1

Mechanika teoretyczna

Wykład nr 1
Wprowadzenie i podstawowe pojęcia.
Rachunek wektorowy.
Wypadkowa układu sił.
Warunki równowagi

Przedmiot

n

Mechanika:

– ogólna, techniczna, teoretyczna.

n

Dział fizyki zajmujący się badaniem
ruchu i równowagi ciał materialnych,
ustalaniem ogólnych praw ruchu oraz ich
stosowaniem do wyidealizowanych ciał
rzeczywistych (punkt materialny oraz
ciało doskonale sztywne – ramy, kraty).

2

Program zajęć

(1)

n

Podstawowe pojęcia.

n

Podstawy rachunku wektorowego.

n

Układy sił i stan równowagi.

n

Reakcje więzów w układach

płaskich.

n

Siły wewnętrzne

– w belkach;
– w ramach.

3

Program zajęć

(2)

n

Siły wewnętrzne:

– w kratownicach;
– w łukach;

n

Reakcje więzów i siły wewnętrzne

w układach przestrzennych.

n

Zjawisko tarcia i prawa tarcia.

n

Elementy kinematyki.

n

Podstawy dynamiki.

4

Literatura

n

[1] J. Leyko: Mechanika ogólna

n

[2] J. Leyko: Mechanika ogólna w zadaniach

n

[3] J. Misiak: Mechanika ogólna, T. 1-3

(Statyka, Kinematyka, Dynamika)

n

[4] J. Misiak: Zadania z mechaniki ogólnej

n

[5] A. Chudzikiewicz: Statyka budowli

(Tom 1)

n

[6] Z. Cywiński: Mechanika budowli w

zadaniach. Uk

łady statycznie wyznaczalne

5

Zaliczenie

n

Ćwiczenia:

– obecności;
– ćwiczenie projektowe;
– kolokwia.

n

Egzamin:

– część pisemna;
– część ustna.

6

Działy mechaniki

n

Statyka – bada przypadki, kiedy siły działające na

ciało nie wywołują sił bezwładności, tj. są

przykładane w nieskończenie długim czasie oraz

równoważą się wzajemnie.

n

Kinematyka – zajmuje się badaniem ruchu ciał

niezależnie od czynników wywołujących ten ruch.

Przedmiotem badań są: droga, prędkość,

przyspieszenie itd.

n

Dynamika – rozpatruje ruch ciał w zależności od sił

działających na nie, bada zależności między takimi

wielkościami jak: prędkość, przyspieszenie, pęd, siła,

energia itd.

7

Zasady dynamiki Newtona

(1)

n

Prawo I
Punkt materialny, na który nie działa
żadna siła lub działające siły
równoważą się, pozostaje w spoczynku
lub porusza się ruchem jednostajnym
po linii prostej.

8

Zasady dynamiki Newtona

(2)

n

Prawo II

Przyspieszenie punktu materialnego jest

wprost proporcjonalne do siły działającej

na ten punkt, a odwrotnie proporcjonalne

do masy punktu materialnego. Jego

zwrot i kierunek zgodny jest ze zwrotem i

kierunkiem wektora siły.

P = m a

P

a

m

9

Zasady dynamiki Newtona

(3)

n

Prawo III
Dwa punkty materialne działają na
siebie dwoma siłami równymi co do
wartości, tym samym kierunku, ale o
przeciwnym zwrocie.

P

1

P

2

2

1

P

P

=

2

1

P

P

−

=

10

Idealizacje (1)

n

Punkt materialny – ciało o

nieskończenie małych wymiarach, ale

posiadające masę.

n

Modeluje ciała o bardzo małych

wymiarach w porównaniu z wymiarami

otoczenia.

n

Wymiary na tyle małe, aby można było

pominąć obrót ciała względem układu

odniesienia.

11

Idealizacje (2)

n

Ciało doskonale sztywne –

odległości między jego punktami nie

zmieniają się (nie podlega

odkształceniom pod wpływem

działających sił).

n

Model ciała rzeczywistego, gdy

odkształcenia są pomijalnie małe w

stosunku do wymiarów.

