O2: Wyznaczanie ogniskowych soczewek i badanie wad soczewek.
Przemysław Kołoczek.
1. Wstęp.
Soczewka jest zbudowana z przezroczystego materiału, ograniczonego z dwóch stron
powierzchniami sferycznymi, których środki znajdują się na głównej osi optycznej
soczewki. Promienie przechodzące przez soczewkę załamują się dwukrotnie, a te biegnące
równolegle do osi optycznej skupiają się w ognisku (F) soczewki.
Odległość ogniska od środka optycznego soczewki to ogniskowa (f), zależna od promieni
obu krzywizn (R
1
, R
2
) oraz współczynnika załamania światła materiału soczewki (n):
1
𝑓
= (𝑛 − 1) (
1
𝑅
1
+
1
𝑅
2
)
Wyrażenie to jest prawdziwe dla soczewek cienkich, w powietrzu. Obraz powstający w
soczewce można skonstruować wykorzystując bieg charakterystycznych promieni:
Ogniskową można również wyznaczyć doświadczalnie na kilka sposobów. Pierwszy
wykorzystuje równanie soczewki. Równanie to ukazuje zależność między ogniskową
soczewki a odległością przedmiotu (a) i obrazu (b) od soczewki:
Rysunek 1. Ogniska soczewki skupiającej i rozpraszającej.
Rysunek 2. Konstrukcja obrazu w soczewce skupiającej.
Rysunek 3. Konstrukcja obrazu w soczewce rozpraszającej.
1
𝑓
=
1
𝑎
+
1
𝑏
Można znaleźć położenie soczewki, gdzie pojawia się ostry, powiększony obraz
przedmiotu. Wyznaczając a i b, można obliczyć ogniskową soczewki, z przekształconego
równania soczewki:
𝑓 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
Drugi sposób to metoda Bessela. Można znaleźć położenia soczewki, gdzie pojawiają się
dwa ostre obrazy – powiększony (b
1
) i pomniejszony (b
2
). Odległości te można wyznaczyć
z równania soczewki:
1
𝑓
=
1
𝑙 − 𝑏
+
1
𝑏
przy czym l – odległość między przedmiotem a ekranem. Powstaje równanie kwadratowe
względem b, mające dwa rozwiązania (pod warunkiem l > 4f):
𝑏
1
=
𝑙 + √𝑙
2
− 4𝑙𝑓
2
𝑏
2
=
𝑙 − √𝑙
2
− 4𝑙𝑓
2
Ponadto odległość między położeniami soczewki (d), w których widoczny jest ostry obraz
wynosi:
𝑑 = 𝑏
1
− 𝑏
2
= √𝑙
2
− 4𝑙𝑓
Ostatecznie:
𝑓 =
𝑙
2
− 𝑑
2
4𝑙
Rysunek 4. Ława optyczna do wyznaczania ogniskowych soczewek.
Trzecia metoda wykorzystuje ogniskową układu soczewek (f
u
). Ogniskowa dwóch cienkich
soczewek (f
1
i f
2
) położonych blisko siebie spełnia zależność:
1
𝑓
𝑢
=
1
𝑓
1
+
1
𝑓
2
Jeżeli soczewki te leżą od siebie w odległości d, powyższe równanie przyjmuje postać:
1
𝑓
𝑢
=
1
𝑓
1
+
1
𝑓
2
−
𝑑
𝑓
1
𝑓
2
Soczewki mają kilka wad. Aberracja sferyczna – to różne położenia ognisk dla promieni
przyosiowych i brzegowych. Brzegowe załamują się silniej, więc ich ognisko jest położone
bliżej soczewki. Aberracja chromatyczna – to różne położenia ognisk dla promieni o
różnych długościach fal (barwach). Promienie krótsze (fioletowe) załamują się silniej, więc
ich ognisko jest położone bliżej soczewki. Astygmatyzm jest deformacją obrazu po
przejściu promieni przez soczewkę ustawioną pod kątem do głównej osi optycznej.
Wiązka promieni równoległych do osi optycznej nie skupia się w jednym punkcie, wobec
tego obraz przedmiotu jest zdeformowany (różne części wiązki załamują się na
fragmentach soczewki o różnych warunkach geometrycznych).
