PA5 charakterystyki czestotliwosciowe [tryb zgodności]

background image

Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. in

ż

. Jan Maciej Ko

ś

cielny

PODSTAWY AUTOMATYKI

PODSTAWY AUTOMATYKI

5. Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe

background image

2

Transmitancja widmowa

=

)

(

)

(

dt

e

t

f

j

F

t

j

ω

ω

=

dt

e

t

f

j

F

t

j

ω

ω

)

(

)

(

dla t>0

Przekształcenie Fouriera

=

0

)

(

)

(

dt

e

t

f

j

F

ω

ω

ω

j

s

s

G

j

G

=

=

)

(

)

(

background image

3

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe

Je

ż

eli na wej

ś

cie elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostanie

wymuszenie sinusoidalne o stałej cz

ę

stotliwo

ś

ci, to na wyj

ś

ciu, po zanikni

ę

ciu

przebiegu przej

ś

ciowego, ustali si

ę

odpowied

ź

sinusoidalna o tej samej

cz

ę

stotliwo

ś

ci, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie ni

ż

wymuszenie

u

0

A

1

(

ω

)

t

u

y

ω

ϕ

T=2

π/ω

A

2

(

ω

)

0

t

y

T=2

π/ω

]

sin[

)

(

sin

2

1

ϕ

ω

ω

ω

+

=

=

t

A

y

t

A

u

background image

4

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe -

okre

ś

laj

ą

zachowanie si

ę

elementu

lub układu przy wszystkich cz

ę

stotliwo

ś

ciach wymuszenia

Okre

ś

laj

ą

w funkcji cz

ę

stotliwo

ś

ci:

stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia

przesuni

ę

cie fazowe mi

ę

dzy odpowiedzi

ą

a wymuszeniem

przesuni

ę

cie fazowe mi

ę

dzy odpowiedzi

ą

a wymuszeniem

Rozró

ż

nia si

ę

nast

ę

puj

ą

ce postacie charakterystyk cz

ę

stotliwo

ś

ciowych:

charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista,

logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode

a)

logarytmiczna charakterystyka amplitudowo- fazowa (wykres Blacka)

background image

5

Podstawy teoretyczne

s

s

s

e

A

e

t

L

A

s

G

t

L

e

t

L

t

L

t

L

A

A

t

A

L

t

A

L

s

G

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

2

2

1

2

1

2

)]

[sin(

)

(

)]

[sin(

)]

[sin(

)]

[sin(

)]

[sin(

)]

sin(

[

)]

sin(

[

)

(

=

=

=

+

=

+

=

+

=

Wej

ś

cie:

Wyj

ś

cie:

)

sin(

)

(

2

ϕ

ω

ω

+

t

A

)

sin(

1

t

A

ω

)]

(

[

)]

(

[

t

f

L

e

t

f

L

s

τ

τ

=

Gdzie:

- moduł charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowej

(stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia)

1

2

)

(

)

(

A

A

M

ω

ω

=

s

s

e

A

A

e

t

L

t

L

A

A

s

G

ω

ω

ω

ω

1

2

1

2

)]

[sin(

)]

[sin(

)

(

=

=

)

(

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

=

=

j

j

e

M

A

e

A

j

G

background image

6

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres ko

ń

ców wektorów,

których:

długo

ść

reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia

k

ą

t przesuni

ę

cie fazowe mi

ę

dzy odpowiedzi

ą

a wymuszeniem

Definiowana cz

ę

sto jako:

Definiowana cz

ę

sto jako:

Wykres transmitancji

widmowej G(j

ω

)

Zespolona charakterystyka

cz

ę

stotliwo

ś

ciowa

G(j

ω

)

background image

7

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyczne

zwi

ą

zki:

G(j

ω

)

)]

(

Re[

)

(

ω

ω

j

G

P

=

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

jQ

P

j

G

+

=

2

2

)]

(

[

)]

(

[

)

(

ω

ω

ω

Q

P

j

M

+

=

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ϕ

P

Q

arctg

=

G(j

ω

)

)]

(

Im[

)

(

ω

ω

j

G

Q

=

)

(

cos

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

M

P

=

)

(

sin

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

M

Q

=

background image

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

8

Charakterystyka amplitudowo – fazowa

(Wykres Nyquista)

ω

ωω

ω

[rad/s]

0

0.1

0.5

........