12

Idealizacje (3)

n

Zasada zesztywnienia
Warunki równowagi sił działających
na ciało odkształcalne nie zostaną
naruszone przez zesztywnienie tego
ciała.
Punkt przyłożenia siły nie ulega
przesunięciu mimo odkształcenia
konstrukcji.

13

Zasada superpozycji

n

Działania poszczególnych obciążeń są
od siebie niezależne.

n

Efekt działania (odkształcenie, siła
wewnętrzna) dwóch lub więcej
wpływów (obciążeń) może zostać
wyznaczony jako suma efektów
wywołanych działaniem tych wpływów
oddzielnie.

14

Skalar i wektor

n

Skalar – do opisania niezbędne jest

podanie jednej wartości w odniesieniu

do określonego punktu w przestrzeni.

n

Wektor – do opisania poza miarą

(modułem, długością wektora),

niezbędne jest podanie:

– kierunku (ułożenia linii działania),
– zwrotu (uporządkowania punktów od

początku do końca wektora),

– punktu zaczepienia.

15

Interpretacja geometryczna,
przykłady

n

Wektor można przedstawić jako

uporządkowaną parę punktów, z

których jeden jest początkiem wektora,

a drugi jego końcem.

n

Skalary:

– gęstość, masa, temperatura, energia;

n

Wektory

– przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie,

siła.

16

Rodzaje wektorów

n

Wektory zaczepione – związane z

punktem przyłożenia;

n

Wektory ślizgające się – mogące

poruszać się wzdłuż linii działania (np.

wektory sił w mechanice);

n

Wektory swobodne – mogą zostać

przyłożone w dowolnym punkcie (np.

wektory momentów sił).

17

Podstawowe jednostki

n

Masa: g (gram); kg = 1000 g (kilogram)

n

Długość: mm = 0,001 m (milimetr);

m (metr); km = 1000 m (kilometr)

n

Czas: s (sekunda); min = 60 s (minuta);

h = 60 min = 3600 s (godzina)

n

Siła: N = kg m/s2 (niuton);

kN = 1000N (kiloniuton)

n

Moment siły: Nm (Niutonometr);

kNm = 1000Nn (kiloniutonometr)

18

Działania na wektorach

n

Suma wektorów;

n

Różnica wektorów;

n

Mnożenie wektora przez skalar;

n

Iloczyn wektorów:

– skalarny;
– wektorowy;
– mieszany;
– inne wielokrotne iloczyny wektorów.

19

Zapis analityczny

i graficzny wektora

n

płaszczyzna

n

przestrzeń

20

x

y

a

y

a

x

a

i

j

[

,

]

x

y

a a

=

a

x

y

a

a

=

+

a

i

j

2

2

x

y

a

a

a

=

+

y

z

a

z

a

y

a

k

x

j

i

a

z

[

,

,

]

x

y

z

a a a

=

a

x

y

z

a

a

a

=

+

+

a

i

j

k

2

2

2

x

y

z

a

a

a

a

=

+

+

Dodawanie wektorów

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

=

a

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

=

b

]

,

,

[

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

+

+

+

=

c

a

b

b

a

c

+

=

+

=

n

Suma wektorowa wektorów

a

i

b

:

a

b

c

21

Twierdzenie cosinusów

n

Kwadrat długości boku trójkąta leżącego

naprzeciw kąta

γ jest równy sumie

kwadratów długości boków leżących

przy tym kącie oraz podwojonego

iloczynu tych długości boków i cosinusa

tego kąta

γ.

γ

cos

2

2

2

ab

b

a

c

−

+

=

a

c

b

α

β

γ

22

Zasada równoległoboku

n

Suma dwóch wektorów może zostać
przedstawiona jako przekątna
równoległoboku zbudowanego na
bazie sumowanych wektorów
przecinająca kąt między tymi
wektorami.

