Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

6-a-UpraszczObwoduRezyst.doc

1/2

Zadanie

Obliczy , metod upraszczania struktury, rezystancj zast pcz R obwodu przedstawionego

na rysunku, gdy:

R

1

=R

4

=2

Ω,

R

2

= R

5

=4

Ω,

R

3

=3

Ω,

R

6

= R

7

=5

Ω,

R

8

=10

Ω.

(Odp.:

95

17

=

5,588

R

Ω

Ω .)

Rozwi zanie.

Poniewa w analizowanej strukturze brak poł cze równoległych i szeregowych, eby

cokolwiek w niej upro ci , musimy skorzysta z

przekształce „gwiazda – trójk t” lub „trójkat –

gwiazda”.

Decydujemy si na zamian „gwiazdy” {R

2

, R

3

,

R

5

} (widocznej na rysunku obok) w „trójk t” {R

23

,

R

35

, R

25

} („trójk t” ten jest wrysowany na czerwono

na nast pnym rysunku).

Do przekształcenia „gwiazda – trójk t” (Y

∆)

mo na wykorzysta proste wzory typu iloczyn przez sum , gdy korzysta si z opisu

przewodno ciowego rezystorów (czyli, gdy charakteryzuje si je przewodno ciami G).

Odpowiednie wzory podano w poni szej ramce.

Przekształcenie Y ∆:

; ,

{1, 2, 3},

,

i j

i

j

∈

≠

i

j

ij

k

G G

G =

G

w liczniku iloczyn

przewodno ci

rezystorów stykaj cych si z w łami i

oraz j,

w mianowniku suma

przewodno ci

rezystorów„gwiazdy”

W naszym przypadku mamy (oznaczenia pokazano

na rysunku obok):

G

2

= G

5

= 0,25 S, G

3

=0,(3) S,

3 4 3

5

1

1

1

4

3

4

12

6

S

G

+ +

= + + =

=

,

[G

23

, G

35

, G

25

]=

6

3

1 1 1 1 1 1

1

1

5

4 3 3 4 4 4

10 10 40

,

,

S=

, ,

S ,

[R

23

, R

35

, R

25

]=

40

3

10,10,

Ω .

Dzi ki przekształceniu Y

∆ pojawiły si rezystory poł czone równolegle. Przy

oznaczeniach z kolejnego rysunku wyliczamy:

1

4

1

1

123

345

23

35

3 3

1

1

1

1

2

10 2

10

5 5

[

,

] [

,

]

[

,

]S [ , ]S,

R

R

G

G

G

G

=

+

+

=

+

+

=

5 5

123

345

3 3

[

,

] [ , ]

R

R

=

Ω .

Z kolei pojawiło si poł czenie szeregowe.

Przy oznaczeniach z kolejnego rysunku

wyliczamy:

5

5

10

123,345

123

345

3

3

3

(

)

R

R

R

=

+

= + Ω = Ω ,

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

6

R

7

R

8

R

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

6

R

7

R

8

R

G

2

G

3

G

5

R

1

R

25

R

4

R

6

R

7

R

8

R

R

23

R

35

G

25

G

23

G

35

1

G

1

G

3

G

2

3

2

1

G

12

G

31

G

23

3

2

R

25

R

6

R

7

R

8

R

G

25

G

123

G

345

R

123

R

345

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

6-a-UpraszczObwoduRezyst.doc

2/2

3

123,345

10

S

G

=

.

Teraz pojawiło si poł czenie równoległe, dla

którego uproszczenia s nast puj ce, przy

oznaczeniach z poni szego rysunku:

3

3

3

12345

123,345

25

10

40

8

(

)S= S

G

G

G

=

+

=

+

,

8

12345

3

=

R

Ω .

,

Pozostaje ju tylko zauwa y kolejno poł czenie

szeregowe {R

6

, R

12345

, R

7

}, upraszczaj ce si do R

1234567

,

i poł czenie równoległe R

8

||R

123456

, upraszczaj ce si do R.