→ ∞

ω

ωω

ω

[rad/s]

0

0.1

0.5

........

→ ∞

P(

ω

ωω

ω

)

Q(

ω

ωω

ω

)

P(

ω

ωω

ω

)

Q(

ω

ωω

ω

)

Przykładowa charakterystyka amplitudowo-fazowa

background image

9

jQ(

ω

ωω

ω

)

P(

ω

ωω

ω

)

ω

ωω

ω

= 0

ω

ωω

ω

= 3.0

ω

ωω

ω

=

5

- 5

- 5

5

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

ω

ωω

ω

= 0.1

ω

ωω

ω

= 0.2

ω

ωω

ω

= 0.3

ω

ωω

ω

= 1.0

ω

ωω

ω

= 3.0

G(j

ω

ωω

ω

)

- 5

background image

10

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe

amplitudowa charakterystyka

cz

ę

stotliwo

ś

ciowa

fazowa charakterystyka

cz

ę

stotliwo

ś

ciowa

background image

11

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

ϕ

(

ω

)

M(

ω

)

L(

ω

)

Logarytmiczna

charakterystyka amplitudowa

Logarytmiczna

charakterystyka fazowa

)

(

log

20

)

(

ω

ω

M

L

=

)

(

ω

ϕ

0,1

1

10

100

0,01

90

0

180

0

-90

0

-180

0

π

-

π

π

/2

-

π

/2

ω

0,1

1

10

100

0,01

20dB

40dB

-20dB

-40dB

100

0,01

10

0,1

ω

background image

Eksperymentalne wyznaczanie

charakterystyk cz

ę

stotliwo

ś

ciowych

12

u

0

, y

0

– składowe stałe sygnałów, f – cz

ę

stotliwo

ść

[Hz]

f

2

;

2

f

π

=

ω

π

ω

=

background image

13

Charakterystyki elementu proporcjonalnego

jQ(

ω

)

P(

ω

)

G( j

ω

)

k

0

)

(

)

(

=

=

ω

ω

Q

k

P

L(

ω

)

dB

ω

20

log

k

ω

0

0

ϕ

(

ω

)

background image

14

Charakterystyki elementu inercyjnego I rz

ę

du

Transmitancja widmowa:

1

1

1

1

1

1

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

T

jkT

k

T

jkT

k

Tj

Tj

Tj

k

Tj

k

j

G

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

kT

Q

=

ω

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

T

k

P

background image

15

Charakterystyki elementu inercyjnego I rz

ę

du

[

] [

]

log

20

)

(

)

(

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

2

2

+

=

+

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

k

L

Q

P

M

L

c

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

1

log

20

log

20

)

(

1

log

20

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

T

k

L

T

L

c

background image

16

Charakterystyki elementu inercyjnego I rz

ę

du

Dla:

T

/

1

<

ω

k

L

log

20

)

(

=

ω

T

/

1

>

ω

ω

ω

T

k

L

log

20

log

20

)

(

=

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

Dla: k=10

a – charakterystyka

rzeczywista

b – charakterystyka

asymptotyczna

T

s

/

1

=

ω

background image

17

Charakterystyki elementu inercyjnego I rz

ę

du

0,1

0,25

0,4

0,5

1,0

10

2,5

4,0

10,0

0,04 0,32 0,65

1,0

3,01

1,0

0,65 0,32 0,04

S

ω

ω

)

(

ω

L

Wykres bł

ę

du:

0,04 0,32 0,65

1,0

3,01

1,0

0,65 0,32 0,04

background image

18

Charakterystyki elementu inercyjnego I rz

ę

du

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

T

arctg

T

arctg

P

Q

arctg

=

=

=

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

background image

Charakterystyki elementu inercyjnego I rz

ę

du

19

0.1

5.43

0

∆ϕ

1

100

[

0

]

[rad/s]

s

/

ω

ω

10

0.01

Skala logarytmiczna

s

-5.43

Wykres odchyłek mi

ę

dzy charakterystyk

ą

fazow

ą

asymptotyczn

ą

a

rzeczywist

ą

Maksymalny bł

ą

d aproksymacji wynosi

±

5.43 [

0

]

background image

20

Charakterystyki elementu całkuj

ą

cego

=

ω

ω

ω

ω

T

Q

P

1

)

(

0

)

(

=

=

Ts

1

background image

21

Charakterystyki elementu ró

ż

niczkuj

ą

cego

=

ω

ω

ω

ω

T

Q

P

=

=

)

(

0

)

(

Ts

background image

22

Charakterystyki elementu ró

ż

niczkuj

ą

cego

Transmitancja widmowa elementu ró

ż

niczkuj

ą

cego rzeczywistego:

1

)

(

+

=

ω

ω

ω

Tj

Tj

j

G

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

1

)

(

2

2

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

P

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

Q

background image

23

Charakterystyki elementu ró

ż

niczkuj

ą

cego

[

] [

]

1

log

20

)

(

)

(

log

20

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

T

T

Q

P

L

1

log

20

log

20

)

(

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

L

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

background image

24

Charakterystyki elementu ró

ż

niczkuj

ą

cego

)

(

90

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

0

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ϕ

T

arctg

T

arctg

P

Q

arctg

=

=

=

c

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

background image

25

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Transmitancja widmowa:

( )

( ) ( )

0

2

2

0

2

0

2

0

0

2

2

0

2

2

)

(

ζωω

ω

ω

ω

ω

ω

ζω

ω

ω

ω

+

=

+

+

=

j

k

j

j

k

j

G

Gdzie:

k — współczynnik proporcjonalno

ś

ci

ω

0

— pulsacja oscylacji własnych elementu

ω

0

— pulsacja oscylacji własnych elementu

ζ

— zredukowany (wzgl

ę

dny) współczynnik tłumienia

2

0

2

2

2

0

2

2

0

2

0

)

2

(

)

(

)

(

)

(

ω

ζω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

k

P

2

0

2

2

2

0

3

0

)

2

(

)

(

2

)

(

ω

ζω

ω

ω

ω

ζω

ω

+

=

k

Q

background image

26

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

Dla:

ω

=0

k

P

=

)

0

(

0

)

0

(

=

Q

,

=

ω

Dla:

ω

=

0

)

(

=

P

0

)

(

=

Q

,

background image

27

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

(

) (

)

2

0

2

2

2

0

2

0

2

2

)

2

(

)

(

log

20

)

(

)

(

log

20

)

(

+

=

+

=

ω

ζω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

k

Q

P

L

c

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

2

0

2

2

0

2

1

log

20

log

20

)

(





+







=

ω

ω

ζ

ω

ω

ω

k

L

background image

28

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Dla:

ξξξξ

=0

=

=

)

1

(

0

ω

ω

L

ξξξξ

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:

Dla:

ξξξξ

=1 – warto

ść

graniczna,

przebieg

aperiodyczny

background image

29

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Asymptotyczna

charakterystyka amplitudowa

dla:

1

3

,

0

ξ

Wykres bł

ę

du

dB

L

6

)

(

<

ω

background image

30

Charakterystyki elementu oscylacyjnego

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:





=

2

2

0

0

2

)

(

ω

ω

ω

ζω

ω

ϕ

arctg

background image

31

Charakterystyki elementu opó

ź

niaj

ą

cego

ωτ

ω

ωτ

ω

sin

)

(

cos

)

(

=

=

Q

P

s

e

τ

background image

32

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe podst. elementów

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH

L.p.