2

2

2

2

2

cos(

)

2

cos

c

a

b

ab

a

b

ab

π α

α

=

+

−

−

=

=

+

+

a

b

α

c

π α

−

23

Odejmowanie wektorów

(1)

n

Różnica wektorów

a

i

b

jest równa

sumie wektora

a

i wektora

przeciwnego do

b

:

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

−

−

−

=

−

b

]

,

,

[

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

−

−

−

=

−

=

b

a

c

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

=

a

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

=

b

n

Różnica wektorów b i a jest równa sumie

wektora b i wektora przeciwnego do a:

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

−

−

−

=

−

]

,

,

[

z

z

y

y

x

x

a

b

a

b

a

b

−

−

−

=

−

=

a

b

d

24

Odejmowanie wektorów

(2)

a

-b

c

b

a

-a

d

b

( )

b

a

b

a

c

−

=

−

+

=

( )

a

b

a

b

d

−

=

−

+

=

25

Skalowanie wektora

n

Mnożenie wektora przez skalar (n) – wyniku otrzymuje

się wektor o takim samym kierunku, mierze n razy

większej (przy |n|>1)

n>1

n

lub 1/n razy mniejszej (przy |n|<1) i takim samym

zwrocie, jeżeli n>0,

0<n<1

n

zaś przeciwnym, jeżeli n<0.

-1<n<0

n<-1

a

n a

·

a

n

a

·

a

n a

·

a

n a

·

26

Iloczyn skalarny

(1)

n

Iloczyn skalarny – wielkość skalarna
równa iloczynowi modułów mnożonych
wektorów i cosinusa kąta zawartego
między nimi (iloczyn miary jednego
wektora przez rzut prostokątny
drugiego na kierunek pierwszego).

27

Iloczyn skalarny

(2)

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

=

a

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

=

b

cos ( , )

x

x

y

y

z

z

s

a b

a b

a b

a b

=

= ⋅ ⋅

=

+

+

a b

a b

o

S

a

b

α

b cos

α

a

co

s

α

28

Iloczyn wektorowy

(1)

n

Iloczyn wektorowy (wektor):

– kierunek prostopadły do płaszczyzny

wyznaczonej przez mnożone wektory,

– zwrot określony zgodnie z regułą śruby

prawoskrętnej,

– miara równa iloczynowi miar mnożonych

wektorów i sinusa kąta między nimi (pole

powierzchni równoległoboku

zbudowanego na mnożonych wektorach).

29

Iloczyn wektorowy

(2)

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

=

a

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

=

b

b

a

c

×

=

a

b

d

×

=

c

d

−

=

(

)

(

)

(

)

2

2

2

sin

( , )

y

z

z

y

z

x

x

z

x

y

y

x

c

d

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

S

= = ⋅ ⋅

=

−

+

−

+

−

c

i

j

k

=

a

a

a

b

b

b

x

y

z

x

y

z

z

y

x

z

y

x

a

a

a

b

b

b

k

j

i

d

=

a

b

c

α

a

b

d

α

30

(

)

(

)

(

)

y

z

z

y

z

x

x

z

x

y

y

x

a b

a b

a b

a b

a b

a b

c

i

j

k

=

−

+

−

+

−

Iloczyn mieszany

n

Iloczyn mieszany – wielkość
skalarna równa objętości
równoległościanu zbudowanego na
mnożonych wektorach jako na
krawędziach.

c

b

a

o

)

(

×

=

V

a

b

c

d

α

β

α

sin

ab

d

=

β

α cos

sin

c

ab

V

⋅

=

β

cos

c

d

V

⋅

=

=

c

d

o

31

Przemienność działań

n

Suma wektorów i iloczyn skalarny są
działaniami przemiennymi, natomiast
różnica wektorów i iloczyn wektorowy
nie są przemienne.

a – b = c

b – a = d =>

d = -c

a

× b = c

b

× a = d => d = -c

32

Pojęcie siły

n

Siła – wzajemne oddziaływanie ciał,
które przejawia się w wyprowadzeniu
ciała ze stanu spoczynku, bądź przez
zmianę ruchu już poruszającego się
ciała. Aby scharakteryzować siłę
należy podać wektor, opisujący tą siłę,
oraz punkt przyłożenia siły.

33

Układy sił

n

Układ sił – dowolna grupa oddziaływań

ciał zewnętrznych na analizowane ciało.

n

Równoważne układy sił
Dwa układy sił są równoważne wtedy,

gdy zastąpienie jednego układu,

działającego na ciało sztywne, przez

drugi układ sił nie wywoła zmiany

ruchu, czyli nie spowoduje zmiany

kierunku ruchu, prędkości,

przyśpieszenia, itd.

