Obliczenia do projektu stopy fundamentowej
obciążonej osiowo
Przemysław Baran
Maj 2008
1
Zestawienie danych
Dla powyższych danych gruntowo-wodnych przyjęto poziom posadowienia na głębokości
1.2 [m].
1
2
Ustalenie wymiarów stopy
2.1
Ustalenie obliczeniowego oporu podłoża (1)
W pierwszym przybliżeniu założono jednostkowe wymiary stopy fundamentowej w planie:
B = L = 1.0[m]
Obliczeniowy opór jednostkowy podłoża jest opisany poniższą formułą:
q
f
= q
f C
+ q
f D
+ q
f B
gdzie:
q
f C
=
1 + 0.3
B
L
N
C
· c
r
u
q
f D
=
1 + 1.5
B
L
N
D
· D
min
· ρ
r
D
· g
q
f B
=
1 − 0.25
B
L
N
B
· B· ρ
r
B
· g
Ponieważ nasza stopa jest symetryczna (L = B), zatem powyższe wzory przyjmą postać:
q
f C
= 1.3· N
C
· c
r
u
q
f D
= 2.5· N
D
· D
min
· ρ
r
D
· g
q
f B
= 0.75· N
B
· B· ρ
r
B
· g
Poziom posadowienia D = D
min
= 1.2[m], Obliczeniowa gęstość objętościowa gruntu po-
wyżej poziomu posadowienia ρ
r
D
= 1.89[g/cm
3
], Obliczeniowa gęstość objętościowa gruntu
poniżej poziomu posadowienia, do głębokości z = B, ρ
r
B
= 1.44[g/cm
3
], Obliczeniowa war-
tość kohezji gruntu w poziomie posadowienia c
r
u
= 0, Obliczeniowa wartość kąta tarcia
wewnętrznego gruntu w poziomie posadowienia φ
r
u
= 29.5· 0.9 = 26.55[
◦
]
Na podstawie obliczeniowej wartości kąta tarcia wewnętrznego obliczono wartości współ-
czynników nośności:
N
D
= tg
2
45
◦
+
φ
r
u
2
!
exp (π· tg(φ
r
u
)) = tg
2
45
◦
+
26.55
2
exp (π· tg(26.55)) = 12.57
N
B
= 0.75 tg(φ
r
u
) (N
D
− 1) = tg(26.55) (12.57 − 1) = 4.34
N
C
= ctg(φ
r
u
) (N
D
− 1) = 0.75 ctg(26.55) (12.57 − 1) = 23.16
Zatem obliczeniowy opór jednostkowy podłoża (w pierwszym przybliżeniu) wyniesie:
q
f C
= 0
q
f D
= 2.5· 12.57· 1.2· 1.89· 9.81 = 699.18[kP a]
q
f B
= 0.75· 4.34· 1.0· 1.44· 9.81 = 45.98[kP a]
q
f
= 699.18 + 45.98 = 745.16[kP a]
2
2.2
Obliczenie rzeczywistej szerokości stopy
Warunek I-SG:
q
rs
¬ m· q
f
gdzie:
q
rs
=
Q
r
+ G
B
2
¬ m· q
f
Siła osiowa w słupie Q
r
= 1650[kN ], współczynnik korekcyjny (wg PN-81/B-03020) m =
0.9· 0.9 = 0.81, ciężar stopy i gruntu na odsadzkach G (wartość nieznana).
