Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
6-a-UpraszczObwoduRezyst.doc
1/2
Zadanie
Obliczy , metod upraszczania struktury, rezystancj zast pcz R obwodu przedstawionego
na rysunku, gdy:
R
1
=R
4
=2
Ω,
R
2
= R
5
=4
Ω,
R
3
=3
Ω,
R
6
= R
7
=5
Ω,
R
8
=10
Ω.
(Odp.:
95
17
=
5,588
R
Ω
Ω .)
Rozwi zanie.
Poniewa w analizowanej strukturze brak poł cze równoległych i szeregowych, eby
cokolwiek w niej upro ci , musimy skorzysta z
przekształce „gwiazda – trójk t” lub „trójkat –
gwiazda”.
Decydujemy si na zamian „gwiazdy” {R
2
, R
3
,
R
5
} (widocznej na rysunku obok) w „trójk t” {R
23
,
R
35
, R
25
} („trójk t” ten jest wrysowany na czerwono
na nast pnym rysunku).
Do przekształcenia „gwiazda – trójk t” (Y
∆)
mo na wykorzysta proste wzory typu iloczyn przez sum , gdy korzysta si z opisu
przewodno ciowego rezystorów (czyli, gdy charakteryzuje si je przewodno ciami G).
Odpowiednie wzory podano w poni szej ramce.
Przekształcenie Y ∆:
; ,
{1, 2, 3},
,
i j
i
j
∈
≠
i
j
ij
k
G G
G =
G
w liczniku iloczyn
przewodno ci
rezystorów stykaj cych si z w łami i
oraz j,
w mianowniku suma
przewodno ci
rezystorów„gwiazdy”
W naszym przypadku mamy (oznaczenia pokazano
na rysunku obok):
G
2
= G
5
= 0,25 S, G
3
=0,(3) S,
3 4 3
5
1
1
1
4
3
4
12
6
S
G
+ +
= + + =
=
,
[G
23
, G
35
, G
25
]=
6
3
1 1 1 1 1 1
1
1
5
4 3 3 4 4 4
10 10 40
,
,
S=
, ,
S ,
[R
23
, R
35
, R
25
]=
40
3
10,10,
Ω .
Dzi ki przekształceniu Y
∆ pojawiły si rezystory poł czone równolegle. Przy
oznaczeniach z kolejnego rysunku wyliczamy:
1
4
1
1
123
345
23
35
3 3
1
1
1
1
2
10 2
10
5 5
[
,
] [
,
]
[
,
]S [ , ]S,
R
R
G
G
G
G
=
+
+
=
+
+
=
5 5
123
345
3 3
[
,
] [ , ]
R
R
=
Ω .
Z kolei pojawiło si poł czenie szeregowe.
Przy oznaczeniach z kolejnego rysunku
wyliczamy:
5
5
10
123,345
123
345
3
3
3
(
)
R
R
R
=
+
= + Ω = Ω ,
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
R
8
R
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
R
8
R
G
2
G
3
G
5
R
1
R
25
R
4
R
6
R
7
R
8
R
R
23
R
35
G
25
G
23
G
35
1
G
1
G
3
G
2
3
2
1
G
12
G
31
G
23
3
2
R
25
R
6
R
7
R
8
R
G
25
G
123
G
345
R
123
R
345
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
6-a-UpraszczObwoduRezyst.doc
2/2
3
123,345
10
S
G
=
.
Teraz pojawiło si poł czenie równoległe, dla
którego uproszczenia s nast puj ce, przy
oznaczeniach z poni szego rysunku:
3
3
3
12345
123,345
25
10
40
8
(
)S= S
G
G
G
=
+
=
+
,
8
12345
3
=
R
Ω .
,
Pozostaje ju tylko zauwa y kolejno poł czenie
szeregowe {R
6
, R
12345
, R
7
}, upraszczaj ce si do R
1234567
,
i poł czenie równoległe R
8
||R
123456
, upraszczaj ce si do R.