34

Wypadkowa

n

Siła wypadkowa – wektor, który jest
sumą wszystkich wektorów sił z
układu, przyłożonego do punktu
materialnego i stanowi układ
równoważny, pod warunkiem, że siła
wypadkowa jest przyłożona do tego
samego punktu materialnego.

35

Płaski i przestrzenny

układ sił

n

Układ sił nazywamy płaskim, jeżeli
kierunki wszystkich sił tego układu
położone są w jednej płaszczyźnie.

n

W każdym innym przypadku układ
nazywamy przestrzennym.

36

Układ sił zbieżnych

n

Układ sił zbieżnych – linie działania
wszystkich sił przecinają się w jednym
punkcie, tzw. punkcie zbieżności.

n

Określanie wypadkowej układu sił:

– działających wzdłuż jednej prostej;
– zbieżnych

n

metoda graficzna;

n

metoda analityczna.

37

Siły działające wzdłuż

jednej prostej

n

Wypadkowa układu sił działających wzdłuż

jednej prostej jest wektorem o także

działającym wzdłuż tej prostej, zwrocie

zgodnym z większą ze składanych sił i mierze

równej sumie, gdy miary wektorów

składowych są zgodne, lub różnicy miar

wektorów składowych, gdy zwroty

składowych są przeciwne.

P

1

P

2

W

P

1

P

2

W

2

1

P

P

W

+

=

2

1

P

P

W

−

=

38

Wypadkowa

- metoda graficzna

n

Wypadkowa układu dwóch sił może zostać

wyznaczona jako przekątna równoległoboku

zbudowanego w oparciu o wektory

składowe przecinająca kąt między tymi

wektorami.

P

1

P

2

α

P

1

P

2

α

π−α

P

2

W

W

α

α

π

cos

2

)

cos(

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

W

+

+

=

=

−

−

+

=

39

Wielobok sznurowy

n

Do końca pierwszej siły przykładany jest

początek siły następnej, itd. Początek

pierwszej siły połączony z końcem

ostatniej określa wypadkową.

P

1

P

2

W

P

3

P

4

P

1

P

2

P

3

P

4

40

Rozkładanie siły na

składowe

n

Przez początek i koniec danej siły

przeprowadza się kierunki, na które siła

ma zostać rozłożona. Siły składowe

mogą zostać wyznaczone jako boki tak

zbudowanego równoległoboku.

α

P

β

P

1

P

2

P

1

2

α

β

41

Twierdzenie sinusów

n

W dowolnym trójkącie stosunek
długości boku do sinusa
przeciwległego kąta jest stały i równa
się długości średnicy okręgu opisanego
na trójkącie.

R

a

c

b

α

β

γ

R

c

b

a

2

sin

sin

sin

=

=

=

γ

β

α

42

Miary wektorów

składowych

(

)

(

)

β

α

π

α

β

+

−

=

=

sin

sin

sin

2

1

P

P

P

(

)

(

)

(

)

β

α

β

β

α

π

β

+

=

+

−

=

sin

sin

sin

sin

1

P

P

P

(

)

(

)

(

)

β

α

α

β

α

π

α

+

=

+

−

=

sin

sin

sin

sin

2

P

P

P

2

π

β

α

=

+

α

π

α

π

cos

2

sin

2

sin

P

P

P

x

=











 −

=

α

π

α

sin

2

sin

sin

P

P

P

y

=

=

P

1

P

2

α

P

β

π−(α+β)

P

2

β

P

x

P

y

P

α

π/2−α

43

Wypadkowa

- metoda analityczna

n

Składowe sił układu:

n

Składowe wypadkowej:

n

Siła wypadkowa:

n

Kierunek wypadkowej:

i

i

ix

P

P

α

cos

=

i

i

iy

P

P

α

sin

=

nx

x

x

x

P

P

P

W

+

+

+

=

...

2

1

ny

y

y

y

P

P

P

W

+

+

+

=

...

2

1

2

2

y

x

W

W

W

+

=

W

W

x

=

α

cos

W

W

y

=

α

sin

44

Przykład

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

P

1

P

2

P

3

W

W

W

x

W

y

α

α

1

α

3

α

2

45

Wypadkowa układu sił

równoległych

n

Przyłożenie układu

zerowego (układ sił

równoważących się,

np. dwie siły o

takiej samej mierze,

linii działania i

przeciwnych

zwrotach) nie

wpływa na stan

równowagi ciała.

