Wyk
ł
ad 6
MECHANIKA TEORETYCZNA
Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14
1
Wyk
ł
ad 6
Autor:
Henryk Laskowski
Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciąg
ł
ych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydzia
ł
Inżynierii Lądowej
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
1.1. Ogólna klasyfikacja
MECHANIKA
– dzia
ł
fizyki poświęcony badaniu ruchów i stanów
równowagi cia
ł
. Obejmuje statykę, kinematykę
i dynamikę
Statyka
– dzia
ł
mechaniki badający prawa równowagi
cia
ł
będących pod dzia
ł
aniem si
ł
Statyka
– dzia
ł
mechaniki badający prawa równowagi
cia
ł
będących pod dzia
ł
aniem si
ł
2
cia
ł
będących pod dzia
ł
aniem si
ł
Kinematyka
– dzia
ł
mechaniki zajmujący się opisem ruchu
cia
ł
bez uwzględnienia jego przyczyn oraz
cech fizycznych cia
ł
.
Dynamika
– dzia
ł
mechaniki badający ruch cia
ł
materialnych pod wp
ł
ywem dzia
ł
ających
na nie si
ł
cia
ł
będących pod dzia
ł
aniem si
ł
Dynamika
– dzia
ł
mechaniki badający ruch cia
ł
materialnych pod wp
ł
ywem dzia
ł
ających
na nie si
ł
Część 1
Równania ruchu punktu
1.1. Uk
ł
ady odniesienia
Uk
ł
ad odniesienia – rzeczywiste lub umowne cia
ł
o sztywne, względem którego
opisuje się ruch innych cia
ł
. Z uk
ł
adem odniesienia jest związany
uk
ł
ad wspó
ł
rzędnych
z
z
4
x
y
z
x
y
1.2. Równania ruchu w prostokątnym uk
ł
adzie wspó
ł
rzędnych
z
z
A
A
A
A
x , y , z
- wspó
ł
rzędne punktu
A
w prostokątnym uk
ł
adzie
wspó
ł
rzędnych
Gdy punkt
A
zmienia swoje po
ł
ożenie
w czasie to
x
A
, y
A
, z
A
są pewnymi
funkcjami czasu
5
x
y
A
x
A
y
A
z
O
( )
A
x
f t
=
1
( )
A
y
f
t
=
2
( )
A
z
f
t
=
3
Powyższe równania są równaniami
ruchu punktu
A
w prostokątnym
uk
ł
adzie wspó
ł
rzędnych.
Jest to tzw. skalarny opis ruchu
z
z
A
Jeśli za
ł
oży się, że
t
jest parametrem
to równania:
( )
x
f t
=
1
( )
y
f
t
=
2
( )
z
f
t
=
3
są równaniami toru punktu
A
6
x
y
A
x
A
y
A
z
O
Tor punktu
jest to zbiór wszystkich chwilowych
po
ł
ożeń punktu w trakcie trwania ruchu
Po wyrugowaniu czasu z równań parametrycznych otrzymuje się
uk
ł
ad dwóch równań, które są równaniem krawędziowym toru:
(
)
F x , y , z
=
1
0
(
)
F
x , y , z
=
2
0
z
z
A
r
- wektor wodzący punktu A
( )
( )
( )
r
f t
i
f
t
j
f
t
k
=
⋅ +
⋅ +
⋅
1
2
3
r
OA
=
( )
r
r t
=
- funkcja wektorowa
7
