Przykład: element inercyjny i wymuszenie sinusoidalne

$$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1}$$

$$x(t) = \sin\text{ωt};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$$

$$Y\left( s \right) = G(s) \bullet X(s) = \frac{k}{Ts + 1} \bullet \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{\text{kω}}{\left( Ts + 1 \right)\left( s^{2} + \omega^{2} \right)}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{A}{Ts + 1} + \frac{Bs + C}{s^{2} + \omega^{2}}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{\text{As}^{2} + \text{Aω}^{2} + BTs^{2} + Bs + CTs + C}{\left( Ts + 1 \right)\left( s^{2} + \omega^{2} \right)}$$

$$\left\{ \begin{matrix} A + BT = 0 \\ B + CT = 0 \\ \text{Aω}^{2} + C = k\omega \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \left\{ \begin{matrix} A = kT^{2}\omega - {AT^{2}\omega}^{2} \\ B = - kT\omega + \text{ATω}^{2} \\ C = k\omega - \text{Aω}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{kT^{2}\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \\ B = \frac{- kT\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \\ C = \frac{\text{kω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{kT^{2}\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \bullet \frac{1}{Ts + 1} + \frac{\text{kω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \bullet \frac{- Ts + 1}{s^{2} + \omega^{2}}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} \bullet \frac{1}{s + \frac{1}{T}} - \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}\left( \frac{\text{Tωs}}{s^{2} + \omega^{2}} - \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \right)$$

$$y(t) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}e^{- \frac{t}{T}} - \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}\left\lbrack \text{Tω}\cos\left( \text{ωt} \right) - \sin\left( \text{ωt} \right) \right\rbrack$$

Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ

$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \text{ωt} \\ A\sin\alpha = T\omega \\ \operatorname{Acos}\alpha = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \text{ωt} \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = T^{2}\omega^{2} \\ {\cos\alpha}^{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \text{ωt} \\ A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = 1 + T^{2}\omega^{2} \\ \tan\alpha = - T\omega \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\begin{matrix} \ A = \sqrt{1 + T^{2}\omega^{2}} \\ \tan\left( - \alpha \right) = T\omega \\ \end{matrix}$$

$$y(t) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}e^{- \frac{t}{T}} - \frac{k\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right)\ $$

$$y(t) = \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}e^{- \frac{t}{T}} - \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right)\ $$

$$\begin{matrix} \operatorname{}{y(t)} = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right) = A_{y}\sin\left( \text{ωt} - \alpha \right) \\ x(t) = A_{x}\sin\left( \text{ωt} \right) \\ \end{matrix}\ $$

$$\begin{matrix} Y(s) = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}e^{- j\alpha} \\ X(s) = A_{x}\frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \\ \end{matrix}\ $$

$$\begin{matrix} \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{A_{y}}{A_{x}}e^{- j\alpha} = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}e^{- j\alpha} \\ \end{matrix}\ $$

$$\begin{matrix} G(s = j\omega) = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}e^{- j\alpha} \\ \end{matrix}\ $$

Transmitancja widmowa

$$\begin{matrix} G(j\omega) = Me^{- \varphi j} \\ \end{matrix}\ $$

gdzie: M – moduł

φ – przesunięcie fazowe.

Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego o kształcie sinusoidalnym po zaniku składowych przejściowych. Transmitancję widmową otrzymujemy na podstawie transmitancji operatorowej dla argumentu s=jω.

Pobudzając układ automatyki sygnałem sisnusoidalnym otrzymujemy również sygnał sinusoidalny na odpowiedzi o tej samej częstotliwości ω. Sinusoida odpowiedzi różni się od sinusoidy wejscia zawsze amplitudą i względnym przesunięciem obu sygnałów nazywane przesunięciem fazowym mierzone miarą kątową. Względna wartość amplitud wyjścia i wejścia nazywana jest modułem M.

$$M = \frac{A_{y}}{A_{x}}$$

Moduł M i przesunięcie fazowe φ są zależne od częstotliwości sygnału wejścia ω. Wykresy modułu M i przesunięcia fazowego φ w pełnym zakresie zmian częstotliwości ω od zera do nieskończoności ( widma lub pasma częstotliwości) nazywane są charakterystykami widmowymi lub częstotliwościowymi. Argumentem w charakterystykach widmowych jest częstotliwość ω jako urojony składnik zmiennej operatorowej s o wartościach dodatnich.

