Aula 09 Parte 01

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br

Aula 9 – Parte 1

Juros ................................................................................................................................................................... 2

Regimes de Capitalização .................................................................................................................................. 5

Juros Simples ..................................................................................................................................................... 6

Disposição gráfica do montante no regime simples ....................................................................................... 14

Descontos Simples ........................................................................................................................................... 15

Desconto Racional Simples (por dentro) ......................................................................................................... 18

Desconto Comercial Simples (por fora) ........................................................................................................... 24

Relação entre os descontos simples por fora e por dentro ............................................................................ 35

Mais questões de Juros Simples para aprofundamento ................................................................................. 39

Juro Exato e Juro Comercial ............................................................................................................................ 67

Prazo, Taxa e Capital Médios ........................................................................................................................... 74

Fórmula do Prazo Médio ................................................................................................................................. 77

Fórmula da Taxa Média ................................................................................................................................... 77

Fórmula do Capital Médio ............................................................................................................................... 78

Relação das questões comentadas.................................................................................................................. 82

Gabaritos ......................................................................................................................................................... 94

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Juros

Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo,
costumamos cobrar certa importância, o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado,
disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que
compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em
que foi emprestado.

O conceito de juros pode ser fixado através das expressões:

i) Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de

terceiros colocado à nossa disposição.

ii) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou ainda,

remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.

Em suma, o juro corresponde ao “aluguel” recebido ou pago pelo uso de certo capital
financeiro.

Ilustrarei através de um pergunta uma observação importantíssima que todo estudante de
matemática financeira deve saber:

Você prefere receber R$100.000,00 hoje ou daqui a 20 anos?

É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está

referida.

Um aspecto muito relevante é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A
valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre.

O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que
representa a remuneração do capital. Os juros são fixados através de uma taxa
percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês,
dia.

Exemplo:

24% ao ano

24% . .

6% ao trimestre

6% . .

2, 5% ao dia

2, 5% . .

a a

a t

a d

Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da
palavra inglesa interest, que significa juros.

Logo, o grande objetivo da MATEMÁTICA FINANCEIRA é permitir a comparação
de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a

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comparação destes valores é a taxa de juros. Na prática da Matemática Financeira, o juro
é o elemento que nos permite levar um valor datado de uma data para outra, isto é, são
os juros que nos permitem levar um

Valor Presente

para um

Valor Futuro

ou vice-versa.

Enfim, são os juros que nos permitem comparar valores e decidirmos pela melhor
alternativa de compra, venda ou pagamento.

Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E
em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu
devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?

Ora, se a taxa de juros é de 6% ao mês e eu peguei emprestado R$ 2.000,00, então para
saldar a minha dívida eu devo pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo
banco. O juro que irei pagar daqui a um mês será 6% de 2.000.

Ou seja,

6% de 2000

2000 120

100

j =

⋅

O valor total que devo depositar na minha conta para saldar a minha dívida é igual a
2.000+120 = 2.120.

É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em
fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas
representações:

i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.

ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária):

0, 06

100

A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os
cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração
decimal.

Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação
de juros.

“Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque
especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00.
Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?”

Capital (C)

→ Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor

atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o
dinheiro que peguei emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o
capital é igual a R$ 2.000,00.

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Juros (J)

→ Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo

tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros.

Taxa de juros (i)

→ A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A

taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se eu vou ao
banco tomar um empréstimo e o gerente me diz: Ok! O seu empréstimo foi liberado!! E a
taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está
incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo!!! E se essa taxa de juros for ao
dia?? Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL.

Tempo (n)

→ Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso

exemplo, se eu ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nosso número de períodos
seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um empréstimo com a taxa
de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se você demorar 6 meses para efetuar o pagamento da
dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!!
Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses é composto por 3 bimestres. No
nosso exemplo, a taxa era mensal e eu usei o cheque especial durante apenas um mês.

Montante (M)

→ Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o

valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é,
em suma, o capital mais os juros.

Podemos então escrever que M=C+J.

As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de
um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta
esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo.

C=R$2.000,00

J=R$ 120,00

i=6% a.m.

n = 1 mês

M=R$2.120,00

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Regimes de Capitalização

Os juros são normalmente classificados em

simples

compostos

, dependendo do

processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período,
por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado
segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de

capitalização

capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos).

Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de

capitalização.

Capitalização Simples

De acordo com esse regime, os

juros gerados

em cada período são

sempre os

mesmos

Exemplo: Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros simples durante 5
anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante
após o período de aplicação.

Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de
juros, receberei 20%. 20% de quem? De R$ 10.000,00!!

juros

gerados no

primeiro ano

são

10.000

2.000

100

⋅

juros

gerados no

segundo ano

são

10.000

2.000

100

⋅

juros

gerados no

terceiro ano

são

10.000

2.000

100

⋅

juros

gerados no

quarto ano

são

10.000

2.000

100

⋅

juros

gerados no

quinto ano

são

10.000

2.000

100

⋅

NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os

juros gerados

em cada período são

sempre os

mesmos

, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante

após os 5 anos

vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros)

Conclusão:

o montante é igual a R$ 20.000,00

(lembre-se que o montante é o capital

inicial mais o juro).

Atenção!! OS JUROS SÃO PAGOS SOMENTE NO FINAL DA APLICAÇÃO!!!

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Capitalização Composta

No regime de capitalização composta, o

juro gerado em cada período agrega-se ao

capital,

e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a

expressão “juros sobre juros”.

Exemplo: Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros compostos durante
5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o
montante após o período de cada aplicação.

juros

gerados no

primeiro ano

são

10.000

2.000

100

⋅

e o

montante

após o

primeiro ano

é 10.000+2.000=12.000.

juros

gerados no

segundo ano

são

12.000

2.400

100

⋅

e o

montante

após o

segundo ano

é 12.000+2.400=14.400.

juros

gerados no

terceiro ano

são

14.400

2.880

100

⋅

e o

montante

após o

terceiro ano

é 14.400+2.880=17.280.

juros

gerados no

quarto ano

são

17.280

3.456

100

⋅

e o

montante

após o

quarto

ano

é 17.280+3.456=20.736.

juros

gerados no

quinto ano

são

20.736

4.147, 20

100

⋅

e o

montante

após o

quinto ano

é 20.736+4.147,20=24.883,20.

Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o
montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a
aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes
de capitalização. Verifique!

Juros Simples

Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o
capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos
anteriores. Ou seja,

os juros não são capitalizados.

Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples.

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Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao
final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será:

3% de 5.000

5.000

150

100

⋅

Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de
juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros
produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital
fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de:

150 x 10 = 1.500.

A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples.

Adotaremos as seguintes notações:

O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital
inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente,
o juro produzido em n períodos de aplicação será:

C i n

= ⋅ ⋅

(1)

E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos,

temos a seguinte fórmula abaixo:

= +

(2)

Substituindo a fórmula

(1)

na fórmula

(2)

, temos então a seguinte expressão:

C i n

= + ⋅ ⋅

Em álgebra,

significa

1 C

⋅

, portanto,

C i n

= ⋅ + ⋅ ⋅

→

→ Capital inicial

→

→ taxa de juros simples

→

→ tempo de aplicação

→

→ juro simples produzido durante o período de aplicação.

→

→ montante ao final da aplicação

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Colocando o C em evidência,

)

i n

= ⋅ + ⋅

(3)

Devemos saber memorizadas as fórmulas

(1), (2) e (3)

!!!

C i n

= ⋅ ⋅

(1)

= +

(2)

)

i n

= ⋅ + ⋅

(3)

E devemos estar atentos a algumas observações importantíssimas...

Para começar, deve-se

utilizar a taxa na forma fracionária ou unitária.

Assim, por exemplo, se a taxa for de 10% , utilizamos

ou 0,1.

100

As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser

iguais.

Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses;

se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres;

E assim sucessivamente.

Caso a taxa e o período de aplicação não estejam expressos na mesma unidade de
tempo, é preciso primeiro expressá-los na mesma unidade, antes de utilizar as fórmulas.

Exemplo

i=3%

a.m

n=150 dias.

Neste caso, antes de utilizarmos as fórmulas, devemos expressar i e n na mesma
unidade. O mais simples, neste, é expressar ambos em meses. Assim, teremos:

i=3%

a.m.

n= 5 meses

Observe que no exemplo acima, para converter “dias” em meses, consideramos que 1
mês equivale a 30 dias (mês comercial).

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Vamos praticar um pouco.

01.

(Petrobras – Auditor Jr – 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de

seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros
simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo com as condições do
empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de
a) 12.600,00
b) 12.800,00
c) 13.200,00
d) 13.600,00
e) 13.800,00

Resolução

A questão é muito clara: o regime é de juros simples, o capital é de R$ 12.000,00, a taxa
é de 5% ao mês e o prazo é de 90 dias (3 meses).

Lembre-se que SEMPRE deve haver conformidade entre as unidades da taxa de juros e
do tempo. Como a taxa é mensal, o tempo deve ser trabalhado em meses.

Vamos calcular o juro simples utilizando a sua fórmula básica.

= ∙ ∙

= 12.000 ∙

100

∙ 3 = 1.800

O montante é a soma do capital inicial com o juro. Portanto:

= + = 12.000 + 1.800 = 13.800

Letra E

02.

(BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o

valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês,
por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de
a) 21.066,67
b) 21.500,00
c) 22.222,66
d) 23.076,93
e) 23.599,99

Resolução

Observe que o período de aplicação e taxa de juros já estão em conformidade em termos
de unidade.

Sabemos que o montante no regime de capitalização simples é dado por

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= ∙ (1 + ∙ )

O montante é igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros é de 5% = 0,05 ao mês e o tempo de
aplicação é de 6 meses.

30.000 = ∙ (1 + 0,05 ∙ 6)

30.000 = ∙ 1,3

= 23.076,93

Letra D

03.

(Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se

o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa
de juros simples considerada?
(A) 1,04% a.m.
(B) 16,67% a.m.
(C) 25% a.m.
(D) 16,67% a.a.
(E) 25% a.a.

Resolução

Para facilitar nossos cálculos, vamos estipular um valor para o montante. Já que o capital
é 2/3 do montante, então escolherei um montante que seja múltiplo de 3. Vamos
considerar que o montante seja de R$ 90,00. Desta forma:

2
3

∙ =

2
3

∙ 90 = 60

O capital aplicado é, portanto, de R$ 60,00. Como o juro é a diferença entre o montante e
o capital aplicado, então:

= 90 − 60 = 30

Sabemos, portanto que:

= 30,

= 60, = 2

Estamos prontos para aplicar a fórmula de juros simples. Note que como o tempo dado é
em anos, a taxa calculada será anual.

= ∙ ∙

30 = 60 ∙ ∙ 2

30 = 120

120

= 0,25 = 25% . .

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Letra E

04.

(Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO)

Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$
9.240,00 à taxa de juros simples de 26,4% ao ano.
(A) 21
(B) 12
(C) 5
(D) 4,41
(E) 1,75

Resolução

A questão pede o prazo em meses. A taxa dada foi de 26,4% ao ano. Para calcular a taxa
mensal, basta dividir a taxa anual por 12. Assim:

= 26,4% =

26,4%

ê = 2,2% ê

O capital aplicado foi de R$ 20.000,00 e os juros auferidos são iguais a R$ 9.240,00.
Vamos aplicar a fórmula de juros simples.

= ∙ ∙

9.240 = 20.000 ∙

2,2

100

∙

9.240 = 440 ∙

9.240

440

= 21

Letra A

05.

(PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros

simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único pagamento feito 4
meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada
por Hugo foi
(A) menor do que R$ 500,00.
(B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.
(C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.
(D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.
(E) maior do que R$ 2.500,00.

Resolução

Vamos aplicar diretamente a fórmula dos juros simples.

= ∙ ∙

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156 = ∙

100

∙ 4

156 = ∙ 0,24

156

0,24

= 650,00

Letra B

06.

(Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO) Joana aplicou R$ 10.000,00 por

um período de 5 meses, a uma taxa de juros simples de 8% a.m. No vencimento da
aplicação, ela sacou 30% do montante recebido nesta aplicação, e reaplicou a diferença
por mais um período de 3 meses a uma taxa de juros simples de 5% a.t. O montante da
segunda aplicação, em reais, é igual a
(A) 4.410,00
(B) 10.290,00
(C) 11.270,00
(D) 14.700,00
(E) 16.100,00

Resolução

Vejamos a primeira aplicação: Há um capital de R$ 10.000,00 que será aplicado durante 5
meses a uma taxa de juros simples de 8% a.m..

Vamos calcular o juro referente a esta aplicação. Como a taxa e o tempo estão na mesma
unidade (meses), podemos aplicar diretamente a fórmula de juros simples.

= ∙ ∙

= 10.000 ∙

100

∙ 5

= 4.000

Assim, o montante da primeira aplicação é de R$ 10.000,00 + R$ 4.000,00.

= 14.000,00

Joana faz um saque correspondente a 30% deste valor. Ora, se ela saca 30% do
montante, então ainda sobram 70% do montante.

!"# $% &# → 70% ( 14.000

100

∙ 14.000 = 9.800

Joana aplicará estes R$ 9.800,00 por

um período de 3 meses a uma taxa de juros simples

de 5% a.t.

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Ora, a taxa é de 5%

ao trimestre.

O tempo de aplicação é igual a 3 meses (1

trimestre). Para que a taxa e o tempo estejam na mesma unidade, o tempo que será
substituído na fórmula será 1 trimestre.

O juro da segunda aplicação é igual a:

= 9.800 ∙

100

∙ 1

= 490,00

O montante desta aplicação é igual a R$ 9.800,00 + R$ 490,00 = R$ 10.290,00.

Letra B

07.

(Técnico de Contabilidade/ Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Um

investidor aplicou R$ 15.000,00 em uma instituição financeira. Ao final de 6 meses,
resgatou R$ 18.600,00. A taxa de juros simples anual que produziu esse montante foi
(A) 48,00%
(B) 42,66%
(C) 40,00%
(D) 36,00%
(E) 32,56%

Resolução

Se um investidor aplica R$ 15.000,00 e resgata R$ 18.600,00, então os juros auferidos no
período são igual a

18.600,00 − 15.000,00 = 3.600,00 #.

O problema pede a

taxa anual

de juros simples.

O tempo de aplicação é igual a 6 meses. Para que exista conformidade entre a unidade
da taxa e a unidade do tempo, utilizarei o tempo igual a 0,5 ano (já que 6 meses é a
metade de um ano).

Vamos aplicar a fórmula de juros simples.

= ∙ ∙

3.600 = 15.000 ∙ ∙ 0,5

3.600 = 7.500 ∙

3.600
7.500

36
75

= 0,48 = 48% . .

Letra A

08.

(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Uma pequena empresa acertou com um de seus

fornecedores a aquisição de materiais que este deixará de comercializar. Em virtude de
serem parceiros comerciais de longa data e de se tratar de valor relativamente pequeno,

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ficou combinado que o montante devido em relação a essa compra seria pago de uma só
vez, dois anos após a celebração do contrato, e não incidiria correção monetária sobre a
quantia devida. Estabeleceu-se, todavia, que o referido montante seria acrescido de juros
que convencionaram em meio por cento ao mês sobre o regime de juros simples. Assim,
atingindo-se o prazo combinado, a empresa pagou a seu fornecedor a quantia total de R$
5.600,00. Considerando essas informações, o valor, em reais, da compra realizada foi
(A) 2.545,45
(B) 2.800,00
(C) 4.516,13
(D) 5.000,00
(E) 5.533,60

Resolução

Resumindo o problema...

Determinado capital foi emprestado a juros simples a uma taxa de

0,5% ao mês

durante 2

anos (

24 meses

). O montante no final do período foi de R$ 5.600,00. Qual o valor do

capital emprestado?

Podemos aplicar diretamente a fórmula do montante simples.

= ∙ (1 + ∙ )

1 + ∙

5.600

1 + 0,5

100 ∙ 24

5.600

1 + 0,12

5.600

1,12

= 5.000 #

Letra D

Disposição gráfica do montante no regime simples

Coloquei este tópico na aula apenas para que possamos fazer uma comparação entre o
regime simples e o regime composto. É um assunto de pouca relevância e praticamente
não há questões de concursos com envolvendo este tópico. Recordo-me de apenas uma
questão da CESGRANRIO em um concurso da Caixa Econômica em que aparece um
gráfico para que o aluno faça a comparação entre o Regime Simples e o Composto.
Resolveremos esta questão na aula de Juros Compostos.

É fato que no Regime Simples o montante cresce a uma taxa de variação constante.
Lembremos a fórmula do montante simples:

= ∙ (1 + ∙ )

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= + ∙ ∙

Ora, o capital aplicado é constante e a taxa de juros também. O único elemento que pode
variar é o tempo.

Temos então uma função polinomial do 1º grau (função afim) do tipo

) = ∙ + &. Basta fazer = ∙ & = .

É fato também que o gráfico de uma função afim é uma reta não-perpendicular aos eixos.
Portanto, o gráfico do montante em função do tempo, no regime simples, tem o seguinte
aspecto.

A função é crescente, pois à medida que o tempo vai passando, o montante vai
aumentando.

Descontos Simples

Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui a dois anos. Mas

você foi aprovado no seu tão sonhado concurso

e decidiu liquidar a sua divida com o

primeiro salário. É justo você pagar R$ 10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da
data combinada? É óbvio que não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a
minha dívida de R$ 10.000,00?

Essa é uma situação típica de uma operação de desconto.

Desconto é o abatimento

que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de
vencimento

. Notas promissórias, duplicatas, letras de câmbio são alguns documentos

que atestam dívidas e são chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os
seguintes conceitos de valores:

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Valor

ominal, Valor de Face,

Valor Futuro (

)

É o valor que está escrito no título. É o
valor que deve ser pago na data do
vencimento.

Valor

tual, Valor Presente,

Valor Líquido, Valor Descontado (

)

O valor líquido é obtido pela diferença
entre o valor nominal e o desconto.

esconto (

)

Desconto é o abatimento que se faz
no valor de uma dívida quando ela é
negociada

antes

data

vencimento.

É a diferença entre o

valor nominal e o valor atual.

Para caracterizar uma operação de desconto, devemos saber qual é o tempo de
antecipação do pagamento. Esse tempo de antecipação será denotado pela letra “n”. E já
que estamos “transportando” uma quantia no tempo, devemos saber qual é a taxa
percentual que fará esse transporte. A taxa do desconto será denotada pela letra “i”.

O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto

racional

também chamado de desconto

por dentro

. O desconto racional é o desconto

“teoricamente” correto. Existe também o desconto

comercial

ou desconto

por fora

. É o

desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. Pode
ainda ser simples ou composto. Isso gera quatro tipos de descontos:

Desconto Racional Simples
Desconto Racional Composto
Desconto Comercial Simples
Desconto Comercial Composto

Existe uma diferença entre o desconto comercial e o chamado desconto bancário. O
desconto bancário leva em conta também despesas administrativas (ou impostos)
cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto
bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas
administrativas.

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Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a
modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou
composto). Nesta aula, falaremos apenas dos descontos simples.

Quando a questão nada falar acerca do regime trabalhado, adotaremos a
convenção de usar o regime simples.

E quanto à modalidade do desconto? Adiante falaremos que o

desconto racional

simples

equivale a uma operação de

juros simples

. Então se o enunciado deixar

claro que a taxa percentual de desconto é na realidade uma taxa de juros, devemos
inferir que se trata de uma operação de desconto racional. Caso contrário, trata-se
de uma operação de desconto comercial. Essa convenção também será utilizada
quando estudarmos os descontos compostos.

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre
será igual ao valor nominal menos o desconto. Esse raciocínio é válido para os
quatro tipos de desconto.

−

Voltando ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. E quando você foi
ao banco negociar a dívida, seu gerente disse que você ia ter um desconto de R$
2.000,00. Logicamente, você irá pagar R$ 8.000,00.

10.000

2.000

8.000

−

Alternativamente, podemos dizer que o desconto é a diferença entre os valores nominal e
atual.

−

Voltemos ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. Foi ao banco e eles
disseram que a dívida poderia ser quitada hoje por R$ 8.000,00. Podemos, então, concluir
que o desconto dado pelo banco foi de R$ 2.000,00.

10.000 8.000

2.000

− =

−

Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e em seguida
resolverei questões diversas de concursos passados. Comecemos pelo desconto racional
simples ou desconto simples por dentro.

Então para deixar bem clara a situação: Existe uma dívida para ser paga em alguma data
futura. O valor dessa dívida é chamado de VALOR

OMINAL (

). Quero antecipar o

pagamento dessa dívida. Obviamente, se eu antecipar o pagamento da dívida, pagarei
um valor menor do que o valor nominal. O valor que será acordado para que o pagamento

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seja antecipado será denominado VALOR

TUAL (

). A diferença entre o valor nominal e

o valor atual é denominada

ESCONTO (

Desconto Racional Simples (por dentro)

A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma
operação de juros simples.

Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor
presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como
objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa
de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor
atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer
um desenho comparativo.

valor atual

desconto racional simples

corresponde ao

capital inicial

operação de juros simples

valor nominal

desconto racional simples

corresponde ao

montante

operação de juros simples

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desconto

operação de desconto racional simples

corresponde ao

juro

operação de juros simples

Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação
de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!!

Correspondência entre os elementos das operações

Juros Simples

Desconto Racional Simples (por dentro)

Capital Inicial (C)

Valor Atual (A)

Montante (M)

Valor Nominal (N)

Juro (J)

Desconto (D)

Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por
dentro).

