Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 1

Wykorzystując warunki brzegowe otrzymuje się wzory transformacyjne do metody przemieszczeń
dla prętów o dowolnym sposobie zamocowania węzłów.

T

ik

T

ki

=

E I

⋅

L

3

−

d

3

w

d

ξ

3

λ

2

dw

d

ξ

⋅

+









ξ 0

=

⋅

=

M

ki

E I

⋅

L

2

−

d

2

w

d

ξ

2









ξ 1

=

⋅

=

M

ik

E I

⋅

L

2

−

d

2

w

d

ξ

2









ξ 0

=

⋅

=

Przywęzłowe momenty zginające i siły poprzeczne wyrażają się następującymi wzorami

(kąt obrotu cięciwy pręta)

ψ

w

k

w

i

−

L

=

w powyższych wzorach przyjęto oznaczenie

C

4

L
λ

ϕ

i

⋅

L
λ

ϕ

i

ϕ

k

+

(

)

1

cos

λ

−

(

)

⋅

ψ λ

⋅ sin λ

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

−

=

C

3

L
λ

−

ϕ

i

ϕ

k

−

(

)

λ sin λ

−

(

)

⋅

ϕ

i

ψ

−

(

)

λ

⋅ 1 cos λ

−

(

)

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

=

C

2

L
λ

ϕ

i

ϕ

k

+

(

)

1

cos

λ

−

(

)

⋅

ψ λ

⋅ sin λ

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

=

C

1

w

i

L
λ

ϕ

i

ϕ

k

−

(

)

λ sin λ

−

(

)

⋅

ϕ

i

ψ

−

(

)

λ

⋅ 1 cos λ

−

(

)

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

+

=

Po podstawieniu otrzymuje się

dw

d

ξ













ξ 1

=

ϕ

k

L

⋅

=

dw

d

ξ













ξ 0

=

ϕ

i

L

⋅

=

w 1

( )

w

k

=

w 0

( )

w

i

=

Stałe całkowania C

1

do C

4

wyznacza się z warunków brzegowych

w

ξ

( )

C

1

C

2

λ

⋅ ξ

⋅

+

C

3

cos

λ ξ

⋅

( )

⋅

+

C

4

sin

λ ξ

⋅

( )

⋅

+

=

Całką ogólną tego równania jest funkcja

λ

S L

2

⋅

E I

⋅

=

ξ

x

L

=

w którym przez w oznaczono funkcję przemieszczeń
punktów osi pręta a przez

ξ oraz λ wielkości:

d

4

w

d

ξ

4

λ

2

d

2

w

d

ξ

2

⋅

+

0

=

L

EI

i

k

i

w

w

k

i

ϕ

k

ϕ

ψ

w

x

Rozważany jest pręt i-k o stałej sztywności EI na długości L. Pręt ściskany jest stałą siłą osiową S.
Podpory i oraz k pręta doznają przemieszeń w

i

,

ϕ

i

, w

k

,

ϕ

k

. Linia ugięcia pręta spełnia znane z

przedmiotu "wytrzymałość materiałów" równanie różniczkowe:

Założenia

Stateczność płaskich układów prętowych.

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 2

Wzory transformacyjne do obliczania sił krytycznych metodą przemieszczeń.

1. Pręt utwierdzony w przekrojach i oraz k:

M

ki

L

M

ik

T

ki

ik

T

i

k

i

w

w

k

i

ϕ

k

ϕ

EI

ψ

M

ik

E J

⋅

L

α λ

( )

ϕ

i

⋅

β λ

( )

ϕ

k

⋅

+

ϑ λ

( )

ψ

⋅

−

(

)

⋅

=

M

ki

E J

⋅

L

β λ

( )

ϕ

i

⋅

α λ

( )

ϕ

k

⋅

+

ϑ λ

( )

ψ

⋅

−

(

)

⋅

=

T

ik

T

ki

=

E J

⋅

L

2

−

ϑ λ

( )

ϕ

i

ϕ

k

+

(

)

⋅

δ λ

( )

ψ

⋅

−





⋅

=

2. Pręt utwierdzony w przekroju i oraz swobodnie podparty w przekroju k:

L

EI

M

ik

T

ki

ik

T

i

i

w

w

k

i

ϕ

ψ

k

M

ik

E J

⋅

L

α' λ

( )

⋅

ϕ

i

ψ

−

(

)

⋅

=

M

ki

0

=

T

ik

T

ki

=

E J

⋅

L

2

−

α' λ

( )

ϕ

i

⋅

δ' λ

( )

ψ

⋅

−

(

)

⋅

=

3. Pręt utwierdzony w przekroju i oraz teleskopowo podparty w przekroju k:

M

ki

L

EI

M

ik

T

ki

ik

T

i

i

ϕ

k

ϕ

k

M

ik

E J

⋅

L

α'' λ

( )

ϕ

i

⋅

β'' λ

( )

ϕ

k

⋅

+

(

)

⋅

=

M

ki

E J

⋅

L

β'' λ

( )

ϕ

i

⋅

α'' λ

( )

ϕ

k

⋅

+

(

)

⋅

=

T

ik

T

ki

=

0

=

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 3

a S jest w tym wypadku wartością siły rozciągającej.