Oto stosowne obliczenia:
8
38
1234567
6
12345
7
3
3
=
(5
5)
R
R
R
R
+
+
= + + Ω = Ω ,
3
1234567
38
S
G
=
,
3
17
1
1
1234567
8
38
10
95
(
)S= S
R
G G
G
= =
+
=
+
,
95
17
=
5,588
R
Ω
Ω .
To ko czy mozolne zabiegi zwi zane z wyznaczeniem
oporno ci zast pczej R.
R
25
R
6
R
7
R
8
R
G
25
G
123,345
R
123,345
R
12345
R
6
R
7
R
8
R
G
12345
R
1234567
R
8
R
G
1234567
G
8
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
6-b-UpraszczObwoduRezyst.doc
1/2
Zadanie
Obliczy , metod upraszczania struktury, rezystancj
zast pcz R obwodu przedstawionego na rysunku.
(Odp.:
35
11
=
3,(18)
R
Ω
Ω .)
Rozwi zanie.
W pierwszym ruchu w analizowanej strukturze
zast pimy poł czenia szeregowe {R
2
, R
3
} i {R
6
, R
7
} ich
oporno ciami zast pczymi R
23
=6
Ω i R
67
=10
Ω, a nast pnie, wobec tego, e nie zauwa amy
ani dalszych poł cze szeregowych, ani równoległych, eby
cokolwiek dalej upro ci , musimy skorzysta z przekształce
„gwiazda – trójk t” lub „trójkat – gwiazda”.
Decydujemy si na zamian „gwiazdy” {R
1
, R
4
, R
5
}
(widocznej na rysunku obok) w „trójk t” {R
23
, R
35
, R
25
}
(„trójk t” ten jest wrysowany na czerwono na rysunku z
lewej).
Do przekształcenia „gwiazda – trójk t” (Y
∆) mo na
wykorzysta proste wzory typu iloczyn przez sum , gdy
korzysta si z opisu przewodno ciowego rezystorów (czyli,
gdy charakteryzuje si je przewodno ciami G). Odpowiednie
wzory podano w poni szej ramce.
Przekształcenie Y ∆:
; ,
{1, 2, 3},
,
i j
i
j
∈
≠
i
j
ij
k
G G
G =
G
w liczniku iloczyn
przewodno ci
rezystorów stykaj cych si z w łami i oraz j,
w mianowniku suma
przewodno ci
rezystorów„gwiazdy”
W naszym przypadku mamy (oznaczenia
pokazano na rysunku obok):
G
1
=0,25 S, G
4
= G
5
= 0,5 S,
ΣG=1,25 S,
[G
14
, G
45
, G
51
]=
4 1 1 1 1 1 1
1
1
1
5 4 2 2 2 2 4
10 5 10
,
,
S=
, ,
S ,
[R
14
, R
45
, R
51
]=
[
]
10,5,10
Ω .
Dzi ki przekształceniu Y
∆ pojawiły si
rezystory
poł czone
równolegle.
Przy
oznaczeniach z kolejnego rysunku wyliczamy:
23
67
1
1
14,23
51,67
14
51
1
1
1
1
4
1
6
10 10
10
15 5
[
,
] [
,
]
[
,
]S [ , ]S,
R
R
G
G
G
G
=
+
+
=
+
+
=
5 5
123
345
3 3
[
,
] [ , ]
R
R
=
Ω .
Z kolei pojawiło si poł czenie szeregowe.
Przy oznaczeniach z kolejnego rysunku
wyliczamy:
15
35
51,67,14,23
51,67
14,23
4
4
(5
)
R
R
R
=
+
= +
Ω = Ω ,
1
G
1
G
3
G
2
3
2
1
G
12
G
31
G
23
3
2
R
2
=5
Ω
R
3
=1
Ω
R
4
=2
Ω
R
7
=8
Ω
R
1
=4
Ω
R
6
=2
Ω
R
5
=2
Ω
R
G
5
=0,5 S
R
23
=6
Ω
R
4
=2
Ω
R
1
=4
Ω
R
67
=10
Ω
R
5
=2
Ω
R
G
4
=0,5 S
G
1
=0,25 S
R
23
=6
Ω
R
67
=10
Ω
R
R
14
=10
Ω
G
14
=0,1S
R
45
=5
Ω
G
45
=0,2S
R
51
=10
Ω
G
51
=0,1S
R
R
14,23
=15/4
Ω
G
14,23
=4/15 S
R
45
=5
Ω
G
45
=0,2S
R
51,67
=5
Ω
G
51,67
=0,2S
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
6-b-UpraszczObwoduRezyst.doc
2/2
4
51,67,14,23
35
S
G
=
.