Rysunek 5. Metoda Bessela wyznaczania ogniskowych soczewek.
Rysunek 6. Ława optyczna do badania astygmatyzmu soczewek (widok z góry).
2. Opis doświadczenia.
Podłączono do odpowiednich gniazdek elektrycznych źródło światła ławy optycznej
(lampkę) i latarkę, które włączono po zgaszeniu światła przez prowadzącego. Na ławie
optycznej zamontowano przedmiot (matowa płytka szklana z literą „g”) i soczewkę
skupiającą (+10 D), której wysokość wyrównano względem przedmiotu i ekranu, a
następnie ustalono odległość przedmiotu i ekranu. Znaleziono położenie soczewki na
ławie optycznej, przy którym na ekranie pojawił się ostry, powiększony obraz przedmiotu,
kilkakrotnie powtórzono pomiar. Następnie soczewkę obrócono o 180° i czynności te
powtórzono. Wszystkie operacje powtórzono dla nowej odległości między przedmiotem a
ekranem. Dla tej samej soczewki wykonano analogiczne czynności podczas badania jej
ogniskowej metodą wykorzystującą równanie soczewki z tą różnicą, że szukano położeń
soczewki, gdzie pojawiały się dwa obrazy – najpierw powiększony, następnie
pomniejszony (metoda Bessela). Badania powtórzono kilkukrotnie dla dwóch odległości
między przedmiotem a ekranem. Następnie zamontowano na ławie blisko siebie
soczewkę rozpraszającą (-2 D) i skupiającą (tą z poprzednich pomiarów) i wyznaczono
ogniskową układu soczewek metodą Bessela, dla jednej odległości przedmiot – ekran. Po
wykonaniu tych czynności na miejsce układu soczewek zamontowano soczewkę grubą
oraz odpowiednią przysłonę w celu zbadania zjawiska aberracji sferycznej. Ogniskową tej
soczewki wyznaczono metodą Bessela, dla promieni brzegowych i przyosiowych dla jednej
odległości przedmiot – ekran. Następnie między przedmiotem a źródłem światła
zamontowano niebieski filtr (przysłonę zdjęto), a ogniskową tego układu wyznaczono
metodą Bessela dla jednej odległości przedmiot – ekran (aberracja chromatyczna).
Analogiczne pomiary wykonano dla światła czerwonego. W celu zbadania astygmatyzmu
zdemontowano filtr czerwony, pod soczewką grubą zamontowano podziałkę kątową, a w
miejsce przedmiotu umieszczono matówkę z naniesionymi liniami prostopadłymi.
Odchylono soczewkę pod kątem 10° względem ławy optycznej, a następnie znaleziono
położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiły się tylko linie pionowe i poziome.
Pomiary powtórzono dla kątów 20° i 30°. Po zakończeniu pomiarów uporządkowano
stanowisko pracy – wyłączono i odłączono urządzenia elektryczne z sieci, wybrane
soczewki i przedmioty odłożono na miejsce.
3. Plan pracy.
a) Wyznaczyć ogniskową soczewki skupiającej na podstawie równania soczewki:
– Zamontować badaną soczewkę skupiającą na ławie optycznej, ustalić i zmierzyć
położenie przedmiotu i ekranu.
– Znaleźć położenie soczewki, przy którym na ekranie pojawia się ostry, powiększony
obraz, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
– Obrócić soczewkę o 180° i powtórzyć powyższy pomiar.
– Powtórzyć pomiary dla innego położenia przedmiotu i ekranu.
b) Wyznaczyć ogniskową soczewki skupiającej metodą Bessela:
– Ustalić i zmierzyć położenie przedmiotu i ekranu.
– Znaleźć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
– Powtórzyć pomiary dla innego położenia przedmiotu i ekranu.
c) Wyznaczyć ogniskową soczewki rozpraszającej:
– Zamontować soczewki w układ skupiający (skupiająca za rozpraszającą), ustalić i
zmierzyć położenie przedmiotu i ekranu.