Oto stosowne obliczenia:

8

38

1234567

6

12345

7

3

3

=

(5

5)

R

R

R

R

+

+

= + + Ω = Ω ,

3

1234567

38

S

G

=

,

3

17

1

1

1234567

8

38

10

95

(

)S= S

R

G G

G

= =

+

=

+

,

95

17

=

5,588

R

Ω

Ω .

To ko czy mozolne zabiegi zwi zane z wyznaczeniem

oporno ci zast pczej R.

R

25

R

6

R

7

R

8

R

G

25

G

123,345

R

123,345

R

12345

R

6

R

7

R

8

R

G

12345

R

1234567

R

8

R

G

1234567

G

8

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

6-b-UpraszczObwoduRezyst.doc

1/2

Zadanie

Obliczy , metod upraszczania struktury, rezystancj

zast pcz R obwodu przedstawionego na rysunku.

(Odp.:

35

11

=

3,(18)

R

Ω

Ω .)

Rozwi zanie.

W pierwszym ruchu w analizowanej strukturze

zast pimy poł czenia szeregowe {R

2

, R

3

} i {R

6

, R

7

} ich

oporno ciami zast pczymi R

23

=6

Ω i R

67

=10

Ω, a nast pnie, wobec tego, e nie zauwa amy

ani dalszych poł cze szeregowych, ani równoległych, eby

cokolwiek dalej upro ci , musimy skorzysta z przekształce

„gwiazda – trójk t” lub „trójkat – gwiazda”.

Decydujemy si na zamian „gwiazdy” {R

1

, R

4

, R

5

}

(widocznej na rysunku obok) w „trójk t” {R

23

, R

35

, R

25

}

(„trójk t” ten jest wrysowany na czerwono na rysunku z

lewej).

Do przekształcenia „gwiazda – trójk t” (Y

∆) mo na

wykorzysta proste wzory typu iloczyn przez sum , gdy

korzysta si z opisu przewodno ciowego rezystorów (czyli,

gdy charakteryzuje si je przewodno ciami G). Odpowiednie

wzory podano w poni szej ramce.

Przekształcenie Y ∆:

; ,

{1, 2, 3},

,

i j

i

j

∈

≠

i

j

ij

k

G G

G =

G

w liczniku iloczyn

przewodno ci

rezystorów stykaj cych si z w łami i oraz j,

w mianowniku suma

przewodno ci

rezystorów„gwiazdy”

W naszym przypadku mamy (oznaczenia

pokazano na rysunku obok):

G

1

=0,25 S, G

4

= G

5

= 0,5 S,

ΣG=1,25 S,

[G

14

, G

45

, G

51

]=

4 1 1 1 1 1 1

1

1

1

5 4 2 2 2 2 4

10 5 10

,

,

S=

, ,

S ,

[R

14

, R

45

, R

51

]=

[

]

10,5,10

Ω .

Dzi ki przekształceniu Y

∆ pojawiły si

rezystory

poł czone

równolegle.

Przy

oznaczeniach z kolejnego rysunku wyliczamy:

23

67

1

1

14,23

51,67

14

51

1

1

1

1

4

1

6

10 10

10

15 5

[

,

] [

,

]

[

,

]S [ , ]S,

R

R

G

G

G

G

=

+

+

=

+

+

=

5 5

123

345

3 3

[

,

] [ , ]

R

R

=

Ω .

Z kolei pojawiło si poł czenie szeregowe.

Przy oznaczeniach z kolejnego rysunku

wyliczamy:

15

35

51,67,14,23

51,67

14,23

4

4

(5

)

R

R

R

=

+

= +

Ω = Ω ,

1

G

1

G

3

G

2

3

2

1

G

12

G

31

G

23

3

2

R

2

=5

Ω

R

3

=1

Ω

R

4

=2

Ω

R

7

=8

Ω

R

1

=4

Ω

R

6

=2

Ω

R

5

=2

Ω

R

G

5

=0,5 S

R

23

=6

Ω

R

4

=2

Ω

R

1

=4

Ω

R

67

=10

Ω

R

5

=2

Ω

R

G

4

=0,5 S

G

1

=0,25 S

R

23

=6

Ω

R

67

=10

Ω

R

R

14

=10

Ω

G

14

=0,1S

R

45

=5

Ω

G

45

=0,2S

R

51

=10

Ω

G

51

=0,1S

R

R

14,23

=15/4

Ω

G

14,23

=4/15 S

R

45

=5

Ω

G

45

=0,2S

R

51,67

=5

Ω

G

51,67

=0,2S

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

6-b-UpraszczObwoduRezyst.doc

2/2

4

51,67,14,23

35

S

G

=

.

