SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

33

Obliczenia statyczne fundamentów palowych

A. Krasiński

Katedra Geotechniki Politechniki Gdańskiej; [e-mail]

1. WSTĘP

Fundamenty palowe, tak jak każde inne konstrukcje, wymagają odpowiednich obliczeń statycznych do właściwego
ich zaprojektowania. Obliczanie ich nastręcza zwykle więcej trudności niż innych konstrukcji ze względu na
współpracę pali z gruntem, który jest materiałem dużo mniej przewidywalnym i bardziej skomplikowanym w opisie
niż takie materiały jak beton czy stal. Obliczenia fundamentów palowych wykonuje się w celu określenia sił
wewnętrznych w palach i w konstrukcji oczepowej oraz przemieszczeń i odkształceń całego układu. Znaczny postęp
w metodach obliczeniowych nastąpił po wprowadzeniu komputerowych technik obliczeniowych. Postęp ten wynika
nie tyle z rozwoju wiedzy teoretycznej, bo ta była na wysokim poziomie już dużo wcześniej, co z pojawienia się
narzędzi, w postaci programów komputerowych, do rozwiązywania układów wielokrotnie statycznie niewyznaczal-
nych. Metody obliczeniowe dla fundamentów palowych możemy podzielić na dwie grupy:

1) metody klasyczne
2) metody numeryczne

W metodach klasycznych wprowadza się znaczne uproszczenia w schematach statycznych konstrukcji palowych,
pozwalające na wykonanie podstawowych obliczeń bez użycia komputera. Najpopularniejszą wśród nich jest
metoda sztywnego oczepu, w której uproszczenia polegają na modelowaniu oczepu za pomocą sztywnej bryły oraz
pali za pomocą wahaczy (prętów obustronnie przegubowych) lub za pomocą podpór sprężystych. Metodami kla-
sycznymi możemy nadal z wystarczającą dokładnością obliczać niektóre konstrukcje palowe płaskie i przestrzenne,
złożone z kilku lub kilkunastu pali. Bardziej szczegółowy opis w dalszej części artykułu.

Metodami numerycznymi możemy obliczać praktycznie wszystkie palowe układy konstrukcyjne, jeżeli dyspo-

nujemy odpowiednim programem komputerowym do obliczeń statycznych konstrukcji. Wykorzystuje się tutaj
typowe programy z mechaniki budowli do obliczania metodą przemieszczeń płaskich i przestrzennych układów
ramowych, rusztów belkowych oraz obliczania metodą elementów skończonych układów płytowych, płytowo-
prętowych, czy powłokowo-prętowych. Metodami numerycznymi możemy rozwiązywać również układy palowe
sprowadzone do schematów jak w metodach klasycznych (np. układy ze sztywnym oczepem). W zależności od
rodzaju rozwiązywanego zadania, pale w metodach numerycznych możemy modelować za pomocą prętów
współpracujących ze sprężystym lub sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym, za pomocą specjalnych prętów
zastępczych lub za pomocą pojedynczych podpór sprężystych liniowych lub liniowych i obrotowych.

2. METODA KLASYCZNA – SZTYWNEGO OCZEPU

W metodzie tej oczep palowy traktuje się jak nieskończenie sztywną bryłę, a pale wyraża się w postaci prętów
obustronnie przegubowych, liniowych podpór sprężystych lub połączenia jednych i drugich (rys. 1). Przy takim
założeniu z obliczeń można otrzymać jedynie rozkład sił osiowych w palach, a momenty zginające w palach
otrzymuje się zerowe. Siły wewnętrzne w oczepie można wyznaczyć metodą pośrednią, poprzez odwrócenie układu,
w którym siły w palach stają się obciążeniami działającymi na oczep. W niektórych przypadkach metoda sztywnego
oczepu jest wystarczająca do bezpiecznego obliczenia fundamentu palowego. Ma to miejsce np. w przypadku
masywnego oczepu (bloku lub grubej płyty) opartego na palach pionowych i obciążonego siłami pionowymi
i momentami lub w przypadku układów kozłowych obciążonych pionowo i poziomo, w których pale są faktycznie
połączone z oczepem przegubowo, w górnych odcinkach są wolne lub przechodzą przez bardzo słabe warstwy
gruntowe, a ich dolne końce są słabo utwierdzone w gruncie nośnym. Do pierwszej grupy możemy zaliczyć palowe
fundamenty blokowe i stopowe pod słupy, niektóre filary mostowe, słupy energetyczne itp., a do drugiej - pomosty,
pirsy, nabrzeża i inne konstrukcje portowe na palach.

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

34

Rys. 1. Modele pali przyjmowane w metodzie sztywnego oczepu

Metodą sztywnego oczepu można obliczać proste układy palowe zarówno płaskie jak i przestrzenne obciążone
siłami pionowymi, poziomymi i momentami. Przy bardziej skomplikowanych układach nie można się już obejść bez
odpowiedniego programu komputerowego. Układy płaskie i przestrzenne możemy podzielić na statycznie wyzna-
czalne i statycznie niewyznaczalne. W układach statycznie wyznaczalnych sztywności osiowe pali EA lub sztyw-
ności podpór sprężystych K

z

nie mają wpływu na rozkład sił. Natomiast w układach statycznie niewyznaczalnych

sztywności te odgrywają istotną rolę. Na sztywność osiową pala składa się sztywność pala w gruncie (związana
z osiadaniem s

b

) oraz sztywność własna trzonu pala (rys. 1a). W związku z tym w obliczeniach układów z palami

w postaci prętów należy stosować sztywności zastępcze pali EA

z

(rys. 1b), w przypadku układów z podporami

sprężystymi, sztywności tych podpór K

z

lub K

zb

(rys. 1c, d). Modele pali powinny się zachowywać podobnie jak pal

rzeczywisty, tzn. ulegać takim samym przemieszczeniom w głowicy (s = s

b

+

∆L) od działania tej samej siły Q.

Wartość s najlepiej jest wyznaczać z próbnych obciążeń statycznych lub z obliczeń osiadania pala pojedynczego,
a w przypadku większych grup palowych – z obliczeń osiadania pali w grupie (szerzej w pkt. 3.2).
Sztywność osiową pręta zastępczego wyznacza się z zależności:

s

L

EA

Q

L

z

z

z

=

⋅

=

∆

→

s

L

Q

EA

z

z

⋅

=

[kN]

(1)

Sztywności podpór sprężystych zaznaczonych na rys. 1c i 1d wyznacza się ze wzorów:

s

Q

K

z

=

[kN/m] ,

b

zb

s

Q

K

=

[kN/m]

(2)

Skrócenie trzonu pala

∆L można w przybliżeniu określić ze wzoru:

L

EA

Q

Q

L

b

⋅

+

≈

∆

2

(3)

Skrócenie to może odgrywać duże znaczenie np. w palach konstrukcji portowych i morskich, w których są duże
długości wolne pali oraz w palach opartych na skałach, w których osiadanie s

b

jest bardzo małe. Zwykle operuje się

całkowitym osiadaniem głowicy pala s, bez wnikania w podział na

∆L i s

b

. Przy braku dokładniejszych danych,

z pewnym przybliżeniem dla pala pojedynczego wciskanego można przyjąć, że przy nośności pala N

t

jego osiadanie

wynosi s = 0.01D (D – średnica pala), co potwierdzają liczne wyniki próbnych obciążeń pali. Przy powyższych
założeniach wzory na sztywności EA

z

i K

z

można oszacować następująco:

D

L

N

EA

z

t

z

01

.

0

⋅

=

[kN]

D

N

K

t

z

01

.