– Znaleźć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotnie powtórzyć pomiar.
d) Zbadać aberrację sferyczną grubej soczewki metodą Bessela:
– Zamontować soczewkę i odpowiednią przysłonę na ławie optycznej, ustalić i
zmierzyć położenie przedmiotu i ekranu.
– Znaleźć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
e) Zbadać aberrację chromatyczną soczewki grubej metodą Bessela:
– Zamontować czerwony filtr na ławie optycznej, ustalić i zmierzyć położenie
przedmiotu i ekranu.
– Znaleźć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się ostre
(powiększony i pomniejszony) obrazy, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
– Powtórzyć pomiary dla barwy niebieskiej.
f) Zbadać astygmatyzm soczewki grubej:
– Zamontować soczewkę na statywie z podziałką kątową, zamontować matówkę z
naniesionymi liniami prostopadłymi w miejsce przedmiotu na ławie optycznej,
ustalić i zmierzyć położenie matówki i ekranu.
– Odchylić soczewkę pod kątem 10° względem ławy optycznej.
– Znaleźć położenia soczewki, przy których na ekranie pojawiają się tylko linie
pionowe i tylko linie poziome, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
– Powtórzyć pomiary dla innych kątów.
g) Uporządkować stanowisko pracy.
4. Wyniki.
a) Położenia soczewki skupiającej na skali ławy optycznej (równanie soczewki).
Tabela 1. Wyniki pomiarów dla metody wykorzystującej równanie soczewki.
L. p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 150,0 cm
Bez obrotu
[cm]
Obrót o 180°
[cm]
Bez obrotu
[cm]
Obrót o 180°
[cm]
1
38,8
37,1
38,3
36,6
2
38,8
37,1
38,4
36,5
3
38,8
37,1
38,4
36,5
4
38,8
37,1
38,4
36,5
5
38,8
37,1
38,3
36,5
6
38,9
37,1
38,3
36,5
7
38,9
37,0
38,4
36,5
8
38,9
37,1
38,4
36,6
9
38,9
37,1
38,4
36,6
10
38,9
37,0
38,4
36,5
b) Położenia soczewki skupiającej na skali ławy optycznej (metoda Bessela).
Tabela 2. Wyniki pomiarów dla metody Bessela.
L. p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 90,0 cm
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 180,0 cm
Powiększenie
[cm]
Pomniejszenie
[cm]
Powiększenie
[cm]
Pomniejszenie
[cm]
1
38,2
75,5
36,3
167,2
2
38,1
75,5
36,4
167,1
3
38,1
75,6
36,3
167,1
4
38,2
75,5
36,4
167,2
5
38,1
75,5
36,3
167,1
6
38,1
75,6
36,4
167,2
7
38,2
75,6
36,4
167,2
8
38,1
75,6
36,4
167,2
9
38,1
75,5
36,3
167,1
10
38,1
75,6
36,4
167,1
c) Położenia układu soczewek na skali ławy optycznej.
Tabela 3. Wyniki pomiarów dla soczewki rozpraszającej.
L.p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 180,0 cm
Powiększenie
[cm]
Pomniejszenie
[cm]
1
39,1
163,9
2
39,0
164,0
3
39,1
164,1
4
39,0
164,0
5
39,1
163,9
d) Położenia soczewki grubej na skali ławy optycznej (aberracja sferyczna).
Tabela 4. Wyniki pomiarów dla soczewki grubej (aberracja sferyczna).
L. p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie przyosiowe
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie brzegowe
Powiększenie
[cm]
Pomniejszenie
[cm]
Powiększenie
[cm]
Pomniejszenie
[cm]
1
56,3
91,5
47,0
96,0
2
56,0
91,2
47,1
96,1
3
56,1
91,4
47,2
96,0
4
56,0
91,4
47,2
96,2
5
56,1
91,5
47,1
96,0
e) Położenia soczewki grubej na skali ławy optycznej (aberracja chromatyczna).
Tabela 5. Wyniki pomiarów dla soczewki grubej (aberracja chromatyczna).
