Opracował: Czerwiec

Dla belki obciążonej i przekroju poprzecznym jak na rys. poniżej wyznaczyć

Ϭ

gmax

oraz

τ

max.

Rozwiązanie:

Dwa podstawowe wzory, które potrzebujemy do rozwiązania zadania to:

Ϭ

௚௠௔௫

=

ܯ

௚௠௔௫

ܫ

௭௖

∗ ߩ

௠௔௫

߬

௠௔௫ୀ

ܶ

௠௔௫

∗ ܵ

ܫ

௭௖

∗ ܷ

Poszczególne elementy powyższych wzorów postaram się wyjaśnić podczas liczenia.

Obliczamy

Ϭ

ࢍ࢓ࢇ࢞

:

•

Liczymy maksymalny moment gnący(M

gmax

), najpierw sprawdzamy czy w kartkach ksero nie

ma takiej belki jak w zadaniu. Akurat takiej belki nie ma, więc liczymy na piechotę.

B

A

R

A

R

B

P

2/3l

1/3l

a

2a

z

y

t

3t

Opracował: Czerwiec

W tym celu musimy kolejno policzyć reakcje, siły tnące i momenty.

ߑ݌݅ݕ = 0: ܴ

஺

− ܲ + ܴ

஻

= 0

ߑܯ

஺

= 0: ܲ ∗

1

3 ݈ − ܴ

஻∗

݈ = 0

ܴ

஺

=

2

3 ܲ

ܴ

஻

=

1

3 ܲ

Wyznaczamy siły tnące i momenty w przedziałach

ݔ ∈ ቀ0,

ଵ
ଷ

݈ቁ ; ݔ ∈ (

ଵ
ଷ

݈, ݈)

ܶ(ݔ) = ൞

2

3 ܲ ݔ ∈ (0,

1

3 ݈)

2

3 ܲ − ܲ = −

1

3 ܲ ݔ ∈ (

1

3 ݈, ݈)

ൢ

ܯ(ݔ) = ൞

2

3 ܲ ∗ ݔ ݔ ∈ (0,

1

3 ݈)

2

3 ܲ ∗ ݔ − ܲ ∗ (ݔ −

1

3 ݈) ݔ ∈ (

1

3 ݈, ݈)

ൢ

Podstawiamy do momentów, skrajne wartości przedziałów za x. Patrzymy która z wartości po

podstawieniu jest największa, bo to właśnie jej szukamy(M

gmax

).

M(x)

Jest jeszcze małe uproszczenie przy liczeniu momentu maksymalnego: liczymy T(x) i mnożymy przez

długość przedziału, np.:

przedział

ݔ ∈ (0,

ଵ
ଷ

݈)

T(x) =

ଶ
ଷ

ܲ

długość przedziału:

ۻ

܏ܕ܉ܠ

=

2

3 ܲ ∗

1

3 ݈ =

૛

ૢ ࡼ࢒

Nie zawsze można stosować to uproszczenie ale nie pamiętam w jakich przypadkach nie można. =)

2

9 ݈ܲ

1/3l

Opracował: Czerwiec

•

Liczymy moment bezwładności przekroju poprzecznego względem osi na której znajduję się

środek ciężkości, czyli

I

zc.

ܫ

௭௖

= ܫ

௭

− ݕ

௖

ଶ

∗ ܣ

Moment bezwładności

współrzędna śr. ciężkości

pole powierzchni

Jeszcze raz nasz przekrój dla przypomnienia.

- Moment bezwładności

I

z

liczymy patrząc na przekrój

figury u nas mamy dwa prostokąty (

czerwony

i

zielony

). Szukamy sobie w kartkach ksero wzorków

dla prostokąta (skan poniżej).

Moment bezwładności całej figury będzie sumą momentu

czerwonego

i

zielonego

prostokąta.

Moment bezwładności zależy od tego względem jakiej osi jest liczony:

- może być liczony względem osi z

c

czyli przechodzącej przez środek ciężkości lub z

p

czyli osi

podstawowej która zazwyczaj jest na krawędzi figury

Czerwony

prostokąt ma grubość t <<a czyli bardzo małą. Wystarczy wyobrazić sobie kreskę nie da się

dorysować osi na jej krawędzi, bo jest zbyt cienka stąd wzór dla osi przechodzącej przez środek

ciężkości.

a

2a

z

y

t

3t

a

z = z

c

t

Opracował: Czerwiec

Z kserówki mamy wzór:

ܫ

௭

=

ܾℎ

ଷ

12

Wysokość i szerokość z wzoru zmieniamy na takiej jakie są w zadania czyli b = a, h = t

ܫ

௭

=

ܽݐ

ଷ

12

Teraz kolejny prostokąt:

Dla

zielonego

prostokąta oś z nie jest osią przechodzącą przez

środek ciężkości dlatego używamy wzoru:

ܫ

௭

=

ܾℎ

ଷ

3

Gdzie: b=3t, h= 2a

ܫ

௭

=

3ݐ(2ܽ)

ଷ

3

= 8ݐܽ

ଷ

Suma momentów bezwładności:

ܫ

௭

=

ܽݐ

ଷ

12

+

8ݐܽ

ଷ

= 8ݐܽ

ଷ

- Liczymy współrzędną

y

c

środka ciężkości:

ݕ

௖

=

at ∗ t2

+

2a ∗ 3t ∗ a

a ∗ t

+

2a ∗ 3t

=

6

7 a

- Pole powierzchni mamy z mianownika wyrażenia powyżej:

ܣ = 7ܽݐ

Podstawiamy nasze obliczenia do wzoru na

I

zc

:

ࡵ

ࢠࢉ

= ܫ

௭

− ݕ

௖

ଶ

∗ ܣ =

8ݐܽ

3

−

ቀ

6
7

a

ቁ

2

∗ 7ܽݐ = 8ݐܽ

3

−

36

7

ݐܽ

3

=

૛૙

ૠ

࢚ࢇ

૜

2a

3t

z = z

p

= 0 gdyż t jest bardzo małe

0

Opracował: Czerwiec

•

Zostało jeszcze najdalej oddalone włókno od osi obojętnej(przechodzącej przez śr. ciężkości)

ߩ

௠௔௫

Patrzymy jaka jest największa odległość od osi z

c

do skrajnego

punktu przekroju:

Mamy wszystko co potrzeba do obliczenia naprężeń od zginania podstawiamy do wzoru:

Ϭ

ࢍ࢓ࢇ࢞

=

ܯ

௚௠௔௫

ܫ

௭௖

∗ ߩ

௠௔௫

=

2

9 ݈ܲ

20

7 ݐܽ

ଷ

∗

8

7 ܽ =

ૡ

ૢ૙ ࢚ࢇ

૛

Następna część zadania czyli obliczanie

࣎

࢓ࢇ࢞

:

Dla przypomnienia wzorek:

߬

௠௔௫ୀ

ܶ

௠௔௫

∗ ܵ

ܫ

௭௖

∗ ܷ

•

Zaczynamy od

ܶ

௠௔௫

które z jak wiemy z wcześniejszych obliczeń maksymalne jest w

pierwszym przedziale naszej belki i wynosi:

ࢀ

࢓ࢇ࢞

=

૛

૜ ࡼ

z

c

6

7 ܽ

8

7 ܽ

8

7 ܽ

Opracował: Czerwiec

•

Liczymy moment statyczny (

S

) dla przekroju:

Moment statyczny wyraża się wzorem

ࡿ = ࢖࢕࢒ࢋ ࢖࢕࢝࢏ࢋ࢘ࢠࢉࢎ࢔࢏ ∗ ࢕ࢊ࢒ࢋࢍ࢒࢕࢙ࢉ ࢙࢘࢕ࢊ࢑ࢇ ࢉ࢏ࢋࢠ࢑࢕࢙ࢉ࢏ ࢕ࢊ ࢕࢙࢏ ࢠ

ࢉ

Przekrój belki w powiększeniu:

ܵ =

૜ܜ ∗

ૡ

ૠ a

∗

ૡ

૚૝ ܉

=

ૢ૟

૝ૢ ܉

૛

ܜ

lub

ܵ =

܉ ∗ ܜ

∗

6

7 a

+

૜ܜ ∗

૟

ૠ a

∗

6

14 a

=

ૢ૟

૝ૢ ܉

૛

ܜ

•

I

zc

mamy obliczoną przy pierwszej części zadania.

•

Liczymy sumę szerokości

U

włókien na osi

z

c

:

Mamy jedno włókno o szerokości

3t, więc:

ࢁ = ૜࢚

Mamy wszystko co potrzeba do obliczenia naprężeń od ścinania podstawiamy do wzoru:

࣎

࢓ࢇ࢞ୀ

ܶ

௠௔௫

∗ ܵ

ܫ

௭௖

∗ ܷ =

2

3 ܲ ∗

96

49 a

ଶ

t

20

7 ݐܽ

ଷ

∗ 3ݐ

=

64a

ଶ

pt

49 ∗

7

60ݐ

ଶ

ܽ

ଷ

=

૚૟

૚૙૞

ܘ

܉ܜ

a

t

3t

z

c

6

7 ܽ

8

7 ܽ

ૡ

૚૝ ࢇ

s

c

s

c

s

c

6

14 ܽ

3t