05 Charakterystyki czestotliwoscio

background image

Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 5

Charakterystyki częstotliwościowe

background image

2

Transmitancja widmowa

=

)

(

)

(

dt

e

t

f

j

F

t

j

ω

ω

=

dt

e

t

f

j

F

t

j

ω

ω

)

(

)

(

dla t>0

Przekształcenie Fouriera

=

0

)

(

)

(

dt

e

t

f

j

F

ω

ω

ω

j

s

s

G

j

G

=

=

)

(

)

(

background image

3

Charakterystyki częstotliwościowe

Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostanie

wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu

przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej

częstotliwości, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie

u

0

A

1

( ω)

t

u

y

ω

ϕ

T=2 π/ω

A

2

( ω)

0

t

y

T=2 π/ω

]

sin[

)

(

sin

2

1

ϕ

ω

ω

ω

+

=

=

t

A

y

t

A

u

background image

4

Charakterystyki częstotliwościowe

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe -

określają zachowanie się elementu

lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia

Określają w funkcji częstotliwości:

stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia

przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

background image

5

Podstawy teoretyczne

s

s

s

e

A

e

t

L

A

s

G

t

L

e

t

L

t

L

t

L

A

A

t

A

L

t

A

L

s

G

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

2

2

1

2

1

2

)]

[sin(

)

(

)]

[sin(

)]

[sin(

)]

[sin(

)]

[sin(

)]

sin(

[

)]

sin(

[

)

(

=

=

=

+

=

+

=

+

=

Wejście:

Wyjście:

)

sin(

)

(

2

ϕ

ω

ω

+

t

A

)

sin(

1

t

A

ω

)]

(

[

)]

(

[

t

f

L

e

t

f

L

s

τ

τ

=

Gdzie:

- moduł charakterystyki częstotliwościowej

(stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia)

1

2

)

(

)

(

A

A

M

ω

ω

=

s

s

e

A

A

e

t

L

t

L

A

A

s

G

ω

ω

ω

ω

1

2

1

2

)]

[sin(

)]

[sin(

)

(

=

=

)

(

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

=

=

j

j

e

M

A

e

A

j

G

background image

6

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres końców wektorów,

których:

długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia

kąt przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

Definiowana cz

ę

sto jako:

Definiowana cz

ę

sto jako:

Wykres transmitancji

widmowej G(jω)

Zespolona charakterystyka

częstotliwościowa

G(jω)

background image

7

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

G(jω)

związki:

Charakterystyczne

związki:

2

2

)]

(

[

)]

(

[

)

(

ω

ω

ω

Q

P

j

M

+

=

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ϕ

P

Q

arctg

=

)

(

cos

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

M

P

=

)

(

sin

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

M

Q

=

background image

8

Charakterystyki częstotliwościowe

amplitudowa charakterystyka

częstotliwościowa

fazowa charakterystyka

częstotliwościowa

background image

9

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

ϕ

(ω)

M(ω)

L(ω)

Logarytmiczna

charakterystyka amplitudowa

Logarytmiczna

charakterystyka

fazowa

)

(

log

20

)

(

ω

ω

M

L

=

)

(

ω

ϕ

0,1

1

10

100

0,01

90

0

180

0

-90

0

-180

0

π

π

/2

-π/2

ω

0,1

1

10

100

0,01

20dB

40dB

-20dB

-40dB

100

0,01

10

0,1

ω

background image

10

Charakterystyki elementu proporcjonalnego

jQ(

ω

)

P(

ω

)

G( j

ω

)

k

0

)

(

)

(

=

=

ω

ω

Q

k

P

L(

ω

)

dB

ω

20 log k

ω

0

0

ϕ

(

ω

)

background image

11

Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu

Transmitancja widmowa:

1

1

1

1

1

1

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

T

jkT

k

T

jkT

k

Tj

Tj

Tj

k

Tj

k

j

G

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

kT

Q

=

ω

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

T

k

P

background image

12

Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu

[

] [

]

log

20

)

(

)

(

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

2

2

+

=

+

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

k

L

Q

P

M

L

c

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

1

log

20

log

20

)

(

1

log

20

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

T

k

L

T

L

c

background image

13

Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu

Dla:

T

/

1

<

ω

k

L

log

20

)

(

=

ω

T

/

1

>

ω

ω

ω

T

k

L

log

20

log

20

)