46

W

P

1

P

2

Z

Z

Z

Z

W

2

W

1

W

1

W

2

P

2

P

1

P

1

P

2

Moment siły

(1)

n

Moment siły względem punktu – iloczyn
wektorowy promienia wodzącego, czyli
wektora łączącego omawiany punkt i punkt

przyłożenia siły, oraz wektora siły:

P

r

M

×

=

P

O

α

sin

P

r

M

P

O

⋅

=

α

sin

⋅

=

⊥

r

r

P

r

M

P

O

⋅

=

⊥

47

O

P

r

r

┴

α

α

Moment siły

(2)

n

Moment siły względem prostej - Momentem

względem prostej nazywamy iloczyn wektorowy

promienia wodzącego, czyli wektora łączącego

punkt prostej najbliższy kierunkowi siły i punkt

przyłożenia siły, i wektora siły.

P

′

P

r

′

r

r

⊥

′

z

π

n

Moment siły

względem osi równy

jest momentowi rzutu

siły na płaszczyznę

prostopadłą do osi

względem punktu, w

którym oś przebija

płaszczyznę.

48

z

′

′

= × = ×

M

r P

r

P

z

M

P r

⊥

′

′

= ⋅

Para sił

n

Parę sił stanowią dwie siły o równoległych
liniach działania, o przeciwnych zwrotach,
zaś o tych samych miarach.

n

Ramię pary sił – odległość pomiędzy
kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.

P

P

P

=

=

2

1

Pa

M

=

P

1

P

2

a

49

P

z

P

M

a

Dowolny płaski układ sił

(1)

n

Redukcja do siły wypadkowej

przyłożonej w biegunie redukcji i

wypadkowego momentu względem

tego bieguna.

n

Siły składowe mogą zostać

przeniesione do bieguna redukcji,

pod warunkiem przyłożenie

momentu od tych sił względem

bieguna redukcji.

50

Dowolny płaski układ sił

(2)

n

Wypadkową siłę wyznacza się dla układu

zbieżnego przyłożonego w biegunie

redukcji.

n

Wypadkowy moment jest równy sumie

momentów od sił składowych.

1

n

i

i

=

=

∑

W

P

1

1

n

n

o

i

i

io

i

i

=

=

=

× =

∑

∑

M

r

P

M

51

Przykład

(1)

x

y

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

α

3

α

2

P

1x

P

1y

P

1

α

1

(x ,y )

1

1

(x ,y )

3

3

(x ,y )

2

2

0

52

Przykład

(2)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

α

1

α

3

α

2

P

1

M

P1

0

0

1

1

1

1

1

0

x

P

y

P

M

y

x

P

+

−

=

53

Przykład

(3)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

α

1

α

3

α

2

M

P2

0

0

P

2

2

2

2

2

2

0

x

P

y

P

M

y

x

P

+

−

=

54

Przykład

(4)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

α

1

α

3

α

2

M

P3

0

0

P

3

3

3

3

3

3

0

x

P

y

P

M

y

x

P

+

−

=

55

Przykład

(5)

x

y

P

1x

P

1y

P

1

P

2x

P

2

P

2y

P

3x

P

3y

P

3

α

1

α

3

α

2

M

0

0

W

2

3

=

+

+

1

W

P

P

P

56

3

0

2

0

1

0

0

P

P

P

M

M

M

M

+

+

=

Dowolny płaski układ sił

(3)

n

Wypadkowy moment może zostać
przedstawiony jako:

– wektor momentu;
– para sił;
– moment od siły wypadkowej przyłożonej

nie w biegunie redukcji, a na linii
działania wyznaczonej w taki sposób, że
moment od siły wypadkowej równy jest
momentowi od sił składowych.