x
y
A
x
A
y
A
z
O
( )
r
r t
=
- wektorowy opis ruchu
z
z
A
r
φ
- odleg
ł
ość rzutu punktu
A
na p
ł
aszczyznę
Oxy
od początku
uk
ł
adu wspó
ł
rzędnych
- miara kąta pomiędzy p
ł
aszczyzną
Oxz
a p
ł
aszczyzną przechodzącą przez
punkty
A
i oś
Oz
r
≥
0
1.3. Równania ruchu we wspó
ł
rzędnych walcowych
8
x
y
z
O
r
( )
r
r t
=
- opis skalarny ruchu
we wspó
ł
rzędnych
walcowych
φ
( )
φ
φ t
=
( )
z
z t
=
A'
z
- wspó
ł
rzędna
z
w prostokątnym
uk
ł
adzie wspó
ł
rzędnych
φ
π
≤ <
0
2
x
r cos φ
=
z
z
=
y
r sin φ
=
z
z
A
r
φ
- odleg
ł
ość punktu
A
od punktu
O
- miara kąta pomiędzy p
ł
aszczyzną
przechodzącą przez punkt
A
i oś
Oz
a p
ł
aszczyzną
Oxz
θ
r
φ
π
≤ <
0
2
r
≥
0
z
A
1.4. Równania ruchu w sferycznym uk
ł
adzie wspó
ł
rzędnych
9
x
y
z
O
( )
r
r t
=
- opis skalarny ruchu
we wspó
ł
rzędnych
sferycznych
φ
( )
φ
φ t
=
( )
θ
θ t
=
A'
θ
- miara kąta pomiędzy p
ł
aszczyzną
Oxy
a promieniem
r
θ
π
θ
π
−
≤ ≤
2
2
z
θ
gdy OA
Oz
>
↑↑
0
x
r cos φ cos θ
=
z
r sin θ
=
y
r sin φ cos θ
=
Część 2
Prędkość i przyspieszenie punktu
2.1. Prędkość punktu w opisie wektorowym i skalarnym
z
t
A
t ∆t
A
+
∆r
df
∆t
∆r
υ
lim
∆t
→
=
0
dr
dt
=
r
=
&
- prędkość punktu w opisie
wektorowym
( )
v t
( )
r
r t
=
Dany jest wektorowy opis ruchu:
11
x
y
O
x
y
z
r
x e
y e
z e
=
+
+
( )
x
f t
=
1
( )
y
f
t
=
2
( )
z
f
t
=
3
Jeśli
to
wektorowym
x
y
z
υ
x
υ
y
υ
z
=
=
=
&
&
&
x
y
z
υ
x e
y e
z e
=
+
+
&
&
&
gdzie
- sk
ł
adowe prędkości
w prostokątnym uk
ł
adzie
wspó
ł
rzędnych
2.2. Przyspieszenie punktu w opisie wektorowym i skalarnym
z
∆r
df
∆t
∆υ
a
lim
∆t
→
=
0
dυ
dt
=
r
=
&&
- przyspieszenie punktu w opisie
wektorowym
( )
v t
∆v
( )
v t
( )
r
r t
=
Dany jest wektorowy opis ruchu:
12
x
y
O
(
)
v t
∆t
+
x
y
z
r
x e
y e
z e
=
+
+
( )
x
f t
=
1
( )
y
f
t
=
2
( )
z
f
t
=
3
Jeśli
to
wektorowym
x
y
z
a
x
a
y
a
z
=
=
=
&&
&&
&&
x
y
z
a
x e
y e
z e
=
+
+
&&
&&
&&
gdzie
- sk
ł
adowe przyspieszenia
w prostokątnym uk
ł
adzie
wspó
ł
rzędnych
∆v
2.3. Prędkość i przyspieszenie punktu w opisie naturalnym
z
3. Punkt początkowy toru
s
<
0
( )
s
s t
=
Ω
0
s
<
0
Naturalny opis ruchu:
4. Równanie ruchu
2. Orientacja toru
Ω
0
( )
r
r s
=
1. Równanie toru
13
x
y
O
s
dr
τ
ds
=
dr ds
υ
r
s τ
ds dt
= =
⋅
=
&
&
- wektor kierunku
stycznego do toru
ds
s
dt
=
&
- prędkość skalarna
Prędkość punktu w opisie naturalnym
