RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
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1
Aula 14 – Parte 1
Amostragem e Estimadores ...................................................................... 2
Intervalo de confiança para a média .......................................................... 9
Intervalo de confiança para proporções ..................................................... 39
Relação das questões comentadas ........................................................... 51
Gabaritos .............................................................................................. 57
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Amostragem e Estimadores
Inferência é algo que todo mundo já fez na vida. Ao fazer um exame de
sangue, por exemplo, não é necessário tirar todo o sangue (rs...). A
informação sobre o todo é extraída de uma amostra. Nem sempre é tão
simples assim, já que, às vezes, o todo sobre o qual queremos uma
informação é mais complexo, mais heterogêneo que o sangue.
Em uma pesquisa para as intenções de voto para prefeito, não basta o
pesquisador tomar as opiniões somente dos moradores dos Jardins (em São
Paulo) ou em Casa Forte (em Recife). O resultado da eleição nesses bairros,
tendo em vista serem regiões de renda elevada, pode ser diferente do
resultado em bairros mais pobres. A pesquisa só serviria para termos uma
noção da intenção de voto naqueles bairros, e não na cidade como um todo.
É aqui que entra a Estatística Inferencial. Na inferência estatística, o todo é
denominado população; o “pedaço” é denominado amostra. Portanto, a
estatística inferencial trata de, a partir da amostra, obter informações sobre a
população.
Suponhamos que desejamos conhecer alguma coisa de determinada
população. Pode ser a média salarial, a variância das idades, etc. Essa
população pode ser composta de milhares (ou milhões!) de elementos. Neste
caso, pessoas, mas poderia ser qualquer coisa. Bom, são tantos elementos que
seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria inviável pesquisar todos
os elementos. Nesse caso, somos obrigados a recorrer aos valores encontrados
em uma amostra.
Quando o número de elementos na amostra é muito pequeno em relação ao
tamanho da população, dizemos que a população é infinita. Vejamos, por
exemplo, as pesquisas eleitorais: há milhões e eleitores e os institutos de
pesquisa entrevistam mil, 2 mil pessoas e conseguem praticamente acertar os
resultados.
O valor da população, chamado
parâmetro populacional
, é desconhecido. O
que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamente nos dá
uma idéia do valor correto (populacional) do parâmetro. Esse valor amostral é
chamado de
estimador
do parâmetro populacional.
Por exemplo, queremos saber a média da altura dos adolescentes de Recife.
Como há muitos adolescentes, recorremos a uma amostra de, digamos, 80
pessoas. A média da amostra encontrada foi de 1,72m. Essa é a nossa
estimativa para a média das alturas de todos os adolescentes de Recife.
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Não confunda estimativa com estimador. Estimador é uma variável. Se a
amostra fosse outra, poderíamos ter encontrado outra estimativa. Estimativa é
o valor encontrado para essa variável, isto é, o valor encontrado para o
estimador nessa amostra.
A média das alturas dos adolescentes é realmente 1,72m? Não temos como
saber, a não ser que tenhamos condições de entrevistar todos os adolescentes
de Recife. Portanto, é muito importante, a partir de agora, diferenciar o
parâmetro populacional e o estimador. A partir de agora utilizaremos símbolos
diferentes para população e amostra.
= média populacional (parâmetro populacional)
= média amostral (estimador)
É importante frisar que não é apenas uma diferença de valores. Enquanto o
parâmetro populacional é constante (valor fixo), o estimador depende da
amostra escolhida. O estimador está associado a uma distribuição de
probabilidade e, assim, é uma variável aleatória.
Outra notação importante que vamos utilizar é para a variância/desvio-padrão
populacional/amostral.
² = variância populacional
² = variância amostral
Em geral, chamamos o parâmetro populacional por uma letra grega e o
estimador por uma letra latina correspondente. Em geral, usamos o mesmo
símbolo do parâmetro populacional para os valores obtidos de uma variável
aleatória. Ou seja, a média de uma variável aleatória é designada por
e sua
variância por
².
Parâmetro: é uma característica da população
Estatística: é uma característica da amostra
Já sabemos que o estimador não é igual ao parâmetro populacional. No
entanto, é preciso (ou desejável) que ele atenda a algumas propriedades.
Quando fazemos uma amostragem, conseguimos apenas saber a média e o
desvio padrão da amostra feita. Nosso objetivo, portanto, é, a partir dos
valores de média e desvio padrão da amostra, estimar quais os valores de
média e desvio padrão da população. Nosso objetivo é estimar o valor do
parâmetro desconhecido.
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Claro que poderíamos estar interessados em outros parâmetros que não a
média e o desvio padrão. Mas, em concursos, na grande maioria das questões,
são cobrados apenas esses dois parâmetros (além da variância, intimamente
relacionada com o desvio padrão, e da proporção, que veremos nesta aula).
Quando escolhemos um estimador, podemos estar interessados em diversas
características. Alguns tipos de estimadores são:
- Não viesados (ou não tendenciosos ou não viesados)
- De máxima verossimilhança
- De variância mínima
- De mínimos quadrados
Vamos voltar ao exemplo do dado visto na aula de variáveis aleatória.
Naquela aula vimos que a média da variável aleatória (parâmetro
populacional) é igual a 3,5.
Imagine que nós lançamos o dado 5 vezes e obtivemos o seguintes resultados:
3, 3, 4, 5, 6.
Estes cinco lançamentos são uma amostra dos infinitos resultados que
poderiam ocorrer. Se quisermos nos referir à média de uma amostra, vamos
utilizar o símbolo
.
= 3 + 3 + 4 + 5 + 6
5
= 4,2
O valor da média da amostra (
X
) é um estimador da média populacional (
µ ).
É um estimador não tendencioso, de variância mínima, de mínimos quadrados
e, se a variável aleatória for normal, é também um estimador de máxima
verossimilhança.
Mais adiante falamos sobre o que significa cada uma destas características dos
estimadores.
Resumindo: se o exercício pedir qualquer estimador para a média,
calcularemos a média aritmética simples, ok?
Vamos agora falar sobre os estimadores da variância.
Já comentei que
² é o parâmetro populacional e que ² é o estimador.
O estimador que vamos usar geralmente é:
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5
² =
∑
−
− 1
que é a mesma fórmula vista para a variância na aula de Estatística Descritiva.
Quando demos a fórmula para a variância amostral, dissemos que o
denominador era “
1
−
n
”. Na hora eu não expliquei muita coisa. Pois bem,
quando queremos estimar a variância da população, um dos fatores que tem
influência nesse denominador é justamente a característica desejada para o
estimador. Para que o estimador tenha uma certa característica de tal forma
que ele possa ser enquadrado como não tendencioso, é necessário que o
denominador seja “
1
−
n
”.
Este estimador acima é o mais utilizado. Ele é não tendencioso. Contudo
, no
caso da variável normal
, ele não é o estimador de máxima verossimilhança.
O estimador de máxima verossimilhança é:
(
)
n
X
X
s
i
∑
−
=
2
2
Se por acaso o exercício der uma amostra de uma variável normal e pedir para
calcular o estimador de máxima verossimilhança da variância utilizamos n no
denominador (em vez de
1
−
n
). Mas acho que é improvável que isto ocorra. O
que deve vai cair mesmo é com o denominador
1
−
n
. É improvável, mas não
impossível, conforme veremos em alguns exercícios de concursos durante a
aula.
01. (Sefaz-RJ 2008/FGV) SEFAZ RJ 2008 [FGV] Considere uma Amostra
Aleatória Simples de n unidades extraídas de uma população na qual a
característica, X, estudada tem distribuição Normal com média
µ e variância
2
σ , ambas desconhecidas, mas finitas. Considere, ainda, as estatísticas média
da amostra,
X
=
∑
=
n
i
i
X
n
1
1
, e variância da amostra
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
X
X
n
s
1
2
2
1
. Então, é
correto afirmar que:
(A)
X
e
2
S
são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da
variância da população, respectivamente.
(B)
X
é não-tendencioso, mas
2
S
é tendencioso para a estimação da média e
da variância da população, respectivamente.
(C)
X
é tendencioso, mas
2
S
é não-tendencioso para a estimação da média e
da variância da população, respectivamente.
(D)
X
e
2
S
são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da
variância da população, respectivamente.
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(E)
X
e
2
S
são, ambos, não-tendenciosos para a estimação da média e da
variância da população, mas apenas
X
é consistente.
Resolução:
Nesta questão, temos:
- a média aritmética da amostra como um estimador da média populacional:
vimos que a média da amostra é um estimador não-tendencioso.
- a variância da amostra como um estimador da variância populacional: vimos
que, quando se usa n no denominador, o estimador é tendencioso.
Gabarito: B
02. (CGU 2008/ESAF) Qual o estimador de máxima verossimilhança da
variância de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma
amostra aleatória simples X
1
, X
2
, X
3
, ..., X
n
, desta variável, sendo
n
X
m
i
/
∑
=
o
estimador de máxima verossimilhança da média?
a)
1
)
(
2
−
−
∑
n
m
X
i
b)
2
)
(
2
−
−
∑
n
m
X
i
c)
5
,
0
2
1
)
(
−
−
∑
n
m
X
i
d)
∑
−
2
)
(
m
X
i
e)
n
m
X
i
∑
−
2
)
(
Resolução
O enunciado está usando a letra “m” para indicar a média amostral.
Vimos que o estimador de máxima verossimilhança da variância para a
distribuição normal é aquele que apresenta “n” no denominador.
Gabarito: E.
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03. (APOFP – SEFAZ/SP 2009/ESAF) SEFAZ SP 2009 [ESAF] (Dados da
questão anterior: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7,
8, 21, 13, 31, 24, 9.)
Considerando que as observações apresentadas na questão anterior
constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável
aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um
estimador não tendencioso da variância de X.
Considere que:
388
23
1
=
∑
=
i
i
X
8676
23
1
2
=
∑
=
i
i
X
a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73
Resolução
Vamos resolver de duas maneiras. A primeira delas é aplicando uma das
fórmulas que vimos na aula de estatística descritiva (variância para amostra).
