1

Wykład 4

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydział Inżynierii Lądowej

REDUKCJA DO NAJPROSTSZEJ POSTACI

PŁASKI I RÓWNOLEGŁY UKŁAD SIŁ

Część 1

REDUKCJA DO NAJPROSTSZEJ POSTACI

cd.

3

1.1. Twierdzenie o zmianie bieguna - cd

Wniosek 4
Jeżeli punkt redukcji przemieszcza się po prostej równoległej do sumy to
moment układu względem tego punktu nie ulega zmianie

Z: Wektor OO’ || S

T: Moment układu

nie ulega zmianie

O

O'

M

M



D:

OO'||S

O'

O

O'

O

M

M

S

OO'

M

M











n

A

2

F

1

A



i

A

2

A

i

F

1

F

n

F







O

O'

S

O'

M

S

O

M

4

Wniosek 5
Rzut momentu na kierunek sumy jest stały i nie zależy od punktu redukcji

D:

S

K

M

const

S

S







Miara rzutu M na kierunek S
jest stała a tym samym rzut
M na S jest stały

A

B

A

M

a

S



B

M

b

S





O

M

O

O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

w

S





α

?

O

M

O

M

5

A

π

B

π

O

M

O

w

S





O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

a

S



b

S



A

M

B

M

A

B

O

M

O

M

n

O

A

M

M

S

AO







AO







O

A

M

AO

M

AO

S

AO

AO













0

0

A

M

AO



A

O

M

M

S

OA







S

OA

S

OA







S

OA



F

F







S

OB



Skrętnik

1.2. Przypadek ogólny

K  0

- własności wektorów zredukowanych

6

A

π

B

π

O

w

S





O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

a

S



b

S



A

B

O

M

n

S

OA



A

M

O

M

B

M

O

M

F

F



S

OB



1.3. Przypadek szczególny K

S







0

0 - redukcja do wypadkowej

W punkcie O prostej działania wypadkowej układ sił
redukuje się do jednego wektora

w

S

M





 0

F

F



a

F



Wypadkowa

7

O

O

ś

ś

ro

d

k

o

w

a

A

π

a

S



A

M

O

M

w

S



O

A

M

M

S

AO







S







O

A

M

S

M

S

S

AO

S













0

λ AO , λ



 0

O

O : M

S



A







S

AO

S

S

AO S

λ AO











 

AO



λ

S



2

A

M

S

S

AO









2



A

S

M

AO

S





2





X x, y, z

A

S

M

OX

λ S

S





 

2

Wektorowe równanie osi środkowej

1.4. Równanie osi środkowej

8

1.5. Przypadki redukcji - podsumowanie

Cztery przypadki redukcji

do najprostszej postaci

Cztery przypadki redukcji

w punkcie

Układ zerowy

1.

S

M







0

0

Para sił

2.

S

M







0

0

Skrętnik

4.

K  0

Wektor i para sił
(lub dwa wektory)

4.

S

M







0

0

Układ zerowy

1.

S

M







0

0

Para sił

2.

S

M







0

0

Jeden wektor

3.

S

M







0

0

Wypadkowa

3.

S

K







0

0

Część 2

PŁASKI UKŁAD SIŁ

10

2.1. Definicja płaskiego układu sił

Płaski układ sił

Układ sił, których proste działania
zawierają się w jednej płaszczyźnie

F

1

π

i

F

F

3

F

2

11

2.2. Przykłady

Układ sił przekazywanych na pylon
przez wanty mostu podwieszonego

fot. Henryk Laskowski – archiwum SKNMB

12

Układ sił przekazywanych na łuk
żelbetowy przez podpory pomostu

Wiadukt drogowy w Milówce

fot. Jacek Ostaficzuk

13

fot. Paweł Szafran – archiwum SKNMB

Układ sił w węźle kratownicy

14

2.3. Redukcja płaskiego układu sił

F

1

π

i

F

F

3

F

2

O

n

M

1

A

2

i

M

A

1

i

A

A

3

M

2

M

3

O

M

S



i

i

i

F

A O

π

M

S









n

i

i

S

F







1

n

O

i

i

i

M

F

A O









1

df

O

K

M

S



 0



Redukcja w punkcie

15

n

A

2

F

1

A



i

A

2

A

i

F

1

F

n

F







Przypadek redukcji do najprostszej postaci

S

M







0

0

M

oś ś

rodk

owa

pros

ta dz

iałan

ia w

ypad

kowe

j

F

F



F



n

A

2

F

1

A



i

A

2

A

i

F

1

F

n

F







16

2.4. Przypadki redukcji płaskiego układu sił - podsumowanie

Trzy przypadki redukcji

do najprostszej postaci

Cztery przypadki redukcji

w punkcie

Układ zerowy

1.