Zatem szerokość stopy powinna wynosić:
B
2
Q
r
+ G
0.81· q
f
Ponieważ wielkość G jest nieznana, powyższy wzór modyfikuje się do postaci:
B
2
Q
r
0.81· q
f
− σ
g
gdzie:
σ
g
= D· 23.54
jest naprężeniem w poziomie posadowienia od żelbetu i gruntu na odsadzkach
(23.54[kN/m
3
] to iloczyn średniej gęstości gruntu i żelbetu przez przyspieszenie ziem-
skie). Ostatecznie:
σ
g
= 1.2· 23.54 = 28.25[kP a]
B
2
1650
0.81· 745.16 − 28.25
B 1.69[m]
Przyjęto B = 1.70[m]
2.3
Obliczenie wysokości stopy
Wysokość użytkowa stopy:
h
1
0.5a
sb
v
u
u
t
1 +
4
h
2B (L − a
sl
) − (B − a
sb
)
2
i
a
2
sb
(3k + 4)
− 1
k =
R
bz
σ
σ =
Q
r
B· L
W naszym przypadku L = B, oraz a
sb
= a
sl
= a
s
:
h
1
0.5a
s
v
u
u
t
1 +
4
h
2B (B − a
s
) − (B − a
s
)
2
i
a
2
s
(3k + 4)
− 1
3
σ =
Q
r
B
2
Szerokość słupa a
s
= 0.5[m], Obliczeniowa wytrzymałość betonu na rozciąganie (w kon-
strukcjach żelbetowych) R
bz
= 750[kP a]. Ostatecznie:
σ =
1650
1.70
2
= 570.93[kP a]
k =
750
570.93
= 1.313
h
1
0.5· 0.5
v
u
u
t
1 +
4
h
3.4 (1.7 − 0.5) − (1.7 − 0.5)
2
i
0.5
2
(3· 1.313 + 4)
− 1
= 0.38[m]
Przyjęto h
1
= 0.4[m], grubość otuliny 0.05[m], zatem całkowita wysokość stopy wyniesie:
h = h
1
+ 0.05 = 0.4 + 0.05 = 0.45[m]
Wysokość podstawy stopy w opiera się na warunku: w 0.15[m] oraz w
h
6
÷
h
4
.
Podstawiając:
0.45
6
= 0.075[m]
0.45
4
= 0.113[m]
Przyjęto w = 0.15[m]. Stąd h
p
= h − w = 0.45 − 0.15 = 0.30[m]
3
Sprawdzenie I-SG w poziomie posadowienia
3.1
Obliczenie ciężaru stopy i gruntu na odsadzkach
Stopa składa się z prostopadłościanu (cz. dolna) i ostrosłupa ściętego podstawą słupa
(cz. górna). W celu wykonania deskowania dla słupa, powierzchnia górna stopy, z każdej
strony, musi być o 5 cm dłuższa. Zatem powierzchnia górna stopy wyniesie:
f = (a
s
+ 2· 0.05)
2
= (0.5 + 2· 0.05)
2
= 0.303[m
2
]
Powierzchnia dolna stopy:
F = B
2
= 1.7
2
= 2.89[m
2
]
Objętość stopy w części dolnej:
V
d
= F · w = 2.89· 0.15 = 0.434[m
3
]
Objętość stopy w części górnej:
V
g
=
1
3
h
p
F + f +
q
F · f
=
1
3
0.3
2.89 + 0.303 +
√
2.89· 0.303
= 0.412[m
3
]
4
Całkowita objętość stopy:
V
stopy
= V
g
+ V
d
= 0.434 + 0.412 = 0.846[m
3
]
Znając ciężar objętościowy żelbetu γ
zel
= 24.0[kN/m
3
], oblicza się ciężar stopy:
G
stopy
= V
stopy
· γ
zel
= 0.846· 24.0 = 20.31[kN ]
Objętość części słupa znajdującej się w gruncie wyniesie:
V
slupa
= a
s
(D − h) = 0.5 (1.2 − 0.45) = 0.375[m
3
]
Objętość gruntu na odsadzkach:
V
gruntu
= B
2
· D − V
stopy
− V
slupa
= 1.7
2
· 1.2 − 0.846 − 0.375 = 2.247[m
3
]
W naszym przypadku grunt, który spoczywa na odsadzkach, to pył piaszczysty, stąd jego
ciężar wyniesie:
G
gruntu
= V
gruntu
· ρ
r
(Πp)
· g = 2.247· 2.31· 9.81 = 50.91[kN ]
Zatem, całkowity ciężar stopy i gruntu na odsadzkach jest równy:
G = G
stopy
+ G
gruntu
= 20.31 + 50.91 = 71.22[kN ]
3.2
Ustalenie obliczeniowego oporu podłoża (2)
Ponieważ w stosunku do obliczeń w punkcie 2.1 nie zmieniło się nic oprócz wymiarów
stopy, zmianie nie ulegają również wartości współczynników nośności:
N
D
= 12.57
N
B
= 4.34
N
C
= 23.16
Obliczeniowy opór jednostkowy podłoża (w drugim podejściu) wyniesie:
q
f C
= 0
q
f D
= 2.5· 12.57· 1.2· 1.89· 9.81 = 699.18[kP a]
q
f B
= 0.75· 4.34· 1.7· 1.44· 9.81 = 78.12[kP a]