Juros Simples:

C i n

= ⋅ ⋅

Desconto Racional Simples:

Juros Simples:

)

i n

= ⋅ + ⋅

Desconto Racional Simples:

E não podemos nos esquecer que a taxa e o tempo devem estar sempre na mesma
unidade!

A i n

= ⋅ ⋅

)

i n

= ⋅ + ⋅

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De acordo com as fórmulas explicitadas acima, só podemos calcular o desconto racional
simples se soubermos o valor atual. Vamos então deduzir uma fórmula para calcular o
desconto racional simples em função do valor nominal.

)

i n

= ⋅ + ⋅

O fator (1+i.n) que está “multiplicando” no segundo membro, “passará dividindo” para o
primeiro membro.

)

i n

+ ⋅

Devemos agora substituir essa expressão na fórmula

A i n

= ⋅ ⋅

i n

⋅ ⋅

+ ⋅

Logo,

Portanto, há três expressões básicas que precisamos saber em uma operação de
desconto racional simples. São elas:

Vejamos um exemplo:

09.

(PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Um título sofreu desconto racional simples 3

meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na operação foi 5% ao mês. Se o valor
do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de face desse título, em reais, era
(A) menor do que 5.400,00.
(B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00.
(C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00.
(D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00.

N i n

i n

⋅ ⋅

+ ⋅

A i n

= ⋅ ⋅

)

i n

= ⋅ + ⋅

N i n

i n

⋅ ⋅

+ ⋅

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(E) maior do que 6.000,00.

Resolução

A questão exige uma aplicação direta da fórmula do desconto racional simples.

* = + ∙ ∙

798 = + ∙

100

∙ 3

798 = 0,15 ∙ +

+ = 5.320

O problema pede o valor de face (valor nominal). Lembre-se que o valor nominal é igual a
soma do valor atual com o desconto.

, = + + * = 5.320 + 798 = 6.118

Letra E

10.

(BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5

meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o
valor de face desse título?

a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.666,67
c) R$ 32.000,00
d) R$ 40.000,00
e) R$ 160.000,00

Resolução

Lembre-se sempre que uma operação de desconto racional equivale a uma
operação de juros simples, de tal forma que o valor atual equivale ao capital inicial
e o valor nominal equivale ao montante.

Além disso, a questão usou alguns “apelidos” do valor atual e do valor nominal. Vamos
relembrar:

Valor

ominal, Valor de Face,

Valor Futuro (

)

Valor

tual, Valor Presente,

Valor Líquido, Valor Descontado (

)

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Então, já que a questão está pedindo o valor de face, queremos, portanto, o valor
nominal. Já os R$ 8.000,00 que a questão chamou de valor descontado nós estamos
acostumados a chamá-lo de valor atual.

De posse dessas informações, podemos desenhar o diagrama abaixo.

Utilizaremos a fórmula

)

i n

= ⋅ + ⋅

que é idêntica à fórmula do montante em juros

simples. A taxa é igual a 5% = 0,05 ao mês.

)

i n

= ⋅ + ⋅

8.000 (1 0, 05 5)

N =

⋅ +

⋅

10.000, 00

N =

Letra A

11.

(BNB 2003 – ACEP) José tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a

dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor José pagaria
a dívida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta
época a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples
racional?

a) R$ 16.000,00
b) R$ 13.800,00
c) R$ 17.600,00
d) R$ 14545,45
e) R$ 14.800,00

Resolução

Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado.

O valor do empréstimo é o valor atual da operação. A = 10.000,00

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Taxa de juros do empréstimo: 30% a.a.

Tempo para pagamento do empréstimo: 2 anos.

Prazo de antecipação do pagamento do empréstimo: 5 meses

Taxa de desconto racional: 24% a.a.

O próximo passo é saber quanto José se comprometeu a pagar daqui a 2 anos.
Queremos saber o montante em uma operação de juros simples. Esse valor do montante
será o valor nominal da dívida (que depois será renegociada).

)

i n

= ⋅ + ⋅

10.000 (1 0, 30 2)

M =

⋅ +

⋅

16.000

M =

Ou seja, o valor nominal da dívida é igual a R$ 16.000,00.

De posse desse valor,

deixe-me “recontar” o enunciado.

José tem uma dívida de R$ 16.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. Quanto José deve
pagar se ele quer antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento a uma taxa de
juros simples de 24% a.a.?

Ou seja, temos agora uma operação de desconto racional simples, já que existe uma
dívida que será antecipada usando uma taxa de juros simples. Comentei anteriormente
que o desconto racional simples EQUIVALE, ou seja, é a mesma coisa que uma operação
de juros simples.

Temos um valor nominal N = 16.000,00 que será antecipado 5 meses a uma taxa de juros
simples igual a 24% a.a. = 2% a.m. Observe que para transformar a taxa anual para taxa
mensal basta dividir por 12. Queremos saber o valor atual do desconto racional simples.

)

i n

= ⋅ + ⋅

Portanto,

i n

+ ⋅

16.000

14545, 45

1 0, 02 5

1,1

A =

⋅

Letra D

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12.

(AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00

cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o
valor mais próximo do valor nominal do título?
a) R$ 60.000,00.
b) R$ 46.157,00.
c) R$ 56.157,00
d) R$ 50.000,00.
e) R$ 55.000,00.

Resolução

Sabemos que no desconto simples por dentro a taxa é incidida sobre o valor atual. Assim,

* = + ∙ ∙

10.000 = + ∙ 0,04 ∙ 5

10.000 = + ∙ 0,2

+ =

10.000

0,2

= 50.000

Dessa forma, o valor nominal será dado por

N = A + D = 50.000 + 10.000 = 60.000,00

Letra A

Desconto Comercial Simples (por fora)

Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Na
operação de juros simples, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no
desconto racional simples (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual.

Imagine que você fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente te dissesse que a
taxa de juros iria incidir sobre o montante (valor final). Estranho ou não? Pois é
justamente o que acontece no desconto comercial simples. A taxa não incide sobre o
valor atual como em uma operação de juros simples. No caso do desconto comercial a
taxa incide sobre o valor nominal (valor futuro). É justamente por isso que o desconto
comercial simples não é o “teoricamente” correto, mas é usado em larga escala no
mercado financeiro.

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Os elementos da operação de desconto comercial simples são os mesmos do desconto
racional simples. A única coisa que vai mudar é o fato de a

taxa incidir sobre o valor

nominal

. Portanto, o desconto comercial simples será dado por

Em qualquer tipo de desconto, o valor atual é igual ao valor nominal menos o desconto.

−

Substituindo a primeira expressão na segunda:

N i n

−

⋅ ⋅

Finalmente colocando o “N” em evidência:

13.

(PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo

valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do vencimento (desconto
simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao mês?
(A) 1.600,00
(B) 1.620,00
(C) 1.680,00
(D) 1.720,00
(E) 1.800,00

Resolução

Para resolver tal problema, podemos aplicar a fórmula que está imediatamente acima do
enunciado. Lembre-se que valor de face é o mesmo que valor nominal.

+ = , ∙ (1 − ∙ )

+ = 2.000 ∙ (1 − 0,10 ∙ 2) = 2.000 ∙ 0,80 = 1.600,00

Letra A

N i n

⋅ ⋅

)

i n

⋅ − ⋅

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14.

(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no

valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de
12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a
(A) 400,00
(B) 352,00
(C) 256,00
(D) 144,00
(E) 48,00

Resolução

Outra questão muito simples sobre descontos. Aplicação direta da fórmula utilizada no
problema anterior.

+ = , ∙ (1 − ∙ )

+ = 400 ∙ (1 − 0,12 ∙ 3) = 400 ∙ 0,64 = 256,00

Letra C

15.

(Técnico de Administração e Controle Júnior/ Petrobras 2008/CESGRANRIO) A fim

de antecipar o recebimento de cheques pré-datados, um lojista paga 2,5% a.m. de
desconto comercial. Em março, ele fez uma promoção de pagar somente depois do Dia
das Mães e recebeu um total de R$120.000,00 em cheques pré-datados, com data de
vencimento para 2 meses depois. Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto total
de
(A) 6.000,00
(B) 5.200,00
(C) 5.000,00
(D) 4.500,00
(E) 4.000,00

Resolução

Quando o problema não fornece informações acerca do regime (simples ou composto),
devemos utilizar o regime simples.

Temos, portanto, que descontar um valor nominal de R$ 120.000,00 (este é o valor
nominal, pois ele que está escrito no cheque) 2 meses antes da data de seu vencimento a
uma taxa de 2,5% (desconto comercial simples).

Para calcular o desconto, podemos utilizar diretamente a fórmula (lembre-se que a taxa
do desconto comercial incide sobre o valor nominal).

* = , ∙ ∙

* = 120.000 ∙

2,5

100

∙ 2

* = 6.000

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Letra A

16.

(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a

3 meses, no

valor de R$ 400,00

, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a

taxa de desconto é

de 12% ao mês

, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a

(A) 400,00
(B) 352,00
(C) 256,00
(D) 144,00
(E) 48,00

Resolução

Vamos calcular o valor do desconto, utilizando a fórmula

* = , ∙ ∙ .

* = 400 ∙

100

∙ 3

* = 144

Assim, o valor descontado (valor atual) é igual a:

+ = , − * = 400 − 144 = 256 #

Letra C

17.

(TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, será

descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o
desconto simples bancário, o valor de resgate será:

a) R$ 14.850,00
b) R$ 16.119,29
c) R$ 16.335,00
d) R$ 16.665,32
e) R$ 18.233,50

Resolução

O desconto simples bancário é, nesse caso, o mesmo que o desconto comercial simples
(por fora). Nesse caso, podemos utilizar a fórmula

)

i n

⋅ − ⋅

Perceba que a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo. Portanto, não há

alterações a fazer nos dados do enunciado.

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0, 02

16.500 1

100





⋅ −

⋅









16.335, 00

A =

Letra C

18.

(AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu

vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60%
ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da
operação são, respectivamente, iguais a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês.
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês.
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano.
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano.
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês.

Resolução

O primeiro passo é colocar a taxa e o tempo na mesma unidade. Podemos, por
exemplo, colocar a taxa e o tempo em meses.

45 dias correspondem a 1 mês e meio. Ou seja, 45 d = 1,5 m.

Já em relação à taxa, para transformar a taxa anual em taxa mensal basta dividi-la
por 12. Assim, i = 60%/12 = 5% = 0,05 ao mês.

O valor descontado (valor atual) é igual a R$ 370.000,00.

Da teoria exposta sobre desconto comercial simples, sabemos que:

)

i n

⋅ − ⋅

370.000

1 0, 05 1, 5

i n

− ⋅

−

⋅

400.000

N =

O problema ainda pergunta qual é a taxa efetiva da operação. O que é a taxa efetiva???