0

=

[kN/m]

(4)

W przypadku pala wyciąganego, jego przemieszczenie przy mobilizacji nośności N

w

niewiele zależy od średnicy D

i wynosi s

w

= 3

÷ 5 mm. Sztywności

w

z

EA

i

w

z

K

takiego pala można określić następująco:

w

z

w

w

z

s

L

N

EA

⋅

=

[kN]

w

w

w

z

s

N

K

=

[kN/m]

(5)

a)

b)

c)

d)

lub

lub

L

z

s

b

s=s

b

+∆L

L

pal

rzeczywisty

EA

Q

Q

b

pręt
EA

z

∆L

z

=s

Q

δ

z

=s

Q

podpora

sprężysta

K

z

s

pręt

EA

L

Q

s

b

K

zb

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

35

2.1. Układy płaskie

2.1.1. Układy dwu i trójpalowe

Układy płaskie dwu i trójpalowe są układami statycznie wyznaczalnymi i oblicza się je na podstawie prostych
równań równowagi układu sił zbieżnych i niezbieżnych. Rozwiązania mogą być analityczne lub graficzne.
Układy dwupalowe oblicza się tak jak układ sił zbieżnych, korzystając z dwóch równań równowagi:

ΣX = 0 i ΣY = 0

lub metodą graficzną (rys. 2). Konstrukcje dwupalowe, których pale i obciążenia nie zbiegają się w jednym punkcie,
przy założeniu pali jako prętów obustronnie przegubowych są geometrycznie zmienne i od strony teoretycznej
niemożliwe do obliczenia. Gdy w rzeczywistości pale są sztywno połączone z oczepem lub gdy są odpowiednio
utwierdzone w gruncie, takie układy przestają być statycznie chwiejne, jednak ich obliczenie nie może być
wykonane metodą sztywnego oczepu chyba, że mamy do czynienia z fundamentem na dwóch palach pionowych,
obciążonych tylko siłami pionowymi. Wówczas układ taki można obliczyć według procedury podanej na rys. 5.

Układy trójpalowe oblicza się jak układ sił niezbieżnych, korzystając z trzech równań równowagi:

ΣX = 0,

ΣY = 0 i ΣM = 0 lub graficznie, jak na rys. 2.

Rys. 2. Rozwiązywanie płaskiego układu dwupalowego, zbieżnego

Rys. 3. Rozwiązywanie płaskiego układu trójpalowego, niezbieżnego

Rozwiązania niektórych układów trójpalowych według założeń metody sztywnego oczepu mogą czasami dawać
dość paradoksalne wyniki. Świadczy o tym przykład pokazany na rys. 4, przedstawiający konstrukcję palową
przypominającą fundament przyczółka mostowego lub konstrukcji oporowej. Paradoksem wydaje się tutaj siła
wyciągająca w palu nr 1 i bardzo duża siła wciskająca w palu nr 2. Obliczenia tego samego układu, ale przy
przyjęciu sztywnego połączenia pali z oczepem oraz sprężystej współpracy pali z gruntem (metodą uogólnioną) dały
zupełnie inny rozkład sił w palach, bardziej odpowiadający rzeczywistości i przede wszystkim bardziej racjonalny.
Z przykładu tego nasuwa się istotny wniosek, że metoda sztywnego oczepu z palami w postaci prętów obustronnie
przegubowych nie powinna być raczej stosowana do układów palowych z palami ukośnymi, obciążonych siłami
pionowymi i poziomymi. Potwierdzi to również przykład przedstawiony w końcowej części artykułu.

H

V

N

1

N

2

V

H

Q

schemat

Q

N

1

N

2

rozwiązanie graficzne:

rozwiązanie analityczne:

Σ

X = 0

Σ

Y = 0

N

1

, N

2

ΣV

ΣH

N

2

Q

schemat

N

1

ΣM

0

E

B

z

N

3

0

rozwiązanie analityczne:

Σ

X = 0

Σ

Y = 0

Σ

M = 0

N

1

, N

2

, N

3

Q

N

1

N

2

rozwiązanie graficzne:

z

N

3

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

36

Rys. 4. Przykład bardzo nieracjonalnego rozkładu sił w palach otrzymanego z obliczeń metodą sztywnego oczepu

2.1.2. Układy wielopalowe

Układy wielopalowe (więcej niż trójpalowe) są układami statycznie niewyznaczalnymi, w których liczba niewia-
domych jest większa niż równań równowagi. Dawniej do obliczania takich złożonych układów, obciążonych piono-
wo i poziomo stosowana była metoda Nöekkentveda, która w swojej pierwotnej wersji jest na dzień dzisiejszy mało
praktyczna ze względu dużą pracochłonność. Obecnie układy takie, można bardzo szybko obliczać za pomocą prog-
ramu komputerowego do obliczeń płaskich układów ramowych, przygotowując schemat statyczny (rys. 5) z zacho-
waniem tych samych założeń co w metodzie Nöekentvedta.

Rys. 5. Rozwiązywanie złożonego płaskiego układu wielopalowego metodą sztywnego oczepu

Niektóre szczególne przypadki układów wielopalowych można obliczać dużo prościej, bez korzystania z metody
Nöekkentveda, czy z programu komputerowego. Do takich przypadków możemy zaliczyć układy z pionowymi
palami, obciążone siłami pionowymi i momentami. Procedurę obliczeniową dla takich układów przedstawiono na
rysunku 6.

Rys. 6. Rozwiązywanie metodą sztywnego oczepu płaskiego układu z palami pionowymi

ΣV

ΣH

Q

schemat

ΣM

0

E

B

= 0.65

z

N

2

N

1

N

3

rozwiązanie graficzne:

Q

z

N

2

N

1

N

3

0.65

1.50

2.20

0.65

dla Q = 1000 kN:
N

1

= 1070 kN

(wyciąganie)

N

2

= 4100 kN

(wciskanie)

N

3

= 2100 kN

(wyciąganie)

rozwiązanie metodą

uogólnioną:

Q

149

140

140

65 64 65

N

1

=597

N

2

=350

N

3

=30

M [kNm]

N [kN]

ΣV

ΣH

N

2

schemat

N

1

ΣM

0

N

3

N

4

N

5

V

1

V

2

M

1

q

H

1

H

2

EA

z1

EA

z2

EA

z3

EA

z4

EA

z5

EJ=

∞

rozwiązanie :

1) metoda klasyczna
np. wg Nökkentveda

2) metoda numeryczna
np. programem komputerowym
do statyki układów prętowych

V

1

V

2

M

1

q

N

1

N

2

N

3

N

4

0

x

2

x

1

x

3

x

4

x(-) x(+)

ΣV

ΣM

0

0

EA

z

EA

z

EA

z3

EA

z4

L

z

schemat

rozwiązanie:

j

zj

i

zi

zj

zi

j

x

EA

x

EA

M

EA

EA

V

N

⋅

⋅

∑

⋅

∑

+

∑

∑

=

)

(

2

0

Uwagi:

1) punkt „0” – środek geometryczny układu pali

2) w przypadku podpór sprężystych w miejsce
EA

zi

należy wstawić sztywności K

zi

.

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

37

Możliwym do szybkiego rozwiązania jest również układ obciążony pionowo i poziomo z kilkoma palami piono-
wymi i z jednym palem ukośnym (rys. 7). W takim układzie wiadomo, że obciążenia poziome przejęte zostaną tylko
przez pal ukośny, a właściwie jego składową poziomą. Siłę w tym palu wyznacza się z równowagi sił poziomych
ΣX = 0, a następnie składową pionową tej siły przykłada się do układu jako dodatkową siłę zewnętrzną, i dalej
całość oblicza się jak układ z palami pionowymi, według procedury przedstawionej na rys. 6.

Rys. 7. Rozwiązywanie metodą sztywnego oczepu płaskiego układu palowego z jednym palem ukośnym

2.2. Układy przestrzenne

Trójwymiarowe układy palowe z palami pionowymi oraz obciążone pionowo i momentami można obliczyć jak
analogiczne układy płaskie, według procedury przedstawionej na rys. 8. W układach niesymetrycznych we wzorze
na wyznaczanie sił w palach Nj należy uwzględniać dewiacyjny moment bezwładności układu pali J

xy

. W przypadku

symetrii układu przynajmniej względem jednej z osi X lub Y wzór ulega znacznemu uproszczeniu.

Rys. 8. Rozwiązywanie metodą sztywnego oczepu trójwymiarowego układu z palami pionowymi

Przestrzenne układy palowe z palami ukośnymi, obciążone pionowo i poziomo oraz w przypadku symetrii wzglę-
dem przynajmniej jednej z osi X lubY można z pewnym przybliżeniem obliczyć rozkładając układ na dwa układy
płaskie – w kierunku X-X i w kierunku Y-Y (rys. 9). Po obliczeniu sił w palach w obu układach płaskich należy
dokonać superpozycji odpowiednich sił według procedury podanej na rysunku 9. Przy dokonywaniu superpozycji
należy pamiętać, że nie można dublować obciążeń, dlatego obciążenia pionowe należy zadać tylko w jednym z ukła-
dów płaskich.