( )
r t
(
)
r t
∆t
+
∆r
∆s
Ω
0
τ
∆r
s
∆s
<
0
O
( )
r t
(
)
r t
∆t
+
∆r
∆s
Ω
0
τ
∆r
s
∆s
>
0
O
υ
υ
t
A
t ∆t
A
+
t
A
t ∆t
A
+
Ustalenie zwrotu wektora
τ
14
Zwrot wektora kierunku stycznego do toru
jest zawsze zgodny z orientacją toru
Wartość wektora
τ
∆s
ξ
∆r
∆r
τ
lim
lim
∆s
∆r
ξ
→
→
=
=
=
+
0
0
1
τ
jest wersorem kierunku stycznego do toru
τ
τ
⊥
&
( )
d
a
υ
s τ
s τ
s τ
dt
= =
=
+
&
&
&
&&
&
dτ
dτ ds
dτ dα
dτ
- przyspieszenie normalne do toru
Przyspieszenie punktu w opisie naturalnym
d
τ
τ
τ τ
dt
=
=
=
2
2
1
2
0
&
s
s τ
a
=
&&
- przyspieszenie styczne do toru
n
s τ
a
=
&
&
s
n
a
a
a
= +
15
n
dτ
dτ ds
dτ dα
dτ
a
s
s
s
s κ
s κν
dt
ds dt
dα ds
dα
=
=
⋅
=
⋅
=
=
2
2
2
&
&
&
&
&
df
dα
κ
ds
=
- krzywizna krzywej (zak
ł
ada się, że przyrosty
drogi i kąta są tego samego znaku)
ds
ρ
dα
κ
=
=
1
- promień krzywizny
ν
- wektor wspó
ł
liniowy z a więc normalny do toru
τ&
(
)
s
υ
a
a τ τ
a
υ
υ
= ⋅
=
⋅
2
(
)
d
d
υ
υ υ
υ υ
a υ
dt
dt
=
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
2
2
2
&
s
d
a
υ
υ
dt
υ
=
2
2
1
2
Przyspieszenie normalne można wyznaczyć z zależności
Przyspieszenie styczne do toru jest rzutem przyspieszenia ca
ł
kowitego na
kierunek styczny
16
n
s
d
a
a
a
a
υ
υ
dt
υ
= − = −
2
2
1
2
(
) (
)
(
)
n
s
υ
a
a
a
a
a
υ
a
υ υ
a υ
υ
υ a
υ
υ
υ
υ
= − = −
⋅
=
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
× ×
2
2
2
1
1
W
ł
asności wektora
ν
( )
r t
(
)
r t
∆t
+
∆α
∆τ
sin
=
2
2
Ω
0
t ∆t
τ
+
s
O
t
A
t ∆t
A
+
t
τ
∆α
∆α
∆α
∆α
sin
∆τ
ν
lim
lim
∆α
∆α
→
→
=
=
=
0
0
2
2
1
17
O
∆τ
∆α
2
∆α
2
t
τ
t ∆t
τ
+
r
=
1
∆α
∆α
ν
lim
lim
∆α
∆α
→
→
=
=
=
0
0
1
Wektor jest wersorem
ν
τ
<
( )
r t
(
)
r t
∆t
+
Ω
0
t ∆t
τ
+
s
O
t
A
t ∆t
A
+
t
τ
∆α
t ∆t
τ
+
∆τ
∆s
>
0
∆s
>
0
∆τ
skierowany w obszar
po stronie wklęs
ł
ej toru
∆τ
∆s
skierowany w obszar
po stronie wklęs
ł
ej toru
18
( )
r t
(
)
r t
∆t
+
Ω
0
s
O
t
A
t ∆t
A
+
t
τ
∆α
t ∆t
τ
+
∆τ
∆s
<
0
∆s
<
0
∆τ
skierowany w obszar
po stronie wklęs
ł
ej toru
∆τ
∆s
skierowany w obszar
po stronie wypuk
ł
ej toru
t ∆t
τ
+
jest skierowany do środka krzywizny
dτ
dτ dα
κν
ν
ds
dα ds
=
⋅
=
↑↑
ν
2.4. Trójścian Freneta
τ
b
p
ł
aszczyzna
ściśle styczna
p
ł
aszczyzna
normalna
p
ł
aszczyzna
prostująca
19
ν
n
o
rm
al
n
a
g
ł
ó
w
n
a
ściśle styczna
okrąg
ściśle styczny
ρ
τ
ν
b
- wersor binormalny