q
f
= 699.18 + 78.12 = 777.5[kP a]
Warunek I-SG w poziomie posadowienia:
q
rs
=
Q
r
+ G
B
2
¬ m· q
f
q
rs
=
1650 + 71.22
1.7
2
= 595.58[kP a]
m· q
f
= 0.81· 777.5 = 629.77[kP a]
595.58 < 629.77
Warunek pierwszego stanu granicznego w poziomie posadowienia został spełniony
5
4
Warstwa słaba - zestawienie danych
Pomiędzy poziomem posadowienia, a stropem warstwy słabej zalega piasek pylasty,
zatem grunt sypki. W związku z tym, szerokość stopy oddziałującej na strop warstwy
słabej wyniesie:
B
0
= L
0
= B + b
w naszym przypadku:
h = 1.3[m] < B ⇒ b =
h
3
b =
1.3
3
= 0.433[m]
B
0
= L
0
= 1.7 + 0.433 = 2.13[m]
5
Sprawdzenie I-SG w stropie warstwy słabej
5.1
Naprężenia w warstwie słabej
N
r
= Q
r
+ G = 1650 + 71.22 = 1721.22[kN ]
N
0
r
= N
r
+ (B
0
)
2
· h· ρ
r
h
· g
gdzie ρ
r
h
jest obliczeniową gęstością objętościową gruntu zalegającego powyżej stropu war-
stwy słabej, do poziomu posadowienia. Stąd:
N
0
r
= 1721.22 + 2.13
2
· 1.3· 1.76· 9.81 = 1823.37[kN ]
5.2
Ustalenie obliczeniowego oporu w warstwie słabej
Obliczeniowy opór jednostkowy podłoża w stropie warstwy słabej jest opisany poniższą
formułą:
q
0
f
= q
0
f C
+ q
0
f D
+ q
0
f B
6
gdzie:
q
0
f C
= 1.3· N
0
C
· c
r
0
u
q
0
f D
= 2.5· N
0
D
· D
0
· ρ
r
0
D
· g
q
0
f B
= 0.75· N
0
B
· B
0
· ρ
r
0
B
· g
Poziom warstwy słabej D
0
= 1.2+1.3 = 2.5[m], Obliczeniowa gęstość objętościowa gruntu
powyżej stropu warstwy słabej:
ρ
r
0
D
=
ρ
(Πp)
· 1.2 + ρ
(P π)
· 1.3
1.2 + 1.3
=
1.89· 1.2 + 1.44· 1.3
1.2 + 1.3
= 1.66[g/cm
3
]
Obliczeniowa gęstość objętościowa gruntu poniżej stropu warstwy słabej, do głębokości
z = B
0
:
ρ
r
0
B
=
ρ
sr(Gπ)
· 0.5 + ρ
0
(Gπ)
· 1.63
0.5 + 1.63
=
1.88· 0.5 + 0.98· 1.63
0.5 + 1.63
= 1.19[g/cm
3
]
Obliczeniowa wartość kohezji gruntu w stropie warstwy słabej c
r
0
u
= 16.0· 0.9 = 14.4[kP a],
Obliczeniowa wartość kąta tarcia wewnętrznego gruntu w stropie warstwy słabej φ
r
0
u
=
14.5· 0.9 = 13.05[
◦
]
Na podstawie obliczeniowej wartości kąta tarcia wewnętrznego w stropie warstwy słabej
obliczono wartości współczynników nośności:
N
0
D
= tg
2
45
◦
+
13.05
2
exp (π· tg(13.05)) = 3.28
N
0
B
= 0.75 tg(13.05) (3.28 − 1) = 0.4
N
0
C
= ctg(13.05) (3.28 − 1) = 9.84
Zatem obliczeniowy opór jednostkowy podłoża w stropie warstwy słabej wyniesie:
q
0
f C
= 1.3· 9.84· 14.4 = 184.10[kP a]
q
0
f D
= 2.5· 3.28· 2.5· 1.66· 9.81 = 333.79[kP a]
q
0
f B
= 0.75· 0.4· 2.13· 1.19· 9.81 = 7.40[kP a]
q
0
f
= 184.10 + 333.79 + 7.40 = 525.29[kP a]
Warunek I-SG w stropie warstwy słabej:
q
0
rs
=
N
0
r
B
02
¬ m· q
0
f
q
0
rs
=
1823.37
2.13
2
= 400.64[kP a]
m· q
0
f
= 0.81· 525.29 = 425.49[kP a]
400.64 < 425.49
Warunek pierwszego stanu granicznego w stropie warstwy słabej został spełniony
7
6
Obliczenie naprężeń w podłożu pod stopą
6.1
Naprężenia pierwotne
Wyznacza się w oparciu o poniższą formułę:
σ
zρ
=
n
X
i=1
h
i
· ρ
i
· g
gdzie: z - głębokość mierzona od poziomu terenu (granica warstwy), na której liczone
są naprężenia, h - miąższość danej warstwy obliczeniowej, ρ
(n)
= ρ
i
- normowa gęstość
objętościowa gruntu, σ
ρ
- naprężenie pierwotne na spągu danej warstwy obliczeniowej, i
- numer warstwy obliczeniowej, n - ilość warstw obliczeniowych.