Bardziej skomplikowane przestrzenne układy palowe, a szczególnie niesymetryczne, nawet przy zastosowaniu

uproszczeń i założeń metody sztywnego oczepu, należy obliczać wyłącznie za pomocą programów komputerowych
do przestrzennej analizy konstrukcji prętowych lub płytowo-prętowych. Uproszczenia polegające np. na rozkładzie
na układy płaskie mogłyby doprowadzić do wyników zbyt odbiegających od rzeczywistości.

schemat zmodyfikowany

N

1

N

3

N

5

V

1

V

2

q

H

2

EA

z1

EA

z3

N

4

N

2

α

EA

z2

EA

z4

V

1

V

2

q

N

5

v

H

1

ΣV

ΣM

0

EA

z1

EA

z3

EA

z2

EA

z4

x

01

x

02

x

03

x

04

0

EJ=∞

„0” – środek układu pali

schemat obliczeniowy

siła w palu ukośnym

α

=

∑

sin

H

N

5

składowa pionowa

α

=

α

⋅

=

∑

tg

H

cos

N

N

v

5

5

x

0j

y

0j

ΣV

0

ΣM

y0

ΣM

x0

Y

0

X

0

x’

0

y’

0

x’

i

y’

i

Przyjęto następujące podstawienia:

∑

= V

V

,

∑

=

0

x

x

M

M

,

∑

=

0

y

y

M

M

kN

EA

k

zi

i

1

=

lub

m

kN

K

k

zi

i

/

1

=

Rozwiązanie:

Położenie środka układu pali:

∑

∑

⋅

′

=

′

i

i

i

k

k

x

x

)

(

0

∑

∑

⋅

′

=

′

i

i

i

k

k

y

y

)

(

0

Momenty bezwładności:

∑

⋅

=

)

(

2

0i

i

x

x

k

J

,

∑

⋅

=

)

(

2

0i

i

y

y

k

J

∑

⋅

⋅

=

)

(

0

0

i

i

i

xy

y

x

k

J

Siła w palu „j”:

j

j

xy

y

x

y

x

xy

y

j

j

xy

y

x

x

y

xy

x

i

j

j

y

k

J

J

J

J

M

J

M

x

k

J

J

J

J

M

J

M

k

k

V

N

0

2

0

2

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

+

∑

⋅

=

[kN]

W przypadku układu symetrycznego:

j

j

x

x

j

j

y

y

i

j

j

y

k

J

M

x

k

J

M

k

k

V

N

0

0

⋅

−

⋅

+

∑

⋅

=

[kN]

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

38

Rys. 9. Propozycja rozwiązywania układu palowego trójwymiarowego poprzez rozłożenie na dwa układy płaskie

3. METODY NUMERYCZNE

Metody numeryczne pozwalają na dużo dokładniejszą analizę układów palowych i stosowanie schematów bardziej
zbliżonych do rzeczywistości niż opisane wyżej metody klasyczne. W zależności od rodzaju konstrukcji i charakteru
obciążeń możemy tutaj zastosować mniej lub bardziej zaawansowane schematy: od płyt i belek na podporach
sprężystych, poprzez płaskie układy ramowe lub przestrzenne płytowe, z palami jako prętami współpracującymi ze
sprężystym lub sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym, aż po metodę elementów skończonych, w której
grunt modelowany jest jako ośrodek ciągły, współpracujący z palami według określonego prawa konstytutywnego.
Ta ostatnia – metoda elementów skończonych – nie jest jeszcze w obliczaniu układów palowych zbyt rozpowszech-
niona, ze względu na przestrzenny charakter oddziaływania pala na grunt, trudny do wymodelowania. Większość
współczesnych programów komputerowych MES z dziedziny geotechniki ogranicza się do układów w płaskim
stanie odkształcenia. Procedury i rozwiązania MES dla układów przestrzennych (nie osiowosymetrycznych) są
dopiero w fazie badań i rozważań naukowych.

Metody numeryczne pozwalają na otrzymywanie kompletnych wyników obliczeń, zawierających zarówno siły
i momenty w palach, siły wewnętrzne w oczepach i w innych pozostałych elementach konstrukcji (przy włączeniu
tych elementów do współpracy) oraz przemieszczeń i odkształceń całych układów.

3.1. Metoda sprężystego oczepu na podporach sprężystych

W metodzie tej pale modeluje się podobnie jak w metodzie sztywnego oczepu, tzn. za pomocą wahaczy lub podpór
sprężystych, natomiast oczep modeluje się o rzeczywistej sztywności. Taką metodę należy zastosować wówczas,
gdy w konstrukcji palowej oczep jest odkształcalną belką lub płytą. W praktyce takimi konstrukcjami są np. belki
poddźwigowe na palach, ruszty belkowe pod budynki murowane, konstrukcje słupowe lub szkieletowe oraz płyty
fundamentowe na dużej liczbie pali pod zbiorniki, silosy lub inne konstrukcje budowlane. Zastosowanie
w obliczeniach sprężystego oczepu jest w takich przypadkach bardzo istotne dla uzyskania zbliżonego do
rzeczywistości rozkładu sił w palach oraz sił wewnętrznych w oczepach.

ΣV

0

ΣM

y0

ΣM

x0

Y

0

X

0

ΣH

x

ΣH

y

j=1

j=2

j=3

i=4

i=3

i=2

i=1

Σ

V

ΣM

x0

ΣH

y

N

1y

N

2y

N

3y

N

4y

ΣH

x

ΣM

y0

4 pale

4 pale

4 pale

j=1

j=2

j=3

Układ X - X

ΣH

x

ΣM

y0

N

1x

N

2x

N

3x

Superpozycja:

4

3

jx

iy

ij

N

N

N

+

=

[kN]

Uwaga:
Liczby 3 i 4 odnoszą się do przedsta-
wianego przykładu i oznaczają liczbę
pali w kierunku X i Y

ΣV

ΣM

x0

ΣH

y

3 pa

le

3 pa

le

3 pa

le

3 pa

le

i=

3

i=

2

i=

1

i=

4

Uk

ład

Y

-

Y

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

39

Rowiązywanie układów ze sprężystym oczepem najlepiej jest wykonywać za pomocą typowych programów
komputerowych z mechaniki budowli. W przypadku belek lub rusztów na niewielkiej liczbie pali można stosować
inne, klasyczne metody obliczeń, jednak są one pracochłonne i mniej dokładne. W przypadku dość regularnych
belek na podporach stałych istnieją stabelaryzowane rozwiązania (np. tablice Winklera). W przypadku belek na
podporach sprężystych, takich rozwiązań nie ma. Opracowanie ich byłoby zresztą trudne, ponieważ w takich sche-
matach wyniki uzależnione są od relacji pomiędzy sztywnością podpór K

z

i sztywnością giętną belek EJ. Mimo to

w praktyce spotykane są przypadki wykorzystywania tablic Winklera do obliczania belek na palach oraz generalnie
obliczania sprężystych fundamentów na palach jak konstrukcji na podporach stałych. Obliczenia takie dają wyniki
dużo odbiegające od rzeczywistości i szczególnie w odniesieniu do momentów zginających w oczepach zaniżone
wartości momentów dodatnich. Dla podkreślenia istoty błędnego modelowania sprężystych fundamentów na palach
za pomocą belek lub płyt na stałych podporach przedstawiono obrazowo na rys. 10. W przykładzie A pokazano, że
w przypadku gdy siła zewnętrzna działa na fundament dokładnie nad palem, to w schemacie z podporami stałymi
cała wartość tej siły przekazuje się na ten jeden pal, a pozostałe pale pozostają nie obciążone i nie ma również
zginania oczepu. W rzeczywistości wiadomo, że będzie w przybliżeniu tak jak przedstawiono na schemacie z pod-
porami sprężystymi. W przykładzie B natomiast pokazano, że w przypadku gdy siła zewnętrzna działa w przęśle
między palami, to dwa najbliższe pale obciążone będą dużymi siłami wciskającymi, a następne pale – siłami wy-
ciągającymi. Ponadto otrzymuje się w oczepie zawyżone momenty podporowe (nad palami) a zaniżone w przęśle.
Tu podobnie bliższe prawdy są wyniki otrzymane dla schematu z palami w postaci podpór sprężystych. Zarówno
w przykładzie A jak i B na ostateczny obraz wyników duży wpływ ma wzajemna relacja pomiędzy sztywnością pali
i sztywnością oczepu.