λ



i

λ

⋅

=

S L

2

⋅

E I

⋅

=

gdzie

α''' λ



( )

λ



th

λ



( )

⋅

=

β'' λ



( )

λ



sh

λ



( )

−

=

α'' λ



( )

λ



cth

λ



( )

⋅

=

δ' λ



( )

λ



( )

3

ch

λ



( )

λ



ch

λ



( )

⋅

sh

λ



( )

−

⋅

=

α' λ



( )

λ



( )

2

sh

λ



( )

λ



ch

λ



( )

⋅

sh

λ



( )

−

⋅

=

δ λ



( )

λ



( )

3

sh

λ



( )

−

2 ch

λ



( )

1

−

(

)

⋅

λ



sh

λ



( )

⋅

−

⋅

=

ϑ λ



( )

λ



( )

2

1

ch

λ



( )

−

2 ch

λ



( )

1

−

(

)

⋅

λ



sh

λ



( )

⋅

−

⋅

=

β λ



( )

λ



λ



sh

λ



( )

−

2 ch

λ



( )

1

−

(

)

⋅

λ



sh

λ



( )

⋅

−

⋅

=

α λ



( )

λ



sh

λ



( )

λ



ch

λ



( )

⋅

−

2 ch

λ



( )

1

−

(

)

⋅

λ



sh

λ



( )

⋅

−

⋅

=

Podane wzory stosują się do ściskania. W przypadku rozciągania argument

λ staje się liczbą

urojoną. Funkcje o zespolonym argumencie można przedstawić w następującej postaci:

α''' λ

( )

λ

− tan λ

( )

⋅

=

β'' λ

( )

λ

sin

λ

( )

−

=

α'' λ

( )

λ cot λ

( )

⋅

=

δ' λ

( )

λ

3

cos

λ

( )

sin

λ

( )

λ cos λ

( )

⋅

−

⋅

=

α' λ

( )

λ

2

sin

λ

( )

sin

λ

( )

λ cos λ

( )

⋅

−

⋅

=

δ λ

( )

λ

3

sin

λ

( )

2 1

cos

λ

( )

−

(

)

⋅

λ sin λ

( )

⋅

−

⋅

=

ϑ λ

( )

λ

2

1

cos

λ

( )

−

2 1

cos

λ

( )

−

(

)

⋅

λ sin λ

( )

⋅

−

⋅

=

β λ

( )

λ

λ sin λ

( )

−

2 1

cos

λ

( )

−

(

)

⋅

λ sin λ

( )

⋅

−

⋅

=

α λ

( )

λ

sin

λ

( )

λ cos λ

( )

⋅

−

2 1

cos

λ

( )

−

(

)

⋅

λ sin λ

( )

⋅

−

⋅

=

W powyższych wzorach funkcje parametru

λ określone są zależnościami :

T

ik

T

ki

=

0

=

M

ki

0

=

M

ik

E J

⋅

L

α''' λ

( )

⋅

ϕ

i

⋅

=

L

EI

i

k

i

T

ik

ϕ

ik

M

4. Pręt utwierdzony w przekroju i oraz swobodny w przekroju k:

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 4

Wartości wszystkich powyższych funkcji podawane są w licznych podręcznikach. Obecnie bez
jakiegokolwiek problemu funkcje te można zadeklarować w dowolnym programie np. Mathcad,
i wyznaczyć ich wartości dla dowolnego parametru

λ. Celem naświetlenia pewnych własności ich

przebiegu w poniższych tablicach zestawiono wartości dla wybranych argumentów

λ. Należy

szczególnie zwrócić uwagę na wielkości odpowiadające

λ=0 (brak wpływu sił osiowych).