L. p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie niebieskie
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie czerwone
Powiększenie
[cm]
Pomniejszenie
[cm]
Powiększenie
[cm]
Pomniejszenie
[cm]
1
55,1
92,9
55,4
92,5
2
55,1
93,0
55,3
92,3
3
55,0
93,2
55,2
92,2
4
55,1
93,1
55,3
92,3
5
55,0
93,0
55,1
92,3
f) Położenia soczewki grubej na skali ławy optycznej (astygmatyzm).
Nie uzyskano żadnych wyników, ze względu na brak czasu na zajęciach.
5. Opracowanie wyników.
a) Ogniskowa soczewki skupiającej (równanie soczewki).
Obliczono odległości przedmiotu od soczewki (a) i ekranu od soczewki (b):
Tabela 6. Wyniki obliczeń dla metody wykorzystującej równanie soczewki
L. p.
(1) Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
(2) Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 150,0 cm
Bez obrotu
[cm]
Obrót o 180°
[cm]
Bez obrotu
[cm]
Obrót o 180°
[cm]
a
[cm]
b
[cm]
a
[cm]
b
[cm]
a
[cm]
b
[cm]
a
[cm]
b
[cm]
1
12,8
81,2
11,1
82,9
12,3
111,7
10,6
113,4
2
12,8
81,2
11,1
82,9
12,4
111,6
10,5
113,5
3
12,8
81,2
11,1
82,9
12,4
111,6
10,5
113,5
4
12,8
81,2
11,1
82,9
12,4
111,6
10,5
113,5
5
12,8
81,2
11,1
82,9
12,3
111,7
10,5
113,5
6
12,9
81,1
11,1
82,9
12,3
111,7
10,5
113,5
7
12,9
81,1
11,0
83,0
12,4
111,6
10,5
113,5
8
12,9
81,1
11,1
82,9
12,4
111,6
10,6
113,4
9
12,9
81,1
11,1
82,9
12,4
111,6
10,6
113,4
10
12,9
81,1
11,0
83,0
12,4
111,6
10,5
113,5
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 6, na podstawie wzoru:
𝑥 =
1
𝑛
∑ 𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
(1)
𝑎
1
= 11,97 𝑐𝑚
𝑏
1
= 82,04 𝑐𝑚
𝑎
2
= 11,45 𝑐𝑚
𝑏
2
= 112,55 𝑐𝑚
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 6, na podstawie wzoru:
∆𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑠
𝑥
+ ∆𝑥
𝑠𝑦𝑠
= 3 ∙ √
1
𝑛(𝑛 − 1)
∑(𝑥
𝑖
− 𝑥)
2
𝑛
𝑖=1
+ 0,1 (2)
gdzie:
𝑘 – współczynnik rozszerzenia,
𝑠
𝑥
– odchylenie standardowe średniej wyników [cm],
∆𝑥
𝑠𝑦𝑠
– błąd systematyczny linijki z podziałką (najmniejsza podziałka na skali) [cm].
∆𝑎
1
= 0,71 𝑐𝑚
∆𝑏
1
= 0,71 𝑐𝑚
∆𝑎
2
= 0,73 𝑐𝑚
∆𝑏
2
= 0,73 𝑐𝑚
Obliczono ogniskową, na podstawie wzoru:
𝑓 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
(3)
gdzie:
𝑎 – średnia arytmetyczna odległości przedmiotu od soczewki [cm],
𝑏 – średnia arytmetyczna odległości soczewki od ekranu [cm].
𝑓
1
= 10,44 𝑐𝑚
𝑓
2
= 10,39 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej na podstawie wzoru:
∆𝑓 = |
𝜕𝑓
𝜕𝑎
∙ ∆𝑎| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑏
∙ ∆𝑏| = (
𝑏
𝑎 + 𝑏
)
2
∙ ∆𝑎 + (
𝑎
𝑎 + 𝑏
)
2
∙ ∆𝑏 (4)
gdzie:
𝑎 – średnia arytmetyczna odległości przedmiotu od soczewki [cm],
𝑏 – średnia arytmetyczna odległości soczewki od ekranu [cm],
∆𝑎 – niepewność średniej arytmetycznej odległości przedmiotu od soczewki [cm],
∆𝑏 – niepewność średniej arytmetycznej odległości soczewki od ekranu [cm].