Rys. 10. Zobrazowanie istoty błędnego obliczania fundamentów palowych jako belek (płyt) na podporach stałych

3.2. Obliczanie fundamentów palowych

z uwzględnieniem nierównomiernej sztywności osiowej pali

W omawianych w poprzednim punkcie obliczeniach metodą sprężystego oczepu często stosuje się jednakowe
charakterystyki dla wszystkich podpór sprężystych, modelujących pale i oszacowane w dość przybliżony sposób, na
podstawie np. osiadania pala pojedynczego. W rzeczywistości charakterystyki te dla poszczególnych pali w funda-
mencie mogą się między sobą znacznie różnić i dużo odbiegać od wartości ustalonej na podstawie osiadania pala
pojedynczego. Chodzi tu o zjawisko wzajemnego oddziaływania na siebie pali pracujących w grupie i związanego
z tym zwiększonego i nierównomiernego ich osiadania. Pale skrajne, znajdujące się na obrzeżach grupy (fundamen-
tu) osiadają mniej, a pale wewnątrz grupy osiadają więcej. Tym samym zmieniają się oraz ulegają zróżnicowaniu
sztywności podłużne pali i określone wzorem (2) sztywności podpór sprężystych. Pale zewnętrzne stają się sztyw-
niejsze, a pale wewnętrzne mniej sztywne. Na ostateczny rozkład osiadania pali w grupie ma wpływ również
sztywność oczepu, który w dużej mierze krępuje nierównomierność tego osiadania, co jednak odbywa się kosztem
zwiększonych w nim momentów zginających i większym jego ugięciem. Również zmianie ulega rozkład sił
w palach w stosunku do przypadku z palami o jednakowych sztywnościach. Ideowo zjawisko nierównomiernego
osiadania pali w grupie i wpływ tego zjawiska na zginanie płyty fundamentowej oraz rozkład sił w palach
zilustrowano na rys. 11.

V

R

3

=V

0 0

0 0

0

0

0

0

[ M ]

[ R ]

V

K

z

[ M ]

K

z

K

z

K

z

K

z

[ R ]

R

1

≠0

R

2

>0

R

3

R

4

>0

R

5

≠0

ΣR = V

V

R

3

[ M ]

[ R ]

R

2

R

1

R

1

R

2

+R

3

> V

M

a

V

K

z

[ M ]

K

z

K

z

K

z

[ R ]

R

1

R

2

ΣR = V

M

b

>M

a

M

b

R

3

R

4

A)

B)

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

40

Rys. 11. Wpływ nierównomiernego osiadania pali w grupie na pracę całego fundamentu

Procedurę obliczania fundamentów palowych z uwzględnieniem nierównomiernej sztywności pali opisano między
innymi w pracach zespołu naukowego, którego autor jest członkiem (Krasiński i inni,1998; Tejchman i inni 2002,
2004). Właściwe określenie charakterystyk podpór sprężystych reprezentujących pale w grupie jest zagadnieniem
trudnym. Wyznacza się je na podstawie obliczeń osiadania pali w grupie i główna trudność związana jest z oszaco-
waniem tych osiadań. Zagadnienie osiadania pali pojedynczych oraz grup palowych zostało szczegółowo omówione
w referacie K. Gwizdały i I. Dyki. Do dnia dzisiejszego nie zostało ono wystarczająco rozwiązane i jest nadal przed-
miotem badań i analiz wielu badaczy na całym świecie.

Poniżej, na rys. 12 przedstawiono przykładowy fundament płytowy na palach dużego zbiornika stalowego na

materiały płynne, dla którego wykonano porównawcze obliczenia metodą sprężystego oczepu na podporach
sprężystych o jednakowych sztywnościach, określonych na podstawie osiadania pala pojedynczego oraz na
podporach o nierównomiernych sztywnościach, określonych na podstawie osiadania pali w grupie. Obliczenia
osiadań pali wykonano według propozycji polskiej normy PN-83/B-02482. Dla równomiernego obciążenia
wszystkich pali siłami Q

i

= 625 kN otrzymano osiadanie pala pojedynczego s

1

= 3.7 mm, a osiadanie pali w grupie

s

i

= 19.4

÷ 24.5 mm. Obliczone następnie odpowiadające wartości sztywności podpór sprężystych K

z1

i K

zi

wprowa-

dzono do odpowiednich schematów statycznych fundamentów (rys. 13).

Rys. 12. Przyjęty do analizy przykładowy fundament palowy zbiornika stalowego

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

s

1

s

2

s

3

s

4

s

5

s

6

s

7

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

q

K

z1

K

z2

K

z3

K

z4

K

z5

K

z6

K

z7

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

5

Q

6

Q

7

[M]

1

2

3

4

5

6

7 8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

D

F

= 17.0 m

1.8

3.0

3.0

płaszcz zbiornika

q = 70 kN/m

2

P

d

, I

D

= 0.35

E

0

= 35 MPa

T/Nm

E

0

= 1.5 MPa

P

d

, I

D

= 0.50

E

0

= 50 MPa

zwg

- 3.0

± 0.0

- 8.0

- 13.0

pale Vibro-Fundex

φ456mm, L = 12.0 m

D

zb

= 15.8 m

płyta, h = 0.9 m

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

41

Rys. 13. Wyniki obliczeń płyty fundamentowej zbiornika posadowionego na grupie pali:

a) przy założeniu jednakowych sztywności podpór sprężystych na podstawie osiadań pali pojedynczych,

b) przy założeniu nierównomiernej sztywności podpór sprężystych na podstawie osiadania pali w grupie.

Przedstawione na rys. 13 wykresy momentów zginających w płycie fundamentowej i rozkłady sił w palach wyka-
zują istotne różnice w wynikach obliczeń dla jednego i drugiego schematu. W schemacie b) otrzymano o kilka-
dziesiąt procent większe wartości momentów zginających w płycie niż w schemacie a). W odniesieniu do sił
w palach – w schemacie a) większe siły otrzymano w palach środkowych, a mniejsze w palach na obrzeżach płyty,
a odwrotnie w schemacie b).

Biorąc pod uwagę, że nierównomierne i zwiększone osiadanie pali w grupie jest faktem udowodnionym

naukowo, schemat b) grupowego fundamentu palowego ze sprężystymi podporami o zróżnicowanej sztywności K

zi

należy uznać za bardziej odpowiadający rzeczywistości i bardziej miarodajny tym bardziej, że daje bardziej
niekorzystne wyniki obliczeń. Zdarzają się jednak przypadki, w których nie jest z góry określone, który ze
schematów jest bardziej niekorzystny dla konstrukcji fundamentu. Wtedy należy równolegle przeanalizować oba
schematy, gdyż nie mamy pewności, który z nich w rzeczywistości wystąpi.

Uwzględnianie wzajemnego oddziaływania pali na siebie i nierównomiernego ich osiadania w grupie jest

szczególnie istotne w obliczeniach fundamentów płytowych i rusztów belkowych opartych na dużej liczbie pali,
a głównie fundamentów zbiorników, silosów, kominów, budynków wysokich i fundamentów płytowych o znacz-
nych wymiarach w planie. Na marginesie można dodać, że identyczną procedurę obliczeniową należy stosować do
podobnych fundamentów posadowionych bezpośrednio (Gwizdała i inni, 2001).

Nierównomierna sztywność osiowa pali może wynikać również z innych powodów, np. z nierównomiernych

warunków gruntowych, z różnej długości pali lub różnych średnic pali, czy też z niejednakowej jakości wyko-
nawstwa pali. W sytuacjach, w których mogą wystąpić takie powody należy nierównomierność sztywności pali
uwzględniać w obliczeniach fundamentów.