=
1
− 1 ∙
−
∑
=
1
23 − 1 ∙ 8.676 −
388²
23 ≅ 96,84
A outra maneira consiste em fazer uma adaptação da fórmula de variância que
estudamos aqui em Estatística Inferencial (na aula de variáveis aleatórias).
Vimos que:
² = !
− [!]²
Ou seja, a variância é igual à diferença entre a média dos quadrados e o
quadrado da média.
Para aplicarmos esta fórmula em Estatística Descritiva, devemos fazer a
adaptação dos símbolos (variância populacional):
² =
−
²
Onde:
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= ∑
= ∑
No caso da variância amostral, devemos fazer uma adaptação. Basta
multiplicar a variância amostral por n/(n-1).
² = $
−
²% ∙
− 1
O primeiro passo é calcular a média aritmética. Basta somar todos os valores e
dividir pela quantidade de observações.
= ∑
=
388
23
A média dos quadrados das observações:
= ∑
=
8.676
23
Começamos calculando a diferença entre a média dos quadrados e o quadrado
da média.
−
=
8.676
23 − &
388
23 '
Agora multiplicamos esse resultado por n/(n-1)
O estimador não tendencioso da variância é:
² = $
−
²% ∙
− 1 =
8.676
23 − &
388
23 '
∙
23
23 − 1
² =
8.676
23 − &
388
23 '
∙
23
22 =
8.676
23 ∙
23
22 − &
388
23 '
∙
23
22
² =
8.676
22 −
388²
23 ∙ 22 ≅ 96,8458
Letra A
Vamos falar agora um pouquinho sobre o estimador para proporções.
Considere que a proporção de eleitores de uma cidade que pretendem votar
em um candidato X é de 30%. Esse é um parâmetro populacional, pois
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estamos nos referindo a todos os eleitores da cidade. Sempre que nos
referirmos à proporção da população, usamos o símbolo
p
.
( = 30% = 0,30
Suponha que vamos realizar uma pesquisa eleitoral e, para tanto,
entrevistamos 200 pessoas. Dessas 200 pessoas, 80 afirmaram que votariam
no candidato X. A proporção na amostra das pessoas que votarão em X é 40%.
A proporção da amostra nós denotamos por
(̂.
(̂ = 40% = 0,40
Nós utilizamos
(̂ como estimador de (.
Simples, não?
Agora sim, vamos ao que interessa. Calcular intervalos de confiança.
Intervalo de confiança para a média
Muitas populações podem ser modeladas segundo uma variável aleatória.
Como exemplo, considere a temperatura de um local, medida com um fictício
termômetro de infinitas casas após a vírgula.
Nosso objetivo é estimar a temperatura média do local em um dado dia. Para
tanto, consideramos que a temperatura se comporta como uma variável
aleatória X.
Deste modo, encontrar a temperatura média do local é o mesmo que encontrar
a esperança de X.
?
)
(
=
=
µ
X
E
Num dado dia, vamos lá nesse local e, em dez instantes diferentes, medimos a
temperatura. Agora temos uma amostragem de tamanho 10 para a
temperatura no local.
Suponha que esta média tenha sido
2
1
=
X
°C.
Neste ponto, não custa nada lembrar a simbologia que padronizamos.
·
X
é a média de uma amostra
·
µ é a média da população (é o valor que pretendemos estimar)
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Só que os instantes em que realizamos a amostragem foram aleatoriamente
escolhidos. Se, por acaso, outros instantes tivessem sido escolhidos, cada uma
das medições poderia ser ligeiramente diferente. Seria possível ter obtido uma
segunda média igual a
1
,
2
2
=
X
°C.
Ou também seria possível ter obtido uma terceira média
051
,
2
3
=
X
°C.
Quando nos referimos a uma única amostra,
X
representa um número, a
média aritmética daquela amostra.
Mas também podemos nos referir a
X
de forma diferente. Podemos pensar em
inúmeras amostras, com
X
assumindo valores diferentes em cada uma delas.
Assim,
X
seria uma variável aleatória.
X
pode ser vista como uma variável aleatória!
É possível demonstrar que:
µ
=
)
( X
E
Ou seja, o valor esperado para a média amostral (vista como uma variável
aleatória) é igual à média da população.
Explicando melhor.
Se fosse possível fazer muitas e muitas amostras, de tal modo que, em cada
uma delas, calculássemos a média amostral (
X
), a média de todos os valores
de
X
seria justamente a média da população (
µ ).
Outro exemplo.
Considere um tetraedro regular. Nas suas faces temos os números 1, 2, 3, 4.
Lançamos o tetraedro sobre uma mesa. X representa o valor da face que fica
em contato com a mesa.
Vamos realizar um estudo dos possíveis resultados deste lançamento. Para
tanto, lançamos duas vezes (amostra de tamanho 2).
Saíram os resultados 1 e 3.
Para esta amostra em particular a média amostral foi:
2
2
3
1
=
+
=
X
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Ok, fizemos uma única amostra. Neste caso,
X
é um número. É simplesmente
a média aritmética dos valores pertencentes à amostra.
Acontece que não estamos interessados em uma amostra específica, que
fornece um valor único para
X
. Estamos interessados na variável aleatória
X
.
O resultado do lançamento do dado é aleatório. Seria possível que tivéssemos
obtido outras amostras. Se o tetraedro for homogêneo, as possíveis amostras
seriam:
1 e 1
1 e 2
1 e 3
1 e 4
2 e 1
2 e 2
2 e 3
2 e 4
3 e 1
3 e 2
3 e 3
3 e 4
4 e 1
4 e 2
4 e 3
4 e 4
Seriam 16 amostras possíveis, todas elas com a mesma probabilidade de
ocorrer.
O valor da média amostral em cada uma dessas amostras seria:
Valores da
amostra
X
1 e 1
1
1 e 2
1,5
1 e 3
2
1 e 4
2,5
2 e 1
1,5
2 e 2
2
2 e 3
2,5
2 e 4
3
3 e 1
2
3 e 2
2,5
3 e 3
3
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Valores da
amostra
X
3 e 4
3,5
4 e 1
2,5
4 e 2
3
4 e 3
3,5
4 e 4
4
Repare que
X
pode ser visto como uma variável aleatória que assume
diversos valores.
A média de todos os possíveis valores de
X
fica:
)
4
5
,
3
3
5
,
2
5
,
3
3
5
,
2
2
3
5
,
2
2
5
,
1
5
,
2
2
5
,
1
1
(
16
1
)
(
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
×
=
X
E
5
,
2
)
(
=
X
E
Vamos agora calcular a média da variável aleatória X.
A variável aleatória X assume os valores 1, 2, 3, 4, cada um com probabilidade
1/4.
Portanto:
4
4
1
3
4
1
2
4
1
1
4
1
)
(
×
+
×
+
×
+
×
=
=
µ
X
E
5
,
2
=
µ
Concluindo: a esperança da média amostral é igual à esperança da população.
Isto significa que, se fosse possível fazer um número muito grande de
amostras, a média de todas as médias amostrais seria igual à média da
população.
Ainda não falamos sobre as diversas características dos estimadores. Mas já
podemos antecipar uma delas: o estimador não tendencioso (ou não viciado).
O fato da média de
X
ser igual à média da população nos permite classificar
X
como estimador não tendencioso (ou não viciado). Usando esse estimador,
em média (considerando as inúmeras amostras que poderiam ser feitas), nós
estamos realmente acertando o valor do parâmetro desconhecido.
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Sempre que a esperança de um estimador for igual ao parâmetro
estimado, estamos diante de um estimador não tendencioso.
µ
=
)
( X
E
: a média de
X
é igual ao parâmetro estimado; se fizéssemos
inúmeras amostragens, em média, acertaríamos a média populacional.
Sabendo que
X
pode ser vista como uma variável aleatória, é possível calcular
a sua variância.
Seja
2
σ a variância da população.
É possível demonstrar que, sendo ‘n’ o tamanho das amostras, a variância de
X
fica:
n
X
V
2
)
(
σ
=
Um outro símbolo possível para a variância de
X
seria:
2
X
σ
. Portanto:
n
X
2
2
σ
σ
=
A variância da média amostral é igual à variância da população dividido por n.
Por conseqüência, o desvio padrão da média amostral é:
n
X
σ
σ
=
Ou seja, o desvio padrão de
X
é igual ao desvio padrão da população dividido
por raiz de n.
Estas fórmulas da variância e desvio padrão só são válidas se a
variável aleatória tiver população infinita (ou seja, assume infinitos
valores, como no caso de uma variável aleatória contínua).
Caso a população seja finita (como foi o caso do lançamento do tetraedro), o
resultado continua valendo, desde que a amostragem seja feita com reposição.
Caso a população seja finita e a amostragem seja feita sem reposição, as
fórmulas devem ser adaptadas. Veremos esta adaptação posteriormente. Para
a maior parte dos concursos, esta correção para população finita pode
simplesmente ser ignorada, pois quase nunca é cobrada.
Por hora, vamos nos concentrar na fórmula que é mais cobrada:
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n
X
2
2
σ
σ
=
Por conseqüência:
n
X
σ
σ
=
X
pode ser vista como uma variável aleatória com esperança
µ
e
variância
n
2
σ
(e, consequentemente, desvio padrão
n
σ
).
Ou seja, a média de
X
é igual à média da população. E a variância de
X
é igual à variância da população dividida por n. O desvio padrão de
X
é igual ao desvio padrão da população dividido por raiz de n.
Agora vem o grande detalhe. Pelo teorema do limite central é possível
demonstrar que a variável aleatória
X
tem distribuição aproximadamente
normal. A aproximação é melhor quanto maior o tamanho das amostras
(quanto maior o valor de n). Isto vale mesmo que a variável X não seja
normal.
Caso a variável X seja normal, a variável
X
também será normal (aí já não é
aproximação).
Ou seja, para a variável
X
nós podemos utilizar a tabela de áreas para a
variável normal. Isto é de extrema utilidade na determinação dos chamados
intervalos de confiança.
