Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech
będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
)
,
(
Y
X
( )
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
∈
+
=
przypadku.
przeciwnym
w
0
1
,
0
i
1
,
0
gdy
3
4
2
)
,
(
2
y
x
xy
x
y
x
f
Niech
i
Y
X
S
+
=
X
Y
V
−
=
. Wyznacz
(
)
1
|
=
S
V
E
.
(A)
0
(B)
8
3
(C)
8
3
−
(D)
7
2
(E)
7
2
−
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Załóżmy, że
,
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie wykładniczym. Niech
. Oblicz
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
2
>
n
∑
=
=
n
i
i
X
S
1
).
2
/
2
/
2
/
Pr(
2
1
S
X
S
X
S
X
p
n
≤
∧
∧
≤
∧
≤
=
K
(A)
n
n
p
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−1
2
1
1
(B)
0
=
p
(C)
n
n
p
2
2
1 −
=
(D)
1
2
1
−
−
=
n
n
p
(E)
n
n
p
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
2
1
1
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją
X z rozkładu normalnego
(
)
2
,
σ
μ
N
. Rozważmy zadanie testowania hipotezy
1
0
:
2
0
=
=
σ
μ
i
H
przeciw alternatywie
.
4
1
:
2
1
=
−
=
σ
μ
i
H
Najmocniejszy test na poziomie istotności
α jest postaci
Odrzuć
, gdy
0
H
)
,
2
(
b
X
−
∉
.
Podaj poziom istotności
α .
(A) 045
,
0
=
α
(B) 027
,
0
=
α
(C) 023
,
0
=
α
(D) 033
,
0
=
α
(E) 114
,
0
=
α
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych,
przy tym
,
0
]
[
]
=
X
[
=
Y
E
E
3
]
[
=
X
Var
i
1
]
[
=
Y
Var
.
Oblicz
.
]
|
|
|
|
Pr[
Y
X
<
(A)
= 0.3333
]
|
|
|
|
Pr[
Y
X
<
(B)
= 0.7500
]
|
|
|
|
Pr[
Y
X
<
(C)
= 0.5000
]
|
|
|
|
Pr[
Y
X
<
(D)
= 0.6667
]
|
|
|
|
Pr[
Y
X
<
(E)
= 0.8333
]
|
|
|
|
Pr[
Y
X
<
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Wektor losowy
ma łączny rozkład prawdopodobieństwa dany następującą
tabelką:
)
,
(
Y
X
1
=
Y
2
=
Y
1
=
X
2
θ
(
)
2
1
θ
−
2
=
X
(
)
θ
θ
−
1
)
1
(
θ
θ
−
gdzie )
1
,
0
(
∈
θ
jest nieznanym parametrem. Na podstawie -elementowej próbki z
tego rozkładu, , obliczono estymator największej wiarogodności
. Oblicz wariancję tego estymatora.
n
)
,
(
),...,
,
(
1
1
n
n
Y
X
Y
X
θ
ˆ
(A)
n
Var
2
)
1
(
)
ˆ
(
θ
θ
θ
−
=
(B)
n
Var
2
)
1
(
)
ˆ
(
2
2
θ
θ
θ
−
=
(C)
n
Var
)
1
(
)
ˆ
(
θ
θ
θ
−
=
(D)
n
Var
)
1
(
)
ˆ
(
2
2
θ
θ
θ
−
=
(E)
n
Var
2
)
1
(
)
ˆ
(
2
2
θ
θ
θ
−
=
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Załóżmy, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym,
ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa, mającymi momenty rzędu 1, 2 i 3. Znamy
n
X
X
,...,
1
)
(
i
X
E
=
μ
i
.
)
(
2
i
X
Var
=
σ
Niech oznacza gęstość rozkładu pojedynczej zmiennej
. Wiemy, że rozkład
jest symetryczny w tym sensie, że
)
(x
f
i
X
)
(
)
(
x
f
x
f
−
=
+
μ
μ
dla każdego
x
.
Oblicz trzeci moment sumy:
( )
3
n
S
E
, gdzie
n
n
X
X
S
+
+
=
...
1
.