Teraz pojawiło si poł czenie równoległe, dla

którego uproszczenia s nast puj ce, przy

oznaczeniach z poni szego rysunku:

4

1

11

51,67,14,23

45

35

5

35

(

)S= S

G G

G

=

+

=

+

,

35

11

=

3,(18)

R

Ω

Ω .

,

R

R

45

=5

Ω

G

45

=0,2S

R

51,67,14,23

=35/4

Ω

G

51,67,14,23

=4/35 S

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

6-c-UpraszczObwoduRezyst.doc

1/2

Zadanie

Obliczy , metod upraszczania struktury, rezystan-

cj zast pcz R obwodu przedstawionego na rysunku.

(Odp.:

R=

1473

923

1,596

Ω

Ω .)

Rozwi zanie.

Nie zauwa amy ani poł cze szeregowych, ani

równoległych, wi c eby cokolwiek upro ci , musimy

skorzysta z przekształce „gwiazda – trójk t” lub

„trójk t – gwiazda”.

Decydujemy si na zamian „trójk ta” {R

1

, R

2

, R

6

} w „gwiazd ” {R

*12

, R

*26

, R

*61

} (patrz

rysunek ni ej)

1

.

Do przekształcenia „trójk t – gwiazda” (

∆ Y) mo na wykorzysta proste wzory typu

iloczyn przez sum , gdy korzysta si z opisu oporno ciowego rezystorów (czyli, gdy

charakteryzuje si je oporno ciami R). Odpowiednie wzory podano w poni szej ramce.

Przekształcenie ∆ Y:

,

{1, 2, 3},

i

∈

ik

il

i

mn

R R

R =

R

w liczniku iloczyn

oporno ci

rezystorów stykaj cych si w w le i ,

w mianowniku suma

oporno ci

rezystorów„trójk ta”

Wspomniany „trójk t” przerysowano, a na jego tle

kolorem ró owym wrysowano zast puj c go

„gwiazd ”.

W naszym przypadku mamy (oznaczenia

pokazano na rysunku obok):

ΣR=13 Ω,

[R

*12

, R

*26

, R

*16

] =

[

]

10 30

1

12

13

13 13 13

6 2, 2 5,6 5

=

, ,

⋅

⋅

⋅ Ω

Ω .

Uwzgl dnijmy wyznaczon ”gwiazd ”

w analizowanym schemacie. Pokazano to na

kolejnym rysunku.

Dzi ki przekształceniu Y

∆ pojawiły

si rezystory poł czone szeregowo {R

3

,

R

*26

} i {R

5

, R

*16

}, daj ce opory zast pcze

2

odpowiednio R

236

=

49

13

Ω i R

156

=

95

13

Ω . Te

opory s z kolei poł czone równolegle i daj

1

To co pokazano na obrazku poni ej nie przypomina trójk ta, ale daje si przerysowa tak, by bardzo

trójk t przypominało.

2

Od tego miejsca, dla lepszego zrozumienia tekstu, Czytelnik powinien samodzielnie zilustrowa sobie

