 i otrzymujemy liczbę dodatnią w kodzie
U2:

3

D

= 0011

B

2. Liczba jest ujemna. W tym przypadku bit znaku musi

mieć wartość 1. Ponieważ stoi on na pozycji o wadze
-2

n-1

, a reszta liczby jest dodawana do tej wagi, to

musimy znaleźć taką wartość, która dodana do wagi
bitu znaku da nam liczbę kodowaną. Wartość tę
kodujemy na pozostałych bitach. Np. zakodujmy
liczbę -3 w 4-bitowym kodzie U2. Bit znaku ma
wartość -2

3

, czyli -8. Aby otrzymać -3, do -8 musimy

dodać liczbę 5 i tę wartość kodujemy na pozostałych
bitach:

-8 + 5 = -3

1101

U2

= -3

D

Możemy również znaleźć przedstawienie modułu tej

liczby, a następnie wyliczyć wartość przeciwną w
kodzie U2 wg przepisu:

1. Aby znaleźć wartość przeciwną w kodzie U2 należy

wykonać następujące czynności: zamienić
wszystkie bity liczby na przeciwne, tzn. 1 na 0 i 0
na 1

2. Do tak otrzymanej liczby dodać wartość 1

Czyli w naszym przykładzie najpierw znajdujemy zapis

dwójkowy liczby 3:

3

D

= 11

B

Następnie uzupełniamy cyfry do 4 bitów: 3

D

= 0011

U2

Teraz postępujemy zgodnie z opisaną metodą:

zamieniamy bity na przeciwne i dodajemy 1

  0011

U2

= 3

D

  1100
+ 0001
  1101

U2

= -3

D

Otrzymaliśmy identyczną liczbę, jak poprzednio.

Zakres n-bitowych liczb w kodzie U2
Największą wartość otrzymamy, gdy bit znaku ma stan 0,

a reszta bitów liczby ma stan 1. Ponieważ dla n-
bitowego formatu U2 bitych o wartości 1 jest n-1, to

max

U2 n-bitów

= 2

n-1

- 1

A więc tyle samo co w kodzie ZM. Najmniejszą wartość

ujemną otrzymamy, gdy bit znaku przyjmie stan 1, a
reszta bitów będzie miała stan 0 - najmniejszą wartością
liczby w kodzie U2 jest waga pozycji znakowej.

min

U2 n-bitów

= -2

n-1

Dla n = 8 otrzymamy: max

U2 8b

= 127, min

U2 8b

= -128

Zwróćcie uwagę, iż górna i dolna granica liczb są

niesymetryczne. W kodzie U2 każda kombinacja kodowa
odpowiada dokładnie jednej liczbie - zero nie powtarza
się, jak w kodzie Z-M. Jest to więc kod efektywny.