3.3. Obliczanie konstrukcji palowych metodą współpracy pali

ze sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym

W scharakteryzowanych wyżej metodach obliczeniowych sztywnego oczepu i sprężystego oczepu, pale wyrażano
w sposób uproszczony za pomocą prętów obustronnie przegubowych lub podpór sprężystych. W wynikach obliczeń
dla pali otrzymywano więc tylko siły osiowe bez momentów zginających (a właściwie zerowe momenty zginające).
Takie założenie sprowadzało fundament palowy do ramy płaskiej lub przestrzennej, w której pale zachowywały się
jak pręty znajdujące się w ośrodku, nie wykazującym żadnej reakcji na przemieszczanie się w nim konstrukcji (jak
np. w wodzie czy powietrzu). Uwzględniana jest tylko reakcja ośrodka na przemieszczenia podłużne pali.

W rzeczywistości pale zagłębione są w gruncie i otoczone gruntem, który jest ośrodkiem o określonej sztyw-

ności i reagującym na przemieszczenia zagłębionej w nim konstrukcji. Ta reakcja gruntu sprawia, że trzony pali
ulegają również zginaniu, nawet przy przegubowym ich połączeniu z oczepem oraz, że duża część obciążeń pozio-
mych działających na fundament jest przejmowana przez tę reakcję. Wpływa to znacząco na ogólną pracę całej kon-
strukcji.

W związku z powyższym opracowano metody obliczeniowe uwzględniające współpracę pali ze sprężystym lub

sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym. W Polsce prekursorem takiej metody jest M. Kosecki, który w swo-
jej pracy (Kosecki 1988) przedstawił obszerny i szczegółowy opis procedury obliczania ustrojów palowych tzw.
metodą uogólnioną. Metodę tę opisano również w Wytycznych IBDiM (1993). W niniejszym artykule przedsta-
wiono ogólną i skróconą charakterystykę tej metody wraz z przykładem obliczeniowym. W celu bardziej szczegóło-
wego zapoznania się z metodą odsyła się czytelników do źródłowych opracowań i publikacji M. Koseckiego.

K

z

=1

69000

K

z

=1

69000

K

z

=1

69000

K

z

=1

69000

K

z

=1

69000

K

z

=1

69000

Q =

659

Q =

757

Q =

808

Q =

808

Q =

757

Q =

659

12

0

195

145

195

145

-1

12

-35

-85

-85

-35

-1

12

q + g

pł

q + g

pł

K

z

=3

1870

K

z

=2

7650

K

z

=2

5650

K

z

=2

5650

K

z

=2

7650

K

z

=3

1870

Q =

74

4

Q =

690

Q =

66

3

Q =

663

Q =

690

Q =

744

253

28

8

180

-134

34

75

-134

180

28

8

75

34

a) b)

K

z

[kN/m]

Q [kN]
M [kNm/m]

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

42

W metodzie uogólnionej współpracę pala z ośrodkiem gruntowym wyraża się za pomocą układu podpór sprężystych
gęsto rozstawionych wzdłuż pobocznicy pala i podpór sprężystych w podstawie (rys. 14). Wzdłuż pobocznicy
umieszcza się w węzłach podpory sprężyste prostopadłe do pobocznicy o sztywnościach k

xi

i styczne do pobocznicy

o sztywnościach k

ti

. Rozstaw podpór (i węzłów), zaleca się przyjmować co około 0.5 m. Podpory prostopadłe

wyrażają reakcję gruntu na przemieszczenia poprzeczne pali, a podpory styczne – reakcję gruntu na przemiesz-
czenia podłużne pali. W podstawie pala umieszcza się podporę sprężystą osiową względem pala o sztywności K

p

,

prostopadłą o sztywności K

b

i podporę na obrót o sztywności K

r

.

Przedstawiony model pala bardzo dokładnie odwzorowuje jego rzeczywistą współpracę z ośrodkiem grunto-

wym, jednak jest bardzo żmudny w przygotowywaniu. Zdaniem autora, dla celów projektowych w większości
przypadków można uznać za mało znaczące i zrezygnować z charakterystyk utwierdzenia podstawy pala K

r

i K

b

oraz z podpór sprężystych stycznych wzdłuż pobocznicy pala o sztywnościach k

ti

. Globalną sztywność osiową

gruntu względem pala można wówczas wyrazić za pomocą pojedynczej podpory podłużnej pod podstawą o sztyw-
ności K

z

, a wzdłuż pobocznicy zostawić tylko podpory poziome (k

xi

) (rys. 14c). Podpora sprężysta pod podstawą

pala (K

z

) powinna być zawsze ustawiono osiowo względem pala.

Rys. 14. Model pala przyjmowany do obliczeń metodą uogólnioną (Kosecki, 1988)

3.3.1. Wyznaczanie sztywności podpór sprężystych k

xi

i K

z

Sztywności k

xi

podpór sprężystych prostopadłych do pala wyznacza się na podstawie wartości i rozkładu modułu

reakcji poziomej gruntu K

x

, którego wartość w warstwie „j” oblicza się ze wzoru:

j

j

nj

xj

E

S

n

n

K

0

2

1

⋅

ϕ

⋅

κ

⋅

⋅

⋅

=

[kPa]

(6)

w którym:

n

1

, n

2

– współczynniki zależne od rozstawu pali i liczby rzędów pali w ustroju, według wzorów (7),

S

nj

– współczynnik technologiczny,

κ – współczynnik zależny od kształtu poprzecznego pala,

ϕ

j

– współczynnik uwzględniający wpływ długotrwałości działania obciążeń i obciążeń powtarzalnych,

E

0j

– pierwotny moduł odkształcenia ogólnego gruntu w warstwie „j”.

Współczynniki n

1

i n

2

oblicza się według wzorów, zawartych w normie palowej PN-83/B-02482:

0

.

1

0

1

1

≤

=

D

R

n

,

0

.

1

8

.

1

)

(

)

1

(

0

2

2

≤

⋅

−

⋅

β

−

+

β

=

D

D

R

n

(7)

gdzie:

R

1

i R

2

– rozstaw osiowy pali w kierunku odpowiednio prostopadłym i równoległym do kierunku działania

obciążenia poziomego (rys. 15),

D

0

– zastępcza średnica pala, dla pali o D

≤ 1.0 m → D

0

= 1.5D + 0.5m,

a dla pali o D > 1.0 m

→ D

0

= D + 1.0m

β – współczynnik zależny od liczby szeregów pali prostopadłych do kierunku działania obciążenia,

według rys. 15.

k

xi

k

ti

K

p

K

b

K

r

pal

rzeczywisty

E, A

p

, J

p

pręt

EA

p

, EJ

p

k

xi

K

z

pręt

EA

p

, EJ

p

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

43

Rys. 15. Wielkości do wzorów (7) na współczynniki n

1

i n

2

W przypadku pali kozłowych przyjmuje się: n

1

= 1.0 i n

2

= 1.0.

Współczynnik technologiczny S

n

zależy od technologii wykonywania pali i rodzaju gruntów:

– pale prefabrykowane wbijane w gruntach niespoistych:

S

n

= 1.1

– pale prefabrykowane wwibrowywane w gruntach niespoistych: – I

D

> 0.33 S

n

= 1.1

–

I

D

≤ 0.33 S

n

= 1.2

– pale

monolityczne

wbijane:

S

n

= 1.15

– pale

monolityczne

wiercone:

S

n

= 0.9

– pozostałe przypadki pali:

S

n

= 1.0

Współczynnik kształtu

κ uwzględnia przestrzenny charakter reakcji gruntu przed palem, który zależy od kształtu

przekroju poprzecznego pala:

– dla pali o przekroju prostokątnym (również pale z profili dwuteowych):

κ = 1.4

– dla pali o przekroju kołowym:

κ = 1.2

– dla

ścin szczelnych, szczelinowych i palisad ciągłych:

κ = 1.0

Współczynnik

ϕ < 1.0 należy przyjmować w przypadku konstrukcji stałych i narażonych na działanie obciążeń

długotrwałych lub powtarzalnych, według poniższych propozycji:

– grunty niespoiste o I

D

> 0.67 i spoiste o I

L

≤ 0.0:

ϕ = 0.65

– grunty niespoiste o I

D

= 0.33

÷ 0.67 i spoiste o I

L

= 0.0

÷ 0.25:

ϕ = 0.45

– grunty niespoiste o I

D

= 0.20

÷ 0.33 i spoiste o I

L

= 0.25

÷ 0.50:

ϕ = 0.35

– pozostałe grunty w tym grunty organiczne:

ϕ = 0.30

W przypadku konstrukcji tymczasowych i przy obliczaniu pośrednich etapów realizacji konstrukcji można
przyjmować

ϕ = 1.0.