Tab.1 Element ściskany

λ

α(λ)

β(λ)

ϑ(λ)

δ(λ)

α'(λ)

δ'(λ)

α''(λ)

β''(λ)

α'''(λ)

0,00

4,0000

2,0000

6,0000

12,0000

3,0000

3,0000

1,0000

-1,0000

0,0000

0,25

3,9917

2,0021

5,9937

11,9250

2,9875

2,9250

0,9791

-1,0105

-0,0638

0,50

3,9666

2,0084

5,9750

11,6999

2,9496

2,6996

0,9152

-1,0429

-0,2732

0,75

3,9244

2,0191

5,9435

11,3245

2,8856

2,3231

0,8051

-1,1003

-0,6987

1,00

3,8649

2,0344

5,8993

10,7986

2,7940

1,7940

0,6421

-1,1884

-1,5574

1,25

3,7873

2,0547

5,8420

10,1215

2,6725

1,1100

0,4153

-1,3172

-3,7620

1,50

3,6907

2,0806

5,7713

9,2926

2,5178

0,2678

0,1064

-1,5038

-21,1521

1,75

3,5741

2,1127

5,6868

8,3111

2,3253

-0,7372

-0,3170

-1,7785

9,6607

2,00

3,4361

2,1519

5,5880

7,1761

2,0884

-1,9116

-0,9153

-2,1995

4,3701

2,25

3,2748

2,1996

5,4743

5,8862

1,7974

-3,2651

-1,8165

-2,8918

2,7869

2,50

3,0878

2,2572

5,3450

4,4400

1,4379

-4,8121

-3,3466

-4,1773

1,8676

2,75

2,8723

2,3268

5,1991

2,8357

0,9873

-6,5752

-6,6599

-7,2053

1,1355

3,00

2,6242

2,4115

5,0357

1,0713

0,4082

-8,5918

-21,0458

-21,2585

0,4276

3,25

2,3385

2,5148

4,8533

-0,8558

-0,3660

-10,9285

29,8620

30,0383

-0,3537

3,50

2,0083

2,6424

4,6507

-2,9486

-1,4682

-13,7182

9,3437

9,9777

-1,3110

3,75

1,6243

2,8016

4,4259

-5,2107

-3,2079

-17,2704

5,3837

6,5610

-2,6121

4,00

1,1731

3,0037

4,1769

-7,6463

-6,5179

-22,5179

3,4548

5,2854

-4,6313

4,25

0,6353

3,2656

3,9009

-10,2607

-16,1515

-34,2140

2,1183

4,7487

-8,5268

4,50

-0,0191

3,6140

3,5949

-13,0603

683,7877

663,5377

0,9704

4,6034

-20,8680

4,75

-0,8387

4,0934

3,2548

-16,0529

19,1413

-3,4212

-0,1787

4,7534

126,2332

5,00

-1,9087

4,7845

2,8758

-19,2484

10,0844

-14,9156

-1,4791

5,2142

16,9026

Tab.2 Element rozciągany

λ

α(λ)

β(λ)

ϑ(λ)

δ(λ)

α'(λ)

δ'(λ)

α''(λ)

β''(λ)

α'''(λ)