A taxa de desconto efetiva nada mais é do que a taxa de juros simples que aplicada ao
valor descontado do título, durante um prazo equivalente ao que falta para o vencimento,
produz como montante o valor nominal do título.

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???

Ou seja, a taxa efetiva é igual a taxa de desconto racional simples que produz o mesmo
valor atual no mesmo tempo de antecipação. Ou, se preferir, pode aplicar uma
capitalização simples sobre o valor atual para gerar o valor nominal.

)

i n

= ⋅ + ⋅

)

i n

= ⋅ + ⋅

400.000

370.000 (1

1,5)

⋅ + ⋅

Pode-se dividir ambos os membros por 10.000 ou “cortar 4 zeros”.

37 (1

1, 5)

⋅ + ⋅

37 55, 5

⋅

55, 5

⋅ =

55, 5

i =

Para transformar em taxa percentual multiplicamos por 100%.

300

100%

55, 5

i =

⋅

5, 4% . .

a m

≅

Letra B

ATENÇÃO!!!!!!

Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva a partir do seu conceito, colocarei a
sua disposição uma fórmula indispensável para ganhar tempo. Lembre que nos
últimos 10 minutos da sua prova você vai implorar por um pouco mais de tempo.
Então, vamos aprender a ganhar tempo. Guarde bem essa fórmula porque nem
todos os livros a descreve.

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A taxa efetiva para o desconto simples comercial é dada por

i n

− ⋅

Onde i é a taxa do desconto!

Um detalhe: essa fórmula só poderá ser utilizada se não houver taxas administrativas ou
impostos cobrados pelo banco!!

Vamos resolver novamente a segunda parte desse quesito.

A taxa é de 5% ao mês durante 1,5 meses.

0, 05

5, 4%

1 0, 05 1, 5

i n

≅

− ⋅

−

⋅

19.

(Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de R$

20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses antes de seu
vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6%
b) 5%
c) 4%
d) 3,3%
e) 3%

Resolução

Sabemos que a taxa de desconto no desconto comercial simples é incidida sobre o valor
nominal. Dessa forma, o desconto é dado por

N i n

⋅ ⋅

Como estamos querendo calcular a taxa mensal do desconto. Podemos “isolar” a taxa na
fórmula acima. O “N” e o “n” que estão multiplicando “vão para o outro membro dividindo”.
Assim,

N n

⋅

O enunciado nos forneceu o valor nominal (R$ 20.000,00), o desconto (R$ 1.800,00) e
o tempo de antecipação (três meses). Já que o tempo de antecipação é dado em meses,

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obviamente a taxa será mensal. E lembre-se que para transformar a taxa em termos
percentuais devemos multiplicá-la por 100%.

1.800

100%

20.000 3

i =

⋅

180.000%

60.000

i =

3% a.m.

i =

Letra E

20.

(Administrador BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto

comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O
banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face
durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento
da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido,
recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais,
desprezando-se os centavos, deverá ser

(A) 5.104
(B) 5.191
(C) 5.250
(D) 5.280
(E) 5.344

Resolução

Trata-se de um desconto bancário simples. O desconto bancário leva em conta
também despesas administrativas cobradas pelos bancos para a efetivação da
operação de desconto. Ou seja,

o desconto bancário é uma modalidade de desconto

comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas.

Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as
despesas administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas são
calculadas como se não houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre
o valor nominal. Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não
houvesse despesas administrativas.

Portanto,

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−

, onde D

é o desconto por fora e D

são as taxas e as despesas

administrativas cobradas pelo banco. Lembrando que o desconto comercial simples (por
fora) é dado por D = N.i.n,

0, 07

0, 01

N i n

− ⋅ ⋅ −

⋅ −

⋅

Além disso, o tempo de antecipação (2 meses e 20 dias) pode ser escrito como 80 dias
(30+30+20).

Observação: O mês comercial possui 30 dias e o ano comercial possui 30x12 = 360
dias.

Assim, a taxa de 18% = 0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa diária deverá ser
dividida por 360.

Ou seja,

0,18

360

i =

Ufa! Voltemos à nossa expressão.

N i n

− ⋅ ⋅ −

⋅ −

⋅

O valor líquido recebido foi igual a R$ 4.620,00.

0,18

80 0, 07

0, 01

4.620

360

− ⋅

⋅

−

⋅ −

⋅

0, 04

0, 07

0, 01

4.620

⋅ −

⋅

Já que 1 – 0,04 – 0,07 – 0,01 = 0,88, temos que

0,88

4.620

⋅

4.620

5.250

0,88

N =

Letra C

21.

(Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO)

Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro meses
antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês.

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Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa
deverá receber, em reais,
(A) 12.000,00
(B) 10.000,00
(C) 9.600,00
(D) 9.200,00
(E) 9.000,00

Resolução

Vimos na questão anterior um resumo sobre desconto bancário. O desconto bancário
leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para a
efetivação da operação de desconto. Ou seja,

o desconto bancário é uma

modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas.

! = , − *

− *

! = , − , ∙ ∙ −

100

∙ ,

! = 12.000 − 12.000 ∙

100

∙ 4 −

100

∙ 12.000

! = 12.000 − 1.440 − 960

! = 9.600

Letra C

22.

(CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra

uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for
de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de,
aproximadamente,

(A) 5,26%
(B) 3,76%
(C) 3,12%
(D) 2,75%
(E) 2,63%

Resolução

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A questão envolve o cálculo da taxa efetiva em uma operação de desconto simples
comercial. Basta aplicar a fórmula descrita anteriormente:

0, 025

2, 5%

100%

2, 63%

1 0, 025 2

0,95

i n

⋅

≅

− ⋅

−

⋅

Mas de qualquer forma, é bom saber resolver das duas maneiras. Nunca se sabe o que
pode acontecer na hora da prova (esquecer a fórmula, por exemplo).

A taxa efetiva é a taxa de juros que aplicada sobre o valor líquido gera um montante
igual ao valor de face.

Além disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide sobre o valor
nominal. E a fórmula que envolve o valor líquido e o valor de face é dada por

)

i n

⋅ − ⋅

2, 5

100





⋅ −

⋅









0, 95

⋅

Faremos agora uma capitalização simples em que o capital inicial é igual a A e o
montante é igual a N.

)

i n

= ⋅ + ⋅

)

i n

= ⋅ + ⋅

0,95

⋅

+ ⋅

1 0, 95 (1

⋅ + ⋅

1 0,95 1,9 i

⋅

1,9

0, 05

⋅ =

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0, 05

100%

1, 9

i =

⋅

2, 63%

i ≅

Letra E

Um pouco mais trabalhoso, não !?

Relação entre os descontos simples por fora e por dentro

Como o desconto simples comercial (por fora) é calculado sobre o valor nominal, ao
passo que o desconto simples racional é calculado sobre o valor atual, é fácil constatar
que, quando calculados nas mesmas condições, o desconto simples por fora será sempre
maior do que o por dentro. Isso porque o valor nominal é sempre maior do que o valor
atual.

Acompanhe o raciocínio: Quanto maior o desconto, menor o valor atual do título. Pode-se
concluir que o valor atual do desconto simples comercial é sempre menor do que no
desconto simples por dentro (por isso é tão utilizado no mercado financeiro: experimente
trocar um cheque e veja onde é incidida a taxa – no valor nominal).

Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, é mais vantajoso para o
adquirente do título (o banco, ou uma empresa de factoring, por exemplo) utilizar o
desconto bancário (daí o “apelido” do desconto comercial) do que o desconto racional.

Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir qual é a relação
entre os descontos simples por fora e por dentro, quando calculados nas mesmas
condições, ou seja, à mesma taxa de desconto e pelo mesmo prazo para o vencimento do
título.

Para diferenciar, chamarei de D

o desconto simples por fora (comercial) e D

o desconto

simples por dentro (racional).

Vimos anteriormente que

N i n

i n

⋅ ⋅

+ ⋅

Logo,

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i n

+ ⋅

(

)

i n

⋅ + ⋅

23.

(Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples

comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de
3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto
correspondente à mesma taxa.

a) R$ 1.000,00
b) R$ 950,00
c) R$ 927,30
d) R$ 920,00
e) R$ 900,00

Resolução

Para quem conhece a fórmula que mostrei anteriormente, a questão é facílima!!

(

)

i n

⋅ + ⋅

O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por fora) que é igual a
R$ 981,00, a taxa que é igual a 3% = 0,03 ao mês e o tempo de antecipação que é igual a
3 meses.

(

)

981

1 0, 03 3

⋅ +

⋅

981

1, 09

⋅

981

900

1, 09

D =

Letra E

24.

(AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um

desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia

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uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples.
Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.

a) R$ 890,00
b) R$ 900,00
c) R$ 924,96
d) R$ 981,00
e) R$ 1.090,00

Resolução

A taxa de desconto será igual nas duas operações.

A primeira operação é um desconto comercial simples com valor nominal R$ 10.900,00,
desconto igual a R$ 981,00 e tempo de antecipação igual a 3 meses. Como sabemos que

o desconto comercial simples é dado por

N i n

⋅ ⋅

, então

981 10.900

⋅ ⋅

981 32.700 i

⋅

981

0, 03

32700

i =

Já que a taxa utilizada será a mesma nos dois descontos, e a questão trocou o desconto
comercial simples por um desconto racional simples, podemos calcular esse novo
desconto com a fórmula

(

)

i n

⋅ + ⋅

(

)

981

1 0, 03 3

⋅ +

⋅

981

1, 09

⋅

981

900

1, 09

D =

Letra B

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Mais questões de Juros Simples para aprofundamento

A partir de agora resolverei questões de Juros Simples de outras bancas. Isto
servirá de treino e para ensinar algumas “técnicas” de resolução em algumas
questões mais “espinhosas”.

25.

(Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) Sobre o

tema Capitalização Simples e Composta assinale a alternativa

incorreta

a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período “n” se

agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o
período subseqüente n+1 e assim sucessivamente.

b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante

quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com
o regime de capitalização composta.

c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de

cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado.

d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três

meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00.

e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três

meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00.

Resolução

Vamos comentar cada uma das alternativas.

a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período “n” se

agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o
período subseqüente n+1 e assim sucessivamente.

Absolutamente verdadeira é a alternativa!! Comentamos praticamente a mesma coisa
anteriormente... Com outras palavras... ”No regime de capitalização composta, o juro
gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para
o próximo período.”

Essa foi fácil demais!! Vamos para a próxima...

b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante

quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com
o regime de capitalização composta.

Basta dar uma olhada no nosso exemplo (do início da aula) para constatar que se trata de
uma alternativa falsa. No nosso exemplo, em que a taxa era de 20% a.a. e o capital
inicial igual a R$ 10.000,00, ao final de 5 anos o montante da capitalização simples foi
igual a R$ 20.000,00 e o montante da capitalização composta foi igual a R$ 24.883,20.

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Portanto, a resposta da questão é a

letra B

Analisemos as outras alternativas.

c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de

cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado.