57

Siła wypadkowa

i wypadkowy moment

58

2

3

=

+

+

1

W

P

P

P

3

0

2

0

1

0

0

P

P

P

M

M

M

M

+

+

=

Moment od wypadkowej

59

0

0

0

x

W

y

W

M

y

x

+

−

=

x

y

W

M

x

W

y

0

0

0

−

=

x

W

M

x

y

0

0

0

tg

−

=

α

Uogólnienie w przestrzeni

n

Układ sił zbieżnych – redukcja do siły
wypadkowej przyłożonej w punkcie
zbieżności.

n

Dowolny przestrzenny układ sił
– redukcja do wypadkowej siły
i wypadkowego momentu.

60

Klasyfikacja układów sił

61

Układ sił -

układ wypadkowy

Płaszczyzna

Przestrzeń

Zbieżny

Siła wypadkowa w

płaszczyźnie

Siła wypadkowa –

dowolny kierunek w

przestrzeni

Dowolny

Siła wypadkowa w

płaszczyźnie i wektor

momentu

prostopadły do

płaszczyzny

Siła wypadkowa

(dowolny kierunek w

przestrzeni) i

wypadkowy wektor

momentu (dowolny

kierunek w

przestrzeni)

62

Stan równowagi

n

Równowaga statyczna
Punkt materialny (ciało sztywne) jest
w równowadze, jeżeli pod wpływem
układu sił, nie porusza się on lub
porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Taki układ sił nazywa
się zrównoważonym lub
równoważnym zeru.

63

Oswobodzenie z więzów

n

Ciało nieswobodne można myślowo
oswobodzić z więzów, zastępując ich
działanie reakcjami.

n

Ciało oswobodzone z więzów można
traktować jako swobodne pod
działaniem sił czynnych (obciążeń) i
biernych (reakcji).

64

Rodzaje sił w mechanice

n

W mechanice wyróżnia się następujące
rodzaje sił:

– siły zewnętrzne - obciążenie

pochodzące od innych ciał;

– reakcje - siły zewnętrzne wynikające ze

sposobu zamocowania konstrukcji;

– siły wewnętrzne - wzajemne

oddziaływanie pomiędzy częściami ciała.

65

Więzy – nacisk

(1)

n

Powierzchnia płaska na płaszczyźnie:

– reakcja prostopadła do płaszczyzny styku;

n

Przekrój kołowy na płaszczyźnie:

– reakcja prostopadła do płaszczyzny styku

(stycznej w punkcie styczności);

G

R

G

G

G

R

66

Więzy – nacisk

(2)

n

Przekrój kołowy oparty o przekrój kołowy:

– reakcja prostopadła do stycznej obu ciał w

punkcie styku (wzdłuż prostej łączącej środki

okręgów);

n

Punkt na płaszczyźnie:

– reakcja prostopadła do płaszczyzny.

G

A

B

C

Q

G

A

B

C

Q

R

A

R

B

R

C

R

A

Q

R

C

R

D

R

D

G

R

B

67

Równowaga dwóch sił

n

Układ dwóch sił pozostaje w

równowadze, jeżeli siły te działają

wzdłuż jednej prostej, mają przeciwne

zwroty i takie same miary.

G

R

=

G

R

−

=

G

G

R

68

Równowaga trzech sił

n

Układ trzech sił jest zrównoważony,

jeżeli siły te tworzą płaski układ sił, ich

linie działania przecinają się w jednym

punkcie (układ zbieżny), zaś wielobok

sił jest zamknięty.

G

A

B

R

B

G

R

A

R

B

R

A

G

69

Równania równowagi
punktu materialnego

n

II zasada dynamiki Newtona:

n

Jeżeli punkt materialny jest w stanie
równowagi statycznej, to:

P

a

=

m

a

P

=

⇒

=

0

0

70

Równania równowagi ciała
sztywnego (siły zbieżne)

n

II zasada dynamiki Newtona:

n

Jeżeli punkt materialny jest w stanie
równowagi statycznej, to:

P

P

P

P

P

a

1

2

3

4

n

+

+

+

+.......

=

m

a

P

=

⇒

=

∑

0

0

i

i=1

n

71

Układ sił zbieżnych

n

Układ sił, przyłożonych do ciała

sztywnego, których kierunki działania

przecinają się w jednym punkcie.

Układ takich sił jest w równowadze,

jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru

lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił

tworzą wielobok zamknięty.

W

P

P

P

P

P

P

=

=

∑

1

2

3

4

n

i=1

n

+

+

+

+.......