Transmitancja

operatorowa

)

(s

G

Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej

)

(

ω

j

G

(transmitancji widmowej)

Wykresy logarytmicznych charakterystyk amplitudowej

)

(

ω

L

i fazowej

)

(

ω

ϕ

1

k

0

)

(

)

(

=

=

ω

ω

Q

k

P

2

1

1

+

Ts

=

ω

1

)

(

1

1

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

T

T

Q

T

P

3

1

ω

ω

Q

P

1

)

(

0

)

(

=

=

3

Ts

=

ω

ω

ω

T

Q

1

)

(

=

4

Ts

=

ω

ω

ω

ω

T

Q

P

=

=

)

(

0

)

(

5

2

0

0

2

2

0

2

ω

ξω

ω

+

+

s

s

k

=

ω

1

2

3

ξ

ξ

ξ

<

<

6

s

e

τ

ωτ

ω

ωτ

ω

sin

)

(

cos

)

(

=

=

Q

P

background image

33

Charakterystyki elementów szeregowo poł

ą

czonych

)

(

)

(

2

2

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

n

j

j

j

e

M

j

G

e

M

j

G

e

M

j

G

=

=

=

K

K

K

K

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

n

j

n

n

e

M

j

G

=

)

(

)]

(

)

(

)

(

[

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

j

j

n

e

M

e

M

M

M

j

G

n

c

K

K

+

+

+

=

background image

34

Charakterystyki elementów szeregowo poł

ą

czonych

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

n

M

M

M

M

L

+

+

+

=

=

K

=

=

n

i

i

L

L

1

)

(

)

(

ω

ω

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

ω

ω

ω

ω

n

M

M

M

M

=

K

=

i 1

=

=

n

i

i

1

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ϕ

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

background image

35

Charakterystyki elementów szeregowo poł

ą

czonych

Przykład 1:

(

) (

)

{ {

3

2

1

3

2

1

c

3

2

2

1

1

3

2

1

1

1

1

1

)

(

1

1

)

(

+

+

=

+

+

=

s

T

s

T

s

T

k

s

G

s

T

s

T

s

T

k

s

G

Dla: k=2;

T

1

=1;

T

2

=10;

T

3

=100;

3

2

1

3

2

1

4

3

2

)

(

ω

jQ

)

(

ω

P

background image

36

Charakterystyki elementów szeregowo poł

ą

czonych

1000

1

100

1

10

1

1

10

100 1000

ω

2

1

L(

ω

)

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

-20dB/dek

20dB/dek

6dB

20dB

3

4

c

-20dB/dek

-20dB

-40dB

background image

37

Charakterystyki elementów szeregowo poł

ą

czonych

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

2

4

1

1000

1

100

1

10

1

1

10

100 1000

ω

ϕ

(

ω

)

-45

0

45

0

3

c

-45

-90

0

-180

0

-270

0


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PA5 charakterystyki czestotliwosciowe [tryb zgodności]
PA5 charakterystyki czestotliwosciowe
PA5 charakterystyki czestotliwosciowe
2012 KU W5 tryb dzienny moodle tryb zgodnosci
(W7a Stale do kszta t na zimno cz I [tryb zgodno ci])
2 Sieci komputerowe 09 03 2013 [tryb zgodności]
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP tryb zgodnosci
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
ATMOSFERA [tryb zgodnosci]a id Nieznany
(Rachunkowosc podatkowa wyklad 4 5 [tryb zgodności])
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych tryb zgodnosci
OUN2009 [tryb zgodno
Ćw 11 Czwórniki bierne charakterystyki częstotliwościowedocx
Bankowosc materialy 14 [tryb zgodnosci]
MikroI 9 [tryb zgodnosci]
(5 ja i samoocena (1 ) [tryb zgodności])id 1080
MT st w 06 [tryb zgodności]
cz 1c projektowanie systemow czasu rzeczywistego tryb zgodnosci

więcej podobnych podstron