Praticamente a definição de capitalização simples. A alternativa c. está perfeitamente
correta.

d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três

meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00.

Lembre-se que de acordo com o regime simples, os juros gerados em cada período são
sempre os mesmos.

Dessa forma, os juros gerados no primeiro mês são

1.000

100

⋅

Temos então que os juros gerados em qualquer outro mês serão iguais aos juros gerados
no primeiro mês.

Portanto, o montante no final da aplicação de 3 meses será o capital investido (R$
1.000,00) mais os juros (3 x R$ 100,00 = R$ 300,00). O montante é igual a R$
1.000,00+R$ 300,00 = R$ 1.300,00. A alternativa D é verdadeira.

E finalmente a última alternativa.

e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três

meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00.

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao
capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período.”

Dessa forma,

os juros gerados no primeiro mês são

1.000

100

⋅

e o montante após o primeiro

mês é 1.000+100=1.100.

Os juros gerados no segundo mês são

1.100

110

100

⋅

e o montante após o

segundo mês é 1.100+110=1.210.

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Os juros gerados no terceiro mês são

1.210

121

100

⋅

e o montante após o terceiro

mês é 1.210+121=1.331.

O total de juros é igual a R$ 100,00 + R$ 110,00 + R$ 121,00 = R$ 331,00.

Podemos obter os juros da seguinte maneira: Se aplicamos R$ 1.000,00 durante três
meses e obtemos um montante igual a R$ 1.331,00, o juro total será igual a R$ 1.331,00
– R$ 1.000,00 = R$ 331,00.

Portanto, a alternativa E é verdadeira!!

Como a questão nos perguntou quem é a incorreta...

LETRA B

26.

(Agente Administrativo – SAAE – Pref. Porto Feliz SP 2006/CETRO) João aplicou

R$ 13.000,00 pelo tempo de um ano e três meses à taxa de 36% ao ano. O valor total
recebido por João após o vencimento da aplicação foi de:
(A) R$ 5.860,00
(B) R$ 18.850,00
(C) R$ 15.000,00
(D) R$ 26.000,00
(E) R$ 13.869,00

Resolução

Quando a questão não diz o regime de capitalização, por convenção, adotamos o
regime simples. O capital aplicado é de R$ 13.000,00, durante um ano e três meses (12
+ 3 = 15 meses), à taxa de 36% ao ano.

Devemos entrar em um consenso com relação às unidades da taxa de juros e do número
de períodos. Uma taxa de 36% ao ano gera 3% ao mês (36%/12). Podemos
simplesmente dividir a taxa anual por 12, pois no regime de juros simples, para fazer a
conversão de taxas utilizamos o conceito de taxas proporcionais. Lembre-se também que
3% = 3/100 = 0,03.

= ∙ ∙

= 13.000 ∙ 0,03 ∙ 15

= 5.850

E como o montante é a soma do capital com o juro gerado...

M = C + J = 13.000 + 5.850 = 18.850,00.

Letra B

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27.

(Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$1.200,00 três

meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5%
ao mês, desprezando os centavos.

a) R$ 1.380,00
b) R$ 1.371,00
c) R$ 1.360,00
d) R$ 1.349,00
e) R$ 1.344,00

Resolução

Calcular o valor da dívida hoje significa calcular o montante da operação de juros simples.
A taxa e o período estão em conformidade quanto à unidade (mês), portanto podemos
aplicar diretamente a fórmula de juros simples. O capital é R$ 1.200,00 , a taxa de juros é
de 5% ao mês e o tempo é igual a três meses.

C i n

= ⋅ ⋅

1.200

100

⋅

180

J =

Como o montante é a soma do capital inicial com os juros,

1.200 180

1.380

= +
=

Letra A

28.

(Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de R$

12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses?

a. R$ 4.488,75
b. R$ 1.023,75
c. R$ 3.780,00
d. R$ 1.496,25
e. R$ 5.386,50

Resolução

As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser

iguais.

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Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o
capital, a taxa e o tempo. O único problema é que a taxa de juros e o período de
aplicação não estão expressos na mesma unidade. E quem disse que isso é problema?
Devemos traçar a nossa estratégia. Devemos escolher uma unidade comum para a taxa e
para o período de capitalização.

Sabemos que um ano é a mesma coisa que 12 meses. Logo, 4 anos são o mesmo
que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o período de capitalização é igual a 48 + 9 = 57 meses.
Já a taxa é igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano. Para sabermos a taxa equivalente ao
mês, basta-nos dividir essa taxa por 12. Portanto a taxa de juros mensal será igual a
0,075/12. Agora estamos prontos para aplicarmos a fórmula de juros simples!

C i n

= ⋅ ⋅

Temos que o capital é igual a R$ 12.600,00, a taxa é igual a

0, 075

ao mês e o tempo é

igual a 57 meses.

0, 075

12.600

J =

⋅

Como 12.600 dividido por 12 é igual a 1.050,

1.050 0, 075 57

J =

⋅

4.488, 75

J =

Letra A

29.

(UnB/CESPE – PMCE 2008) No regime de juros simples, R$ 10.000,00 investidos

durante 45 meses à taxa de 15% ao semestre produzirão um montante inferior a R$
21.000,00.

Resolução

Devemos estar sempre atentos quanto à conformidade da unidade da taxa de juros com a
unidade do tempo de investimento do capital. O tempo de aplicação foi dado em meses. A
taxa de 15% ao semestre poderá ser escrita em meses, utilizando o conceito de taxas
proporcionais.

Ou seja, para calcular taxas equivalentes no regime simples podemos fazê-lo utilizando
uma regra de três simples e direta.

Temos uma taxa de 15% ao semestre (6 meses). Queremos calcular a taxa de juros para
1 mês.

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Taxa de Juros Meses

15% 6

Assim,

1 15%

⋅ = ⋅

15%

⋅ =

2,5% ao mês

i =

0, 025

i =

Poderíamos ter simplesmente dividido 15% por 6.

O juro simples é calculado da seguinte maneira:

C i n

= ⋅ ⋅

10.000 0, 025 45

J =

⋅

11.250

J =

Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido.

= +

10.000 11.250

M =

21.250

M =

O montante é superior a R$ 21.000,00 e o item está

ERRADO

30.

(AFRE-PB 2006/FCC) Um investidor aplica em um determinado banco R$

10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00
referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de
juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final
do segundo período é igual a

(A) R$ 12.535,00
(B) R$ 12.550,00
(C) R$ 12.650,00
(D) R$ 12.750,00
(E) R$ 12.862,00

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Resolução

Temos duas aplicações em regime simples. A taxa da segunda aplicação é igual ao dobro
da taxa da primeira aplicação. Portanto, o primeiro passo é determinar a taxa da primeira
aplicação.

1ª aplicação:

O capital é igual a R$ 10.000,00 e o montante é igual a R$ 10.900,00. Portanto o juro é
igual a J = 10.900 – 10.000 = 900.

O tempo de aplicação é de 6 meses. Assim, podemos aplicar a fórmula de juros simples.

C i n

= ⋅ ⋅

900

10.000

⋅ ⋅

900

60.000 i

⋅

900

60.000

i =

0, 015

i =

2ª aplicação:

Lembrando que a taxa da segunda aplicação é o dobro da taxa da primeira aplicação,
concluímos que a segunda taxa é igual a 0,015 x 2 = 0,03.

O capital aplicado da segunda aplicação é o montante da primeira aplicação.
Portanto, o capital aplicado é igual a R$ 10.900,00. O tempo de aplicação é igual a 5
meses. Logo, o montante será dado por

)

i n

= ⋅ + ⋅

10.900 (1 0, 03 5)

M =

⋅ +

⋅

10.900 1,15

M =

⋅

12.535

M =

Letra A

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31.

(Agente Administrativo – SAAE – Pref. Porto Feliz SP 2006/CETRO) Aplicando um

determinado valor à taxa simples de 2% a.m., um investidor resgatou a quantia
correspondente ao dobro do principal. Indique o prazo desta aplicação:
(A) 10 meses.
(B) 20 meses.
(C) 40 meses.
(D) 50 meses.
(E) 60 meses.

Resolução

Imagine, por hipótese que você aplicou R$ 100,00. Se você pretender resgatar o dobro do
principal, você pretende resgatar R$ 200,00. O valor resgatado é o que denominamos
MONTANTE. Ora, se aplicamos R$ 100,00 e resgatamos R$ 200,00, então o juro gerado
no período é igual a R$ 100,00. A taxa de juros 2% ao mês é igual a 2/100=0,02 ao mês.

= ∙ ∙

100 = 100 ∙ 0,02 ∙

100 = 2 ∙

O número 2 que está multiplicando no segundo membro, “passa dividindo para o primeiro
membro”. Assim,

100

= 50

Letra D

32.

(UnB/CESPE – PMAC 2008) Um indivíduo emprestou R$ 25.000,00 a um amigo à

taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu
o montante de R$ 32.200,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15
meses.

Resolução

Para efeito de cálculo a taxa de juros 1,8% será escrita como 1,8/100 = 0,018.

Sabemos que o montante é a soma do capital com o juro.

= +

Dessa forma,

32.200 25.000

7.200

− =

−

E como

C i n

= ⋅ ⋅

7.200

25.000 0, 018 n

⋅

7.200

450 n

⋅

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7.200

16 meses.

450

n =

O item está

ERRADO

33.

(Agente de Defesa Civil - Pref. Mairinque/SP 2009 CETRO)

Um capital de

R$750,00, aplicado a juros simples de 12% ao ano, gerou um montante de R$1.020,00.
Com esses dados, é correto afirmar que o tempo de aplicação foi de

(A) 12 meses.
(B) 24 meses.
(C) 36 meses.
(D) 48 meses.
(E) 60 meses.

Resolução

Ora, sabemos que o montante é a soma do capital com o juro gerado no período. Assim,
se o montante foi de R$ 1.020,00 e o capital aplicado foi de R$ 750,00, então o juro
gerado no período foi de 1.020 – 750 = 270 reais.

Sabemos que o juro simples é dado por

= ∙ ∙ . A taxa de 12% ao ano, para efeito de

cálculo deverá ser escrita na forma unitária. O símbolo p% significa p/100. Assim 12% =
12/100 = 0,12.

= ∙ ∙

270 = 750 ∙ 0,12 ∙

270 = 90 ∙

= 3

Como o número de períodos nas alternativas está em meses, sabemos que um ano são

12 meses e, consequentemente, 3 anos são 36 meses.

Letra C

34.

(AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4%

ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?

a) R$ 20 000,00.
b) R$ 20 100,00.
c) R$ 20 420,00.
d) R$ 22 000,00.
e) R$ 21 400,00.

Resolução

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Questão clássica de juros simples!

O enunciado forneceu a taxa, o juro e o tempo. Está faltando apenas o capital que foi
aplicado.

Para começar, a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma unidade!