∆𝑓
1
= 0,55 𝑐𝑚
∆𝑓
2
= 0,61 𝑐𝑚
Wynik końcowy:
𝑓 = (10,44 ± 0,55) 𝑐𝑚
𝑓 = (10,39 ± 0,61) 𝑐𝑚
b) Ogniskowa soczewki skupiającej (metoda Bessela).
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b
1
), pomniejszony (b
2
), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
między przedmiotem a ekranem (l), dla obu położeń przedmiot – ekran:
Tabela 7. Wyniki obliczeń dla metody Bessela.
L. p.
(1) Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 90,0 cm
(2) Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 180,0 cm
b
1
[cm]
b
2
[cm]
d
[cm]
b
1
[cm]
b
2
[cm]
d
[cm]
1
51,8
14,5
37,3
143,7
12,8
130,9
2
51,9
14,5
37,4
143,6
12,9
130,7
3
51,9
14,4
37,5
143,7
12,9
130,8
4
51,8
14,5
37,3
143,6
12,8
130,8
5
51,9
14,5
37,4
143,7
12,9
130,8
6
51,9
14,4
37,5
143,6
12,8
130,8
7
51,8
14,4
37,4
143,6
12,8
130,8
8
51,9
14,4
37,5
143,6
12,8
130,8
9
51,9
14,5
37,4
143,7
12,9
130,8
10
51,9
14,4
37,5
143,6
12,9
130,7
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 7, na podstawie wzoru (1):
(𝑏
1
)
1
= 51,87 𝑐𝑚
(𝑏
2
)
1
= 14,45 𝑐𝑚
𝑑
1
= 37,42 𝑐𝑚
𝑙
1
= 64,00 𝑐𝑚
(𝑏
1
)
2
= 143,60 𝑐𝑚
(𝑏
2
)
2
= 12,85 𝑐𝑚
𝑑
2
= 130,79 𝑐𝑚
𝑙
2
= 154,00 𝑐𝑚
Obliczono niepewności pomiarów odległości (b
1
i b
2
) z Tabeli 7, na podstawie wzoru
(2). Do obliczenia niepewności 𝑑 i 𝑙 zastosowano wzór (prawo propagacji błędów):
∆𝑦 = √(∆𝑥
1
)
2
+ (∆𝑥
2
)
2
+ ⋯ + (∆𝑥
𝑛
)
2
(5)
gdzie:
∆𝑦 – niepewność pomiaru pośredniego,
∆𝑥
1
, ∆𝑥
2
, ⋯ , ∆𝑥
𝑛
– niepewności kolejnych pomiarów bezpośrednich.
∆(𝑏
1
)
1
= 0,15 𝑐𝑚
∆(𝑏
2
)
1
= 0,15 𝑐𝑚
∆𝑑
1
= 0,21 𝑐𝑚
∆𝑙
1
= 0,14 𝑐𝑚
∆(𝑏
1
)
2
= 0,15 𝑐𝑚
∆(𝑏
2
)
2
= 0,15 𝑐𝑚
∆𝑑
2
= 0,21 𝑐𝑚
∆𝑙
2
= 0,14 𝑐𝑚
Obliczono ogniskową na podstawie wzoru:
𝑓 =
𝑙
2
− 𝑑
2
4𝑙
(6)
gdzie:
𝑙 – średnia odległość przedmiotu od ekranu [cm],
𝑑 – średnia odległość między położeniami ostrych obrazów [cm].
𝑓
1
= 10,53 𝑐𝑚
𝑓
2
= 10,73 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej na podstawie wzoru:
∆𝑓 = |
𝜕𝑓
𝜕𝑑
∙ ∆𝑑| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑙
∙ ∆𝑙| =
𝑑
2𝑙
∙ ∆𝑑 + (
1
4
+
𝑑
2
4𝑙
2
) ∙ ∆𝑙 (7)
gdzie:
𝑙 – średnia odległość przedmiotu od ekranu [cm],
𝑑 – średnia odległość między położeniami ostrych obrazów [cm],
∆𝑑 – niepewność średniej odległości przedmiotu od ekranu [cm],
∆𝑙 – niepewność średniej odległości między położeniami ostrych obrazów [cm].