(

=

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

Dla: k=10

a – charakterystyka

rzeczywista

b – charakterystyka

asymptotyczna

T

s

/

1

=

ω

background image

14

Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu

Tablica 4.1

0,1 0,25 0,4 0,5 1,0

10

2,5 4,0 10,0

0,04 0,32 0,65 1,0 3,01 1,0 0,65 0,32 0,04

S

ω

ω

)

(

ω

L

Wykres błędu:

background image

15

Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

T

arctg

T

arctg

P

Q

arctg

=

=

=

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

background image

16

Charakterystyki elementu całkującego

=

ω

ω

ω

ω

T

Q

P

1

)

(

0

)

(

=

=

Ts

1

background image

17

Charakterystyki elementu różniczkującego

=

ω

ω

ω

ω

T

Q

P

=

=

)

(

0

)

(

Ts

background image

18

Charakterystyki elementu różniczkującego

Transmitancja widmowa elementu różniczkującego rzeczywistego:

1

)

(

+

=

ω

ω

ω

Tj

Tj

j

G

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

1

)

(

2

2

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

P

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

Q

background image

19

Charakterystyki elementu różniczkującego

[

] [

]

1

log

20

)

(

)

(

log

20

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

T

T

Q

P

L

1

log

20

log

20

)

(

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

L

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

background image

20

Charakterystyki elementu różniczkującego

)

(

90

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

0

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ϕ

T

arctg

T

arctg

P

Q

arctg

=

=

=

c

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

background image

21

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Transmitancja widmowa:

( )

( ) ( )

0

2

2

0

2

0

2

0

0

2

2

0

2

2

)

(

ζωω

ω

ω

ω

ω

ω

ζω

ω

ω

ω

+

=

+

+

=

j

k

j

j

k

j

G

Gdzie:

k — współczynnik proporcjonalności
ω

0

— pulsacja oscylacji własnych elementu

ω

0

— pulsacja oscylacji własnych elementu

ζ — zredukowany (względny) współczynnik tłumienia

2

0

2

2

2

0

2

2

0

2

0

)

2

(

)

(

)

(

)

(

ω

ζω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

k

P

2

0

2

2

2

0

3

0

)

2

(

)

(

2

)

(

ω

ζω

ω

ω

ω

ζω

ω

+

=

k

Q

background image

22

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

Dla: ω=0

k

P

=

)

0

(

0

)

0

(

=

Q

,

=

ω

Dla: ω=∞

0

)

(

=

P

0

)

(

=

Q

,

background image

23

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

(

) (

)

2

0

2

2

2

0

2

0

2

2

)

2

(

)

(

log

20

)

(

)

(

)

(

+

=

+

=

ω

ζω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

k

Q

P

L

c

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

2

0

2

2

0

2

1

log

20

log

20

)

(





+





=

ω

ω

ζ

ω

ω

ω

k

L

c

background image

24

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Dla:

ξ

ξξ

ξ=0

=

= )

1

(

0

ω

ω

L

ξ

ξξ

ξ

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:

Dla:

ξ

ξξ

ξ=1 – wartość

graniczna,
przebieg
aperiodyczny
(najkrócej
trwający)

background image

25

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Asymptotyczna

charakterystyka amplitudowa
dla:

1

3

,

0

ξ

Wykres błędu

dB

L

6

)

(

<

ω

background image

26

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:





=

2

2

0

0

2

)

(

ω

ω

ω

ζω

ω

ϕ

arctg

background image

27

Charakterystyki elementu opóźniającego

ωτ

ω

ωτ

ω

sin

)

(

cos

)

(

=

=

Q

P

s

e

τ

background image

28

Charakterystyki częstotliwościowe podst. elementów

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH

L.p.