Já que a taxa é de 2,4% = 0,024 ao mês, devemos dividir a taxa mensal por 30 para
calcular a taxa diária (isso porque o mês comercial é composto por 30 dias).

Logo,

0, 024

. .

a d

O rendimento (juro) é igual a R$1.608,00 e o tempo é igual a 100 dias.

Lembremos a fórmula do juro simples.

C i n

= ⋅ ⋅

De acordo com o enunciado: J = 1.608, i = 0,024/30 e n = 100. Logo,

0, 024

1.608

100

= ⋅

⋅

Observe que 0,024.100 = 2,4.

2, 4

1.608

= ⋅

E já que 2,4/30 = 0,08;

1.608

0, 08

= ⋅

1.608

0, 08

C =

20.100

C =

Letra B

35.

(Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a

juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$96,00 em 40 dias.

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a) R$ 2.000,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.120,00
d) R$ 2.400,00
e) R$ 2.420,00

Resolução

A taxa de juros e o período não estão na mesma unidade. Adotaremos o mês comercial
que possui 30 dias. Portanto se queremos saber a taxa diária equivalente a 3,6% ao mês,

temos que dividir 3,6% por 30. Dessa forma, obtém-se

3, 6%

0,12%

ao dia.

Aplicando os dados do enunciado na fórmula de juro simples:

C i n

= ⋅ ⋅

0,12

100

= ⋅

⋅

0, 048

⋅ =

Já que 0,048 possui 3 casas decimais, para efetuar essa divisão devemos igualar a

quantidade de casas decimais e então “apagar as vírgulas”.

96, 000

96.000

0, 048

2.000

Letra A

36.

(UnB – CESPE – TRT 6º Região 2002) Julgue o item seguinte.

Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera,
nesse período, um montante de R$ 3.250,00, então o capital aplicado é menor que R$
2.600,00.

Resolução

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A primeira preocupação que devemos ter em uma questão de juros simples é quanto à
conformidade da unidade de tempo com a unidade de taxa de juros. Nesse item tanto a
taxa de juros quanto a quantidade de períodos estão expressos em meses. Ok!

Queremos saber o capital que aplicado durante 6 meses a uma taxa de juros simples de
5% = 0,05 ao mês gera um montante de R$ 3.250,00. Devemos aplicar a fórmula do
montante na capitalização simples.

)

i n

= ⋅ + ⋅

3.250

(1 0, 05 6)

= ⋅ +

⋅

3.250

1, 3

= ⋅

3.250

1, 3

C =

Para dividir, devemos igualar a quantidade de casas decimais e depois “apagar as

vírgulas”.

3.250, 0

32.500

2.500

1, 3

C =

Realmente o capital aplicado é menor do que R$ 2.600,00 e o item está

CERTO

37.

(Administrador - Prefeitura Municipal de Florianópolis – 2007 – FEPESE) Um banco

concedeu a um cliente um empréstimo a juros simples por 18 meses. Se o montante
(capital inicial + juro) é igual a 190% do capital emprestado, então a taxa mensal do
empréstimo é:
a. 2%
b. 5%
c. 7%
d. 10,5%
e. 20%

Resolução

Ora, sabemos que

)

i n

= ⋅ + ⋅

e, além disso, o enunciado nos disse que o

montante é igual a 190% do capital inicial. Podemos escrever essa afirmação assim:

Montante

190% do capital inicial

Ou seja,

190

100

⋅

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O que faremos com essas duas equações??

Ora, sabemos que M é igual a C(1+in) e M também é igual a

190

100

⋅ . Portanto podemos

afirmar que C(1+in) e

190

100

⋅ são iguais.

190

)

100

⋅ +

⋅

Neste ponto, podemos cancelar os dois C’s e simplificar a fração.

O enunciado nos disse que o empréstimo será saldado em 18 meses, logo n=18.

1 18

1, 9

0, 9

i =

0, 9

180

i =

Para transformarmos essa taxa em porcentagem basta que multipliquemos por 100%.

100%

5% a.m.

⋅

Letra B

38.

(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a

juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um
outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da
aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital
supera o valor do primeiro em

a) R$ 10.000,00
b) R$ 8.500,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 5.850,00

Resolução

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Primeira aplicação:

Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro do
período é de R$ 2.500,00.

Sabemos a relação de juro simples:

= 1

∙ 2 ∙ 3

4. 566 = 04. 566 ∙ 2 ∙ 04

4. 566 = 056. 666 ∙ 2

2 =

4. 566

056. 666

0. 566

Segunda aplicação:

= 1

∙ 2 ∙ 3

5. 456 = 1

∙

∙ 05

5. 456 = 1

∙

0
8

= 40. 666

O segundo capital supera o primeiro em 21.000 – 12.500 = 8.500

Letra B

39.

(AFRE-SC 2010/FEPESE) Um Capital de $ 1.000,00 ficou aplicado durante 135

dias, alcançando no final deste período o montante de $ 1.450,00. Calcule a taxa mensal
de juros simples que esse capital rendeu e assinale a alternativa que indica a resposta
correta.

a) 10,00%.
b) 12,00%.
c) 15,00%.
d) 17,00%.
e) 21,00%.

Resolução

Se o capital aplicado é de $ 1.000,00 e o montante é de $ 1.450,00, então o juro obtido na
aplicação é de $ 450,00, pois, por definição, o montante é o capital aplicado mais o juro.

Considerando o mês comercial, 135 dias equivalem a 4,5 meses.

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A fórmula para o cálculo do juro simples é a seguinte:

= ∙ ∙

450 = 1.000 ∙ ∙ 4,5

450 = 4.500 ∙

450

4.500

∙ 100% = 10%

Letra A

(UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$
10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros
simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de
1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando que, ao final do período,
Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes.

40.

A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00.

41.

Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os

juros obtidos pela aplicação no banco BD.

42.

Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$

8.000,00.

Resolução

Deixe-nos analisar a situação do enunciado e depois avaliar cada item.

Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00 para aplicar em dois bancos: BD e BM.
Chamemos o capital aplicado no banco BD de “D” e o capital aplicado no banco BM de
“M”. É importante que você utilize letras que façam referência aos nomes que foram
usados no enunciado da questão. Seria ruim utilizar, por exemplo, utilizar as letras x e y,
pois, no final, teríamos que procurar quem é x e quem é y!

Pois bem, se o capital total é R$ 10.000, então a nossa primeira equação é D + M =
10.000.

Aplicação no Banco BD

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim,
se a taxa de juros no banco BD é de 3% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1
ano será escrito como 12 meses.

Temos os seguintes dados:

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Capital aplicado no Banco BD: D

Taxa de juros: 3% ao mês = 0,03 ao mês.

Tempo de aplicação: 12 meses.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

C i n

= ⋅ ⋅

Já que nessa questão temos aplicações em dois bancos, para não confundir colocarei
índices nos dados das fórmulas.

⋅

Assim,

0, 03 12

⋅

0, 36

⋅

Aplicação no Banco BM

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim,
se a taxa de juros no banco BM é de 5% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1
ano será escrita como 12 meses.

Temos os seguintes dados:

Capital aplicado no Banco BM: M

Taxa de juros: 5% ao mês = 0,05 ao mês.

Tempo de aplicação: 12 meses.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

C i n

= ⋅ ⋅

⋅

Assim,

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0, 05 12

⋅

0, 60

⋅

O enunciado também informa que ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de
juros das duas aplicações.

Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam R$
4.500,00.

4.500

0, 36

0, 60

4.500

⋅ +

⋅

Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da

equação por 100!

450.000

⋅ +

⋅

Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação
foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nos dois bancos (BD e BM) é
igual a R$ 10.000,00.

10.000

Eis o sistema:

450.000

10.000

⋅ +

⋅







Existem diversos métodos para resolver esse sistema linear. Farei de duas maneiras.

Método I – Substituição

Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir
esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma
das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “D”.

10.000

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10.000

−

Devemos substituir essa expressão na primeira equação!

450.000

⋅ +

⋅

36 (10.000

)

450.000

⋅

−

⋅

360.000 36

450.000

−

⋅

360.000

450.000

⋅

90.000

⋅

3.750

M =

E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a
10.000 – 3.750 = 6.250.

6.250

D =

Método II – Adição

Voltemos ao sistema linear.

450.000

10.000 ( 36)

⋅ +

⋅





⋅ −



Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator,
de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja
cancelada.

Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 36, pois
dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita D será cancelada.

450.000

360.000

⋅ +

⋅





− ⋅ −

⋅

= −



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Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:

⋅ −

⋅

−

⋅

450.000 360.000

90.000

−

Ou seja,

450.000

360.000

90.000

⋅ +

⋅





− ⋅ −

⋅

= −



⋅

3.750

M =

E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a
10.000 – 3.750 = 6.250.

6.250

D =

Vamos analisar cada um dos itens de per si.

40. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00.

Já que M = 3.750,00, esse item está

ERRADO

41. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00
os juros obtidos pela aplicação no banco BD.

Vamos calcular cada um dos juros.

⋅

6.250 0, 03 12

2.250

⋅

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3750 0, 05 12

2.250

⋅

Como os juros obtidos nos dois bancos são iguais, o item está

ERRADO

42. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a
R$ 8.000,00.

Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido.

= +

6.250

2.250

M =

8.500

M =

Assim, o item está

CERTO

43.

(UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob

a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As
ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que
a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é

A) inferior a R$ 1.800,00.
B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00.
C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00.
D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00.
E) superior a R$ 2.250,00.

Resolução

Se o capital total é R$ 6.000,00, então a nossa primeira equação é X + Y =
6.000.

Aplicação na ação X

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim,
se a taxa de juros na ação X é de 7% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada
precisamos modificar nesses dados.

Temos os seguintes dados:

Capital aplicado na ação X: X

Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano.

Tempo de aplicação: 1 ano.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

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C i n

= ⋅ ⋅

Já que nessa questão temos aplicações em duas ações, para não confundir colocarei
índices nos dados das fórmulas.

⋅ ⋅

Assim,

0, 07 1

⋅

0, 07

⋅

Aplicação na ação Y

A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim,
se a taxa de juros na ação Y é de 9% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada
precisamos modificar nesses dados.

Temos os seguintes dados:

Capital aplicado na ação Y : Y

Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano.

Tempo de aplicação: 1 ano.

Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples!

C i n

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

Assim,

0, 09 1

= ⋅

⋅

0, 09

⋅

O enunciado também informa que ao final do período, a pessoa obteve R$ 500,00 de
juros das duas aplicações.

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Ou seja, o juro obtido na ação X mais o juro obtido na ação Y totalizam R$ 500,00.

500

0, 07

0, 09

500

⋅

⋅ =

Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da

equação por 100!

50.000

⋅

+ ⋅ =

Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação
foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nas duas ações (X e Y) é igual a
R$ 6.000,00.

