imi¦ i nazwisko: ........................................

numer indeksu ....................

1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej 2

1. Korzystaj¡c z denicji odpowiedniej caªki niewªa±ciwej, uzasadnij, »e caªka

Z

1
2

0

1

x ln x

dx

jest rozbie»na.

(4p)

2. Oblicz obj¦to±¢ bryªy D = (x, y, z) ∈ R

3

: (x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

(x

2

+ y

2

) ≤ 1

.

(5p)

3. Wyznacz dªugo±¢ krzywej γ(t) = (cos t, sin t, at), 0 ≤ t ≤ 2π, gdzie a ∈ R jest ustalon¡ liczb¡.

(4p)

4. Korzystaj¡c z metody mno»ników Lagrange'a, wyznacz warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji F (x, y) =

x + 2y

przy zaªo»eniu, »e 2x

2

+ y

2

+ xy = 1

.

(7p)

5. Niech f(x, y) =

x

2

y

x

2

+y

2

gdy (x, y) 6= (0, 0) oraz f(0, 0) = 0. Korzystaj¡c z denicji, oblicz pochodne cz¡stkowe

∂f
∂x

(0, 0)

,

∂f
∂y

(0, 0)

. Uzasadnij, »e f nie jest ró»niczkowalna w (0, 0).

(6p)

6. Wykorzystuj¡c twierdzenie Greena lub denicj¦ caªki krzywoliniowej, oblicz caªk¦

I

Γ

(2y dx + 3x dy)

, gdzie

Γ

jest dodatnio zorientowanym okr¦giem o ±rodku (0, 0) i promieniu 1.

(4p)

7. Sformuªuj twierdzenie o funkcji uwikªanej (na przykªad w wersji wykorzystanej w dalszej cz¦±ci zadania).

Uzasadnij, »e równanie x cos y = y cos x okre±la w otoczeniu x =

π

2

funkcj¦ uwikªan¡ y = f(x) tak¡, »e

f (

π

2

) = −

π

2

. Wyznacz f

0

(0)

.

(6p)

8. Znajd¹ ukªad fundamentalny rozwi¡za« równania liniowego f

000

(t) − f

00

(t) + f

0

(t) − f (t) = 0

.

(4p)