- wersor styczny
- wersor normalny
b
τ
ν
= ×
Przyspieszenie w lokalnej bazie Freneta
τ
ν
b
przeciwny do orientacji toru
kierunek styczny
do toru
modu
ł
s
a
s
a
s τ
=
⇔
&&
s
a
s
=
&&
zwrot zależny od znaku
zgodny z orientacją toru
gdy
0
s
>
&&
s
&&
20
ρ
przeciwny do orientacji toru
gdy
n
a
a
0
b
a
=
0
s
<
&&
kierunek normalnej g
ł
ównej
modu
ł
zwrot zawsze do środka
krzywizny toru
2
2
n
a
s κ
υ κ
=
=
&
Wektor przyspieszenia leży
w p
ł
aszczyźnie ściśle stycznej
2
n
a
s κν
=
⇔
&
Część 3
Ruch po okręgu
A
υ
R
φ
l
e
ε
O
2
2
s
φ
s
R φ
πR
π
=
⇒
=
υ
s τ
R φ τ
R ω τ
=
=
=
&
&
3.1. Prędkość w ruchu po okręgu
- zależność pomiędzy
drogą s a drogą kątową φ
Punkt porusza się po okręgu o promieniu R
i środku w punkcie O
Prędkość w ruchu po okręgu
ω
22
Ω
0
r
α
s
x
y
z
ε
df
ω φ
=
&
- skalarna prędkość kątowa
0
df
l
l
l
∆t
∆φ
ω
lim
e
φ e
ω e
∆t
→
=
=
=
&
- wektor prędkości kątowej
gdzie
1
l
ω r
ω e
r
ω
r sin α τ
Rωτ
υ
r
× = ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
= =
&
ω, r , υ
Wektory związane są zależnością
ω r
υ
× =
A
υ
R
φ
l
e
ω
O
3.2. Przyspieszenie w ruchu po okręgu (opis naturalny)
Przyspieszenie normalne do toru
s
a
s τ
R φ τ
R ω τ
R ε τ
=
=
=
=
&&
&&
&
Przyspieszenie styczne do toru
2
2
s
a
ν
R ω ν
=
=
&
ε
23
Ω
0
r
α
s
x
y
z
0
df
l
l
l
∆t
∆ω
ε
lim
e
φ e
ε e
∆t
→
=
=
=
&&
- wektor przyspieszenia kątowego
2
n
s
a
ν
R ω ν
R
=
=
&
df
ε φ
=
&&
- skalarne przyspieszenie kątowe
gdzie
ε
A
υ
R
φ
l
e
ω
O
ε
3.3. Przyspieszenie w ruchu po okręgu (opis wektorowy)
24
(
)
s
n
d
d
a
υ
ω r
ω r
ω r
ε
r
ω υ
a
a
dt
dt
=
=
×
= × + × = × + × = +
&
&
1
l
s
ε
r
ε e
r
ε
r sin α τ
R ε τ
a
× = ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
=
2
l
n
ω υ
ω e
R ω τ
R ω ν
a
× = ⋅ ×
=
=
Ω
0
r
α
s
x
y
z
ε
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MT st w 08 [tryb zgodności]
MT st w 05 [tryb zgodności]
MT st w 07 [tryb zgodności]
MT st w 03 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 02a [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 02 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodności]
MT st w 041 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 11 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 06
1 ST PiS [tryb zgodnosci]
Chemia Jadrowa 06 [tryb zgodnosci]
MT st w 06
więcej podobnych podstron