∆𝑓
1
= 0,11 𝑐𝑚
∆𝑓
2
= 0,15 𝑐𝑚
Wynik końcowy:
𝑓
1
= (10,53 ± 0,11) 𝑐𝑚
𝑓
2
= (10,73 ± 0,15) 𝑐𝑚
c) Ogniskowa soczewki rozpraszającej.
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b
1
), pomniejszony (b
2
), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
między przedmiotem a ekranem (l) dla układu soczewek:
Tabela 8. Wyniki obliczeń dla soczewki rozpraszającej.
L. p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 180,0 cm
b
1
[cm]
b
2
[cm]
d
[cm]
1
140,9
16,1
124,8
2
141,0
16,0
125,0
3
140,9
15,9
125,0
4
141,0
16,0
125,0
5
140,9
16,1
124,8
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 8, na podstawie wzoru (1):
𝑏
1
= 140,94 𝑐𝑚
𝑏
2
= 16,02 𝑐𝑚
𝑑 = 124,92 𝑐𝑚
𝑙 = 154,00 𝑐𝑚
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 8, na podstawie wzorów (2)
i (5):
∆𝑏
1
= 0,17 𝑐𝑚
∆𝑏
2
= 0,21 𝑐𝑚
∆𝑑 = 0,27 𝑐𝑚
∆𝑙 = 0,14 𝑐𝑚
Obliczono ogniskową układu na podstawie wzoru (6):
𝑓 = 13,17 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej układu na podstawie wzoru (7):
∆𝑓 = 0,17 𝑐𝑚
Obliczono ogniskową soczewki rozpraszającej (f) na podstawie wzoru:
𝑓 =
𝑓
𝑠
𝑓
𝑢
𝑓
𝑠
− 𝑓
𝑢
(8)
gdzie:
𝑓
𝑠
– ogniskowa soczewki skupiającej wyznaczona metodą Bessela [cm],
𝑓
𝑢
– ogniskowa układu soczewek wyznaczona metodą Bessela [cm],
𝑓
𝑠
= 10,73 𝑐𝑚
𝑓
𝑢
= 13,17 𝑐𝑚
𝑓 = −57,98 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowej soczewki rozpraszającej na podstawie
wzoru:
∆𝑓 = |
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑠
∙ ∆𝑓
𝑠
| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑢
∙ ∆𝑓
𝑢
| = (
𝑓
𝑢
𝑓
𝑠
− 𝑓
𝑢
)
2
∙ ∆𝑓
𝑠
+ (
𝑓
𝑠
𝑓
𝑠
− 𝑓
𝑢
)
2
∙ ∆𝑓
𝑢
(9)
gdzie:
𝑓
𝑠
– ogniskowa soczewki skupiającej wyznaczona metodą Bessela [cm],
𝑓
𝑢
– ogniskowa układu soczewek wyznaczona metodą Bessela [cm],
∆𝑓
𝑠
– niepewność ogniskowej soczewki skupiającej wyznaczonej metodą Bessela [cm],
∆𝑓
𝑢
– niepewność ogniskowej układu soczewek wyznaczonej metodą Bessela [cm].
∆𝑓 = 7,69 𝑐𝑚
Wynik końcowy:
𝑓 = (−57,98 ± 7,69) 𝑐𝑚
d) Aberracja sferyczna.
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b
1
), pomniejszony (b
2
), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
między przedmiotem a ekranem (l), dla obu przysłon:
Tabela 9. Wyniki obliczeń dla soczewki grubej (aberracja sferyczna).