=

i

0

72

Płaski układ sił zbieżnych

n

Układ sił, przyłożonych do ciała

sztywnego, których kierunki działania

leżą w jednej płaszczyźnie i

przecinają się w jednym punkcie.

Układ takich sił jest w równowadze,

jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru

lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił

tworzą wielobok zamknięty.

W

P

P

P

P

P

P

=

=

∑

1

2

3

4

n

i=1

n

+

+

+

+.......

=

i

0

73

Równania równowagi

układu sił zbieżnych

n

Aby siły zbieżne były w równowadze,
sumy rzutów tych sił na osie układu
współrzędnych muszą być równe zeru.

.

0

;

0

;

0

1

1

1

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

P

P

P

74

Równania równowagi
płaskiego układu sił zbieżnych

n

Aby siły zbieżne, leżące w jednej
płaszczyźnie, były w równowadze,
sumy rzutów tych sił na osie układu
współrzędnych muszą być równe zeru.

.

0

;

0

1

1

=

=

∑

∑

=

=

n

i

iy

n

i

ix

P

P

75

Warunki równowagi układu
zbieżnego (podsumowanie)

Wypadkowa układu sił musi być równa 0, tj.

zamyka się wielobok sznurowy sił

(graficznie), a sumy rzutów sił układu na

osie układu współrzędnych muszą być

równe zeru (analitycznie).

n

Przestrzenny układ sił

n

Płaski układ sił

0

;

0

;

0

1

1

1

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

P

P

P

;

0

;

0

1

1

=

=

∑

∑

=

=

n

i

iy

n

i

ix

P

P

76

Równania równowagi ciała
sztywnego (dowolny układ sił)

n

Jeżeli ciało sztywne jest w stanie
równowagi statycznej, to dodatkowo:

∑

∑

∑

=

=

=

×

−

=

×

=

×

=

n

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

o

m

m

1

1

1

)

(

r

a

a

r

P

r

M

0

0

o

= ⇒

=

a

M

77

Warunki równowagi

dowolnego układu sił

(1)

n

Płaski układ sił

lub

lub

l

C

B

A

M

M

M

n

i

iC

n

i

iB

n

i

iA

∉

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

,

,

0

;

0

;

0

1

1

1

1

1

1

0;

0;

0

n

n

n

ix

iA

iB

i

i

i

P

M

M

AB

x

=

=

=

=

=

=

⊥

∑

∑

∑

0

;

0

;

0

1

1

1

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

iO

n

i

iy

n

i

ix

M

P

P

78

Warunki równowagi

dowolnego układu sił

(2)

n

Przestrzenny układ sił

0

;

0

;

0

0

;

0

;

0

1

1

1

1

1

1

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

M

M

M

P

P

P

79

Przykład

(dwa układy zbieżne)

(1)

G

A

B

C

Q

r

R

α

β

α

β

d

R

d-R

R

+

r

R-r

y

1

y

2

(

) (

)

2

2

2

r

R

r

R

y

−

−

+

=

r

R

y

+

=

2

sin

β

r

R

r

R

+

−

=

β

cos

(

)

2

2

1

R

d

R

y

−

−

=

R

y

1

sin

=

α

R

r

d

−

=

α

cos

80

Przykład

(dwa układy zbieżne)

(2)

∑

=

−

=

0

cos

C

D

R

R

X

β

∑

=

−

=

0

sin

Q

R

Y

D

β

∑

=

−

−

=

0

cos

cos

β

α

D

B

A

R

R

R

X

∑

=

−

−

=

0

sin

sin

β

α

D

A

R

G

R

Y

Q

Q

R

C

R

D

R

D

R

C

β

β

R

B

G

R

A

R

D

G

R

A

R

D

R

B

α

α

β

81

Przykład

(układ niezbieżny)

∑

=

−

−

=

0

cos

C

B

A

R

R

R

X

α

∑

=

−

−

=

0

sin

G

Q

R

Y

A

α

(

)

∑

=

−

⋅

−

⋅

=

0

2

1

r

R

Q

y

R

M

C

o

G

A

B

C

Q

r

R

R

A

R

B

R

C

α

β

R

d-R

R

+

r

R-r

y

1

y

2

β

α

O

1

O

2

82

Równowaga par sił

n

Aby układ par sił, działających w
jednej płaszczyźnie na ciało sztywne,
znajdował się w równowadze, suma
wypadkowych momentów tych par sił
musi być równa zero.

