Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Zakładamy, że

,

są niezależnymi zmiennymi losowymi o

rozkładach normalnych, przy czym

10

2

1

,

,

,

X

X

X

K

15

12

11

,

,

,

X

X

X

K

1

μ

=

i

EX

i

dla

oraz

2

σ

=

i

VarX

,

10

,

,

2

,

1 K

=

i

2

μ

=

i

EX

i

dla

. Parametry

2

3

σ

=

i

VarX

15

,

,

12

,

11

K

=

i

2

1

,

μ

μ

i

σ są nieznane.

Niech

∑

=

=

10

1

1

10

1

i

i

X

X

,

∑

=

=

15

11

2

5

1

i

i

X

X

,

∑

=

=

15

1

15

1

i

i

X

X

.

Dobrać stałe a i b tak, aby statystyka

(

) (

)

2

15

1

2

1

2

2

ˆ

∑

=

−

+

−

=

i

i

X

X

b

X

X

a

σ

była estymatorem nieobciążonym parametru

.

2

σ

(A)

63

10

,

21

1

−

=

=

b

a

(B)

15

2

,

25

1

=

=

b

a

(C)

117

5

,

13

1

−

=

=

b

a

(D)

189

5

,

21

1

−

=

=

b

a

(E)

45

1

,

25

1

−

=

=

b

a

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Zakładamy, że zależność czynnika Y od czynnika x (nielosowego) opisuje model
regresji liniowej

i

i

i

x

Y

ε

β

β

+

+

=

1

0

. Obserwujemy 10 elementową próbkę, w której

1

5

2

1

=

=

=

=

x

x

x

K

i

4

10

7

6

=

=

=

=

x

x

x

K

. Zmienne losowe

są

niezależne i błędy mają rozkłady normalne o wartości oczekiwanej 0, przy czym

10

2

1

,

,

,

Y

Y

Y

K

1

=

i

Var

ε

, gdy

, i

5

,

,

2

,

1 K

=

i

9

=

i

Var

ε

, gdy

10

,

,

7

,

6 K

=

i

. Weryfikujemy hipotezę

0

:

0

0

=

β

H

przy alternatywie

0

:

0

1

≠

β

H

testem na poziomie istotności 0,05 o

obszarze krytycznym postaci

{

}

c

K

>

−

=

0

0

ˆ

β

β

,

gdzie

jest estymatorem parametru

0

ˆ

β

0

β

otrzymanym wykorzystując ważoną metodę

najmniejszych kwadratów, to znaczy minimalizując po

0

β

i

1

β

sumę

∑

=

−

−

10

1

2

1

0

)

(

i

i

i

i

Var

x

Y

ε

β

β

.

Stała c jest równa

(A)

c=0,55

(B)

c=0,65

(C)

c=1,09

(D)

c=1,46

(E)

c=2,63

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Niech będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

)

,

(

Y

X

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∈

≥

=

przypadku.

przeciwnym

w

0

]

2

;

1

[

i

1

gdy

2

)

,

(

3

y

x

x

y

x

f

Niech

i

. Wtedy

Y

X

S

+

=

Y

X

V

−

=

)

4

|

1

(

=

< S

V

P

jest równe

(A)

25

9

(B)

2

1

(C)

125

81

(D)

125

44

(E)

25

19

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Dysponujemy 5 identycznymi urnami. Każda z nich zawiera 4 kule. Liczba kul
białych w

tej urnie jest równa

−

i

1

−

i

, gdzie

,

5

,...,

2

,

1

=

i

pozostałe kule są czarne.

Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, że otrzymana
kula jest biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny
(bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę białą.

(A)

10

3

(B)

5

2

(C)

5

3

(D)

3

2

(E)

2

1

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Obserwujemy niezależne zmienne losowe

Zmienne

losowe

mają ten sam rozkład o dystrybuancie

, a zmienne losowe

mają ten sam rozkład o dystrybuancie

. Dystrybuanta

spełnia

warunek

5

4

3

2

1

4

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,

,

Y

Y

Y

Y

Y

X

X

X

X

.

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

1

μ

F

5

4

3

2

1

,

,

,

,

Y

Y

Y

Y

Y

2

μ

F

μ

F

)

(

)

(

μ

μ

−

=

x

F

x

F

dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F.
Weryfikujemy hipotezę

2

1

0

:

μ

μ

=

H

przy alternatywie

2

1

1

:

μ

μ

<

H

stosując test o

obszarze krytycznym

}

16

:

{

<

=

S

S

K

,

gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych

w próbce złożonej ze

wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznaczyć rozmiar testu.