X
pode ser vista como uma variável aleatória normal (ou
aproximadamente normal), com média
µ
, variância
n
2
σ
e desvio
padrão
n
σ
.
A aproximação vale mesmo que X não seja normal. Quanto maior
o tamanho das amostras, melhor a aproximação.
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04. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) Um processo X segue uma distribuição normal, com
média 15 e desvio padrão
2, ou seja, ~-15,2
. Sobre uma amostra de
tamanho 36 (
), analise as afirmativas a seguir:
I. Dado que X é normal,
também é normal.
II. A média amostral difere da população pelo fator
=
.
/√, no qual
.
é
a média populacional e n o número de observações na amostra.
III.
apresenta desvio-padrão 1/3.
Assinale
(A) se apenas a afirmativa I estiver correta.
(B) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas.
(C) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas.
(D) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas.
Resolução
Já vimos que se X é uma variável normal,
também será uma variável
normal. Assim, a frase I está correta.
A frase II está errada. Não temos como saber a diferença exata entre a média
populacional e a média amostral, a não ser que seja fornecido o valor da média
populacional. Ele tente confundir o candidato com uma fórmula que não existe
e que é parecida com a fórmula do erro padrão da média.
A frase III pede o desvio-padrão (erro padrão) da média.
.
=
√
=
2
√36
=
2
6 =
1
3
A frase III está correta.
Letra D
Seja X uma variável aleatória que representa uma população infinita com
variância conhecida (
2
σ ). Este “infinita” é só para ser um pouco rigoroso. Caso
a população seja finita, os resultados que veremos só se aplicam se a
amostragem for feita com reposição. No concurso só vai cair assim. Muitas
questões nem se preocupam em detalhar isto... fica implícito. Eu diria que
vocês não precisam se preocupar com o caso de população finita e
amostragem sem reposição.
Pois bem, então X é nossa variável aleatória com variância conhecida (
2
σ ). X
representa nossa população. Apesar de conhecermos sua variância, não
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16
conhecemos sua média (
µ ). Nosso objetivo será obter uma amostra e, a partir
dela, definir o chamado intervalo de confiança para
µ .
Vamos supor que a variância da população seja de 16.
16
)
(
2
=
=
σ
X
V
A média da população, esta nós não conhecemos. Vamos chamá-la de
µ .
?
)
(
=
=
µ
X
E
Vamos obter uma amostra de tamanho 4.
4
=
n
A média de uma amostra de tamanho 4 é
X
.
Antes de efetivamente fazer uma amostragem (o que nos fornecerá um valor
específico para
X
), vamos pensar em todas as amostras que poderiam ser
obtidas (com tamanho 4). Em cada uma delas,
X
assume um valor diferente.
Conforme visto no começo da aula,
X
pode ser vista como uma variável
aleatória normal (ou aproximadamente normal) de média
µ .
Sabemos também que
X
tem uma variância dada por:
n
X
V
2
)
(
σ
=
4
4
16
)
(
=
=
X
V
Portanto, o desvio padrão da variável
X
é dado por:
2
4 =
=
X
σ
Vamos criar a seguinte variável transformada:
X
X
Z
σ
µ
−
=
A variável Z, conforme já estudado anteriormente, tem média zero e desvio
padrão unitário. É a nossa variável normal reduzida.
Sabemos que Z tem média zero e desvio padrão unitário. E Z também é uma
variável normal (ou aproximadamente normal).
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17
Para a variável Z nós podemos consultar a tabela da variável normal reduzida.
Vamos determinar o intervalo, centrado na média, que contém 95% dos
valores de Z.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, temos que o intervalo de
0 a 1,96 contém 47,5% dos valores. Portanto, o intervalo de -1,96 a 0
também contém 47,5% dos valores.
Juntando os dois, temos que 95% dos valores estão entre -1,96 e 1,96 (área
verde abaixo).
Isto quer dizer que 95% dos valores de Z estão entre -1,96 e 1,96.
Mas quem é Z?
Lembrando:
X
X
Z
σ
µ
−
=
Ou seja, se fizéssemos várias amostras e para cada uma delas obtivéssemos
um valor para
X
, em 95% dos casos o valor
X
X
σ
µ
−
estaria entre -1,96 e 1,96.
Portanto, a probabilidade de
X
X
σ
µ
−
assumir valores entre -1,96 e 1,96 é de
95%.
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18
Ok. Agora nós pegamos e realmente fazemos uma amostra com 4 valores.
Esta amostra resultou em:
1, 5, 3, 1.
Para esta amostra específica, o valor de
X
foi 2,5. Com base nesta amostra
específica, temos um valor específico para
X
. Se considerarmos apenas esta
amostra,
X
não é mais variável. É um valor único (2,5).
E para esta amostra específica o valor de Z é:
2
5
,
2
µ
−
=
Z
.
A probabilidade de este valor estar no intervalo de -1,96 a 1,96 não é mais
95%. Isto porque a expressão acima não assume mais valores diversos,
aleatórios. É um valor único.
2,5 é um número, uma constante.
O valor de
µ é também um número, constante. É desconhecido. Mas é
constante. A média da população é um número, um valor único.
E, por fim, o denominador 2 também é constante.
Fazendo a conta
2
5
,
2
µ
−
, obtemos um valor que pode ou não estar no intervalo
-1,96 a 1,96.
Quando substituímos a variável
X
por um valor obtido para uma dada amostra
específica, não falamos mais em probabilidade.
É errado afirmar que, com probabilidade de 95%, o valor
2
5
,
2
µ
−
estará entre -
1,96 e 1,96.
Mas, supondo que este valor esteja entre -1,96 e 1,96, ficamos com:
96
,
1
2
5
,
2
96
,
1
≤
−
≤
−
µ
92
,
3
5
,
2
92
,
3
≤
−
≤
−
µ
5
,
2
92
,
3
92
,
3
5
,
2
−
≤
−
≤
−
−
µ
42
,
1
42
,
6
≤
−
≤
−
µ
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19
42
,
6
42
,
1
≤
≤
−
µ
Este intervalo entre -1,42 e 6,42 é chamado de intervalo de 95% de confiança
para a média da população.
Repare que não temos certeza de que a média da população (
µ ) esteja neste
intervalo. Nem podemos dizer que a probabilidade de ela estar neste intervalo
seja de 95%.
Tentando explicar de outra forma o que foi feito.
Em 95% dos casos,
X
está distante menos de 1,96 desvios padrão da média
µ .
Como o desvio padrão de
X
é 2, temos que em 95% dos casos
X
dista menos
que 3,92 da média
µ .
Ou seja, em 95% dos casos
X
está entre
92
,
3
−
µ
e
92
,
3
+
µ
.
Fazemos a amostragem. Obtemos um específico valor para
X
(=2,5). Este
valor pode estar ou não no intervalo entre
92
,
3
−
µ
e
92
,
3
+
µ
. Se fizéssemos
inúmeras amostragens, em 95% delas o valor de
X
de fato estaria contido no
referido intervalo. Para este valor em particular (2,5), não temos como saber.
Vamos supor que este valor esteja neste intervalo. Se isto for verdade, qual o
intervalo que contém
µ ?
O valor encontrado para
X
é de 2,5. Este valor pode tanto estar à esquerda de
µ quanto à direita. Vamos fazer os dois casos extremos.
Se
X
estiver à esquerda de
µ , o caso mais extremo seria justamente quando:
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20
92
,
3
−
=
µ
X
92
,
3
5
,
2
−
=
µ
Este caso extremo ocorreria se
42
,
6
=
µ
Se
X
estiver à direita de
µ , o caso mais extremo seria justamente quando:
92
,
3
+
=
µ
X
92
,
3
5
,
2
+
=
µ
Este caso extremo ocorreria se:
42
,
1
−
=
µ
Resumindo, supondo que o valor encontrado para
X
dista menos de 1,96
desvios padrão de
µ , os valores extremos que µ pode assumir são -1,42 e
6,42. Portanto, com 95% de confiança,
µ está neste intervalo.
Esta estimativa da média da população é por vezes chamada de estimativa por
intervalo. Não estamos lhe atribuindo um valor único, mas uma faixa de
valores.
No começo desta aula vimos como fazer a estimativa por ponto. Na estimativa
por ponto não determinávamos uma faixa de valores. Sim um valor único.
Estimávamos o valor de
µ com o valor de
X
.
Vocês podem guardar que o intervalo de confiança será sempre da forma
X
X
Z
X
Z
X
σ
µ
σ
0
0
+
≤
≤
−
RESUMO: cálculo do intervalo de confiança para a média da população.
1° Passo: Achar o valor de Z
0
associado ao nível de confiança dado no
exercício.
2° Passo: Encontrar o valor específico de
X
para a amostra feita.
3° Passo: Encontrar o desvio padrão de
X
. Utilizar a fórmula:
n
X
σ
σ
=
4° Passo: Determinar o intervalo de confiança:
X
X
Z
X
Z
X
σ
µ
σ
×
+
≤
≤
×
−
0
0
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05. (ISS CAMPINAS 2011/CETRO) A duração da vida de uma peça é tal que o
desvio-padrão é 4 horas. Foram amostradas 100 dessas peças obtendo-se a
média de 320 horas. Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta um
intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com nível de
95% de confiança.
(A) [318,04; 321,96]
(B) [318,125; 321,875]
(C) [319,05; 320,95]
(D) [319,216; 320,784]
(E) [319,512; 320,488]
Observação: Havia uma figura indicando que para o nível de 95% de
confiança, devemos utilizar Z
0
= 1,96.
Resolução
Vamos resumir os dados do enunciado. O tamanho da amostra é 100, ou seja,
n = 100; a média amostral X é igual a 320 horas, o desvio-padrão
populacional é igual a 4 horas.
O primeiro passo é calcular o erro padrão (ou desvio-padrão) da média
amostral. E como calculamos este desvio padrão da média amostral?
É muito simples! Basta dividir o desvio-padrão populacional pela raiz quadrada
do número elementos da amostra.
Desvio padrão populacional: σ = 4
Desvio padrão da média amostral:
.
