Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

1/4

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

22:

Z

HODNÉ A

PODOBNÉ ZOBRAZENIA

1. príklad (236/Pr. 1)

Zadanie: Bod

L

je stredom hrany

CG

kocky

ABCDEFGH

s d

ĺ

žkou hrany

a

. Ur

č

te d

ĺ

žku

x

najkratšej lomenej

č

iary

EXL

, ak bod

X

patrí rovine

ABC

. (Máme ur

č

i

ť

d

ĺ

žku

svetelného lú

č

a, ktorý vychádza z bodu

E

a po odraze

od zrkadla

ABC

dopadá do bodu

L

.)

Riešenie:

Zostrojíme bod

E

′

súmerne združený s bodom

E

pod

ľ

a

roviny

ABC

. Priamka

L

E

′

pretne rovinu

ABC

v bode

X

, pre ktorý platí, že d

ĺ

žka lomenej

č

iary

EXL

je

najmenšia. (Zo súmernosti pod

ľ

a roviny

ABC

vyplýva,

že

X

E

EX

′

=

, teda d

ĺ

žka lomenej

č

iary

EXL

je rovnaká

ako d

ĺ

žka

č

iary

XL

E

′

a tá je najkratšia, ke

ď

ležia body

L

X

E

,

,

′

na priamke.) Treba ešte ur

č

i

ť

d

ĺ

žku

x

č

iary

EXL

. Tá sa rovná d

ĺ

žke úse

č

ky

L

E

′

, ktorú vypo

č

ítame

z pravouhlého trojuholníka

ML

E

′

, kde

M

je stred hrany

EA

.

Teda

( )

2

17

2

3

2

2

2

2

2

a

a

a

E

M

LM

x

⋅

=













+

=

′

+

=

.

2. príklad (240/4)

Zadanie: Zostrojte pä

ť

uholník

ABCDE

, ak sú dané stredy všetkých jeho strán:

5

4

3

2

1

,

,

,

,

S

S

S

S

S

.

Riešenie:

Zo zadania môžeme zapísa

ť

nieko

ľ

ko stredových súmerností:

A

A

S

A

E

S

E

D

S

D

C

S

C

B

S

B

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

→

⇒



















→

→

→

→

→

:

:

:

:

:

:

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

o

o

o

o

Vieme, že zložením párneho po

č

tu stredových súmerností vzniká identita alebo posunutie

a združovaním nepárneho po

č

tu stredových súmerností vzniká stredová súmernos

ť

. V našom

prípade sme zložili nepárny po

č

et stredových súmerností a vznikla nám teda stredová súmernos

ť

so stredom v bode

A

(pretože je samodružný). Pä

ť

uholník sa teraz dá zostroji

ť

nasledujúcim

postupom:

1. Zvolíme

si

ľ

ubovo

ľ

ný

bod

L

a zobrazíme

ho

v zloženej

stredovej

súmernosti

L

L

S

S

S

S

S

S

′

→

:

5

4

3

2

1

o

o

o

o

.

2. Zostrojíme stred úse

č

ky

L

L

′

a dostaneme tak bod

A

.

3. Zostrojíme ostatné body pä

ť

uholníka cez ostatné stredové súmernosti.

A

H

G

F

E

D

C

B

E’

L

X

M

Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

2/4

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

22:

Z

HODNÉ A

PODOBNÉ ZOBRAZENIA

3. príklad (241/5)

Zadanie: Dané sú dve rôznobežky

q

p,

a mimo nich bod

A

. Zostrojte všetky kružnice, ktoré

prechádzajú bodom

A

a dotýkajú sa

p

aj

q

.

Riešenie:

Aby sme zostrojili kružnice požadovaných vlastností, sta

č

í nám zostroji

ť

ich stredy, ich polomer už

potom

ľ

ahko zistíme ako vzdialenos

ť

nájdených stredov od bodu

A

(alebo od jednej z priamok).

Vieme, že spomínané stredy ležia na osi uhla priamok

q

p,

(resp. na osi susedného uhla k uhlu

priamok

q

p,

, pod

ľ

a toho, kde sa nachádza bod

A

). Vieme teda zostroji

ť

takú pomocnú kružnicu

P

k

, ktorá síce nebude prechádza

ť

bodom

A

, ale bude sa dotýka

ť

oboch priamok, teda

(

)

q

S

S

k

P

P

P

,

,

. Potom vieme, že v rovno

ľ

ahlosti so stredom v bode

q

p

V

∩

∈

sa zobrazí kružnica

P

k

do kružnice

k

(

)

k

k

H

P

V

→

:

. V opa

č

nej rovno

ľ

ahlosti sa zase zobrazí kružnica

k

do kružnice

P

k

,

a teda aj bod

A

do bodu

P

A

. Teda body

P

A

A

V

,

,

ležia na jednej priamke. Ke

ď

že vieme zostroji

ť

kružnicu

P

k

, vieme zostroji

ť

aj bod

P

A

a pomocou rovnobežky s

P

P

A

S

cez bod

A

aj stred

S

kružnice

k

.