Obliczona według wzoru (6) wartość modułu K

x

jest wartością maksymalną, która mobilizuje się dopiero na pewnej

głębokości krytycznej z

c

, mierzonej od pierwotnego poziomu terenu lub zastępczego poziomu interpolacji. Do głę-

bokości z

c

wartość K

x

rośnie liniowo od zera do K

x

według (6), a głębiej pozostaje już stała (rys. 16).

Rys. 16. Interpolacja modułu reakcji poziomej gruntu K

x

po głębokości

Wartość z

c

zależy od spoistości gruntu i można w przybliżeniu przyjmować:

– dla gruntów niespoistych:

z

c

= 5.0 m

– dla gruntów małospoistych:

z

c

= 4.0 m

– dla

gruntów

średnio spoistych:

z

c

= 3.0 m

– dla gruntów zwięzło spoistych:

z

c

= 2.0 m

– dla gruntów bardzo spoistych i organicznych:

z

c

= 1.0 m

R

1

R

1

R

1

R

2

R

2

kierunek obciążenia

poziomego

D

rząd I

rząd II

rząd III

R

2

R

2

kierunek obciążenia

poziomego

Liczba
rzędów pali

β

1 1.0
2 0.6
3 0.5

≥ 4 0.45

z

c

K

x

z

c1

z

c2

h

z

Warstwa 1
(słaba) γ

1

,

Warstwa 2

(nośna)

γ

2

,

h

1

K

x2

K

x1

2

1

1

65

.

0

γ

⋅

γ

=

h

h

z

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

44

Przeliczanie modułu reakcji poziomej gruntu K

x

na sztywności podpór sprężystych k

x

odbywa się na podobnej zasa-

dzie jak zamiana obciążenia ciągłego na układ sił skupionych (rys. 19):

k

xi

= K

xi

⋅ a

i

[kN/m]

(8)

Sztywność K

z

podpory sprężystej pod podstawą pala należy wyznaczać według takich samych zaleceń jak w oma-

wianych wyżej metodach sztywnego i sprężystego oczepu – wzory (2), (4), (5), a w przypadku dużych grup
palowych i wzajemnego oddziaływania pali na siebie – według zaleceń podanych w pkt. 3.2.

3.3.2. Reakcje graniczne podpór sprężystych

Przy dużych przemieszczeniach ustroju palowego w niektórych podporach sprężystych mogą się wzbudzić reakcje
przekraczające graniczny opór gruntu w danym rejonie. Po przekroczeniu tego oporu dalsze przemieszczenia kon-
strukcji odbywają się już bez przyrostu reakcji gruntu. W rejonie tym następuje uplastycznie gruntu. W obliczeniach
do celów projektowych wystarczające jest przyjęcie najprostszego modelu sprężysto-plastycznego reakcji gruntu,
przedstawionego na rys. 17.

Rys. 17. Schemat modelu sprężysto-plastycznego reakcji gruntu

Obliczeniowy graniczny opór boczny gruntu w warstwie „j” na głębokości z można wyznaczyć za pomocą wzoru:

]

[

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

cj

r

j

qj

r

z

r

nj

i

r

xgrj

K

c

K

D

S

m

z

q

⋅

+

⋅

σ′

⋅

⋅

⋅

=

γ

[kN/m]

(9)

w którym:

m

i

– współczynnik korekcyjny według normy palowej równy 0.8 dla gruntów niespoistych

i 0.7 dla gruntów spoistych,

D

(r)

– obliczeniowa średnica zastępcza pala, według wzoru (10),

)

r

(

z

γ

σ′

– składowa pionowa obliczeniowego naprężenia efektywnego w gruncie na głębokości z,

)

r

(

j

c

– obliczeniowa spójność gruntu w warstwie „j”,

cj

qj

K

,

K

– współczynniki oporu poziomego gruntu, odczytywane z nomogramów Brinch Hansena

(Kosecki, 1988, Wytyczne IBDiM, 1993) na rys. 18.

Obliczeniowe wartości parametrów gruntów proponuje się przyjmować następująco:

)

n

(

m

)

r

(

φ

⋅

γ

=

φ

,

)

n

(

m

)

r

(

γ

⋅

γ

=

γ

,

)

n

(

)

r

(

c

.

c

⋅

=

4

0

Współczynnik materiałowy

γ

m

należy przyjmować z dokumentacji geotechnicznej, a w przypadku metody B wyzna-

czania parametrów geotechnicznych przyjmuje się

γ

m

= 0.9.

Przy określaniu średnicy zastępczej pala D

(r)

, uwzględnia się przestrzenny charakter oporu poziomego gruntu przed

palem i nachodzenie na siebie stref oddziaływania na grunt sąsiednich pali. Średnicę tę wyznacza się ze wzoru:

0

3

2

1

D

n

n

n

D

)

r

(

⋅

⋅

⋅

=

(10)

w którym:

n

3

= 1.0 dla pali o przekroju prostokątnym oraz n

3

= 0.85 dla pali o przekroju kołowym.

R [kN]

R

gr

δ [m]

1

k

x

[kN/m]

stan plastyczny

stan sprężysty

δ

gr

k

x

R = k

x

⋅δ ≤ R

gr

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

45

Rys. 18. Nomogramy do wyznaczania współczynników oporu bocznego gruntu K

q

i K

c

według Brinch Hansena

(Kosecki, 1988; Wytyczne IBDiM, 1993)

Wartości

)

(

r

xgr

q

wyznaczone przy wykorzystaniu współczynników K

q

i K

c

odczytywanych z nomogramów Brinch

Hansena (rys. 18) wydają się być zawyżone. Może to wynikać z tego, że współczynniki te prawdopodobnie zostały
wyznaczone z badań modelowych i bezpośrednio przeniesione do skali rzeczywistej, bez uwzględnienia efektu
skali. Dlatego autor przedstawia alternatywną propozycję przyjmowania K

q

= K

ph

oraz K

c

=

ph

K

2

, gdzie K

ph

jest

współczynnikiem odporu granicznego gruntu, który można obliczać z uwzględnieniem kąta tarcia gruntu
o powierzchnię pali

δ

p

ze wzoru:

2

2

1















δ

φ

⋅

δ

−

φ

−

φ

=

p

p

ph

cos

sin

)

sin(

cos

K

(11)

lub przyjmować z tabel np. według rozwiązań Caquot-Kerisela.

Wartości kąta tarcia gruntu o powierzchnię pali

δ

p

należy przyjmować z przedziału

δ

p

= -1/3

φ ÷ -φ, w zależności od

szorstkości pobocznicy pali i rodzaju gruntu.
Propozycja autora przyjmowania współczynników K

q

i K

c

jest jego zdaniem bezpieczniejsza.

Obliczanie reakcji granicznych R

gri

podpór sprężystych na podstawie q

xgr

odbywa się podobnie jak w przypadku

sztywności k

xi

na zasadzie zamiany obciążenia ciągłego na układ sił skupionych zaczepionych w węzłach (rys. 19):

a

)

z

(

q

R

i

)

r

(

xgri

xgri

⋅

=

[kN]

(12)

Na rynku istnieją również programy, w których sprężyste oddziaływanie gruntu wzdłuż pali i reakcję graniczną
można wyrażać w sposób ciągły.