=
1
√2
=
3
√455
= 0,4
Pois bem, o intervalo de confiança pedido é dado por:
[ – 7
5
∙
.
; + 7
5
∙
.
]
Em que
X
é a média amostral e
.
é o desvio padrão da média amostral.
Substituindo os valores, obtemos:
[320 – 1,96 • 0,4 ; 320 + 1,96 • 0,4] = [319,216 ; 320,784]
Letra D
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06. (ICMS/RJ 2011/FGV) Um processo X segue uma distribuição normal com
média populacional desconhecida, mas com desvio-padrão conhecido e igual a
4. Uma amostra com 64 observações dessa população é feita, com média
amostral 45. Dada essa média amostral, a estimativa da média populacional, a
um intervalo de confiança de 95%, é
a) (41;49)
b) (37;54)
c) (44,875;45,125)
d) (42,5; 46,5)
e) (44;46)
Resolução
No dia 26/04/2011 eu escrevi um artigo no Ponto sugerindo a anulação desta
questão. Infelizmente, a FGV não anulou.
http://www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=249&art=6680&idpa
g=4
Por que anular? Porque a FGV neste caso exigiu que o candidato soubesse
alguns valores de
7
5
decorados. Além disso, ele utilizou um valor errado para
7
5
. Eis uma tabelinha com alguns valores importantes.
Nível de
Confiança
c
z
99,73%
3,00
99%
2,58
98%
2,33
96%
2,05
95,45%
2,00
95%
1,96
90%
1,645
80%
1,28
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23
68,27
1,00
50%
0,6745
Precisa decorar isto tudo?? Bom, eu acho que não. Se fosse para escolher 3,
eu escolheria os seguintes:
Nível de
Confiança
c
z
99%
2,58
95%
1,96
90%
1,645
Vamos resumir os dados do enunciado. O tamanho da amostra é 64, ou seja, n
= 100; a média amostral X é igual a 45, o desvio-padrão populacional é igual a
4.
O primeiro passo é calcular o erro padrão (ou desvio-padrão) da média
amostral. E como calculamos este desvio padrão da média amostral?
É muito simples! Basta dividir o desvio-padrão populacional pela raiz quadrada
do número elementos da amostra.
Desvio padrão populacional: σ = 4
Desvio padrão da média amostral:
.
=
1
√2
=
3
√93
= 0,5
Pois bem, o intervalo de confiança pedido é dado por:
[ – 7
5
∙
.
; + 7
5
∙
.
]
Em que
X
é a média amostral e
.
é o desvio padrão da média amostral.
Substituindo os valores, obtemos (para uma confiança de 95% utilizamos
7
5
= 1,96).
[ 45 – 1,96 ∙ 0,5 ; 45 – 1,96 ∙ 0,5] = [ 44,02; 45,98]
Não há resposta compatível.
A FGV considerou como resposta a letra E.
Para que a resposta fosse a letra E, deveríamos ter utilizado
7
5
= 2 no lugar de
7
5
= 1,96.
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Já fica a dica para a próxima prova. Se o intervalo para 95% de confiança,
utilize
7
5
= 1,96. Se não der certo, troque por 7
5
= 2
Letra E
07.
(CGU 2008/ESAF) Construa um intervalo de 95% de confiança para a
média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória
simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um
desvio-padrão amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde F(z) é
a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z.
a) 44,08 a 51,92.
b) 41,78 a 54,22.
c) 38,2 a 57,8.
d) 35,67 a 60,43.
e) 32,15 a 63,85.
Resolução:
Repare que não conhecemos a variância da população. Sempre que isso
acontece, nós devemos adotar os seguintes procedimentos:
- utilizamos a variância da amostra no lugar da variância da população
- consultamos a tabela da distribuição T, em vez da tabela da distribuição
normal.
Nós falaremos um pouco mais sobre isso no próximo tópico que vamos
estudar.
Dito isso, concluímos que o certo seria utilizar a distribuição T. Contudo, o
exercício não forneceu a tabela da distribuição T. Forneceu apenas alguns
valores da função distribuição de probabilidade da variável normal reduzida (=
variável normal padrão).
Não temos saída, teremos que utilizar os valores da variável reduzida. O mais
exato seria resolver o exercício considerando a distribuição T. Mas não vamos
“brigar” com o enunciado. Se o enunciado só deu informações sobre a variável
normal, vamos usar a variável normal.
Vamos considerar que essa amostra já é razoavelmente grande, de forma que
a diferença entre usar a distribuição normal no lugar da distribuição T não é
tão grande.
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25
Primeiro passo: determinando o valor de Z
0
associado a 95% de confiança.
Vimos que a função distribuição de probabilidade (FDP) também serve para
cálculos de probabilidade.
Se F(1,96) = 0,975, isto significa que a probabilidade de Z assumir valores
menores ou iguais a 1,96 é de 97,5%.
Ou seja, a área verde da figura abaixo é de 97,5%.
Sabemos que a área inteira da figura acima é igual a 1 (a probabilidade de Z
assumir um valor qualquer é de 100%).
Portanto, a área amarela é de 2,5%. Como o gráfico é simétrico, a área à
esquerda de -1,96 também é de 2,5%. Deste modo, a área verde da figura
abaixo é de 95%.
Os valores -1,96 e 1,96 delimitam o intervalo de confiança de 95% para a
variável reduzida Z. Ou seja, o valor de Z
0
associado a 95% é 1,96.
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26
96
,
1
0
=
Z
Segundo passo: determinar o valor de
X
específico para a amostra feita.
48
=
X
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de
X
.
A amostra tem tamanho 64 (n = 64).
O desvio padrão de
X
é dado pela fórmula:
n
X
σ
σ
=
Não conhecemos o desvio padrão da população. Estamos considerando que a
amostra é muito grande a tal ponto que a sua variância seja um excelente
estimador da população. Vamos considerar que a variância amostral é igual à
variância da população. Portanto, o desvio padrão da população também é
igual ao desvio padrão da amostra (=16).
16
=
σ
2
64
16 =
=
X
σ
Quarto: determinar o intervalo de confiança.
O intervalo de confiança é da forma:
X
X
Z
X
Z
X
σ
µ
σ
×
+
≤
≤
×
−
0
0
Substituindo os valores:
X
X
Z
X
Z
X
σ
µ
σ
×
+
≤
≤
×
−
0
0
2
96
,
1
48
2
96
,
1
48
×
+
≤
≤
×
−
µ
92
,
3
48
92
,
3
48
+
≤
≤
−
µ
92
,
51
08
,
44
≤
≤
µ
Gabarito: A.
08.
(BACEN/2006/FCC) Os preços de um determinado produto vendido no
mercado têm uma distribuição normal com desvio padrão populacional de R$
20,00. Por meio de uma pesquisa realizada com uma amostra aleatória de
tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se, para a
média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08; R$ 68,92]. A
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27
mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho da amostra e
utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos dois casos considerou-se
infinito o tamanho da população. O novo intervalo de confiança encontrado no
segundo caso foi:
a) [R$ 63,04; R$ 66,96]
b) [R$ 62,06; R$ 67,94]
c) [R$ 61,57; R$ 68,43]
d) [R$ 61,33; R$ 68,67]
e) [R$ 61,20; R$ 68,80]
Resolução.
O intervalo de confiança é da seguinte forma:
X
X
Z
X
Z
X
σ
µ
σ
0
0
+
≤
≤
−
Para calcular a amplitude deste intervalo, fazemos assim. Tomamos o limite
superior. Tomamos o limite inferior. Em seguida subtraímos um do outro.
−
+
=
)
(
0
X
Z
X
A
σ
X
X
Z
X
Z
σ
σ
×
×
=
−
0
0
2
)
(
Substituindo o valor de
X
σ :
A
n
Z
σ
×
×
=
0
2
Amplitude do intervalo de confiança:
X
Z
σ
×
×
2
0
n
Z
σ
×
×
=
0
2
Na primeira pesquisa, o intervalo de confiança foi [R$ 61,08; R$ 68,92].
A média amostral
)
( X
corresponde ao ponto médio do intervalo de confiança.
Portanto, nesta primeira amostragem, a média amostral obtida foi:
65
2
08
,
61
92
,
68
=
+
=
X
A amplitude do intervalo é dada por:
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28
=
−
08
,
61
92
,
68
7,84
Na segunda pesquisa, a mesma média amostral foi obtida.
Já a amostra teve seu tamanho quadruplicado. O novo tamanho da amostra
fica:
n
n
4
' =
Com isso, a nova amplitude do intervalo de confiança fica:
A’
2
4
4
2
'
2
0
0
A
A
n
Z
n
Z
=
=
×
=
×
×
=
σ
σ
Quando quadruplicamos o tamanho da amostra, a amplitude do intervalo fica
reduzida pela metade. A nova amplitude é dada por:
=
=
2
84
,
7
'
A
3,92
Com isso, o novo intervalo é centrado em 65, com amplitude de 3,92.
Isto nos permite achar os limites do novo intervalo de confiança:
=
+
2
92
,
3
65
66,96
=
−
2
92
,
3
65
63,04
Logo:
96
,
66
04
,
63
≤
≤
µ
Gabarito: A.
Intervalo de confiança para a média quando a variância da população
não é conhecida
A maior parte dos exercícios de concursos sobre intervalo de confiança não são
resolvidos por meio da distribuição normal. Eles envolvem o conhecimento da
distribuição T de Student. A grande vantagem é que a forma de se resolverem
os exercícios de intervalo de confiança por meio da distribuição T é exatamente
a mesma daquela vista acima, para a distribuição normal. A única coisa que
muda é a tabela em que fazemos a consulta. No final da aula há duas tabelas.
A única coisa que vai mudar é que vamos consultar a tabela II, em vez da
tabela I.
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29
Sabemos que
X
pode ser visto como uma variável aleatória normal (ou
aproximadamente normal). Portanto, para
X
podemos utilizar a tabela de
áreas da variável normal.
Para utilizar esta tabela, precisamos encontrar a variável normal reduzida Z:
X
X
Z
σ
µ
−
=
.