6.2
Naprężenia wtórne
Wyznacza się w oparciu o poniższą formułę:
σ
zs
= σ
(D)ρ
· η
m
gdzie: z - zagłębienie środka warstwy obliczeniowej, mierzone od poziomu posadowienia,
σ
(D)ρ
= 24.72[kP a] - naprężenie pierwotne w poziomie posadowienia, η
m
- współczynnik
rozkładu naprężeń.
8
6.3
Naprężenia dodatkowe
Wyznacza się w oparciu o poniższą formułę:
σ
zd
= q
rs
· η
s
− σ
zs
gdzie: z - zagłębienie środka warstwy obliczeniowej, mierzone od poziomu posadowienia,
q
rs
- obliczeniowe naprężenie w poziomie posadowienia, η
s
- współczynnik zaniku naprężeń.
6.4
Sprawdzenie głębokości do której oblicza się osiadania
Zgodnie z PN-81/B-03020 osiadania oblicza się do głębokości na której spełniony jest
warunek:
σ
zd
¬ 0.3· σ
zρ
lecz nie płycej niż z = B. W celu sprawdzenia tych warunków w poniższej tabeli zesta-
wiono potrzebne wartości.
Z powyższego zestawienia wynika, że osiadania należy obliczyć do głębokości 7.0[m], mie-
rząc od poziomu terenu.
9
7
Sprawdzenie II-SG w podłożu
s
i
= s
0
i
+ s
00
i
¬ 5.0[cm]
W naszym przypadku zakładamy, że budowa będzie trwała krócej niż 1 rok, zatem osiadań
wtórnych nie liczy się s
00
= 0.
s
i
= s
0
i
=
σ
zd(i)
· h
i
M
0(i)
gdzie: M
0
- edometryczny moduł ściśliwości pierwotnej gruntu w danej warstwie oblicze-
niowej
2.1 < 5.0
Warunek drugiego stanu granicznego w podłożu pod fundamentem został spełniony
8
Obliczenie zbrojenia głównego stopy
8.1
Ustalenie momentu zginającego wspornik
c =
B − a
s
2
=
1.7 − 0.5
2
= 0.6[m]
e =
c
3
·
2· B + a
s
B + a
s
=
0.6
3
·
2· 1.7 + 0.5
1.7 + 0.5
= 0.35[m]
Jednostkowy odpór gruntu wywołany siłą w słupie:
p =
Q
r
B
2
=
1650
1.7
2
= 970.59[kP a]
Powierzchnia pojedynczego wspornika:
F =
B + a
s
2
c =
1.7 + 0.5
2
0.6 = 0.66[m
2
]
Siła wypadkowa odporu gruntu, działająca na wspornik:
Q = p· F = 970.59· 0.66 = 640.59[kN ]
Moment zginający wspornik:
M = Q· e = 640.59· 0.35 = 224.21[kN m]
10
8.2
Ustalenie rozstawy, przekroju i ilości wkładek
Przekrój zbrojenia wyznacza się w oparciu o formułę:
F
z
=
M
R
a
· 0.85· h
gdzie: R
a
- obliczeniowa wytrzymałość stali (w naszym przypadku przyjęto stal A-I której
R
a
= 210[M P a]), h - wysokość stopy (zgodnie z 2.3)
F
z
=
224.21
210000· 0.85· 0.45
= 2.791· 10
−3
[m
2
] = 27.91[cm
2
]
Rozstawa zbrojenia głównego winna spełniać następujący warunek:
10[cm] ¬ L ¬ 0.25h
1
gdzie: h
1
- wysokość użytkowa stopy (zgodnie z 2.3). W naszym przypadku oznacza, iż:
10[cm] = L = 10[cm]
Zatem, ilość wkładek wyniesie:
n =
B − 10[cm]
L
+ 1 =
170[cm] − 10[cm]
10[cm]
+ 1 = 17[sztuk]
Ostatecznie przyjęto 17φ16 o łącznym przekroju 34.17[cm
2
] i rozstawie co 10[cm]
11