3.3.4. Procedura obliczeniowa

W zależności od stopnia zaawansowania wykorzystywanego programu komputerowego obliczenia z uwzględnie-
niem sprężysto-plastycznego modelu reakcji gruntu mogą się odbywać tzw. sposobem „ręcznym” lub automatycznie
przez program. W sposobie „ręcznym” – iteracyjnym, po pierwszym kroku obliczeń dokonuje się weryfikacji
reakcji w podporach sprężystych w stosunku do reakcji granicznych R

gri

. W węzłach, w których następuje przekro-

czenie reakcji granicznych usuwa się podpory sprężyste, a w ich miejsce wstawia się siły skupione równe reakcjom
granicznym R

gri

. Po dokonaniu takiej modyfikacji przeprowadza się kolejny krok obliczeń i po nim ponownie

sprawdza siły w podporach sprężystych. Obliczenia można uznać za zakończone, gdy po danym kroku obliczeń
reakcje we wszystkich pozostałych podporach sprężystych nie przekraczają już reakcji granicznych. Można zauwa-
żyć, że po każdym kolejnym kroku iteracji wzrastają przemieszczenia układu i momenty zginające w palach.

K

q

100

80
60

40

20

10

8
6

4

2

1

0.8
0.6
0.4

0

4

8

12

16

20

φ

(r)

=

45

°

40

°

35

°

30

°

25

°

20

°

15

°

10

°

5

°

z/D

K

c

400

200

100

60

40

20

10

8

4

2

0

4

8

12

16

20

φ

(r)

=

45

°

40

°

35

°

30

°

25

°

20

°

15

°

10

°

z/D

80

6

5

°

0

°

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

46

Rys. 19. Przygotowywanie modelu pracy pala z ośrodkiem gruntowym

W sposobie automatycznym, w danych wejściowych do programu podaje się dla każdej podpory sprężystej oprócz
sztywności k

xi

, również reakcję graniczną R

gri

lub przemieszczenie graniczne

δ

gri

(rys. 17) oraz liczbę stopni

narastania obciążeń zewnętrznych

∆Q (liczbę kroków obliczeniowych np. 5 lub 10). Po uruchomieniu program

wykonuje obliczenia dla kolejnych stopni obciążeń. Wyniki obliczeń z danego kroku sumowane są z wynikami ze
wszystkich kroków poprzedzających, a następnie dokonywana jest weryfikacja reakcji w podporach sprężystych R

i

w stosunku do reakcji granicznych R

gri

lub przemieszczeń węzłów

δ

i

w stosunku do przemieszczeń granicznych

δ

gri

.

W momencie gdy w pewnych węzłach następują przekroczenia wartości granicznych reakcji lub przemieszczeń, to
w kolejnym kroku w tych węzłach usuwane są podpory sprężyste lub zerowana jest sztywność tych podpór.
Możliwy jest oczywiście inny proces obliczeniowy prowadzący do tego samego rezultatu.
Uplastycznienia gruntu od oddziaływania poziomego pali występują zwykle w górnych odcinkach pali.

Obliczanie ustrojów palowych z uwzględnieniem sprężysto-plastycznej współpracy pali z ośrodkiem gruntowym

zwiększa pracochłonność tych obliczeń i wprowadza duże komplikacje szczególnie w sytuacjach, gdy do przeanali-
zowania mamy kilka kombinacji różnych schematów obciążeń. Wówczas nie można przeprowadzać oddzielnych
obliczeń dla poszczególnych schematów obciążeń, a następnie dokonywać superpozycji wyników z tych schematów
zgodnie z daną kombinacją. Należy wykonywać globalne, oddzielne obliczenia dla każdej kombinacji obciążeń.
Procedury obliczeniowe jeszcze bardziej się komplikują, gdy chcemy uwzględnić nieliniowość materiałową i teorię
drugiego rzędu.

3.3.5. Przykładowe obliczenia porównawcze

Dla celów porównawczych i w celu lepszego zobrazowania istoty doboru odpowiedniej metody obliczeniowej
przedstawiono przykład prostego fundamentu palowego w układzie płaskim, który obliczono trzema metodami
omawianymi w pracy: metodą sztywnego oczepu, metodą sprężystego oczepu oraz metodą uogólnioną. Układ
geometryczny analizowanego fundamentu wraz z obciążeniami i warunkami geotechnicznymi przedstawiono na
rys. 20. Wyniki obliczeń wykonanych metodą uogólnioną przedstawiono na rys. 21, przy czym przyjęto dwa
warianty połączenia głowic pali z oczepem: a) ze sztywnym zamocowaniem i b) z przegubowym połączeniem.
Wyniki obliczeń wykonanych metodami klasycznymi przedstawiono na rys. 22.

Zaprezentowane wyniki obliczeń porównawczych wykazały znaczne różnice pomiędzy metodą uogólnioną,

a metodami klasycznymi, dotyczące zarówno rozkładu sił w palach jak i w momentach zginających w oczepie.
Z metody uogólnionej uzyskano znacznie więcej informacji, a ponadto najkorzystniejszy rozkład sił w palach
(szczególnie mniejsze siły wciskające i wyciągające w palach ukośnych). Jest to niewątpliwie duża korzyść stoso-
wania tej metody. Wynika z tego, że metoda uogólniona pozwala nie tylko na bezpieczne, ale i oszczędne projekto-
wanie fundamentów palowych. Bezpieczeństwo metody polega na tym, że dzięki odpowiedniemu modelowaniu
pozwala na dokładniejsze, a więc i pewniejsze odwzorowanie rzeczywistej pracy konstrukcji.

Warstwa 2

(słaba)

γ

2

, φ

2

, c

2

, E

02

Warstwa 1

γ

1

,

φ

1

, c

1

, E

01

Moduły reakcji

poziomej gruntu

K

x

[kPa]

Graniczny opór

boczny gruntu

q

xgr

[kPa]

Reakcje graniczne

podpór sprężystych

R

xgri

[kPa]

a

i

a

i

a

i

Pal z podporami

sprężystymi

k

xi

[kN/m]

Warstwa 3

γ

3

, φ

3

, c

3

, E

03

Warstwa 4

γ

4

,

φ

4

, c

4

, E

04

Profil

geotechniczny

z

c

Pal

K

x1

K

x2

K

x3

K

x4

q

xgr1

q

xgr2

q

xgr3

q

xgr4

k

xi

R

gri

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

47

Rys. 20. Rysunek przykładowego fundamentu palowego do obliczeń i schemat do metody uogólnionej

Rys. 21. Wyniki obliczeń fundamentu palowego z rys. 20 metodą uogólnioną:

a) ze sztywnymi połączeniami pali z oczepem, b) z przegubowymi połączeniami pali z oczepem

N

1

=1088

191

169

72

79

62

60

49

49

N

2

=902

N

3

=623

N

4

=41

13

16

21

1

18

4

45

7

71

2

15

0

50

7.0

8.0

1.0

M [kNm]

N [kN]

δ [mm]

9.0

1.3

N

1

=1028

99

99

98

98

N

2

=896

N

3

=707

N

4

=23

14

1

7

83

30

7

76

4

25

4

8.0

M [kNm]
N [kN]

δ [mm]

a)

b)

V

1

=1000 kN

V

2

=800 kN

M

1

=1500

kNm

q=60 kN/m

H

1

=300 kN

H

2

=200 kN

Pd, I

D

=0.35

0.8 m

1.0

3.5

5.0

1.5 1.0

T/Nm

Pd, I

D

=0.50

Pd, I

D

=0.70

-1.0

-3.0

-8.0

-10.0

-12.0

pale Vibro

φ460 mm

V

1

V

2

M

1

q

H

1

H

2

k

xi

K

z

EJ

p

EJ

F

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

48

Rys. 22. Wyniki obliczeń fundamentu palowego z rys. 20 metodami klasycznymi:

a) metodą sprężystego oczepu, b) metodą sztywnego oczepu

3.3.6. Układy przestrzenne

Przedstawione wyżej wytyczne do metody uogólnionej obliczania ustrojów palowych zostały podane dla układów
płaskich ram palowych, ale równie dobrze można je zastosować do układów palowych trójwymiarowych. Należy
wówczas wzdłuż pobocznic pali rozmieścić poziome podpory sprężyste w kierunku X (k

xi

) i w kierunku Y (k

yi

).

Sztywności k

xi

i k

yi

wyznacza się w identyczny sposób, pamiętając tylko o oddzielnym wyznaczeniu współczyn-

ników n

1

i n

2

dla kierunku X i dla kierunku Y.