L. p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie przyosiowe (1)
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie brzegowe (2)
b
1
[cm]
b
2
[cm]
d
[cm]
b
1
[cm]
b
2
[cm]
d
[cm]
1
63,7
28,5
35,2
73,0
24,0
49,0
2
64,0
28,8
35,2
72,9
23,9
49,0
3
63,9
28,6
35,3
72,8
24,0
48,8
4
64,0
28,6
35,4
72,8
23,8
49,0
5
63,9
28,5
35,4
72,9
24,0
48,9
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 9, na podstawie wzoru (1):
(𝑏
1
)
1
= 63,90 𝑐𝑚
(𝑏
2
)
1
= 28,60 𝑐𝑚
𝑑
1
= 35,30 𝑐𝑚
𝑙
1
= 94,00 𝑐𝑚
(𝑏
1
)
2
= 72,88 𝑐𝑚
(𝑏
2
)
2
= 23,94 𝑐𝑚
𝑑
2
= 48,94 𝑐𝑚
𝑙
2
= 94,00 𝑐𝑚
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 9, na podstawie wzorów (2)
i (5):
∆(𝑏
1
)
1
= 0,22 𝑐𝑚
∆(𝑏
2
)
1
= 0,22 𝑐𝑚
∆𝑑
1
= 0,31 𝑐𝑚
∆𝑙
1
= 0,14 𝑐𝑚
∆(𝑏
1
)
2
= 0,18 𝑐𝑚
∆(𝑏
2
)
2
= 0,18 𝑐𝑚
∆𝑑
2
= 0,26 𝑐𝑚
∆𝑙
2
= 0,14 𝑐𝑚
Obliczono ogniskowe dla promieni przyosiowych (f
1
) i brzegowych (f
2
) na podstawie
wzoru (6):
𝑓
1
= 20,19 𝑐𝑚
𝑓
2
= 17,13 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowych dla obu promieni na podstawie wzoru
(7):
∆𝑓
1
= 0,10 𝑐𝑚
∆𝑓
2
= 0,11 𝑐𝑚
Obliczono aberrację sferyczną soczewki grubej, na podstawie wzoru:
𝐴
𝑆
= |𝑓
1
− 𝑓
2
| (10)
𝐴
𝑆
= 3,06 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru aberracji sferycznej na podstawie wzoru (5):
∆𝐴
𝑆
= 0,15 𝑐𝑚
Wynik końcowy:
𝐴
𝑆
= (3,06 ± 0,15) 𝑐𝑚
e) Aberracja chromatyczna.
Obliczono odległości soczewki od ekranu, przy których pojawił się obraz powiększony
(b
1
), pomniejszony (b
2
), odległości między tymi dwoma położeniami (d) oraz odległość
między przedmiotem a ekranem (l), dla obu filtrów:
Tabela 10. Wyniki obliczeń dla soczewki grubej (aberracja chromatyczna).
L. p.
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie niebieskie (1)
Położenie przedmiotu: 26,0 cm
Położenie ekranu: 120,0 cm
Promienie czerwone (2)
b
1
[cm]
b
2
[cm]
d
[cm]
b
1
[cm]
b
2
[cm]
d
[cm]
1
64,9
27,1
37,8
64,6
27,5
37,1
2
64,9
27,0
37,9
64,7
27,7
37,0
3
65,0
26,8
38,2
64,8
27,8
37,0
4
64,9
26,9
38,0
64,7
27,7
37,0
5
65,0
27,0
38,0
64,9
27,7
37,2
Obliczono średnie arytmetyczne odległości z Tabeli 10, na podstawie wzoru (1):
(𝑏
1
)
1
= 64,94 𝑐𝑚
(𝑏
2
)
1
= 26,96 𝑐𝑚
𝑑
1
= 37,98 𝑐𝑚
𝑙
1
= 94,00 𝑐𝑚
(𝑏
1
)
2
= 64,74 𝑐𝑚
(𝑏
2
)
2
= 27,68 𝑐𝑚
𝑑
2
= 37,06 𝑐𝑚
𝑙
2
= 94,00 𝑐𝑚
Obliczono niepewności pomiarów odległości z Tabeli 10, na podstawie wzorów (2)
i (5):
∆(𝑏
1
)
1
= 0,15 𝑐𝑚
∆(𝑏
2
)
1
= 0,21 𝑐𝑚
∆𝑑
1
= 0,26 𝑐𝑚
∆𝑙
1
= 0,14 𝑐𝑚
∆(𝑏
1
)
2
= 0,21 𝑐𝑚
∆(𝑏
2
)
2
= 0,20 𝑐𝑚
∆𝑑
2
= 0,29 𝑐𝑚
∆𝑙
2
= 0,14 𝑐𝑚
Obliczono ogniskowe dla promieni niebieskich (f
1
) i czerwonych (f
2
) na podstawie
wzoru (6):
𝑓
1
= 19,66 𝑐𝑚
𝑓
2
= 19,85 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru ogniskowych dla obu promieni na podstawie wzoru
(7):
∆𝑓
1
= 0,09 𝑐𝑚
∆𝑓
2
= 0,10 𝑐𝑚
Obliczono aberrację sferyczną soczewki grubej, na podstawie wzoru:
𝐴
𝐶
= |𝑓
2
− 𝑓
1
| (11)
𝐴
𝐶
= 0,18 𝑐𝑚
Obliczono niepewność pomiaru aberracji sferycznej na podstawie wzoru (5):
∆𝐴
𝐶
= 0,14 𝑐𝑚
Wynik końcowy:
𝐴
𝐶
= (0,18 ± 0,14) 𝑐𝑚
f) Astygmatyzm.