Postup:
1.

A

q

p

,

,

2. os uhla priamok

q

p

,

3.

∈

P

P

S

S

;

osi

4.

(

)

q

S

S

k

k

P

P

P

P

,

,

;

5.

{

}

P

P

P

P

P

k

VA

A

A

A

A

∩

=

*

*

,

;

,

6.

P

P

A

S

l

l

A

l

||

;

∧

∈

7.

P

P

A

S

l

l

A

l

||

;

*

*

*

∧

∈

8.

∩

∈

l

S

S;

os

9.

∩

∈

*

*

*

;

l

S

S

os

10.

(

)

SA

S

k

,

11.

(

)

A

S

S

k

*

*

*

,

4. príklad (241/11)

Zadanie: Dokážte, že

ť

ažnice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz (priamy, cez rovno

ľ

ahlos

ť

):

Nech

ABC

∆

je

ľ

ubovo

ľ

ný a

1

1

1

,

,

C

B

A

nech sú postupne stredy strán

AB

AC

BC

,

,

.

2

C

nech je stred

1

1

B

A

. Ozna

č

me

1

1

BB

AA

T

∩

∈

. Dôkaz prevedieme v štyroch krokoch:

(

)

(

)

2

1

1

2

1

1

,

,

:

2

:

2

:

C

C

C

C

C

H

k

B

A

H

k

A

B

H

C

C

C

⇒

→

⇒







=

→

=

→

ležia na jednej priamke

(

)

(

)

( )

uu

ABT

T

B

A

AB

B

A

AB

B

A

k

B

A

H

k

A

B

H

C

C

∆

≈

∆

⇒













=

⇒







=

→

=

→

1

1

1

1

1

1

1

1

2

||

2

:

2

:

A

S

S

P

k

P

k

V

p

q

A

P

*

P

A

1.

2.

3.

pozn.: kvôli preh

ľ

adnosti chýba v obrázku

druhé riešenie a tiež niektoré

č

asti postupu

Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

3/4

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

22:

Z

HODNÉ A

PODOBNÉ ZOBRAZENIA

(

)

(

)

2

1

1

2

1

1

,

,

:

2

:

2

:

C

C

T

C

C

H

k

B

B

H

k

A

A

H

T

T

T

⇒

→

⇒







=

→

=

→

ležia na jednej priamke

4.

(

)

T

C

C

C

,

,

,

.

3

.

1

2

1

⇒

∧

ležia na jednej priamke

1

CC

T

∈

⇒

Bod

T

teda leží na všetkých troch

ť

ažniciach,

Č

BTD.

A

B

C

A

1

B

1

C

1

T

C

2

Autor: Martin Slota

Zdroj: http://www.zones.sk

Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú

č

ely a akéko

ľ

vek verejné

publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.

4/4

MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY

M

ATURITNÝ OKRUH

22:

Z

HODNÉ A

PODOBNÉ ZOBRAZENIA

5. príklad (241/14)

Zadanie: Je daný lichobežník

ABCD

, ktorého základne sú

AB

a

CD

, pri

č

om

CD

AB

>

. Vnútri úse

č

ky

AD

zostrojte bod

P

a vnútri úse

č

ky

BC

bod

Q

tak, aby platili zárove

ň

vz

ť

ahy

AB

PQ

||

a

AQ

PC

||

.

Riešenie:

Zostrojíme bod

BC

AD

V

∩

∈

.

( )

( )

VB

VC

VQ

VB

VQ

VQ

VC

VB

VQ

VA

VP

uu

ABV

PQV

VQ

VC

VA

VP

uu

AQV

PCV

⋅

=

⇒

=

⇒













=

⇒

∆

≈

∆

=

⇒

∆

≈

∆

Pomocou odvodeného vz

ť

ahu zostrojíme bod

Q

a bod

P

zostrojíme pomocou zadaného poznatku

AV

P

AB

PQ

∈

∧

||

.

pozn.: Pri zostrojení

VQ

využijeme Euklidovu vetu o odvesne. Euklidove vety vyzerajú takto:

1. o výške:

(

)

b

a

b

a

c

c

v

v

c

c

⋅

=

⇒

=

⋅

2

2. o odvesne:

c

c

a

a

⋅

=

2

a

c

c

b

b

⋅

=

2

A

B

C

D

P

Q

V

v

c

a

c

b

a

b

c