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

(A)

126

18

(B)

126

17

(C)

126

16

(D)

126

19

(E)

126

15

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Załóżmy, że

są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie jednostajnym na przedziale [0; 1], zaś

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

N jest zmienną losową o rozkładzie

geometrycznym,

(

)

k

p

p

k

N

P

)

1

(

−

=

=

gdy

K

,

2

,

1

,

0

=

k

,

niezależną od zmiennych losowych

. Liczba

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

)

1

,

0

(

∈

p

jest ustalona.

Niech

⎩

⎨

⎧

=

>

=

⎩

⎨

⎧

=

>

=

.

0

gdy

0

0

gdy

}

,

,

,

max{

,

0

gdy

0

0

gdy

}

,

,

,

min{

2

1

2

1

N

N

X

X

X

Z

N

N

X

X

X

Y

N

N

N

N

K

K

Obliczyć

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

>

−

2

1

N

N

Y

Z

P

.

(A)

p

p

p

+

−

−

1

)

1

(

2

1

(B)

2

)

1

(

4

1

p

p

+

−

(C)

p

p

+

−

1

2

1

(D)

2

)

1

(

2

1

p

p

+

−

(E)

2

2

)

1

(

4

1

p

p

+

−

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Załóżmy, że

są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1, zaś

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

N jest zmienną losową o

rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej

3

, niezależną od zmiennych losowych

. Niech

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

.

0

gdy

0

0

gdy

2

1

⎩

⎨

⎧

=

>

+

+

+

=

N

N

X

X

X

S

N

N

K

Współczynnik spłaszczenia

3

)

(

)

(

2

4

−

−

=

N

N

N

VarS

ES

S

E

κ

zmiennej

jest równy

N

S

(A) -1

(B)

3

2

(C) 4

(D) 2

(E) 1

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Cyfry 1, 2, 3, …, 9 ustawiamy losowo na miejscach o numerach 1, 2, 3, …, 9. Niech
X będzie zmienną losową równą liczbie cyfr stojących na miejscach o numerach
równych cyfrom. Wariancja zmiennej X jest równa

(A)

18

16

(B) 1

(C)

18

17

(D)

18

20

(E)

18

9

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Niech

będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto

a

będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto

, gdzie

są

nieznanymi parametrami. Wszystkie zmienne są niezależne. Na poziomie ufności

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

)

,

1

(

1

a

m

Y

Y

Y

,

,

,

2

1

K

)

,

1

(

2

a

0

,

2

1

>

a

a

α

−

1

budujemy przedział ufności dla parametru

]

,

[

cT

dT

2

1

a

a

na podstawie estymatora

największej wiarogodności T tegoż parametru w ten sposób, że

2

)

(

)

(

2

1

,

2

1

,

2

1

2

1

α

=

>

=

<

a

a

dT

P

a

a

cT

P

a

a

a

a

.

Jeśli 1

,

0

=

α

i m=4 i n=5, to przedział ufności ma długość

(A) 4,42T

(B) 2,77T

(C) 6,06T

(D) 5,03T

(E) 3,02T

Uwaga:

Rozkład Pareto

)

,

(

θ

λ

jest rozkładem o gęstości

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

+

=

+

0

gdy

0

0

gdy

)

(

)

(

1

x

x

x

x

f

θ

θ

λ

θ

λ

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym

rozkładzie geometrycznym postaci

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

(

)

k

p

p

k

X

P

)

1

(

−

=

=

gdy

K

,

2

,

1

,

0

=

k

,

gdzie jest nieznanym parametrem. Hipotezę

)

1

,

0

(

∈

p

2

1

:

0

=

p

H

przy alternatywie

2

1

:

1

>

p

H

weryfikujemy testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności

0,1875. Moc tego testu przy alternatywie

5

4

=

p

jest równa

(A) 0,66667

(B) 0,49152

(C) 0,50000

(D) 0,99840

(E) 0,73728

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

4.04.2011 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : .......................K L U C Z O D P O W I E D Z I...............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 A

2 D

3 C

4 D

5 A

6 B

7 D

8 B

9 E

10 E

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11