Onde
X
σ é o desvio padrão da variável
X
. Sua fórmula é:
n
X
σ
σ
=
.
Entretanto, se não soubermos a variância da população (
2
σ ), não temos como
calcular
X
σ .
Nestes casos, utilizamos a variância da amostra no lugar da variância da
população. Em problemas assim, na verdade, nós estamos estimando duas
grandezas ao mesmo tempo. Estamos estimando a média e a variância da
população.
Como não temos certeza nem sobre o valor da média nem sobre o valor da
variância da população, nosso intervalo de confiança tem que ser maior que
aquele que seria obtido caso conhecêssemos o valor de
2
σ , para mantermos o
mesmo nível de confiança. É exatamente esta a idéia da distribuição T.
Para ilustrar, seguem alguns gráficos.
As curvas em azul e vermelho indicam as distribuições T com 2 e 4 graus de
liberdade. Por hora, apenas fiquem com a informação de que o número de
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30
graus de liberdade tem relação com o tamanho da amostra. Quanto maior o
tamanho da amostra, maior o número de graus de liberdade.
Quando a amostra é pequena (como é o exemplo da curva azul, com 2 graus
de liberdade), o gráfico é diferente da curva normal (em verde).
À medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição T se aproxima da
normal. Notem que a curva em vermelho já está mais próxima da curva verde.
Isto é até intuitivo. Se a amostra for muito grande, então conhecer a variância
da amostra é praticamente o mesmo que conhecer a variância da população. É
como se estivéssemos caindo novamente num problema em que a variância
populacional é conhecida.
Portanto, se no problema não soubermos a variância da população, as únicas
coisas que mudam são:
·
Utilizamos a variância da amostra no lugar da variância da população.
·
Em vez de consultar a tabela de áreas da variável reduzida normal,
consultamos a tabela da distribuição T
Ao final desta aula consta uma tabela para a distribuição T (TABELA II). O seu
gráfico de fdp é muito parecido com o da distribuição normal. Ele continua
sendo simétrico, em um formato que lembra o de um sino.
09.
(SEFAZ MS 2006/FGV) Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi
selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A
média amostral encontrada foi 4,2, e a variância amostral foi 1,44.
O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é:
(A) 4,2 ± 0,49
(B) 4,2 ± 0,64
(C) 4,2 ± 0,71
(D) 4,2 ± 0,75
(E) 4,2 ± 0,81
Resolução
Primeiro passo: determinando
0
t
associado a 95% de confiança. Note que
agora não é mais o valor de Z
0
. Z
0
era quando consultávamos a tabela de
áreas para a variável normal reduzida.
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31
Só que, neste exercício, por não conhecermos o valor da variância da
população, precisaremos utilizar a variância da amostra. Nestes casos,
consultamos a tabela da distribuição T (TABELA II em anexo).
Para encontramos
0
t
associado a 95% de confiança, precisamos de uma tabela
para a distribuição T. Ao final desta aula consta uma tabela (TABELA II).
Esta tabela é um pouco diferente da tabela para a variável normal. Para
consultá-la, precisamos saber:
·
O nível de confiança desejado.
·
O número de graus de liberdade
O nível de confiança desejado foi informado no enunciado: 95%.
O número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1.
1
_
_
−
= n
liberdade
de
graus
Neste caso, o número de graus de liberdade é 24.
Consultamos o valor de
0
t
que delimita 95% dos valores de t, para 24 graus de
liberdade. O valor é:
064
,
2
0
=
t
Segundo passo: determinar o valor específico de
X
para a amostragem feita.
2
,
4
=
X
(fornecido no enunciado)
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de
X
.
A amostra tem tamanho 25. (n = 25)
n
X
V
2
)
(
σ
=
Só que não sabemos a variância da população (
2
σ ). Portanto, não temos como
calcular a variância de
X
. Neste caso, vamos substituir a variância da
população (
2
σ ) pela variância da amostra fornecida no exercício. Isto porque
vimos nesta aula que a variância da amostra é um estimador da variância da
população.
Estimador da variância da população:
44
,
1
2
=
X
s
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32
E o estimador da variância de
X
fica:
25
44
,
1
44
,
1
2
=
=
n
s
X
Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de
X
:
24
,
0
5
2
,
1
25
44
,
1
=
=
=
X
s
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança.
Para tanto, sabemos que em 95% dos casos o valor de t estará entre -2,064 e
2,064.
064
,
2
064
,
2
≤
≤
−
t
Mas quem é t? A variável t é quem está substituindo a variável Z.
Para obter a variável t, o procedimento é análogo ao procedimento para a
variável Z.
X
s
X
t
µ
−
=
A única diferença é que não sabemos o desvio padrão de
X
. Por isto
utilizamos a sua estimativa (
X
s
).
Ok, continuando o problema. Sabemos que em 95% dos casos o valor de t
estará entre -2,064 e 2,064.
064
,
2
064
,
2
≤
≤
−
t
064
,
2
064
,
2
≤
−
≤
−
X
s
X
µ
06
,
2
24
,
0
2
,
4
06
,
2
≤
−
≤
−
µ
24
,
0
064
,
2
2
,
4
24
,
0
064
,
2
×
≤
−
≤
×
−
µ
24
,
0
06
,
2
2
,
4
2
,
4
24
,
0
06
,
2
×
+
−
≤
−
≤
−
×
−
µ
24
,
0
064
,
2
2
,
4
24
,
0
064
,
2
2
,
4
×
+
≤
≤
×
−
µ
49
,
0
2
,
4
49
,
0
2
,
4
+
≤
≤
−
µ
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33
Gabarito: A
Outra forma de fazer é lembrar que o intervalo de confiança da média é da
forma:
X
X
s
t
X
s
t
X
0
0
+
≤
≤
−
µ
Substituindo os valores, chegamos a:
49
,
0
2
,
4
49
,
0
2
,
4
+
≤
≤
−
µ
.
10.
(TRF 1ª Região/2001/FCC) Para responder à questão seguinte, considere
as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da função de distribuição
F(x). A tabela 1 refere-se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-
se à variável t de Student com 10 e 15 graus de liberdade, respectivamente.
Tabela 1
Tabela 2
Tabela 3
x
F(x)
x
F(x)
x
F(x)
1,20
0,885
1,37
0,90
1,75
0,95
1,60
0,945
1,81
0,95
2,25
0,98
1,64
0,950
2,36
0,98
2,60
0,99
O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem
distribuição normal com média
µ e desvio padrão desconhecido. Uma amostra
de 16 recém-nascidos indicou um peso médio de 3,0 kg e desvio padrão
amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiança para
µ , com coeficiente de
confiança de 96% é dado por:
a)
37
,
0
0
,
3
±
b)
41
,
0
0
,
3 ±
c)
45
,
0
0
,
3 ±
d)
68
,
0
0
,
3 ±
e)
73
,
0
0
,
3 ±
Resolução.
Primeiro passo: obter t
0
associado a 96% de confiança.
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Como a amostra tem tamanho 16, o número de graus de liberdade é igual a
15. Consultaremos a tabela 3 dada no enunciado.
A probabilidade de t ser menor ou igual a 2,25 é de 0,98 (área verde da figura
abaixo). Portanto, a probabilidade de t ser maior que 2,25 é de 2% (área
vermelha abaixo).
Como o gráfico da fdp é simétrico, a probabilidade de t ser menor que -2,25
também é de 2%.
Cada uma das áreas vermelhas abaixo vale 2%.
Sabemos que a área total é igual a 1. Concluímos que a área verde abaixo é de
96%.
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35
Assim, a probabilidade de t estar entre -2,25 e 2,25 é de 96% (=100% - 2% -
2%).
Concluímos que o valor de t
0
que está associado a 96% é 2,25.
Segundo passo: obter o valor específico de
X
para a amostra feita
3
=
X
(fornecido no enunciado)
Terceiro passo: obter o desvio padrão de
X
2
,
0
16
8
,
0
=
=
=
n
s
s
X
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança.
O intervalo de confiança é da forma:
X
X
s
t
X
s
t
X
×
+
≤
≤
×
−
0
0
µ
2
,
0
25
,
2
3
2
,
0
25
,
2
3
×
+
≤
≤
×
−
µ
45
,
0
3
45
,
0
3
+
≤
≤
−
µ
Gabarito: C
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11.
(MPE PE/2006/FCC) Para resolver a questão abaixo, considere as tabelas
a seguir. Elas fornecem alguns valores da distribuição F(x). A tabela 1 refere-
se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t de
Student com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamente:
Tabela 1
Tabela 2
Tabela 3
X
F(x)
X
F(x)
x
F(x)
1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95
1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98
2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99
Supondo-se que a porcentagem da receita investida em educação, dos 600
municípios de uma região, tem distribuição normal com média
µ , deseja-se
estimar essa média. Para tanto se sorteou dentre esses 600, aleatoriamente e
com reposição, 16 municípios e se observou os percentuais investidos por eles
em educação. Os resultados indicaram uma média amostral de 8% e desvio
padrão amostral igual a 2%. Um intervalo de confiança para
µ , com
coeficiente de confiança de 96%, é dado por:
a)
)%
124
,
1
8
( ±
b)
)%
117
,
1
8
( ±
c)
)%
877
,
0
8
( ±
d)
)%
870
,
0
8
( ±
e)
)%
755
,
0
8
( ±
Resolução.
Temos um exercício de intervalo de confiança em que não se sabe a variância
da população. Devemos consultar a tabela para a variável t. Como a amostra
tem tamanho 16, o número de graus de liberdade é igual a 15. A tabela a ser
utilizada é a tabela 2 do enunciado.
Vamos para os passos de sempre.
Primeiro passo: determinar o valor de t
0
associado a 96% de confiança.
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Da tabela 2, sabemos que a probabilidade de t assumir valores menores que
2,248 é de 98%. Logo, a probabilidade de t assumir valores maiores que 2,248
é de 2%.
Como o gráfico da fdp da distribuição t é simétrico, a probabilidade de t
assumir valores menores que -2,248 também é de 2%.