Algebra liczb zespolonych.

z = a + bi

Im z = Me^−φi

b $M = \sqrt{a^{2} + b^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tan\varphi = \frac{b}{a}$

M $\tan{\varphi = \frac{b}{a}}$

a Re

gdzie:

M – długość wektora

φ – kąt między wektorem a osią rzeczywistą (Re)

a, b – współrzędne wektora

Matematycznie transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną, czyli punktem na płaszczyźnie lub wektorem o znanej długości i kierunku. Fizycznie dla danej częstotliwości transmitancja widmowa, czyli długość wektora jest stosunkiem amplitud sygnałów wyjścia i wejścia, oraz kierunek wektora –kąt przesunięcia fazowego – jest miarą przesunięcia między sygnałami wyjścia i wejścia. Zmiany amplitudy odpowiedzi i przesunięcie fazowe spowodowane są własnościami elementu i mogą być wykorzystane do identyfikacji elementu.

Przejście z transmitancji operatorowej do widmowej

$$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1}$$

$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{Tj\omega + 1}$$

$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{1 + Tj\omega} \bullet \frac{1 - Tj\omega}{1 - Tj\omega}$$

$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k - kTj\omega}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$

$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}} - j\frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$

G(jω) = P + jQ

$$P = \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q = - \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$

$$G\left( \text{jω} \right) = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}e^{- j\varphi} = Me^{- j\varphi}$$

$$M = \frac{A_{y}}{A_{x}} = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}$$

$$M = \sqrt{\frac{k^{2}}{\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)^{2}} + \frac{k^{2}{T^{2}\omega}^{2}}{\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)^{2}}}$$

$$M = \sqrt{\frac{k^{2}\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)}{\left( 1 + {T^{2}\omega}^{2} \right)^{2}}}$$

$$M = \sqrt{\frac{k^{2}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}$$

$$M = \frac{A_{y}}{A_{x}} = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}$$

$$\tan\varphi = \frac{Q}{P} = - \frac{\frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}{\frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}} = - T\omega$$

tan(−φ) = Tω;        φ = −arctan(Tω)

$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}e^{- j\varphi}$$

Charakterystyka amplitudowo – fazowa zwana Nyquista, rysowana na płaszczyźnie zespolonej P-Q (Re – Im)

$$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1}$$

$$P = \frac{k}{1 + {T^{2}\omega}^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q = - \frac{\text{kTω}}{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$

$$M = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi = - arc\tan\left( \text{Tω} \right)$$

Tabelka wartości:

l.p.	ω	P	Q	M	φ
1.	0	k	0	k	0̊
2.	$$\frac{1}{\sqrt{3}T}$$	$$\frac{3}{4}k$$	$$- \frac{\sqrt{3}}{4}k$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}k$$	-30̊
3.	$$\frac{1}{T}$$	$$\frac{k}{2}$$	$$- \frac{k}{2}$$	$$\frac{k}{\sqrt{2}}$$	-45̊
4.	$$\frac{\sqrt{3}}{T}$$	$$\frac{1}{4}k$$	$$- \frac{\sqrt{3}}{4}k$$	$$\frac{k}{2}$$	-60̊
5.	∞	0	0	0	-90̊

Im

k/2 k Re

4 3 2

Im

k/2 k Re

-k/2

Wykresem transmitancji widmowej jest obwiednia wszystkich wektorów. Pojedynczy wektor wyznacza się dla danej częstotliwości ω.

Wykresem transmitancji widmowej dla elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest półkoło o średnicy k.

Charakterystyka częstotliwościowa modułu

$$M = \frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}$$

Obie charakterystyki wykonywane są od argumentu logω. Wartość modułu wyrażona jest w skali decybelowej L:

L = 20logM [dB]

L = f(logω)

$$L = 20log\frac{k}{\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}}\ $$

$$L = 20logk - 20log\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}}$$

Równanie dzielimy na dwa przedziały:

- $\omega \ll \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 + {T^{2}\omega}^{2} \approx 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 20log\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}} = 0$

L₁ = 20logk

Wartość stała niezależna od częstotliwości ω.