opisywane przekształcenia, rysuj c kolejne schematy

1

R

12

R

31

R

23

3

2

1

R

1

R

3

R

2

3

2

R

G

1

=1/6 S

R

1

=6

Ω

G

2

=1/2 S

R

2

=2

Ω

G

3

=1/3 S

R

3

=3

Ω

G

4

=1/3 S

R

4

=3

Ω

G

5

=1/5 S

R

5

=5

Ω

G

6

=1/5 S

R

6

=5

Ω

G

1

=1/6 S

R

1

=6

Ω

G

2

=1/2 S

R

2

=2

Ω

G

6

=1/5 S

R

6

=5

Ω

R

*16

=30/13

Ω

R

*12

=12/13

Ω

R

*26

=10/13

Ω

R

*16

=30/13

Ω

R

*12

=12/13

Ω

R

*26

=10/13

Ω

R

G

3

=1/3 S

R

3

=3

Ω

G

5

=1/5 S

R

5

=5

Ω

G

4

=1/3 S

R

4

=3

Ω

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

6-c-UpraszczObwoduRezyst.doc

2/2

wypadkowy opór R

12356

=

4655

1872

Ω . Opory R

12356

i R

*12

s poł czone szeregowo i daj zast pcz

rezystancj R

12356*

=

491

144

Ω . Wreszcie rezystor zast pczy R

12356*

jest poł czony równolegle z

rezystorem R

4

, daj c poszukiwany opór wypadkowy R=

1473

923

1,596

Ω

Ω .

Warto zauwa y , e wszystkie przeprowadzone tu przekształcenia były tak dobrane, by w

wyniku uproszcze nie wyeliminowa zacisków, z punktu widzenia których wyznaczamy

oporno zast pcz (w tym zadaniu s to jednocze nie zaciski opornika R

4

). Dlaczego to jest

istotne?

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

6-d-UpraszczObwoduRezyst.doc

1/1

Zadanie

Znale , poprzez przekształcenia struktury, opór

zast pczy dwójnika z poni szego rysunku.

(Odp. 2R)

Rozwi zanie

Przekształcamy dany obwód aby był widoczny

„trójk t”.

Nast pnie zamieniamy, korzystaj c ze znanych wzorów, „trójk t” na „gwiazd ” oraz

wyliczamy R

A

,R

B

oraz R

C

. Poł czenie szeregowe {R

B

, R} i {R

C

, R} pozwala nam nieco

jeszcze upro ci układ.

1 R

B

+ R =

3

4

R

R

A

=

AC

AB

AB

AC

BC

R

R

R

R

R

⋅

+

+

=

R R

R R R

⋅

+ +

=

3

R

,

3

R

R

C

+ R =

3

4

R

R

B

=

BA

BC

AB

AC

BC

R

R

R

R

R

⋅

+

+

=

R R

R R R

⋅

+ +

=

3

R

,

R

C

=

CA

CB

AB

AC

BC

R

R

R

R

R

⋅

+

+

=

R R

R R R

⋅

+ +

=

3

R

.

3

4

R

3

4

R

2

R

poł czenie równoległe

4

4

3

3

4

4

3

3

R

R

R

R

⋅

+

=

2

16

3

9

8

R

R

⋅

= R

3

2

1

3

R

R

3

2

Korzystamy ze wzoru na poł czenie szeregowe 1

R i uzyskujemy wynik:

=

+

+

R

R

R

3

2

3

1

2R 2R

2

2

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

© C. Stefa ski

U

PRASZCZANIE STRUKTUR REZYSTANCYJNYCH

–

WZORY

1/1

Poł czenie szeregowe

i

R =

R

Poł czenie równoległe

1

2

G

1

G

2

G

3

... G

n

G

1

2

i

G =

G

Przekształcenie

G w i a z d a

trójk t

G

; ,

{1, 2, 3},

,

i j

i

j

∈

≠

i

j

ij

k

G G

G =

G

w liczniku iloczyn

przewodno ci

rezystorów stykaj cych si z w łami i oraz j,

w mianowniku suma

przewodno ci

rezystorów„gwiazdy”

Przekształcenie

T r ó j k t

gwiazda

R

,

{1, 2, 3},

i

∈

ik

il

i

mn

R R

R =

R

w liczniku iloczyn

oporno ci

rezystorów stykaj cych si w w le i ,

w mianowniku suma

oporno ci

rezystorów„trójk ta”

1

R

12

R

31

R

23

3

2

1

R

1

R

3

R

2

3

2

1

G

1

G

3

G

2

3

2

1

G

12

G

31

G

23

3

2

R

1

R

2

R

n-3

R

n

R

n-1

R

n-2

1

2

R

1

2