0,00

4,0000

2,0000

6,0000

12,0000

3,0000

3,0000

1,0000

-1,0000

0,0000

0,25

4,0083

1,9979

6,0062

12,0750

3,0125

3,0750

1,0207

-0,9897

0,0612

0,50

4,0332

1,9917

6,0250

12,2999

3,0496

3,2996

1,0820

-0,9595

0,2311

0,75

4,0745

1,9816

6,0560

12,6746

3,1107

3,6732

1,1808

-0,9121

0,4764

1,00

4,1316

1,9677

6,0993

13,1986

3,1945

4,1945

1,3130

-0,8509

0,7616

1,25

4,2042

1,9503

6,1545

13,8716

3,2995

4,8620

1,4736

-0,7803

1,0604

1,50

4,2916

1,9299

6,2215

14,6929

3,4237

5,6737

1,6572

-0,7045

1,3577

1,75

4,3929

1,9068

6,2998

15,6620

3,5653

6,6278

1,8590

-0,6271

1,6474

2,00

4,5076

1,8815

6,3891

16,7781

3,7222

7,7222

2,0746

-0,5514

1,9281

2,25

4,6345

1,8544

6,4889

18,0403

3,8926

8,9551

2,3006

-0,4796

2,2006

2,50

4,7730

1,8259

6,5989

19,4478

4,0745

10,3245

2,5339

-0,4132

2,4665

2,75

4,9221

1,7965

6,7185

20,9996

4,2664

11,8289

2,7726

-0,3530

2,7276

3,00

5,0809

1,7665

6,8474

22,6947

4,4667

13,4667

3,0149

-0,2995

2,9852

3,25

5,2485

1,7363

6,9849

24,5322

4,6741

15,2366

3,2598

-0,2524

3,2402

3,50

5,4242

1,7063

7,1305

26,5111

4,8875

17,1375

3,5064

-0,2116

3,4936

3,75

5,6073

1,6766

7,2839

28,6303

5,1059

19,1684

3,7542

-0,1765

3,7459

4,00

5,7968

1,6476

7,4444

30,8889

5,3286

21,3286

4,0027

-0,1466

3,9973

4,25

5,9923

1,6193

7,6117

33,2858

5,5547

23,6172

4,2517

-0,1213

4,2483

4,50

6,1931

1,5920

7,7852

35,8203

5,7839

26,0339

4,5011

-0,1000

4,4989

4,75

6,3987

1,5658

7,9644

38,4914

6,0155

28,5780

4,7507

-0,0822

4,7493

5,00

6,6085

1,5406

8,1491

41,2981

6,2493

31,2493

5,0005

-0,0674

4,9995

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 5

Przykład 1

Obliczyć wartość podstawowej siły krytycznej dla ramy nieprzesuwnej przedstawionej na rysunku nr 1.

EI=const

L

L

1

5

2

4

3

P

3P

2

L

Rys. 1 Schemat statyczny ramy nieprzesuwnej i numeracja węzłów

Rama jest układem dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalnym. Niewiadomymi są obroty węzłów
2 oraz 4. Warunki równowagi (rys.2) sprowadzają się więc do sum momentów w węzłach 2 i 4 tj.:

ΣM

2

M

24

M

21

+

=

0

=

ΣM

4

M

42

M

45

+

M

43

+

=

0

=

Warunki brzegowe

ϕ

1

0

=

ϕ

3

0

=

ψ 0

=

4

5

2

1

3

M

45

M

M

24

42

M

43

M

21

Rys. 2 Warunki równowagi w węzłach 2 oraz 4

Zgodnie z zasady metody przemieszczeń momenty przywęzłowe należy wyrazić za pomocą
wzorów transformacyjnych. Ponieważ rama jest nieprzesuwna dla wszystkich prętów kąt
obrotu cięciwy

ψ jest równy zeru. Prętami ściskanymi w rozważanej ramie są pręty 2-1 oraz

4-3 i dla nich należy wyznaczyć argumenty związane z dużymi siłami osiowymi:

λ

21

S

21

L

21

2

⋅

E I

⋅

=

P 4

⋅ L

2

⋅

E I

⋅

=

2

λ

=

λ

43

S

43

L

43

2

⋅

E I

⋅

=

3 P

⋅ 4

⋅ L

2

⋅

E I

⋅

=

3 2

⋅ λ

⋅

=

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 6

Równanie to jest przestępne, tzn. posiada nieskończenie wiele pierwiastków. Aby wyznaczyć
wartość podstawowej (najniższej) siły krytycznej należy znaleźć najmniejszą wartość parametru

λ spełniającego otzrymane równanie. Rozwiązania zamknięte takich równań z reguły nie istnieją.

14

α 2λ

( )

⋅

α 2λ

( )

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

⋅

+

96

+

8

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

⋅

+

0

=

Po uporządkowaniu przyjmuje ono postać

α 2λ

( )

8

+

(

)

14

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

+

(

)

⋅

16

−

0

=

Należy zwrócić uwagę, iż jest to układ równań jednorodnych ze względu na niewiadome

ϕ

2

i

ϕ

4

(tj . kolumna wyrazów wolnych równa zeru). W zagadnieniach stateczności układów złożonych
z prętów idealnych, krytyczną wartość obciążenia (parametru

λ) znajdujemy z warunku istnienia

niezerowego rozwiązania jednorodnych równań równowagi. Rozwiązanie takie jest możliwe
tylko wówczas, gdy wyznacznik główny układu się zeruje. W rozpatrywanym zadaniu warunek
ten prowadzi do równania przestępnego

ϕ

2

4

⋅

ϕ

4

14

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

+

(

)

⋅

+

0

=

ϕ

2

α 2λ

( )

8

+

(

)

⋅

ϕ

4

4

⋅

+

0

=

Ostatecznie ten układ równań można zapisać następująco

ϕ

2

2

⋅

E I

⋅

L

⋅

ϕ

4

4

3

+

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

2

+













⋅

E I

⋅

L

⋅

+

0

=

ϕ

2

α 2λ

( )

2

4

+













⋅

E I

⋅

L

⋅

ϕ

4

2

⋅

E I

⋅

L

⋅

+

0

=

Podstawiając powyższe zależności do równań równowagi węzłów i porządkując otrzymujemy

M

43

E I

⋅

2 L

⋅

α λ

43

( )

⋅

ϕ

4

⋅

=

E I

⋅

2 L

⋅

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

⋅

ϕ

4

⋅

=

M

45

E I

⋅

L

α' 0

( )

⋅

ϕ

4

⋅

=

E I

⋅

L

3

⋅ ϕ

4

⋅

=

M

42

E I

⋅

L

α 0

( )