Transmitancja

operatorowa

)

(s

G

Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej

)

(

ω

j

G

(transmitancji widmowej)

Wykresy logarytmicznych charakterystyk amplitudowej

)

(

ω

L

i fazowej

)

(

ω

ϕ

1

k

0

)

(

)

(

=

=

ω

ω

Q

k

P

2

1

1

+

Ts

=

ω

1

)

(

1

1

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

T

T

Q

T

P

3

1

ω

ω

Q

P

1

)

(

0

)

(

=

=

3

Ts

=

ω

ω

ω

T

Q

1

)

(

=

4

Ts

=

ω

ω

ω

ω

T

Q

P

=

=

)

(

0

)

(

5

2

0

0

2

2

0

2

ω

ξω

ω

+

+

s

s

k

=

ω

1

2

3

ξ

ξ

ξ

<

<

6

s

e

τ

ωτ

ω

ωτ

ω

sin

)

(

cos

)

(

=

=

Q

P

background image

29

Charakterystyki elementów szeregowo połączonych

)

(

)

(

2

2

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

n

j

j

j

e

M

j

G

e

M

j

G

e

M

j

G

=

=

=

K

K

K

K

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

n

j

n

n

e

M

j

G

=

)

(

)]

(

)

(

)

(

[

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

j

j

n

e

M

e

M

M

M

j

G

n

c

K

K+

+

+

=

background image

30

Charakterystyki elementów szeregowo połączonych

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

n

M

M

M

M

L

+

+

+

=

=

K

=

=

n

i

i

L

L

1

)

(

)

(

ω

ω

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

ω

ω

ω

ω

n

M

M

M

M

=

K

=

i

1

=

=

n

i

i

1

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ϕ

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

background image

31

Charakterystyki elementów szeregowo połączonych

Przykład 1:

(

) (

)

{ {

3

2

1

3

2

1

c

3

2

2

1

1

3

2

1

1

1

1

1

)

(

1

1

)

(

+

+

=

+

+

=

s

T

s

T

s

T

k

s

G

s

T

s

T

s

T

k

s

G

Dla: k=2;

T

1

=1;

T

2

=10;

T

3

=100;

3

2

1

3

2

1

4

3

2

)

(

ω

jQ

)

(

ω

P

background image

32

Charakterystyki elementów szeregowo połączonych

1000

1

100

1

10

1

1

10

100 1000

ω

2

1

L(ω)

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

-20dB/dek

20dB/dek

6dB

20dB

3

4

c

-20dB/dek

-20dB

-40dB

background image

33

Charakterystyki elementów szeregowo połączonych

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

2

4

1

1000

1

100

1

10

1

1

10

100 1000

ω

ϕ

(ω)

-45

0

45

0

3

c

-45

-90

0

-180

0

-270

0

background image

34

background image

35

Podstawy teoretyczne

t

j

e

A

u

ω

ω

)

(

_

=

)]

(

[

_

)

(

ω

ϕ

ω

ω

+

=

t

j

e

A

y

Podstawiając za: x i y parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych

zapisanych w postaci wykładniczej

]

sin

)[cos

(

)

(

1

1

t

j

t

A

e

A

t

j

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

)]}

(

sin[

)]

(

){cos[

(

)

(

2

)]

(

[

2

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ϕ

ω

+

+

+

=

+

t

j

t

A

e

A

t

j

Wejście:

Wyjście:

t

j

e

A

u

ω

ω

)

(

1

=

)]

(

[

2

)

(

ω

ϕ

ω

ω

+

=

t

j

e

A

y

)

(

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

j

t

j

j

t

j

e

M

e

A

e

e

A

j

G


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
05 Charakterystyki częstotliwościowe
05 Charakterystyki częstotliwościowe
05 Charakterystyki częstotliwościowe
Ćw 11 Czwórniki bierne charakterystyki częstotliwościowedocx
Charakterystyki czestotliwosciowe
Charakterystyki czestosciowe
Cw Charakterystyki częstotliwościowe, Semestr III PK, Semestr Zimowy 2012-2013 (III), Automatyka, Au
Miernictwo- Zdejmowanie charakterystyk częstotliwościowych przebiegów odkształconych, ?w._
Badanie częstotliwości i charakterystyk częstotliwościowych
Charakterystyki czestotliwosciowe
Charakterystyki częstotliwościowe podstawowych członów dynamicznych v4
05 Charakteryzowanie funkcji narządów organizmu człowieka 2
Charakterystyki czestotliwosciowe
Charakterystyki czestotliwo ciowe wybranych elementow liniowych
PA5 charakterystyki czestotliwosciowe [tryb zgodności]
PROJEKT I?DANIE CZWÓRNIKÓW RC?LEM WYZNACZENIA NAPIĘCIOWEJ CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ
05 Charakteryzowanie funkcji narządów organizmu człowieka
druk, Poziom dźwięku A -poziom ciś akust skorygowanego wg charakterystyki częstotliwościowej A

więcej podobnych podstron