Teraz pojawiło si poł czenie równoległe, dla
którego uproszczenia s nast puj ce, przy
oznaczeniach z poni szego rysunku:
4
1
11
51,67,14,23
45
35
5
35
(
)S= S
G G
G
=
+
=
+
,
35
11
=
3,(18)
R
Ω
Ω .
,
R
R
45
=5
Ω
G
45
=0,2S
R
51,67,14,23
=35/4
Ω
G
51,67,14,23
=4/35 S
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
6-c-UpraszczObwoduRezyst.doc
1/2
Zadanie
Obliczy , metod upraszczania struktury, rezystan-
cj zast pcz R obwodu przedstawionego na rysunku.
(Odp.:
R=
1473
923
1,596
Ω
Ω .)
Rozwi zanie.
Nie zauwa amy ani poł cze szeregowych, ani
równoległych, wi c eby cokolwiek upro ci , musimy
skorzysta z przekształce „gwiazda – trójk t” lub
„trójk t – gwiazda”.
Decydujemy si na zamian „trójk ta” {R
1
, R
2
, R
6
} w „gwiazd ” {R
*12
, R
*26
, R
*61
} (patrz
rysunek ni ej)
1
.
Do przekształcenia „trójk t – gwiazda” (
∆ Y) mo na wykorzysta proste wzory typu
iloczyn przez sum , gdy korzysta si z opisu oporno ciowego rezystorów (czyli, gdy
charakteryzuje si je oporno ciami R). Odpowiednie wzory podano w poni szej ramce.
Przekształcenie ∆ Y:
,
{1, 2, 3},
i
∈
ik
il
i
mn
R R
R =
R
w liczniku iloczyn
oporno ci
rezystorów stykaj cych si w w le i ,
w mianowniku suma
oporno ci
rezystorów„trójk ta”
Wspomniany „trójk t” przerysowano, a na jego tle
kolorem ró owym wrysowano zast puj c go
„gwiazd ”.
W naszym przypadku mamy (oznaczenia
pokazano na rysunku obok):
ΣR=13 Ω,
[R
*12
, R
*26
, R
*16
] =
[
]
10 30
1
12
13
13 13 13
6 2, 2 5,6 5
=
, ,
⋅
⋅
⋅ Ω
Ω .
Uwzgl dnijmy wyznaczon ”gwiazd ”
w analizowanym schemacie. Pokazano to na
kolejnym rysunku.
Dzi ki przekształceniu Y
∆ pojawiły
si rezystory poł czone szeregowo {R
3
,
R
*26
} i {R
5
, R
*16
}, daj ce opory zast pcze
2
odpowiednio R
236
=
49
13
Ω i R
156
=
95
13
Ω . Te
opory s z kolei poł czone równolegle i daj
1
To co pokazano na obrazku poni ej nie przypomina trójk ta, ale daje si przerysowa tak, by bardzo
trójk t przypominało.