Nie wykonano żadnych obliczeń, ze względu na brak danych pomiarowych.
6. Omówienie wyników i podsumowanie.
W wyniku przeprowadzonych eksperymentów i obliczeń uzyskano następujące wyniki:
Tabela 11. Zestawienie wyników.
Soczewka
skupiająca
Soczewka
rozpraszająca
Soczewka
gruba
Ogniskowa
(równanie soczewki)
(10,44 ± 0,55) cm
(10,39 ± 0,61) cm
–
–
Ogniskowa
(metoda Bessela)
(10,53 ± 0,11) cm
(10,73 ± 0,15) cm
–
–
Ogniskowa (metoda
układu soczewek)
–
(-57,98 ± 7,69) cm
–
Aberracja
sferyczna
–
–
(3,06 ± 0,15) cm
Aberracja
chromatyczna
–
–
(0,18 ± 0,14) cm
Metoda wykorzystująca równanie soczewki i metoda Bessela dają bardzo zbliżone wyniki,
przy czym metoda Bessela jest bardziej precyzyjna, ze względu na mniejszą (około 5 razy)
niepewność pomiarową, w porównaniu do metody wykorzystującej równanie soczewki. Z
kolei metoda „równania soczewki” jest dokładniejsza, ponieważ ma mniejszy błąd
bezwzględny w porównaniu do metody Bessela. Błąd ten można określić jako różnicę
między uzyskanymi wynikami a wartością teoretyczną ogniskowej badanej soczewki o
zdolności skupiającej +10 D (co daje ogniskową równą 10,00 cm). Metoda wyznaczania
ogniskowej soczewki rozpraszającej (układ soczewek) jest mało precyzyjna i mało
dokładna – ma dużą niepewność i duży błąd względny. Błąd ten można określić jako
różnicę między uzyskanym wynikiem a wartością teoretyczną ogniskowej badanej
soczewki o zdolności skupiającej -2 D (co daje ogniskową równą -50,00 cm). Badana
soczewka ma aberrację sferyczną równą (3,06 ± 0,15) cm. Badana soczewka ma bardzo
małą aberrację chromatyczną, co można było dostrzec podczas pomiarów – obie wartości
odległości niewiele się różniły (najwyżej o 1,0 cm). Źródłami niepewności wykonanych
pomiarów są: trudność ustalenia położenia soczewki, w którym obraz jest ostry,
niedokładność ludzkiego oka, niedokładność przyrządów pomiarowych, nie perfekcyjne
odczytanie wyników położenia soczewki, ekranu i przedmiotu, zaokrąglanie oraz mała
ilość wyników. Ogniskowa soczewki skupiającej jest różna w zależności od wykorzystanej
metody do jej wyznaczenia. Głównym powodem niepewności pomiarowej układu
soczewek (skupiającej i rozpraszającej) jest odległość między nimi, którą zaniedbujemy.
Poprzez liczne doświadczenia zaobserwowano wady soczewek. Aby pomiary były
dokładniejsze, należałoby wykonać większą ich ilość.
7. Literatura.
[1] A. Magiera, I Pracownia Fizyczna, IF UJ, Kraków 2010.
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki 4, PWN, Warszawa 2003.
8. Załączniki.
Kserokopia wyników pomiarowych.