ϕ

4

⋅

β 0

( )

ϕ

2

⋅

+

(

)

⋅

=

E I

⋅

L

4

ϕ

4

⋅

2

ϕ

2

⋅

+

(

)

⋅

=

M

24

E I

⋅

L

α 0

( )

ϕ

2

⋅

β 0

( )

ϕ

4

⋅

+

(

)

⋅

=

E I

⋅

L

4

ϕ

2

⋅

2

ϕ

4

⋅

+

(

)

⋅

=

M

21

E I

⋅

2L

α λ

21

( )

⋅

ϕ

2

⋅

=

E I

⋅

2 L

⋅

α 2λ

( )

⋅

ϕ

2

⋅

=

Dla ułatwienia sprowadzono obie wielkości do jednego proporcjonalnego parametru

λ.

Ostatecznie momenty węzłowe wyrażają się wzorami (niewiadome

ϕ

2

i

ϕ

4

):

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 7

rozpiętość teoretyczną pręta i

L

i

współczynnik długości wyboczeniowej pręta i

µ

i

gdzie

P

E

i

π

2

E

⋅ I⋅

µ

i

L

i

⋅

( )

2

=

S

i

=

λ

i

2

E

⋅ I⋅

L

i

2

=

Uzyskaną wartość można porównać z uogólnioną siłą krytyczną Eulera

P

P

kr

=

λ

2

E

⋅ I⋅

L

2

=

1.6865

2

E

⋅ I⋅

L

2

=

2.844 E

⋅ I⋅

L

2

=

stąd

λ

λ

21

2

=

P L

2

⋅

E I

⋅

=

Znalezienie parametru

λ pozwala wyznaczyć obciążenie krytyczne ramy (powodujące jej

wyboczenie). Zgodnie z zależnością określoną w zadaniu:

Rys.3 Wykres funkcji opisującej równanie przestępne wyboczenia

0

1

2

3

1000

500

500

1000

1500

Rozwiązanie można znaleźć również na podstawie wykresu badanej funkcji

14 2.182

⋅

2.182

12.425

−

(

)

⋅

+

96

+

8

12.425

−

(

)

⋅

+

0.037

=

Otrzymujemy wartość rzeczywiście bliską zeru

α 3 2

⋅ 1.6865

⋅

(

)

12.425

−

=

α 2 1.6865

⋅

(

)

2.182

=

Sprawdzając dla

λ 1.6865

=

λ

root

14

α 2λ

( )

⋅

α 2λ

( )

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

⋅

+

96

+

8

α 3 2

⋅ λ

⋅

(

)

⋅

+

(

)

λ

, 0.1

,

1.8

,





=

Wartość parametru

λ można określić drogą prób korzystając z tablic funkcji lub numerycznie

posiłkując się dowolnym programem matematycznym. Wykorzystując algorytm programu
Mathcad znajdujemy przy pomocy funkcji root (pierwiastek równania w przedziale

λ=0÷ 5)

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 8

Dzięki temu można określić współczynnik długości wyboczeniowej dowolnego pręta ramy, czyli

λ

2

π

2

µ

2

=

skąd

µ

π
λ

=

W analizowanym zadaniu otrzymujemy

λ

21

2 1.6865

⋅

=

3.373

=

µ

21

π

λ

21

=

π

3.373

=

0.931

=

λ

43

3 2

⋅ 1.6865

⋅

=

5.842

=

µ

43

π

λ

43

=

π

5.842

=

0.538

=

µ

=

0.

5

µ

=

0.

7

3

4

3

4

3

4

µ

=

0.

53

8

Rys.4 Wpływ zamocowania pręta 4-3 na współczynnik długości wyboczeniowej

Rozpatrując rysunek 4 można zauważyć iż długość wyboczeniowa pręta 4-3, zamocowanego
sprężyście w ramie za pośrednictwem innych prętów musi zawierać się między granicznymi
wielkościami dla idealnych warunków podparcia. Należy również zauważyć, że warunek ten
nie będzie spełniony jednak dla pręta 2-1. Wynika to z dodatkowego wpływu na jego
wyboczenie obciążenia osiowego występującego w pręcie 4-3. Znaczne obciążenie pręta 4-3
obniża wartość siły krytycznej w pręcie 2-1 i tym samym otrzymujemy zwiększoną wartość
współczynnika wyboczeniowego.

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 9

Przykład 2

Obliczyć wartości dwóch pierwszych sił krytycznych dla ramy przesuwnej przedstawionej na rysunku
nr 5 oraz zilustrować graficznie odpowiadające im postacie utraty stateczności.