Como conseqüência, a probabilidade de t estar entre -2,248 e 2,248 é de 96%
(=100% - 2% - 2%).
Os valores de t que delimitam 96% dos valores são -2,248 e 2,248.
248
,
2
0
=
t
Segundo passo: determinando o valor específico de
X
.
%
8
=
X
(dado no enunciado)
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de
X
.
16
=
n
(fornecido no enunciado)
4
16
2
2
2
σ
σ
σ
σ
σ
=
=
=
X
X
n
Como não sabemos o desvio padrão populacional, substituímos pela sua
estimativa. Desse modo, a estimativa do desvio padrão de
X
é:
4
s
s
X
=
5
,
0
4
2 =
=
X
s
Quarto passo: encontrando o intervalo de confiança.
O intervalo de confiança é da forma:
X
X
s
t
X
s
t
X
×
+
≤
≤
×
−
0
0
µ
5
,
0
248
,
2
5
,
0
248
,
2
8
×
+
≤
≤
×
−
X
µ
124
,
1
124
,
1
8
+
≤
≤
−
X
µ
Gabarito: A.
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38
12.
(Senado Federal 2008/FGV) Uma amostra aleatória simples X
1
, X
2
, ...,
X
16
, de tamanho 16, de uma distribuição normal foi observada e indicou as
seguintes estatísticas:
4
,
70
16
1
=
∑
=
i
i
X
e
∑
−
=
−
16
1
2
60
)
(
i
i
X
X
O intervalo usual de 95% de confiança para a média populacional, com duas
casas decimais, é:
(A) (3,58 , 5,22).
(B) (3,47 , 5,33).
(C) (3,33 , 5,47).
(D) (3,19 , 5,61).
(E) (3,01 , 5,81).
Resolução:
Como não foi dada a variância da população, precisamos usar a distribuição T
para determinação do intervalo de confiança.
Primeiro passo: determinando t
0
associado a 95% de confiança.
O número de graus de liberdade é:
graus de liberdade:
15
1
16
1
=
−
=
−
n
Consultando a tabela para um nível de 95% e 15 graus de liberdade, temos:
131
,
2
0
=
t
Segundo passo: determinar o valor específico de
X
para a amostragem feita.
=
=
=
∑
=
16
4
,
70
16
16
1
i
Xi
X
4,4
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de
X
.
A amostra tem tamanho 16. (n = 16)
n
X
V
2
)
(
σ
=
Só que não sabemos a variância da população (
2
σ ). Portanto, não temos como
calcular a variância de
X
. Neste caso, vamos substituir a variância da
população (
2
σ ) pela variância da amostra fornecida no exercício. Isto porque
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vimos nesta aula que a variância da amostra é um estimador da variância da
população.
Estimador da variância da população:
4
15
60
1
16
)
(
16
1
2
2
=
=
−
−
=
∑
=
i
X
X
Xi
s
E o estimador da variância de
X
fica:
16
4
2
2
=
=
n
s
s
X
X
Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de
X
:
5
,
0
4
2
16
4
=
=
=
X
s
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança.
O intervalo de confiança da média é da forma:
X
X
s
t
X
s
t
X
0
0
+
≤
≤
−
µ
5
,
0
131
,
2
4
,
4
5
,
0
131
,
2
4
,
4
×
+
≤
≤
×
−
µ
47
,
5
33
,
3
≤
≤
µ
Gabarito: C
Intervalo de confiança para proporções
Seja
p
a proporção de casos favoráveis em uma população e
pˆ
a proporção
de casos favoráveis em uma amostra. Vimos que
pˆ
é um estimador para
p
.
Para ficar mais claro, vamos analisar o exemplo do dado que é lançado três
vezes. Consideramos caso favorável quando sai um múltiplo de 3.
Na população (formada por todos os possíveis resultados do lançamento do
dado), a proporção de casos favoráveis é igual a 1/3. Por esse motivo, a
probabilidade de sucesso em um único lançamento é igual a 1/3. Assim, a
proporção de casos favoráveis na população é igual à probabilidade de sucesso
em um lançamento.
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40
Ficamos com:
3
/
1
=
p
(proporção de casos favoráveis na população = probabilidade de
sucesso em um lançamento)
3
/
2
=
q
(proporção de casos desfavoráveis na população = probabilidade de
fracasso em um lançamento).
Lançamos o dado três vezes. Obtemos os seguintes resultados: 1, 3, 6.
Na amostra de tamanho 3, a proporção de casos favoráveis foi de 2/3.
3
/
2
ˆ
=
p
Usamos a proporção amostral para estimar a proporção da população. Caso
não soubéssemos que o dado tem 1/3 de faces com múltiplos de 3, a partir do
resultado obtido na amostragem acima, estimaríamos esta proporção em 2/3.
Quando temos uma única amostra,
pˆ
é um valor, um número, fixo, constante.
Mas podemos pensar em
pˆ
de forma diferente. Podemos pensar em inúmeras
amostras possíveis. Se lançássemos o dado três vezes novamente, obtendo
outra amostra,
pˆ
poderia assumir outros valores. Quando consideramos as
inúmeras amostras possíveis,
pˆ
é uma variável aleatória.
Neste exemplo do dado, as amostras de tamanho 3 possíveis seriam:
Todas essas amostras são equiprováveis. Podemos montar o seguinte quadro:
1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1
1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2
1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3
1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 4
1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5
1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1
1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2
1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3
1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4
1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5
1 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6
1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 1
1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2
1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3
1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 4
1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5
1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6
1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 1
1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 2
1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 3
1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 4
1 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 5
1 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6 4 6
1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 1
1 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6 5 2
1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 3
1 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6 5 4
1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 5
1 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6 5 6
1 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 1
1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6 6 2
1 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 3
1 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6 6 4
1 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 5
1 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6 6 6
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41
pˆ
Probabilidade
0
64/216
1/3
96/216
2/3
48/216
3/3
8/216
A esperança de
pˆ
fica:
3
/
1
216
8
3
3
216
48
3
2
216
96
3
1
216
64
0
)
ˆ
(
ˆ
=
×
+
×
+
×
+
×
=
=
p
p
E
µ
A esperança da proporção amostral é igual à esperança da proporção da
população.
Sabendo que a proporção amostral pode ser vista como uma variável, é
importante ver um meio mais rápido para calcular sua média e sua variância.
Nesse exemplo do lançamento do dado, seja X o número de casos favoráveis
em ‘n’ lançamentos. Vimos que X é uma variável binomial com média e
variância dadas por:
np
µ
X
=
npq
X
=
2
σ
Onde ‘n’ é o número de experimentos, p é a probabilidade de sucesso e q é a
probabilidade de fracasso. Nesse exemplo, n = 3; p = 1/3; q = 2/3.
Ficamos com:
1
=
= np
X
µ
3
/
2
2
=
= npq
X
σ
X
tem média 1 e variância 2/3. Isso significa que, em três lançamentos,
esperamos 1 caso favorável (e dois desfavoráveis). Ou seja, se fosse possível
fazer infinitos conjuntos de três lançamentos do dado, o número médio de
casos favoráveis seria igual a 1.
Seja ‘
pˆ
’ a proporção de casos favoráveis verificada numa dada amostra de
tamanho ‘n’. A variável ‘
pˆ
’ pode ser obtida a partir de X.
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42
n
X
p =
ˆ
Para ficar mais claro, suponhamos um conjunto de lançamentos em particular.
Lançamos o dado três vezes, obtendo: 1, 3, 6.
Nessa situação, o número de casos favoráveis é igual a 2 (X = 2). E a
proporção de casos favoráveis fica:
n
X
p =
ˆ
3
2
ˆ
=
p
Em dois terços dos casos, tivemos sucesso.
Fácil, né? Para achar a proporção de casos favoráveis na amostra, basta pegar
a variável X e dividir por ‘n’.
Sabemos como calcular a média e a variância da variável binomial. Sabemos
que a variável ‘
pˆ
’, que indica a proporção de casos favoráveis na amostra,
pode ser obtida por:
n
X
p =
ˆ
.
Para obtermos ‘
pˆ
’, dividimos a variável ‘X’ por uma constante ‘n’.
Quando dividimos uma variável por uma constante, a média também fica
dividida por essa constante. A média de
pˆ
é:
p
n
np
n
X
p
=
=
=
µ
µ
ˆ
Concluímos que a esperança de
pˆ
é justamente a probabilidade de sucesso em
um experimento.
Quando lançamos o dado três vezes (obtendo uma única amostra de tamanho
3), teremos um determinado valor para a proporção amostral (
pˆ
). Esse valor
pode ser igual a 1/3 ou não. No exemplo acima (com resultados 1, 3 e 6),
inclusive, foi diferente.
Mas, se fosse possível repetir infinitas vezes o conjunto de três lançamentos,
obtendo para cada amostra um valor de
pˆ
, teríamos que a média de
pˆ
seria
igual a 1/3.
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43
Vejamos agora a variância de
pˆ
. Quando dividimos uma variável por uma
constante, a variância sofre a variação ao quadrado.
n
pq
n
npq
n
n
X
p
X
p
=
=
=
⇒
=
2
2
2
2
ˆ
ˆ
σ
σ
E seu desvio padrão fica:
n
pq
p
=
ˆ
σ
Então o que importa para gente é saber isso. Se
pˆ
for a variável que indica a
proporção de casos favoráveis na amostra, então
pˆ
tem média e desvio
padrão dados por:
p
p
=
ˆ
µ
n
pq
p
=
ˆ
σ
PROPORÇÃO DE CASOS FAVORÁVEIS NA AMOSTRA (
pˆ
)
Pode ser vista como uma variável com média e desvio padrão
dados por:
p
p
=
ˆ
µ
n
pq
p
=
ˆ
σ
Onde ‘p’ é a proporção de casos favoráveis na população e ‘q’ é a
proporção de casos desfavoráveis na população.
Quando estudamos intervalo de confiança para uma média, queríamos
justamente estimar um intervalo para a média de uma população (
µ ).
Agora queremos estimar uma proporção (p). O procedimento será análogo.