(A)
( )
)
3
2
3
(
2
2
2
2
3
σ
μ
μ
μ
+
−
=
n
n
S
E
n
(B)
( )
)
3
(
2
2
2
3
σ
μ
μ
+
=
n
n
S
E
n
(C)
( )
)
3
(
2
2
2
3
σ
μ
μ
+
=
n
n
S
E
n
(D)
( )
)
(
2
2
2
3
σ
μ
μ
+
=
n
n
S
E
n
(E)
( )
)
)
1
(
3
(
2
2
2
2
3
μ
σ
μ
μ
−
−
+
=
n
n
n
S
E
n
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7.
Załóżmy, że jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
,...
,...,
,
2
1
n
X
X
X
)
exp(
)
(
x
x
f
−
=
dla
.
0
>
x
Zmienna losowa
jest niezależna od
i ma rozkład Poissona o
wartości oczekiwanej
N
,...
,...,
,
2
1
n
X
X
X
λ .
Niech
)
2
,
min(
i
i
X
Y
=
,
i
i
i
Y
X
Z
−
=
,
∑
=
=
N
i
i
Y
Y
S
1
)
(
,
.
∑
=
=
N
i
i
Z
Z
S
1
)
(
Oblicz
(
)
)
(
)
(
,
Z
Y
S
S
Cov
.
(A)
(
)
2
)
(
)
(
2
,
−
=
e
S
S
Cov
Z
Y
λ
(B)
(
)
)
1
(
2
,
2
)
(
)
(
−
−
=
e
S
S
Cov
Z
Y
λ
(C)
(
)
4
)
(
)
(
2
,
−
=
e
S
S
Cov
Z
Y
λ
(D)
(
)
(
)
2
2
)
(
)
(
1
,
−
−
+
=
e
e
S
S
Cov
Z
Y
λ
(E)
(
)
2
)
(
)
(
,
−
= e
S
S
Cov
Z
Y
λ
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
8.
Obserwujemy
niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie Pareto o gęstości
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
+
1
0
1
)
(
1
1
1
1
x
gdy
x
gdy
x
x
f
θ
θ
θ
i
niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Pareto o
gęstości
5
2
1
,
,
,
Y
Y
Y
K
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
+
1
0
1
)
(
1
2
2
2
x
gdy
x
gdy
x
x
f
θ
θ
θ
gdzie
1
θ i
2
θ są nieznanymi parametrami dodatnimi.
Wszystkie zmienne losowe są niezależne. Testujemy hipotezę
2
1
0
:
θ
θ
=
H
przy
alternatywie
2
1
1
:
θ
θ
<
H
za pomocą testu o obszarze krytycznym
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
=
t
K
2
1
ˆ
ˆ
θ
θ
gdzie i są estymatorami największej wiarogodności odpowiednio parametrów
1
ˆ
θ
2
ˆ
θ
1
θ i
2
θ wyznaczonymi na podstawie prób losowych
i
.
Dobrać stałą t tak, aby otrzymać test o rozmiarze 0,05.
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
5
2
1
,
,
,
Y
Y
Y
K
(A) 0,160
(B) 0,299
(C) 0,326
(D) 0,193
(E) 0,363
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
9.
Niech
, będzie próbką z rozkładu Poissona z nieznanym
parametrem
n
X
X
X
,...,
,
2
1
,
1
>
n
λ (parametr jest wartością oczekiwaną pojedynczej obserwacji,
0
)
(
>
=
X
E
i
λ
λ
).
Interesuje nas drugi moment obserwacji, czyli wielkość
.
)
(
)
(
2
2
i
X
E
m
λ
λ
=
Estymator nieobciążony o minimalnej wariancji funkcji
)
(
2
λ
m
jest równy
A)
2
1
1
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
X
n
X
n
(B)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
X
X
n
1
2
1
2
1
(C)
∑
=
n
i
i
X
n
1
2
1
(D)
∑
=
n
i
i
X
n
1
2
2
1
(E)
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
X
n
X
n
1
2
1
2
1
1
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
10.
Pan A przeznaczył 5 zł na pewna grę. W pojedynczej kolejce gry pan A wygrywa 1 zł
z prawdopodobieństwem 1/3 lub przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem 2/3. Pan A
kończy grę, gdy wszystko przegra lub gdy będzie miał 10 zł.
Prawdopodobieństwo, że pan A wszystko przegra jest równe
(A) 0,87
(B) 0,67
(C) 0,50
(D) 0,97
(E) 0,77
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.11.2009 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 30 listopada 2009 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
Imię i nazwisko : ......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
1 C
2 D
3 B
4 A
5 A
6 C
7 A
8 C
9 E
10 D
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11