- $\omega = \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 + {T^{2}\omega}^{2} = 2$

- $\omega \gg \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 + {T^{2}\omega}^{2} \approx {T^{2}\omega}^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ 20log\sqrt{1 + {T^{2}\omega}^{2}} = 20log(T\omega)$

L₂ = −20log(Tω) + 20logk

L₂ = −20log(ω) + 20logk − 20log(T)

y = ax + b

gdzie:

$$\begin{matrix} a = - 20 \\ x = \log\left( \omega \right) \\ b = 20logk - 20\log\left( T \right) \\ \end{matrix}$$

Równanie prostej nachylonej 20 dB na dekadę. Charakterystyka logarytmiczna modułu składa się z dwóch postych, które się przecinają w jednym punkcie.

L₁ = L₂

20logk = −20log(ω) + 20logk − 20log(T)

0 = −20log(Tω)

Tω = 1

$$\omega = \frac{1}{T}$$

L

0 1/T 10/T logω

-20

Charakterystyka częstotliwościowa fazowa

φ = −arctan(Tω)

Funkcja tangens

Funkcja arctangens

Funkcja arctangens w zakresie dodatniego argumentu

Funkcja arctangens w zakresie dodatniego argumentu w skali logarytmicznej dla elementu inercyjnego pierwszego rzędu:

- ω = 0                    ⇒             Tω = 0           ⇒               − arctan(0) = 0

- $\omega = \frac{1}{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\omega = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - arc\tan\left( 1 \right) = - 45\mathring{}$

- ω = ∞                  ⇒           Tω = ∞           ⇒               − arctan(∞) = −90o

Charakterystyki modułu i fazowa łącznie stanowią całość, komplet.

L

0 1/T 10/T logω

-20

φ

0 1/10T 1/T 10/T logω

-45

-90

Kreślenie charakterystyk częstotliwościowych dla układów złożonych:

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_{0}}{s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ \ldots + a_{1}s + a_{0}}$$

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_{0}}{\left( s - s_{n} \right)\left( s - s_{n - 1} \right) \bullet \ \ldots\ldots\ldots \bullet \left( s - s_{2} \right)\left( s - s_{1} \right)\left( s - s_{0} \right)}$$

G(jω) = M_ne^−jφ_n • M_n − 1e^{−jφ_n − 1} • ………M₂e^−jφ₂ • M₁e^−jφ₁ • M₀e^−jφ₀•

G(jω) = M_nM_n − 1 • ……… • M₂M₁M₀ • e^{−j(φ_n+φ_n − 1+…+φ₂+φ₁+φ₀)}

$$\left\{ \begin{matrix} M = M_{n}M_{n - 1} \bullet \ldots\ldots\ldots \bullet M_{2}M_{1}M_{0} \\ \varphi = \varphi_{n} + \varphi_{n - 1} + \ldots + \varphi_{2} + \varphi_{1} + \varphi_{0} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} L = 20\left( \text{logM}_{n}{+ logM}_{n - 1} + \ldots\ldots\ldots + logM_{2} + logM_{1} + logM_{0} \right) \\ \varphi = \varphi_{n} + \varphi_{n - 1} + \ldots + \varphi_{2} + \varphi_{1} + \varphi_{0} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe układów złożonych modułu i fazy dodają się matematycznie i graficznie.

Przykład:

$$G\left( s \right) = \frac{1}{\left( s + 1 \right)\left( 100s + 1 \right)}$$

L

0 -2 -1 0 logω

-20

L

0 -2 -1 0 1 logω

-20

L

0 -2 -1 0 1 logω

-20

-60

-80

Suma modułu

φ

0 -3 -2 -1 0 1 2 logω

-45

-90

φ

0 -3 -2 -1 0 1 2 logω

-45

-90

φ

0 -3 -2 -1 0 1 2 logω

-45

-90

-180

T1=1; T2=100

T1=1; T2=10