2
Od tego miejsca, dla lepszego zrozumienia tekstu, Czytelnik powinien samodzielnie zilustrowa sobie
opisywane przekształcenia, rysuj c kolejne schematy
1
R
12
R
31
R
23
3
2
1
R
1
R
3
R
2
3
2
R
G
1
=1/6 S
R
1
=6
Ω
G
2
=1/2 S
R
2
=2
Ω
G
3
=1/3 S
R
3
=3
Ω
G
4
=1/3 S
R
4
=3
Ω
G
5
=1/5 S
R
5
=5
Ω
G
6
=1/5 S
R
6
=5
Ω
G
1
=1/6 S
R
1
=6
Ω
G
2
=1/2 S
R
2
=2
Ω
G
6
=1/5 S
R
6
=5
Ω
R
*16
=30/13
Ω
R
*12
=12/13
Ω
R
*26
=10/13
Ω
R
*16
=30/13
Ω
R
*12
=12/13
Ω
R
*26
=10/13
Ω
R
G
3
=1/3 S
R
3
=3
Ω
G
5
=1/5 S
R
5
=5
Ω
G
4
=1/3 S
R
4
=3
Ω
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
6-c-UpraszczObwoduRezyst.doc
2/2
wypadkowy opór R
12356
=
4655
1872
Ω . Opory R
12356
i R
*12
s poł czone szeregowo i daj zast pcz
rezystancj R
12356*
=
491
144
Ω . Wreszcie rezystor zast pczy R
12356*
jest poł czony równolegle z
rezystorem R
4
, daj c poszukiwany opór wypadkowy R=
1473
923
1,596
Ω
Ω .
Warto zauwa y , e wszystkie przeprowadzone tu przekształcenia były tak dobrane, by w
wyniku uproszcze nie wyeliminowa zacisków, z punktu widzenia których wyznaczamy
oporno zast pcz (w tym zadaniu s to jednocze nie zaciski opornika R
4
). Dlaczego to jest
istotne?
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
6-d-UpraszczObwoduRezyst.doc
1/1
Zadanie
Znale , poprzez przekształcenia struktury, opór
zast pczy dwójnika z poni szego rysunku.
(Odp. 2R)
Rozwi zanie
Przekształcamy dany obwód aby był widoczny
„trójk t”.
Nast pnie zamieniamy, korzystaj c ze znanych wzorów, „trójk t” na „gwiazd ” oraz
wyliczamy R
A
,R
B
oraz R
C
. Poł czenie szeregowe {R
B
, R} i {R
C
, R} pozwala nam nieco
jeszcze upro ci układ.
1 R
B
+ R =
3
4
R
R
A
=
AC
AB
AB
AC
BC
R
R
R
R
R
⋅
+
+
=
R R
R R R
⋅
+ +
=
3
R
,
3
R
R
C
+ R =
3
4
R
R
B
=
BA
BC
AB
AC
BC
R
R
R
R
R
⋅
+
+
=
R R
R R R
⋅
+ +
=
3
R
,
R
C
=
CA
CB
AB
AC
BC
R
R
R
R
R
⋅
+
+
=
R R
R R R
⋅
+ +
=
3
R
.
3
4
R
3
4
R
2
R
poł czenie równoległe
4
4
3
3
4
4
3
3
R
R
R
R
⋅
+
=
2
16
3
9
8
R
R
⋅
= R
3
2
1
3
R
R
3
2
Korzystamy ze wzoru na poł czenie szeregowe 1
R i uzyskujemy wynik:
=
+
+
R
R
R
3
2
3
1
2R 2R
2
2
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
© C. Stefa ski
U
PRASZCZANIE STRUKTUR REZYSTANCYJNYCH
–
WZORY
1/1
Poł czenie szeregowe
i
R =
R
Poł czenie równoległe
1
2
G
1
G
2
G
3
... G
n
G
1
2
i
G =
G
Przekształcenie
G w i a z d a
trójk t
G
; ,
{1, 2, 3},
,
i j
i
j
∈
≠
i
j
ij
k
G G
G =
G
w liczniku iloczyn
przewodno ci
rezystorów stykaj cych si z w łami i oraz j,
w mianowniku suma
przewodno ci
rezystorów„gwiazdy”
Przekształcenie
T r ó j k t
gwiazda
R
,
{1, 2, 3},
i
∈
ik
il
i
mn
R R
R =
R
w liczniku iloczyn
oporno ci
rezystorów stykaj cych si w w le i ,
w mianowniku suma
oporno ci
rezystorów„trójk ta”
1
R
12
R
31
R
23
3
2
1
R
1
R
3
R
2
3
2
1
G
1
G
3
G
2
3
2
1
G
12
G
31
G
23
3
2
R
1
R
2
R
n-3
R
n
R
n-1
R
n-2
1
2
R
1
2