2

4

P

2EI

L

L

1

3

5

E

I

1

.5

E

I

E

I

L

2P

Rys. 5 Schemat statyczny ramy i numeracja węzłów

Rama jest układem dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalnym. Niewiadomymi są obrót węzła 4
oraz jego przemieszczenie poziome (równe co do wartości przemieszczeniu węzła 2). Warunki
równowagi (rys.6) wyrażają sumę momentów w węźle 4 oraz zerowanie się sił rzutowanych na
kierunek przesuwu tj.:

ΣM

4

M

42

M

45

+

M

43

+

=

0

=

(a)

ΣX T

21

T

43

+

T

45

−

=

0

=

M

2

1

3

4

5

45

M

42

M

43

21

T

T

43

T

45

∆

∆

ψ

21

ψ

45

43

ψ

Rys. 6 Warunki równowagi ramy i schemat przesuwu

Warunki brzegowe

ϕ

1

0

=

ϕ

3

0

=

ϕ

5

0

=

ψ

21

ψ

43

=

ψ

45

−

=

ψ

=

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 10

ϕ

4

ϑ λ



( )

ϑ λ

( )

−

(

)

⋅

ψ 1.5 δ'

2

3

λ

⋅













⋅

δ λ

( )

+

δ λ



( )

+













⋅

+

0

=

(d)

ϕ

4

6

α λ



( )

+

α λ

( )

+

(

)

⋅

ψ ϑ λ



( )

ϑ λ

( )

−

(

)

⋅

+

0

=

Po podstawieniu powyższych do równań równowagi i uporządkowaniu otrzymujemy układ

T

45

E I

⋅

L

2

−

ϑ λ

45

( )

ϕ

4

⋅

δ λ

45

( )

ψ

−

( )

⋅

−





⋅

=

E I

⋅

L

2

−

ϑ λ



( )

ϕ

4

⋅

δ λ



( )

ψ

⋅

+

(

)

⋅

=

T

43

E I

⋅

L

2

−

ϑ λ

43

( )

ϕ

4

⋅

δ λ

43

( )

ψ

⋅

−

(

)

⋅

=

E I

⋅

L

2

−

ϑ λ

( )

ϕ

4

⋅

δ λ

( )

ψ

⋅

−

(

)

⋅

=

T

21

E 1.5

⋅ I

L

2

−

δ' λ

21

( )

−

ψ

⋅

(

)

⋅

=

E 1.5

⋅

I

⋅

L

2

δ'

2

3

λ

⋅













⋅

ψ

⋅

=

(c)

M

43

E I

⋅

L

α λ

43

( )

ϕ

4

⋅

ϑ λ

43

( )

ψ

⋅

−

(

)

⋅

=

E I

⋅

L

α λ

( )

ϕ

4

⋅

ϑ λ

( )

ψ

⋅

−

(

)

⋅

=

M

45

E I

⋅

L

α λ

45

( )

ϕ

4

⋅

ϑ λ

45

( )

ψ

−

( )

⋅

−





⋅

=

E I

⋅

L

α λ



( )

ϕ

4

⋅

ϑ λ



( )

ψ

⋅

+

(

)

⋅

=

M

42

E 2

⋅ I

L

α' 0

( )

ϕ

4

⋅

(

)

⋅

=

E 2

⋅ I

L

3

ϕ

4

⋅

( )

⋅

=

6 E

⋅ I⋅

L

ϕ

4

⋅

=

Siły węzłowe można wówczas zapisać wzorami:

λ

45



S

45

L

45

2

⋅

E I

45

⋅

=

P

− L

2

⋅

E I

⋅

=

i

λ

⋅

=

λ



=

λ

43

S

43

L

43

2

⋅

E I

43

⋅

=

P L

2

⋅

E I

⋅

=

λ

=

(b)

λ

21

S

21

L

21

2

⋅

E I

21

⋅

=

P L

2

⋅

E 1.5

⋅

I

⋅

=

2

3

λ

=

W celu rozpisania wzorów transformacyjnych dla sił przywęzłowych z uwzględnieniem dużych
sił osiowych niezbędna jest znajomość ich rozkładu w ramie. Konieczne byłoby więc tradycyjne
rozwiązanie układu statycznego i wstępne określenie wartości sił normalnych w prętach. Można
jednak zauważyć, iż obciążenie ramy wywoła znikome siły osiowe w ryglu 2-4 i przyjąć S

24

=0.