6.000

+ =

Eis o sistema:

50.000

6.000

⋅

+ ⋅ =





+ =



Novamente os dois métodos descritos na questão anterior.

Método I – Substituição

6.000

+ =

6.000

−

Devemos substituir essa expressão na primeira equação!

50.000

⋅

+ ⋅ =

9 (6.000

)

50.000

⋅

+ ⋅

−

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54.000 9

50.000

⋅

− ⋅

4.000

− ⋅

= −

4.000

⋅

2.000

X =

Letra C

Método II – Adição

Voltemos ao sistema linear.

50.000

6.000 ( 9)

⋅

+ ⋅ =





+ =

⋅ −



Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator,
de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja
cancelada.

Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 9, pois
dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita Y será cancelada (cancelamos
o “Y” pois queremos calcular o valor de “X”).

50.000

54.000

⋅

+ ⋅ =





− ⋅

− ⋅ = −



Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:

⋅

− ⋅

= − ⋅

⋅ − ⋅ =

50.000 54.000

4.000

−

= −

Ou seja,

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50.000

54.000

4.000

2.000

⋅

+ ⋅ =





− ⋅

− ⋅ = −


− ⋅

= −

Letra C

44.

(UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21

meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13
meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é

A) inferior a R$ 5.600,00.
B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00.
C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00.
D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00.
E) superior a R$ 6.100,00.

Resolução

Sabemos que o juro simples é dado por

C i n

= ⋅ ⋅

Assim, o juro simples de 21 meses é

C i

= ⋅ ⋅

⇒ =

⋅

O juro simples de 13 meses é

C i

= ⋅ ⋅

⇒ =

⋅

“Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00” pode ser

escrito algebricamente

7.050

⋅

“O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$

5.350,00” pode ser escrito algebricamente

5.350

−

⋅

Temos o seguinte sistema de equações:

7.050

5.350

⋅





−

⋅



Podemos novamente resolver pelo método da adição ou pelo método da substituição.

Método da Substituição

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Da segunda equação, podemos concluir que

5.350 13

⋅

Substituindo essa expressão na primeira equação do sistema...

7.050

⋅

5.350 13

7.050

⋅

7.050 5.350

⋅

−

1.700

⋅

1.700

⇒

De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema.

Substituindo na primeira equação, obtemos:

7.050

⋅

21 50

7.050

C +

⋅

1.050

7.050

C +

6.000

C =

Letra D

45.

(Contador de Recife 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa

de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor
inicial?

a) 3 meses e meio
b) 4 meses
c) 4 meses e 10 dias
d) 4 meses e meio
e) 4 meses e 20 dias

Resolução

O capital aumentar 14% em relação ao valor inicial significa que o juro da aplicação é
igual a 14% do capital inicial.

Dessa forma,

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100

∙

Temos também que

C i n

= ⋅ ⋅

. Podemos, então, igualar as duas expressões.

100

C i n

⋅ ⋅ =

⋅

. Nesse ponto, podemos “cancelar os C’s” e substituir a taxa por

3%= 0,03

0, 03

0,14

⋅ =

0,14

0, 03

Como a taxa é mensal, o tempo será expresso em meses. Devemos dividir 14 meses por

3. 14 meses dividido por 3 é igual a 4 meses - resto 2 meses. Só que o resto (2 meses) é

igual a 60 dias, e 60 dias dividido por 3 é igual a 20 dias. Resposta: 4 meses e 20 dias.

Letra E

46.

(CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de

juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa
de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor
aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela
segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de

a) R$ 4.400,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 3.200,00
e) R$ 2.800,00

Resolução

Vamos analisar separadamente as duas aplicações.

1ª pessoa

Aplicou R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Lembremos a fórmula
do montante:

)

i n

= ⋅ + ⋅

Chamando de M

o montante da primeira pessoa, ele será dado por:

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10.000 (1 0, 02

)

10.000

200

⋅ +

⋅

2ª pessoa

Aplicou R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. O problema é quanto ao
tempo de capitalização. A segunda pessoa começou a aplicar o seu dinheiro

meses após

a primeira pessoa. Se o tempo de aplicação da primeira pessoa é igual

a n,

o tempo de aplicação da segunda pessoa será n-2

. Ou seja, nas fórmulas de

juros simples, ao invés de colocarmos n para o tempo, colocaremos

n-2

Assim, chamando de M

o montante da segunda pessoa, ele será dado por:

[

]

(

i n

= ⋅ + ⋅

−

[

]

[

]

[

]

8.000 1 0, 04 (

8.000 1 0, 04

0, 08)

8.000 0, 04

0, 92

320

7.360

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅ −

⋅

⋅ +

“No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for
igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros
correspondente à aplicação da primeira pessoa será de...” Devemos, portanto, igualar os
montantes calculados anteriormente.

120

2.640

⋅ =

22 meses

n =

Essa ainda não é a resposta do problema!!! A questão pediu “o total dos juros
correspondente à aplicação da primeira pessoa”.

Lembremos que a primeira pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 22
meses (observe que se estivéssemos calculando o juro correspondente a segunda
pessoa, deveríamos utilizar 20 meses!!).

320

7.360

10.000

200

320

200

10.000 7.360

⋅ +

⋅

⋅ −

⋅ =

−

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Portanto, o juro será

10.000 0, 02 22

4.400

C i n

= ⋅ ⋅
=

⋅

Letra A

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Juro Exato e Juro Comercial

Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com
360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias)
somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação.

Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial
para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários,
consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.

Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a
quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos
considerar o total e não 30 dias.

Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo
mnemônico muito fácil para a memorização destes meses.

Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo.

Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência
do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e
três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo:

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Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro,
a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo:

Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais
“espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos
com janeiro, começaremos do dedo mínimo:

Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em
uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias, conforme
já falamos).

Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo
com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária
devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano
exato (365 ou 366 dias).

Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos.

Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não.
Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares.

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Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser
que sejam múltiplos de 400.

Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do
número por 4.

Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto.

Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:

Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo.

Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!

Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.

47.

(AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas

alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a
convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi
aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o
módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é

a) R$ 37,50
b) R$ 30,00
c) R$ 22,50
d) R$ 15,00
e) R$ 7,50

Resolução

Juros Comerciais

O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao
mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 30.

9,3%

= 0,31% ( = 0,0031 (

O juro comercial é dado por:

= ∙ ∙ = 15.000 ∙ 0,0031 ∙ 5 = 232,50

Juros Exatos

O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao
mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 31.

9,3%

= 0,3% ( = 0,003 (

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O juro exato é dado por:

= ∙ ∙ = 15.000 ∙ 0,003 ∙ 5 = 225,00

A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros exatos.

−

= 232,50 − 225,00 = 7,50

Letra E

48.

(Auditor de Tributos Municipais – Fortaleza – 1998 – ESAF) Um capital é aplicado a

juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de
24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como
porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.

a) 4,70%
b) 4,75%
c) 4,80%
d) 4,88%
e) 4,93%

Resolução

Para calcular o juro simples exato, precisamos saber o tempo total de aplicação. E já que
o período de aplicação é do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, devemos nos perguntar
se o ano de 1998 (ano de aplicação da prova) foi bissexto ou não.

Os anos bissextos obrigatoriamente são pares.

Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser
que sejam múltiplos de 400.

Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do
número por 4.

Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto.

Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:

Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo.

Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!

Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.

Vamos agora calcular o total de dias da aplicação.

O mês de fevereiro de 1998 teve 28 dias (pois 1998 não foi bissexto). Como a aplicação
começou no dia 10, então contamos 18 dias de aplicação (28 – 10 = 18 dias).

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O mês de março possui 31 dias e ainda temos 24 dias de aplicação no mês de abril.

O total de dias da aplicação será 18 + 31 + 24 = 73 dias.

A taxa é de 24% = 0,24 ao ano. Para calcularmos a correspondente taxa diária devemos
dividir por 365 (já que o ano não é bissexto) A taxa diária é igual a 0,24/365.
Temos a seguinte expressão dos juros simples exatos.

= ∙ ∙

= ∙

0,24

365

∙ 73

= 0,048 ∙

Para transformar 0,048 em porcentagem, devemos multiplicar por 100%.

= 4,80% ∙

Letra C

49.

(AFTN 1998/ESAF) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro

do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um
montante de $ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os
centavos.

a) R$ 4.067,00
b) R$ 3.986,00
c) R$ 3.996,00
d) R$ 3.941,00
e) R$ 4.000,00

Resolução

Como falei anteriormente, o juro simples ordinário considera que os meses possuem 30
dias.

Portanto, para avançar do dia 5 de um mês para o dia 5 do mês seguinte consideramos
um período de 30 dias.

5 de maio 5 de junho 5 de julho 5 de agosto 5 de setembro 5 de outubro
5 de novembro.

No período considerado acima temos 30 x 6 = 180 dias.

Temos ainda o período do dia 5 de novembro até o dia 25 de novembro (20 dias).
Portanto, o total de dias da aplicação é igual a 200 dias.

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Como consideramos o ano comercial com 360 dias, para o cálculo da taxa diária devemos
dividir a taxa anual por 360. Assim, a taxa considerada é de

36%

360

= 0,1% ( = 0,001 (

Sabemos que na capitalização simples o montante é dado por:

= ∙ (1 + ∙ )

Portanto,

1 + ∙

Vamos substituir os correspondentes valores:

4.800

1 + 0,001 ∙ 200

4.800

1,2

= 4.000,00

Letra E

50.

(AFTN 1998/ESAF) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos

do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa
de 18% ao ano, desprezando os centavos.

a) R$ 705,00
b) R$ 725,00
c) R$ 715,00
d) R$ 720,00
e) R$ 735,00

Resolução

No cálculo dos juros exatos consideramos o calendário civil. Assim, devemos considerar a
quantidade de dias de cada mês e o ano com 365 dias (ou com 366 dias se for bissexto).
Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.

Vejamos a quantidade de dias em cada mês:

Abril: o mês de abril possui 30 dias. Como a aplicação começou no dia 12, contaremos
apenas 30 – 12 = 18 dias.

Maio: 31 dias
Junho: 30 dias
Julho: 31 dias
Agosto: 31 dias.
Setembro: 5 dias.

Total: 18 + 31 + 30 + 31 + 31 +5 = 146 dias.

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A taxa é de 18% ao ano. Como o ano de 1998 (ano da questão) possui 365 dias, a taxa
diária será:

18%

365

0,18

365

(

Calculemos os juros obtidos:

= ∙ ∙

= 10.000 ∙

0,18

365

∙ 146 = 720,00

Letra D

51.

(AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um

banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa
fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de
0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule
o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum
feriado bancário no período.
a) R$ 2.080,00
b) R$ 2.084,00
c) R$ 2.088,00
d) R$ 2.096,00
e) R$ 2.100,00

Resolução

Tem-se uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta. Portanto, o valor a ser pago por
essa multa será de:

2% ( 2.000 =

100

∙ 2.000 = 40 #

Há ainda uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso. Sabemos que sábado
e domingo não são dias úteis (seriam inúteis? Heheh).