0

1

=

∑

=

n

i

i

M

P

1

a

1

P

1

P

2

a

2

P

2

P

3

a

3

P

3

83

Podstawowe typy

ustrojów prętowych

n

Pręt – element o wymiarach poprzecznych

(np. grubość i szerokość) znacznie

mniejszych od trzeciego wymiaru (długość)

n

Belka – ustrój prętowy z prętami

rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często

są prostopadłe do osi belki.

n

Rama – ustrój prętowy

n

Krata – ustrój prętowy, który składa się z

prętów połączonych przegubami. Siły mogą

być przykładane tylko w węzłach.

84

Stopnie swobody

n

Liczba niezależnych ruchów, jakie ciało jest w
stanie zrealizować w przestrzeni.

n

Punkt materialny:

– w przestrzeni – 3 (3 składowe przesuwu);
– na płaszczyźnie – 2 (2 składowe przesuwu);

n

Ciało sztywne

– w przestrzeni – 6 (3 składowe przesuwu i 3

składowe obrotu);

– na płaszczyźnie – 3 (2 składowe przesuwu i obrót).

85

Podpory, pręty

podporowe

(1)

n

Podpora przegubowa przesuwna –

zablokowana jedna składowa

przesuwu, jeden pręt podporowy,

jedna reakcja.

R

A

R

A

R

A

R

A

R

A

R

A

86

Podpory, pręty

podporowe

(2)

n

Podpora przegubowa nieprzesuwna –
zablokowane obie składowe przesuwu,
dwa pręty podporowe, dwie
niewiadome: reakcja i kierunek lub
dwie składowe reakcji.

V

A

H

A

V

A

H

A

V

A

H

A

R

A

α

87

Podpory, pręty

podporowe

(3)

n

Sztywne zamocowanie – zablokowane

wszystkie przemieszczenia (dwie

składowe przesuwu i obrót), trzy pręty

podporowe, trzy niewiadome – dwie

składowe siły i moment.

V

A

H

A

M

A

88

Inne sposoby podparcia

n

Sztywne zamocowanie z możliwością
przesuwu:

– poprzecznie do osi pręta;
– wzdłuż pręta.

H

A

M

A

V

A

H

A

M

A

89

Rodzaje obciążeń –

układy płaskie

n

Siły skupione;

n

Momenty skupione;

n

Obciążenia liniowo rozłożone;

n

Obciążenia momentem liniowo
rozłożone.

90

Rodzaje obciążeń –

układy przestrzenne

n

Siły skupione;

n

Momenty skupione;

n

Obciążenia liniowo rozłożone;

n

Obciążenia momentem liniowo
rozłożone;

n

Obciążenia rozłożone na powierzchni;

n

Obciążenia rozłożone w objętości.

91

Jednostki obciążeń

n

Obciążenie ciągłe – kN/m

n

Siła skupiona - kN

n

Moment skupiony - kNm

n

Obciążenie ciągłe momentem –
kNm/m

92

Reakcje – belka

swobodnie podparta

l/2

P

l/2

P

V

A

H

A

R

B

P

V

A

H

A

R

B

0

:

=

∑

A

H

X

0

:

=

−

+

∑

P

R

V

Y

B

A

0

2

:

=

⋅

−

⋅

∑

l

P

l

R

M

B

A

93

Reakcje – belka

wspornikowa

P

l/2

l/2

P

M

V

A

H

A

M

A

M

0

:

=

∑

A

H

X

0

:

=

−

∑

P

V

Y

A

0

2

:

=

+

⋅

+

∑

M

l

P

M

M

A

A

94

Reakcje – rama

bezprzegubowa

l

P

l

l

h

h

V

A

H

A

α

R

B

M

P

P

0

cos

:

=

+

+

∑

α

P

P

H

X

A

0

2

3

sin

2

cos

:

=

⋅

−

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

∑

l

R

l

P

h

P

h

P

l

P

M

M

B

A

α

α

0

sin

:

=

−

−

+

∑

α

P

P

R

V

Y

B

A