Ponadto obciążenie w węźle 4, z uwagi na jednakową sztywność podłużną prętów 4-5 i 4-3
oraz pomijalną wartość siły poprzecznej w pręcie 2-4 rozłoży się po połowie na słupy 4-5 i 4-3.
Ostatecznie w słupach 2-1 i 4-3 można będzie założyć występowanie ściskających sił osiowych
o wartości P a w słupie 4-5 przyjąć działanie sił rozciągających również o wartości P.
Argumenty zależne od sił osiowych przyjmują postać:

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 11

P

kr.2

λ

2

2

E

⋅ I⋅

L

2

=

5.777

2

E

⋅ I⋅

L

2

=

33.374 E

⋅ I⋅

L

2

=

(f)

P

kr.1

λ

1

2

E

⋅ I⋅

L

2

=

4.358

2

E

⋅ I⋅

L

2

=

18.992 E

⋅ I⋅

L

2

=

Odpowiadające kolejnym pierwiastkom siły krytyczne wynoszą

P

kr

λ

2

E

⋅ I⋅

L

2

=

stąd

λ λ

43

=

P L

2

⋅

E I

⋅

=

Znalezione parametry

λ pozwalają wyznaczyć obciążenia krytyczne ramy (powodujące jej

wyboczenie):

λ

2

5.777

=

λ

1

4.358

=

Dwa pierwsze pierwiastki równania (wyznaczone przy pomocy programu MathCad) wynoszą:

Rys.7 Wykres funkcji opisującej równanie przestępne wyboczenia

0

2

4

6

8

400

200

200

400

Wykres funkcji występującej po lewej stronie tej równości przedstawia rys. 7.

(e)

6

α λ



( )

+

α λ

( )

+

(

)

1.5

δ'

2

3

λ

⋅













⋅

δ λ

( )

+

δ λ



( )

+













⋅

ϑ λ



( )

ϑ λ

( )

−

(

)

2

−

0

=

Niezerowe rozwiązanie tego układu jest możliwe tylko wówczas, gdy spełnione będzie równanie

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 12

ϕ

4

ψ













2.643

−

1













=

Natomiast w drugim przyjmując

ψ=1 uzyskamy wektor odpowiadający drugiej postaci

ϕ

4

ψ













1

3.185

−













=

Zakładając w pierwszym przypadku

ϕ

4

=1 uzyskamy wektor odpowiadający pierwszej postaci

ϕ

4

ψ

ϑ λ

2



( )

ϑ λ

2

( )

−

6

α λ

2



( )

+

α λ

2

( )

+

−

=

8.753

1.371

−

6

7.283

+

10.49

−

−

=

2.643

−

=

λ

2

5.777

=

dla

ϕ

4

ψ

ϑ λ

1



( )

ϑ λ

1

( )

−

6

α λ

1



( )

+

α λ

1

( )

+

−

=

7.686

3.773

−

6

6.078

+

0.37

+

−

=

0.314

−

=

λ

1

4.358

=

dla

Obliczając kolejno

ϕ

4

dla poszczególnych pierwiastków otrzymamy

ϕ

4

ψ

ϑ λ



( )

ϑ λ

( )

−

6

α λ



( )

+

α λ

( )

+

−

=

Każdej wartości własnej (oraz stowarzyszonej z nią sile krytycznej) odpowiada inna postać
zdeformowanej ramy. Ponieważ układ równań równowagi ramy (d) nie zawiera wyrazów wolnych
(jest to jednorodny układ równań) nie można go rozwiązać jednoznacznie. Można jednak przyjąć
jedną z niewiadomych jako znaną i wyznaczyć drugą względem niej. Otrzymane rozwiązanie
podaje wówczas tylko proporcje między poszczególnymi niewiadomymi. W tym przypadku
zawsze będziemy mieli nawet o jedno równanie za dużo. Można pominąć dowolne z nich, byle
tylko (w ogólnym przypadku gdy niewiadomych będzie więcej) pozostały układ nie był osobliwy.
W rozpatrywanym zadaniu wykorzystamy pierwsze z równań (d) i obliczymy:

µ

43

π

λ

43

=

π

5.777

=

0.544

=

(h)

µ

21

π

λ

21

=

π

2

3

5.777

⋅

=

0.666

=

- dla drugiej siły krytycznej

µ

43

π

λ

43

=

π

4.358

=

0.721

=

(g)

µ

21

π

λ

21

=

π

2

3

4.358

⋅

=

0.883

=

- dla pierwszej siły krytycznej

Długości wyboczeniowe prętów ściskanych (słupy 2-1 i 4-3)

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 13

Mając wyznaczone wektory własne można naszkicować postacie wyboczenia odpowiadające
poszczególnym wartościom własnym. Elementy wektorów własnych określają jednak tylko te
przemieszczenia węzłów, które uwzględniono w równaniach równowagi ramy (odpowiednio
do stopnia geometrycznej niewyznaczalności układu). Rozkład deformacji dla całego ustroju
można określić w przybliżeniu po uwzględnieniu warunków brzegowych oraz warunków
zgodności odkształceń. Dwie pierwsze postacie wyboczeniowe analizowanej ramy pokazano
na rysunku 8.