S

M







0

0

Para sił

2.

S

M







0

0

Wypadkowa

3.

S  0

Wektor i para sił w płaszczyźnie
układu (lub dwa wektory)

4.

S

M







0

0

Układ zerowy

1.

S

M







0

0

Para sił

2.

S

M







0

0

Jeden wektor

3.

S

M







0

0

Płaski układ sił nie może się

zredukować ani do dwóch

wektorów skośnych ani do

skrętnika

17

P

5

Pa

16

O

y

x

a

a

A

1

A

2

A

3

z

M

P a

P

a

P

a

P a

P

a

Pa

Pa



 









 







5

6

3

3

3

4

4

7

16

4

P

6

P

5

A

4

Pa

16

x

S

P

P

P







6

4

2

y

S

P

P

P

P

 







5

3

4

2

P

3

P

4

P

4





b

S

P

P



 2

2

0





O

M

Pa

 0

0 4

Redukcja

do najprostszej postaci

O

M

S OX







0



 







Pa

P

P

x

y

z







0

0 0 4

2

2

0

y

x

a



 2

Redukcja w punkcie

Najprostszym równoważnym
układem zredukowanym jest
wypadkowa

w = S

o prostej

działania danej równaniem:

y = x – 2a

2.5. Redukcja płaskiego układu sił – przykład obliczeniowy

W punkcie

O

układ sił redukuje

się do wektora

b = S

oraz do

pary sił o momencie

M

O

Część 3

RÓWNOLEGŁY UKŁAD SIŁ

19

3.1. Definicja równoległego układu sił

Równoległy układ sił

Układ sił, w którym siły są równoległe do stałego kierunku

F

1

F

2

F

3

i

F

F

4

n

F

e

A

1

A

2

A

3

i

A

n

A

A

4

r

1

M

1

i

M

R

M

S

π

R

π

π

e







i

i

i

M

F

r





i

i

M

F



i

M

π

M

π

M

S



K  0

Trzy przypadki redukcji

do najprostszej postaci

Para sił

2.

S

M







0

0

Wypadkowa

3.

S  0

Układ zerowy

1.

S

M







0

0

20

3.2. Przykłady równoległych układów sił

Siła działająca wzdłuż osi

Układ sił równoległych w nitach

fotografia własna

Układ sił w złączu nitowanym

21

Internet

Układ sił nacisku kół na podłoże

22

Układ sił w przewodach

Prawie równoległy

fot. Justyna Laskowska

23

1.3. Środek równoległego układu sił o sumie różnej od 0

F

1

F

2

F

3

i

F

F

4

n

F

e

A

1

A

2

A

3

i

A

n

A

A

4

r

1

O

*

O

O

– stały punkt odniesienia

e

– wersor równoległego

układu sił

*

O*

O

M

M

S OO







n

n

*

i

i

i

i

i

F

A O

F

OO

















1

1

F

i

– miara siły

F

i

na

kierunku e





n

n

*

i

i

i

i

i

F e

r

F

e OO











  



 















1

1

0

n

n

*

i

i

i

i

e

F r

F

OO













 

 

























1

1

0

n

n

*

i

i

i

i

n

n

*

i

i

i

i

F r

F

OO

e

F r

F

OO

















 























 

























1

1

1

1

0

n

i

*

i

n

i

i

F r

OO

F

























1

1

OO

*

– wektor określający położenie

środka równoległego układu sił

24

Własności środka równoległego układu sił

Układ posiadający środek redukuje się w tym punkcie do wypadkowej

Moment układu względem środka jest równy 0

Jeżeli w równoległym układzie sił, posiadającym środek, obrócimy siły wokół ich
punktów zaczepienia o ten sam kąt to środek układu nie zmieni swojego położenia