Exemplo:
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Maria tem um dado. Só que não é um dado normal (com faces 1, 2, 3, 4, 5 e
6). É um dado especial. Nas suas faces vêm outros números, que não sabemos
quais são. Além disso, não sabemos quantas faces há nesse dado. Podem ser
5, 7, 9, 20, etc.
Maria desafia João a descobrir a proporção de faces que contém múltiplos de
3. Se esse fosse um dado normal, João saberia que 1/3 das faces são
múltiplas de 3.
O procedimento combinado é o seguinte. Maria lança o dado. Depois de lançá-
lo, ela diz o resultado a João, que o anota. Depois disso, Maria lança o dado
uma segunda vez. Novamente comunica o resultado a João. E isso se repete
por mais duas vezes.
Resumindo: Maria lança o dado quatro vezes. A partir desses resultados, João
tem que descobrir qual a proporção de faces do dado que contém múltiplos de
3.
Os resultados dos quatro lançamentos foram: 3, 7, 9, 2.
Nesses 4 lançamentos, tivemos dois casos favoráveis. Ou ainda: na amostra,
tivemos 50% de casos favoráveis.
Vimos nesta aula que um estimador para a proporção da população é a
proporção da amostra. Desse modo, João estima que metade das faces do
dado são múltiplas de 3.
João estima a proporção de múltiplos de 3 como sendo:
2
1
ˆ
=
p
João fez uma estimativa por ponto.
Mas, e se João quisesse estimar uma “faixa” de valores para a proporção? E se
João quisesse estabelecer um intervalo de 95% de confiança?? Como ficaria??
Seja X a variável que indica o número de casos favoráveis nesses quatro
lançamentos. Sabemos que X é uma variável binomial com média
np
e desvio
padrão
npq
.
Vimos também que X é aproximadamente normal para grandes valores de ‘n’.
Eu sei que, nesse exemplo, ‘n’ nem é tão grande (n = 4). Mas vamos supor
que já seja razoável dizer que X é aproximadamente normal.
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45
Ok, então X, além de ser binomial, é aproximadamente normal.
Considere a variável abaixo:
X
X
X
Z
σ
µ
−
=
Z tem média zero e desvio padrão unitário. Z é uma variável normal reduzida.
Para a variável Z, nós podemos consultar a tabela I. Sabemos que, em 95%
dos casos, Z assume valores entre -1,96 e 1,96.
Assim, em 95% das vezes, temos:
96
,
1
96
,
1
≤
≤
−
Z
Substituindo o valor de Z:
96
,
1
96
,
1
≤
−
≤
−
X
X
X
σ
µ
Substituindo o valor da média e do desvio padrão da variável binomial:
96
,
1
96
,
1
≤
−
≤
−
npq
np
X
npq
np
X
npq
×
≤
−
≤
×
−
96
,
1
96
,
1
Dividindo todos os termos por ‘n’:
n
pq
p
n
X
n
pq
×
≤
−
≤
×
−
96
,
1
96
,
1
Lembrando que, se X é a variável binomial, então:
n
X
p =
ˆ
n
pq
p
p
n
pq
×
≤
−
≤
×
−
96
,
1
ˆ
96
,
1
Isolando o ‘p’:
n
pq
p
p
n
pq
p
×
+
−
≤
−
≤
×
−
−
96
,
1
ˆ
96
,
1
ˆ
Multiplicando todos os termos por -1:
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46
n
pq
p
p
n
pq
p
×
+
≤
≤
×
−
96
,
1
ˆ
96
,
1
ˆ
Lembrando que:
n
pq
p
=
ˆ
σ
Ficamos com:
p
p
p
p
p
ˆ
ˆ
96
,
1
ˆ
96
,
1
ˆ
σ
σ
×
+
≤
≤
×
−
E esse é o intervalo de confiança de 95% para a proporção. Veja como é bem
parecido com o intervalo de confiança para a média.
Vimos que o intervalo de confiança para a média da variável X é dado por:
X
X
Z
X
Z
X
σ
µ
σ
×
+
≤
≤
×
−
0
0
E o intervalo de confiança para uma proporção é da seguinte forma:
p
p
Z
p
p
Z
p
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
σ
σ
×
+
≤
≤
×
−
Então pra gente o que importa é isso. Interessa saber qual o intervalo de
confiança para a proporção.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO:
p
p
Z
p
p
Z
p
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
σ
σ
×
+
≤
≤
×
−
Calcule o intervalo de 95% de confiança para a proporção de eleitores
de um município que votarão no candidato A. Considere que uma
pesquisa com 100 eleitores revelou que, destes, 20% votarão no
referido candidato.
Resolução
Primeiro passo: determinar o valor de Z
0
correspondente a 95% de confiança.
Sabemos que proporções podem ser tratadas a partir de variáveis binomiais,
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47
que podem ser aproximadas pela variável normal. Assim, para determinar Z
0
,
no caso de proporções, também utilizamos a tabela de áreas para a variável
normal reduzida.
Consultando a TABELA I, vemos que
96
,
1
0
=
Z
.
Segundo passo: determinar os valores específicos de pˆ e
qˆ
Para a amostra feita, temos:
20
,
0
ˆ
=
p
(proporção da amostra)
80
,
0
ˆ
1
ˆ
=
−
=
p
q
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de
pˆ
n
q
p
s
p
ˆ
ˆ
ˆ
=
04
,
0
10
4
,
0
100
80
,
0
20
,
0
ˆ
=
=
×
=
p
s
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança.
p
p
s
Z
p
p
s
Z
p
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
×
+
≤
≤
×
−
04
,
0
96
,
1
2
,
0
04
,
0
96
,
1
2
,
0
×
+
≤
≤
×
−
p
%
84
,
27
%
16
,
12
≤
≤ p
Com 95% de confiança, a proporção populacional de eleitores que votará no
candidato A é está entre 12,16% e 27,84%.
Observação: na verdade, quando escolhemos a amostra de 100 eleitores, é
usual que a amostra seja sem reposição. Ou seja, entrevistado um eleitor, o
mesmo não será novamente escolhido.
Vimos que, em uma situação assim, a variável é apenas aproximadamente
binomial. Vimos isto lá no tópico sobre proporções. Demos o exemplo de uma
cidade com 100.000 habitantes. Estávamos pesquisando a proporção de
pessoas favoráveis a uma política urbana. Fizemos dois exemplos. Um com
reposição, outro sem reposição. Mostramos que a diferença nas probabilidades
envolvidas era pequena. Finalizei dizendo que, atendidas algumas condições, a
variável pode ser considerada aproximadamente binomial.
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48
Justamente agora vemos a importância disto. Quando quisermos estabelecer
intervalos de confiança para uma proporção, mesmo que a amostragem seja
feita sem reposição, podemos considerar que temos uma variável binomial.
Sabemos que, atendidas algumas condições, a variável binomial tem
distribuição muito próxima da distribuição normal. Portanto, poderemos
consultar a tabela de áreas para a variável normal. Foi exatamente o que
fizemos no exemplo acima.
13.
(SEFAZ MS – 2006/FGV) Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou
que 64% dos torcedores brasileiros acham que conquistaremos o
hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para a
proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é:
(A) 64% ± 3,9%
(B) 64% ± 4,2%
(C) 64% ± 4,7%
(D) 64% ± 5,1%
(E) 64% ± 5,6%
Resolução.
Primeiro passo: determinar o valor de Z
0
correspondente a 95% de confiança.
Consultando a TABELA I, este valor é de 1,96.
Segundo passo: determinar os valores específicos de pˆ e
qˆ
.
64
,
0
ˆ
=
p
36
,
0
ˆ
=
q
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de
pˆ
n
q
p
s
p
ˆ
ˆ
ˆ
=
024
,
0
20
6
,
0
8
,
0
400
36
,
0
64
,
0
ˆ
=
×
=
×
=
p
s
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança.
p
p
s
Z
p
p
s
Z
p
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
×
+
≤
≤
×
−
047
,
0
64
,
0
047
,
0
64
,
0
+
≤
≤
−
p
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Gabarito: C.
LEMBRETE DE INTERVALO DE CONFIANÇA:
Se for intervalo de confiança para uma média e conhecermos a variância
da população, utilizamos a tabela da variável normal.
Se for intervalo de confiança para uma média e não conhecermos a
variância da população, utilizamos a tabela da distribuição T (a menos
que o exercício diga para utilizar a tabela da variável normal).
Se for intervalo de confiança para uma proporção, utilizamos a tabela da
variável normal.
14.
(MP RO 2005/CESGRANRIO)
Uma amostra aleatória de 400 eleitores
revelou 64% de preferências pelo candidato X. O intervalo de 95% de
confiança para a proporção de eleitores que preferem X é:
(A) 0,64 ± 0,047
(B) 0,64 ± 0,052
(C) 0,64 ± 0,056
(D) 0,64 ± 0,064
(E) 0,64 ± 0,085
Resolução.
Primeiro passo: obtendo o valor de Z
0
associado a 95% de confiança.
96
,
1
0
=
Z
Segundo passo: determinar os valores específicos de pˆ e
qˆ
.
64
,
0
ˆ
=
p
36
,
0
ˆ
=
q
Terceiro passo: determinar o desvio padrão de
pˆ
n
q
p
s
p
ˆ
ˆ
ˆ
=
024
,
0
20
6
,
0
8
,
0
400
36
,
0
64
,
0
ˆ
=
×
=
×
=
p
s
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50
Quarto passo: determinar o intervalo de confiança.
p
p
s
Z
p
p
s
Z
p
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
×
+
≤
≤
×
−
024
,
0
96
,
1
64
,
0
024
,
0
96
,
1
64
,
0
×
+
≤
≤
×
−
p
047
,
0
64
,
0
047
,
0
64
,
0
+
≤
≤
−
p
Gabarito: A
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Relação das questões comentadas
01. (Sefaz-RJ 2008/FGV) SEFAZ RJ 2008 [FGV] Considere uma Amostra
Aleatória Simples de n unidades extraídas de uma população na qual a
característica, X, estudada tem distribuição Normal com média
µ e variância
2
σ , ambas desconhecidas, mas finitas. Considere, ainda, as estatísticas média
da amostra,
X
=
∑
=
n
i
i
X
n
1
1
, e variância da amostra
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
X
X
n
s
1
2
2
1
. Então, é
correto afirmar que:
(A)
X
e
2
S
são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da
variância da população, respectivamente.