P

kr.1

18.992 E

⋅ I⋅

L

2

=

P

kr.2

33.374 E

⋅ I⋅

L

2

=

Rys. 8 Postacie własne ramy

Kształt deformacji osi poszczególnych prętów można również wyznaczyć w sposób ścisły,
posiłkując się ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego problemu. Należy przy tym
określić odpowiednie stałe, z warunków na końcach pręta. Przykładowo dla pręta 4-3

C

1

w

4

L
λ

ϕ

4

ϕ

3

−

(

)

λ sin λ

−

(

)

⋅

ϕ

4

ψ

43

−

(

)

λ

⋅ 1 cos λ

−

(

)

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

+

=

C

2

L
λ

ϕ

4

ϕ

3

+

(

)

1

cos

λ

−

(

)

⋅

ψ

43

λ

⋅ sin λ

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

=

C

3

L
λ

−

ϕ

4

ϕ

3

−

(

)

λ sin λ

−

(

)

⋅

ϕ

4

ψ

43

−

(

)

λ

⋅ 1 cos λ

−

(

)

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

=

C

4

L
λ

ϕ

4

⋅

L
λ

ϕ

4

ϕ

3

+

(

)

1

cos

λ

−

(

)

⋅

ψ

43

λ

⋅ sin λ

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

−

=

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha

Mechanika budowli

______________________________________________________________________________________________ 14

Rys.9 Wykres deformacji pręta 4-3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

3

2

1

1

w

ξ

( )

ξ

Wykres tej funkcji przedstawia rysunek 9

w

ξ

( )

1.789

−

0.1401 5.777

⋅

ξ

⋅

+

0.789 cos 5.777

ξ

⋅

(

)

⋅

+

0.5976 sin 5.777

ξ

⋅

(

)

⋅

−

(

)

L

⋅

=

Mając te stałe można już zapisać postać funkcji przemieszczeń

C

4

L

5.777

2.643

−

(

)

⋅

L

5.777

2.643

−

1

cos 5.777

−

(

)

⋅

1 5.777

⋅

sin 5.777

⋅

−

2 1

cos 5.777

−

(

)

⋅

5.777 sin 5.777

⋅

−

⋅

−

=

0.5976L

=

C

3

L

5.777

−

2.643

−

5.777

sin 5.777

−

(

)

⋅

2.643

−

1

−

(

) 5.777

⋅

1

cos 5.777

−

(

)

⋅

−

2 1

cos 5.777

−

(

)

⋅

5.777 sin 5.777

⋅

−

⋅

=

0.789L

=

C

2

L

5.777

2.643

−

1

cos 5.777

−

(

)

⋅

1 5.777

⋅

sin 5.777

⋅

−

2 1

cos 5.777

−

(

)

⋅

5.777 sin 5.777

⋅

−

⋅

=

0.1401 L

⋅

=

C

1

1

− L

⋅

L

5.777

2.643

−

5.777

sin 5.777

−

(

)

⋅

2.643

−

1

−

(

) 5.777

⋅

1

cos 5.777

−

(

)

⋅

−

2 1

cos 5.777

−

(

)

⋅

5.777 sin 5.777

⋅

−

⋅

+

=

1.789

−

L

=

ψ 1

=

ϕ

4

2.643

−

=

λ 5.777

=

Rozpatrując teraz przykładowo drugą postać wyboczenia podstawimy do powyższych wielkości

C

4

L
λ

ϕ

4

⋅

L
λ

ϕ

4

1

cos

λ

−

(

)

⋅

ψ λ

⋅ sin λ

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

−

=

C

3

L
λ

−

ϕ

4

λ sin λ

−

(

)

⋅

ϕ

4

ψ

−

(

)

λ

⋅ 1 cos λ

−

(

)

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

=

C

2

L
λ

ϕ

4

1

cos

λ

−

(

)

⋅

ψ λ

⋅ sin λ

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

=

C

1

ψ

− L

⋅

L
λ

ϕ

4

λ sin λ

−

(

)

⋅

ϕ

4

ψ

−

(

)

λ

⋅ 1 cos λ

−

(

)

⋅

−

2 1

cos

λ

−

(

)

⋅

λ sin λ

⋅

−

⋅

+

=

otrzymamy

w

4

ψ

− L

⋅

=

oraz

ψ

43

ψ

=

ϕ

3

0

=

Pamiętając, że

2005-02-27

______________________________________________________________________________________________

Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej

Dr inż.S.Labocha