Dessa forma, paga-se

0,2% ( 2.000 = 0,002 ∙ 2.000 = 4 # por dia útil de atraso.

O problema nos disse que o dia 8 (dia de pagamento da conta) foi uma segunda-feira e
que o pagamento foi efetuado no dia 22. Ora, o dia 8 não entra como dia de atraso, pois
se o pagamento fosse feito no dia 8 não haveria multa. Portanto, devemos contar os dias
úteis do dia 9 (terça-feira) até o dia 22.

Segunda

Terça

Quarta

Quinta

Sexta

Sábado

Domingo

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Assim, são contados 10 dias úteis de atraso. Como devemos pagar R$ 4,00 reais por
cada dia de atraso, a multa será de 10 x 4 = 40 reais.

O valor a ser pago no dia 22 será de 2.000 + 40 + 40 = 2.080 reais.

Letra A

Prazo, Taxa e Capital Médios

Prazo Médio

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo
credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O
segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João
decidem substituir os prazos de vencimento dos dois empréstimos por um único prazo, de
forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo?

A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de
os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.

Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:

1º empréstimo

= 4.000 ∙

100

∙ 4 = 1.600

2º empréstimo

;

= 2.000 ∙

100

∙ 8 = 800

Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00
referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros.

Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o prazo de 8
meses do segundo empréstimo de forma que o juro total permaneça o mesmo (R$
2.400,00).

O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado prazo
médio.

4.000 ∙

100

∙

+ 2.000 ∙

100

∙

= 2.400

400 ∙

+ 100 ∙

= 2.400

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500 ∙

= 2.400

Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4 meses e resto
igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4 meses de resto equivalem a
4 ∙ 30 = 120 (. Devemos dividir 120 dias por 5 que é igual a 24 dias.

24 = 5
4 4
120 ( = 5
0 24 (

Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias.

Taxa Média

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um
mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4
meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O
credor e João decidem substituir as taxas de juros dos dois empréstimos por uma
única taxa, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João.
Qual é essa taxa?

A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato
de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.

Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:

1º empréstimo

= 4.000 ∙

100

∙ 4 = 1.600

2º empréstimo

;

= 2.000 ∙

100

∙ 8 = 800

Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00
referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros.

A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é denominado taxa
média.

4.000 ∙

∙ 4 + 2.000 ∙

∙ 8 = 2.400

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16.000 ∙

+ 16.000 ∙

= 2.400

32.000 ∙

= 2.400

2.400

32.000

∙ 100% = 7,5%

Assim, a taxa média é de 7,5% ao mês.

Capital Médio

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo
credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O
segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João
decidem substituir os capitais dos dois empréstimos por um único capital, de forma que
não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse capital?

A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de
os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.

Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:

1º empréstimo

= 4.000 ∙

100

∙ 4 = 1.600

2º empréstimo

;

= 2.000 ∙

100

∙ 8 = 800

Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00
referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros.

O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado
capital médio.

∙

100

∙ 4 +

∙

100

∙ 8 = 2.400

0,4 ∙

+ 0,4 ∙

= 2.400

0,8 ∙

= 2.400

= 3.000

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Assim, o capital médio é de R$ 3.000,00.

Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio

Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio e
em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A demonstração será feita
para um caso particular de três aplicações, mas pode ser generalizada para um número
qualquer de aplicações.

Fórmula do Prazo Médio

Considere três capitais

> 1

, aplicados às taxas simples

> 2

, pelos prazos

> 3

O juro total obtidos com essas três aplicações é de:

∙

;

∙

;

∙

;

∙

Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo

denominado prazo

médio de forma que o juro total permaneça constante.

∙

;

∙

;

∙

Dessa forma:

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

∙ (

∙

;

∙

;

∙

) =

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

;

∙

A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média ponderada dos
prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas.

Fórmula da Taxa Média

Procedendo da mesma maneira, conclui-se que a taxa média é a média aritmética das
taxas, tendo como fatores de ponderação os capitais e os prazos.

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;

∙

;

∙

;

∙

Fórmula do Capital Médio

Analogamente aos casos anteriores. O capital médio é a média aritmética dos capitais,
tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos.

;

∙

;

∙

;

∙

Exemplo

João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$
4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a
uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo médio, a taxa média e o
capital médio.

Resolução

Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:

1º empréstimo

= 4.000 ∙

100

∙ 4 = 1.600

2º empréstimo

;

= 2.000 ∙

100

∙ 8 = 800

Prazo médio

;

∙

;

∙

;

1.600 + 800

4.000 ∙ 0,10 + 2.000 ∙ 0,05

2.400

500

= 4 24 (

Taxa Média

;

∙

;

∙

;

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1.600 + 800

4.000 ∙ 4 + 2.000 ∙ 8

2.400

32.000

∙ 100% = 7,5% ê

Capital Médio

;

∙

;

∙

;

1.600 + 800

0,10 ∙ 4 + 0,05 ∙ 8

2.400

0,8

= 3.000 #

52.

(SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram

aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O
prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é:

a) 12
b) 8
c) 10
d) 9,2
e) 7,5

Resolução

Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são
iguais a

Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações.

= 50.000 ∙ ∙ 12 = 600.000 ∙

;

= 100.000 ∙ 6 ∙ = 600.000 ∙

Apliquemos a fórmula do prazo médio.

;

∙

;

∙

;

600.000 ∙ + 600.000 ∙

50.000 ∙ + 100.000 ∙

1.200.000 ∙

150.000 ∙

= 8

Letra B

53.

(AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$

3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%,

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4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes
capitais.

a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%

Resolução

Já que os prazos das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todos os prazos
são iguais a

Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações.

= 2.500 ∙ 0,06 ∙ = 150 ∙

;

= 3.500 ∙ 0,04 ∙ = 140 ∙

= 4.000 ∙ 0,03 ∙ = 120 ∙

= 3.000 ∙ 0,015 ∙ = 45 ∙

Apliquemos a fórmula da taxa média.

;

∙

;

∙

;

∙

150 ∙ + 140 ∙ + 120 ∙ + 45 ∙

2.500 ∙ + 3.500 ∙ + 4.000 ∙ + 3.000 ∙

455 ∙

13.000 ∙

455

13.000

∙ 100% = 3,5% ê.

Letra E

54.

(AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$

4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime
de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de
aplicação destes capitais.
a) 4%
b) 8%
c) 12%
d) 24%
e) 48%

Resolução

Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a

meses. Vamos calcular o

juro simples de cada aplicação.

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= 7.000 ∙ 0,06 ∙ = 420 ∙

;

= 6.000 ∙ 0,03 ∙ = 180 ∙

= 3.000 ∙ 0,04 ∙ = 120 ∙

= 4.000 ∙ 0,02 ∙ = 80 ∙

Apliquemos a fórmula da taxa média.

;

∙

;

∙

;

∙

420 ∙ + 180 ∙ + 120 ∙ + 80 ∙

7.000 ∙ + 6.000 ∙ + 3.000 ∙ + 4.000 ∙

800 ∙

20.000 ∙

800

20.000

800

20.000

∙ 100% = 4% ê.

Como um ano é o mesmo que 12 meses, então para calcular a taxa proporcional anual
basta multiplicar a taxa mensal por 12.

= 4% ∙ 12 = 48%

Letra E

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Relação das questões comentadas

01.

(Petrobras – Auditor Jr – 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de

02.

(BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o

03.

(Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se

o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa
de juros simples considerada?
(A) 1,04% a.m.
(B) 16,67% a.m.
(C) 25% a.m.
(D) 16,67% a.a.
(E) 25% a.a.

04.

(Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO)

Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$
9.240,00 à taxa de juros simples de 26,4% ao ano.
(A) 21
(B) 12
(C) 5
(D) 4,41
(E) 1,75

05.

(PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros

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06.

(Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO) Joana aplicou R$ 10.000,00 por

07.

(Técnico de Contabilidade/ Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Um

08.

(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Uma pequena empresa acertou com um de seus

fornecedores a aquisição de materiais que este deixará de comercializar. Em virtude de
serem parceiros comerciais de longa data e de se tratar de valor relativamente pequeno,
ficou combinado que o montante devido em relação a essa compra seria pago de uma só
vez, dois anos após a celebração do contrato, e não incidiria correção monetária sobre a
quantia devida. Estabeleceu-se, todavia, que o referido montante seria acrescido de juros
que convencionaram em meio por cento ao mês sobre o regime de juros simples. Assim,
atingindo-se o prazo combinado, a empresa pagou a seu fornecedor a quantia total de R$
5.600,00. Considerando essas informações, o valor, em reais, da compra realizada foi
(A) 2.545,45
(B) 2.800,00
(C) 4.516,13
(D) 5.000,00
(E) 5.533,60

09.

(PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Um título sofreu desconto racional simples 3

10.

(BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5

meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o
valor de face desse título?

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a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.666,67
c) R$ 32.000,00
d) R$ 40.000,00
e) R$ 160.000,00

11.

(BNB 2003 – ACEP) José tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a

a) R$ 16.000,00
b) R$ 13.800,00
c) R$ 17.600,00
d) R$ 14545,45
e) R$ 14.800,00

12.

(AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00

13.

(PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo

14.

(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no

15.

(Técnico de Administração e Controle Júnior/ Petrobras 2008/CESGRANRIO) A fim

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vencimento para 2 meses depois. Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto total
de
(A) 6.000,00
(B) 5.200,00
(C) 5.000,00
(D) 4.500,00
(E) 4.000,00

16.

(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no

valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de
12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a

(A) 400,00
(B) 352,00
(C) 256,00
(D) 144,00
(E) 48,00

17.

(TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, será

descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o
desconto simples bancário, o valor de resgate será:

a) R$ 14.850,00
b) R$ 16.119,29
c) R$ 16.335,00
d) R$ 16.665,32
e) R$ 18.233,50

18.

(AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês.
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês.
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano.
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano.
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês.

19.

(Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de R$

20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses antes de seu
vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6%
b) 5%
c) 4%

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d) 3,3%
e) 3%

20.

(Administrador BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto

(A) 5.104
(B) 5.191
(C) 5.250
(D) 5.280
(E) 5.344

21.

(Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO)

Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro meses
antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês.
Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa
deverá receber, em reais,
(A) 12.000,00
(B) 10.000,00
(C) 9.600,00
(D) 9.200,00
(E) 9.000,00

22.

(CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra

uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for
de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de,
aproximadamente,

(A) 5,26%
(B) 3,76%
(C) 3,12%
(D) 2,75%
(E) 2,63%

23.

(Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples

comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de
3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto
correspondente à mesma taxa.

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a) R$ 1.000,00
b) R$ 950,00
c) R$ 927,30
d) R$ 920,00
e) R$ 900,00

24.

(AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um

desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia
uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples.
Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.