imi¦ i nazwisko: ........................................

numer indeksu ....................

1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

Egzamin z analizy matematycznej 2

1. Korzystaj¡c z kryterium Dirichleta zbie»no±ci caªki niewªa±ciwej, udowodnij zbie»no±¢ caªki

Z

∞

0

cos x

1 + x

dx

.

(4p)

2. Zmieniaj¡c kolejno±¢ caªkowania, oblicz caªk¦ iterowan¡

Z

1

0

Z

1

x

exp(

x
y

) dy



dx

.

(4p)

3. Sformuªuj twierdzenie Schwarza o równo±ci pochodnych cz¡stkowych mieszanych.

(2p)

4. Oblicz pole obszaru D =

n

(x, y) ∈ R

2

: 0 < y < x, |x

4

− y

4

| <

4x

2

y

2

(x

2

+y

2

)

2

o.

(8p)

5. Wyznacz dªugo±¢ odcinka wykresu funkcji y = cosh(x), −1 ≤ x ≤ 1.

(4p)

6. Wyznacz warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = x

3

+ xy

2

− x

2

− y

2

w kole x

2

+ y

2

≤ 1

.

(10p)

7. Sformuªuj twierdzenie o dywergencji i oblicz caªk¦ powierzchniow¡

{

S

~

F ◦d~

n

, gdzie S jest powierzchni¡ sze±cianu

−1 ≤ x, y, z ≤ 1

, ~n jest zewn¦trznie skierowanym wektorem normalnym, za± ~F (x, y, z) = (−x + y, y − z, 2z).

(4p)

8. Rozwi¡» zagadnienie pocz¡tkowe f

0

(t) + t

2

f (t) = t

2

, f(0) = 0.

(4p)