imi¦ i nazwisko: ........................................
numer indeksu ....................
1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
Egzamin z analizy matematycznej 2
1. Korzystaj¡c z kryterium Dirichleta zbie»no±ci caªki niewªa±ciwej, udowodnij zbie»no±¢ caªki
Z
∞
0
cos x
1 + x
dx
.
(4p)
2. Zmieniaj¡c kolejno±¢ caªkowania, oblicz caªk¦ iterowan¡
Z
1
0
Z
1
x
exp(
x
y
) dy
dx
.
(4p)
3. Sformuªuj twierdzenie Schwarza o równo±ci pochodnych cz¡stkowych mieszanych.
(2p)
4. Oblicz pole obszaru D =
n
(x, y) ∈ R
2
: 0 < y < x, |x
4
− y
4
| <
4x
2
y
2
(x
2
+y
2
)
2
o.
(8p)
5. Wyznacz dªugo±¢ odcinka wykresu funkcji y = cosh(x), −1 ≤ x ≤ 1.
(4p)
6. Wyznacz warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = x
3
+ xy
2
− x
2
− y
2
w kole x
2
+ y
2
≤ 1
.
(10p)
7. Sformuªuj twierdzenie o dywergencji i oblicz caªk¦ powierzchniow¡
{
S
~
F ◦d~
n
, gdzie S jest powierzchni¡ sze±cianu
−1 ≤ x, y, z ≤ 1
, ~n jest zewn¦trznie skierowanym wektorem normalnym, za± ~F (x, y, z) = (−x + y, y − z, 2z).
(4p)
8. Rozwi¡» zagadnienie pocz¡tkowe f
0
(t) + t
2
f (t) = t
2
, f(0) = 0.
(4p)