(B)
X
é não-tendencioso, mas
2
S
é tendencioso para a estimação da média e
da variância da população, respectivamente.
(C)
X
é tendencioso, mas
2
S
é não-tendencioso para a estimação da média e
da variância da população, respectivamente.
(D)
X
e
2
S
são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da
variância da população, respectivamente.
(E)
X
e
2
S
são, ambos, não-tendenciosos para a estimação da média e da
variância da população, mas apenas
X
é consistente.
02. (CGU 2008/ESAF) Qual o estimador de máxima verossimilhança da
variância de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma
amostra aleatória simples X
1
, X
2
, X
3
, ..., X
n
, desta variável, sendo
n
X
m
i
/
∑
=
o
estimador de máxima verossimilhança da média?
a)
1
)
(
2
−
−
∑
n
m
X
i
b)
2
)
(
2
−
−
∑
n
m
X
i
c)
5
,
0
2
1
)
(
−
−
∑
n
m
X
i
d)
∑
−
2
)
(
m
X
i
e)
n
m
X
i
∑
−
2
)
(
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52
03. (APOFP – SEFAZ/SP 2009/ESAF) SEFAZ SP 2009 [ESAF] (Dados da
questão anterior: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7,
8, 21, 13, 31, 24, 9.)
Considerando que as observações apresentadas na questão anterior
constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável
aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um
estimador não tendencioso da variância de X.
Considere que:
388
23
1
=
∑
=
i
i
X
8676
23
1
2
=
∑
=
i
i
X
a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73
04. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) Um processo X segue uma distribuição normal, com
média 15 e desvio padrão
2, ou seja, ~-15,2
. Sobre uma amostra de
tamanho 36 (
), analise as afirmativas a seguir:
I. Dado que X é normal,
também é normal.
II. A média amostral difere da população pelo fator
=
.
/√, no qual
.
é
a média populacional e n o número de observações na amostra.
III.
apresenta desvio-padrão 1/3.
Assinale
(A) se apenas a afirmativa I estiver correta.
(B) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas.
(C) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas.
(D) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas.
05. (ISS CAMPINAS 2011/CETRO) A duração da vida de uma peça é tal que o
desvio-padrão é 4 horas. Foram amostradas 100 dessas peças obtendo-se a
média de 320 horas. Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta um
intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com nível de
95% de confiança.
(A) [318,04; 321,96]
(B) [318,125; 321,875]
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(C) [319,05; 320,95]
(D) [319,216; 320,784]
(E) [319,512; 320,488]
06. (ICMS/RJ 2011/FGV) Um processo X segue uma distribuição normal com
média populacional desconhecida, mas com desvio-padrão conhecido e igual a
4. Uma amostra com 64 observações dessa população é feita, com média
amostral 45. Dada essa média amostral, a estimativa da média populacional, a
um intervalo de confiança de 95%, é
a) (41;49)
b) (37;54)
c) (44,875;45,125)
d) (42,5; 46,5)
e) (44;46)
07.
(CGU 2008/ESAF) Construa um intervalo de 95% de confiança para a
média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória
simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um
desvio-padrão amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde F(z) é
a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z.
a) 44,08 a 51,92.
b) 41,78 a 54,22.
c) 38,2 a 57,8.
d) 35,67 a 60,43.
e) 32,15 a 63,85.
08.
(BACEN/2006/FCC) Os preços de um determinado produto vendido no
mercado têm uma distribuição normal com desvio padrão populacional de R$
20,00. Por meio de uma pesquisa realizada com uma amostra aleatória de
tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se, para a
média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08; R$ 68,92]. A
mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho da amostra e
utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos dois casos considerou-se
infinito o tamanho da população. O novo intervalo de confiança encontrado no
segundo caso foi:
a) [R$ 63,04; R$ 66,96]
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b) [R$ 62,06; R$ 67,94]
c) [R$ 61,57; R$ 68,43]
d) [R$ 61,33; R$ 68,67]
e) [R$ 61,20; R$ 68,80]
09.
(SEFAZ MS 2006/FGV) Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi
selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A
média amostral encontrada foi 4,2, e a variância amostral foi 1,44.
O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é:
(A) 4,2 ± 0,49
(B) 4,2 ± 0,64
(C) 4,2 ± 0,71
(D) 4,2 ± 0,75
(E) 4,2 ± 0,81
10.
(TRF 1ª Região/2001/FCC) Para responder à questão seguinte, considere
as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da função de distribuição
F(x). A tabela 1 refere-se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-
se à variável t de Student com 10 e 15 graus de liberdade, respectivamente.
Tabela 1
Tabela 2
Tabela 3
x
F(x)
x
F(x)
x
F(x)
1,20
0,885
1,37
0,90
1,75
0,95
1,60
0,945
1,81
0,95
2,25
0,98
1,64
0,950
2,36
0,98
2,60
0,99
O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem
distribuição normal com média
µ e desvio padrão desconhecido. Uma amostra
de 16 recém-nascidos indicou um peso médio de 3,0 kg e desvio padrão
amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiança para
µ , com coeficiente de
confiança de 96% é dado por:
a)
37
,
0
0
,
3
±
b)
41
,
0
0
,
3 ±
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c)
45
,
0
0
,
3 ±
d)
68
,
0
0
,
3 ±
e)
73
,
0
0
,
3 ±
11.
(MPE PE/2006/FCC) Para resolver a questão abaixo, considere as tabelas
a seguir. Elas fornecem alguns valores da distribuição F(x). A tabela 1 refere-
se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t de
Student com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamente:
Tabela 1
Tabela 2
Tabela 3
X
F(x)
X
F(x)
x
F(x)
1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95
1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98
2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99
Supondo-se que a porcentagem da receita investida em educação, dos 600
municípios de uma região, tem distribuição normal com média
µ , deseja-se
estimar essa média. Para tanto se sorteou dentre esses 600, aleatoriamente e
com reposição, 16 municípios e se observou os percentuais investidos por eles
em educação. Os resultados indicaram uma média amostral de 8% e desvio
padrão amostral igual a 2%. Um intervalo de confiança para
µ , com
coeficiente de confiança de 96%, é dado por:
a)
)%
124
,
1
8
( ±
b)
)%
117
,
1
8
( ±
c)
)%
877
,
0
8
( ±
d)
)%
870
,
0
8
( ±
e)
)%
755
,
0
8
( ±
12.
(Senado Federal 2008/FGV) Uma amostra aleatória simples X
1
, X
2
, ...,
X
16
, de tamanho 16, de uma distribuição normal foi observada e indicou as
seguintes estatísticas:
4
,
70
16
1
=
∑
=
i
i
X
e
∑
−
=
−
16
1
2
60
)
(
i
i
X
X
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O intervalo usual de 95% de confiança para a média populacional, com duas
casas decimais, é:
(A) (3,58 , 5,22).
(B) (3,47 , 5,33).
(C) (3,33 , 5,47).
(D) (3,19 , 5,61).
(E) (3,01 , 5,81).
13.
(SEFAZ MS – 2006/FGV) Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou
que 64% dos torcedores brasileiros acham que conquistaremos o
hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para a
proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é:
(A) 64% ± 3,9%
(B) 64% ± 4,2%
(C) 64% ± 4,7%
(D) 64% ± 5,1%
(E) 64% ± 5,6%
14.
(MP RO 2005/CESGRANRIO)
Uma amostra aleatória de 400 eleitores
revelou 64% de preferências pelo candidato X. O intervalo de 95% de
confiança para a proporção de eleitores que preferem X é:
(A) 0,64 ± 0,047
(B) 0,64 ± 0,052
(C) 0,64 ± 0,056
(D) 0,64 ± 0,064
(E) 0,64 ± 0,085
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Gabaritos
01.
B
02.
E
03.
A
04.
D
05.
D
06.
E
07.
A
08.
A
09.
A
10.
C
11.
A
12.
C
13.
C
14.
A
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TABELA I
Z é a variável normal reduzida (média zero e desvio padrão unitário).
PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z
0
Segunda casa decimal de Z
0
Z
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1
0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2
0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3
0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4
0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5
0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6
0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7
0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8
0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9
0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0
0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1
0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2
0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3
0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4
0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5
0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6
0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7
0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8
0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9
0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0
0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1
0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
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PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z
0
Segunda casa decimal de Z
0
Z
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
2,2
0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3
0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4
0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5
0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6
0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7
0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8
0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9
0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0
0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
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TABELA II
A tabela fornece valores de
0
t
tal que a probabilidade de t assumir valores
entre
0
t
−
e
0
t
+
seja igual a P.
Graus de
liberdade
Valores de P (Probabilidade associada ao intervalo)
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
0,995
1
3,078
6,314
12,706
31,821
63,657
127,321
2
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
14,089
3
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
7,453
4
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
5,598
5
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
4,773
6
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
4,317
7
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
4,029
8
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
3,833
9
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
3,690
10
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
3,581
11
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
3,497
12
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
3,428
13
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
3,372
14
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
3,326
15
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
3,286
16
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
3,252
17
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,222
18
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
3,197
19
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
3,174
20
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
3,153
21
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
3,135
22
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
3,119
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23
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
3,104
24
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
3,091
25
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
3,078
26
1,315
1,706
2,056
2,479
2,779
3,067
27
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
3,057
28
1,313
1,701
2,048
2,467
2,763
3,047
29
1,311
1,699
2,045
2,462
2,756
3,038
30
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
3,030
40
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
2,971
60
1,296
1,671
2,000
2,390
2,660
2,915
99
1,290
1,660
1,984
2,365
2,626
2,871
120
1,289
1,658
1,980
2,358
2,617
2,860
∞
1,282
1,645
1,960
2,326
2,576
2,807
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