Układy przestrzenne najlepiej jest obliczać przy użyciu programów do rozwiązywania układów trójwymiaro-

wych, a w przypadku posiadania tylko programu do układów płaskich, układ przestrzenny można rozłożyć, podob-
nie jak w metodzie sztywnego oczepu, na dwa układy płaskie w kierunku X–X i w kierunku Y-Y, a następnie
dokonać superpozycji wyników obliczeń z obu układów (rys. 23). Operacja taka jest w zasadzie możliwa tylko
wtedy, gdy układ jest symetryczny przynajmniej względem jednej z osi X lub Y.

Rys. 23. Propozycja obliczania trójwymiarowego układu palowego poprzez rozłożenie na dwa układy płaskie

Superpozycja:

4

3

jx

iy

ij

N

N

N

+

=

[kN]

2

2

4

3













+













=

jx

iy

ij

M

M

M

[kNm]

Uwaga:
Liczby 3 i 4 odnoszą się do przedstawianego
przykładu i oznaczają liczbę pali w kierunku X i Y

ΣV

0

ΣM

y0

ΣM

x0

Y

0

X

0

ΣH

x

ΣH

y

j=1

j=2

j=3

i=4

i=3

i=2

i=1

Σ

V

Σ

M

x0

Σ

H

y

3 p

al

e

3 p

al

e

3 p

al

e

3 p

al

e

Uk

ład

Y-

Y

i=

4

i=

3

i=

2

i=

1

Σ

V

Σ

M

x0

N

1y

N

2y

N

3y

N

4y

Σ

H

y

M

1y

M

2y

M

3y

M

4y

ΣH

x

ΣM

y0

4 pale

4 pale

4 pale

Układ X-X

j=1

j=2

j=3

ΣH

x

ΣM

y0

N

1x

N

2x

M

1x

M

2x

M

3x

N

1

=990

N

2

=714

N

4

=798

13

60

14

0

43

9

30

2

14

86

N

3

=1752

M [kNm]
N [kN]

a) b)

N

1

=953

N

2

=773

N

4

=809

1305

195

5

69

20

7

150

3

N

3

=1740

M [kNm]
N [kN]

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

49

3.4. Uproszczenia do metody uogólnionej

Istotnym mankamentem obliczania ustrojów palowych metodą współpracy pali ze sprężysto-plastycznym ośrodkiem
gruntowym jest jej duża pracochłonność, szczególnie na etapie przygotowywania schematów obliczeniowych
i wprowadzania danych do programów komputerowych. Dodatkowo w przypadku dużej liczby pali może pojawić
się problem z przekroczeniem pamięci operacyjnej wykorzystywanej przez program (chociaż dla współczesnych
komputerów i programów problem ten przestaje być aktualny) oraz z interpretacją wyników, ze względu na to, że
każdy pal modelowany jest za pomocą kilkunastu lub kilkudziesięciu elementów prętowych.

W związku z tymi mankamentami możliwe są pewne uproszczenia w schematach statycznych, pozwalające na

sprawniejsze przeprowadzanie obliczeń, a nie powodujące zbyt dużego obniżenia ich dokładności. Do tych uprosz-
czeń możemy zaliczyć modelowanie pali za pomocą ekwiwalentnych prętów zastępczych (tzw. superelementów)
lub za pomocą układu sprężystej podpory liniowej razem z podporą sprężystą na obrót.

3.4.1. Modelowanie pali współpracujących z gruntem za pomocą prętów zastępczych

Zastępowanie pali jako prętów współpracujących ze sprężystym ośrodkiem gruntowym prętami zastępczymi odby-
wa się na zasadzie, że pręty zastępcze w swoich głowicach zachowują się podobnie (ekwiwalentnie) do prętów rze-
czywistych (z podporami sprężystymi), co zobrazowano na rysunku 24.
Charakterystyki prętów zastępczych określa się na podstawie obliczeń pojedynczego pręta współpracującego ze
sprężystym gruntem, poddanego wymuszonym jednostkowym przemieszczeniom w poziomie głowicy.

Rys. 24. Zastępowanie pali jako prętów zagłębionych w sprężystym ośrodku gruntowym ekwiwalentnymi prętami zastępczymi:

a) pala z głowicą utwierdzoną, b) pala z głowicą przegubową

Dla pręta zastępczego o głowicy utwierdzonej jego sztywność głowicowa K

g

przedstawia się następująco:





















=

Κ

22

21

12

11

00

0

0

0

0

K

K

K

K

K

g

, (13)

a dla pręta z głowicą przegubową:













=

Κ

11

00

0

0

K

K

g

. (14)

a) b)

T

1

M

1

x

0

=1

L

z

E,A

z

,J

z

K

z

T=T

1

M=M

1

x

0

=1

E,A,J

k

xi

K

x

T

2

M

2

ϕ

0

=1

L

z

E,A

z

,J

z

T=T

2

M=M

2

ϕ

0

=1

k

x

K

z

E,A,J

K

T

1

x

0

=1

L

z

E,A

pz

,J

pz

K

z

T=T

1

x

0

=1

E,A

p

,J

p

k

xi

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

50

Występujące w macierzach (13) i (14) wielkości ustala się następująco (patrz również rys. 23):

z

K

K

≈

00

[kN/m],

0

1

11

x

T

K

=

[kN/m],

0

2

22

ϕ

=

M

K

[kN/rad]

0

2

0

1

21

12

ϕ

=

=

=

T

x

M

K

K

[kN]

(15)

Charakterystyki zastępczych prętów palowych ustala się z poniższych związków:

11

12

2

K

K

L

z

−

=

[m],

E

L

K

L

K

J

z

z

z

⋅

⋅

−

⋅

=

4

4

3

11

22

[m

4

],

E

L

K

A

z

z

⋅

=

00

[m

2

],

3

11

11

12

12

z

z

z

x

L

K

EJ

K

EJ

K

⋅

−

⋅

=

[kN/m]

(16)

Gdy obliczone wartości J

z

lub K

x

wychodzą ujemne to oznacza, że rozpatrywany pal jest za krótki i należy go

wydłużyć lub należy zmniejszyć długość pręta zastępczego L

z

.

Przykładowe zastąpienie schematu fundamentu palowego z palami współpracującymi z gruntem uproszczonym

schematem z prętami zastępczymi przedstawiono na rysunku 25. Wyniki obliczeń dla takiego schematu są
w zasadzie wystarczające do zaprojektowania pali, gdyż otrzymujemy w nich zarówno siły i momenty zginające
w palach oraz w miarę rzeczywiste przemieszczenia układu. Trzeba mieć jednak na względzie, że w schemacie
z prętami zastępczymi utrudnione jest uwzględnienie uplastycznienia gruntu w reakcji poziomej w stosunku do pali.

Rys. 25. Zastosowanie schematu fundamentu palowego z palami w postaci prętów zastępczych

3.4.2. Uproszczenia dla fundamentów z palami pionowymi obciążonych pionowo

Fundamenty płytowe lub belkowe na pionowych palach i obciążone pionowo można z dostateczną dokładnością
obliczać metodą sprężystego oczepu, według procedury opisanej w pkt. 3.1 i 3.2. Jednak w schematach z palami
w postaci tylko liniowych podpór sprężystych nie uwzględnia się sztywności giętnej pali i przejmowania przez nie
momentów zginających z oczepu. Może to być istotne przy palach sztywno połączonych z oczepem i o sztywności
giętnej porównywalnej ze sztywnością oczepu. Aby efekt przekazywania momentów wymodelować nie trzeba
stosować schematu statycznego według metody uogólnionej. Wystarczające jest wymodelowanie każdego pala za
pomocą dwóch podpór sprężystych: podpory pionowej o sztywności K

z

i podpory na obrót o sztywności K

r

– jak to

pokazano na rysunku 26. Sztywność K

z

określa się według typowych zasad, natomiast sztywność K

r

na podstawie

obliczeń pala pojedynczego obciążonego w głowicy wymuszonym obrotem jednostkowym

ϕ

0

= 1, tak jak w meto-

dzie prętów zastępczych (rys. 24a):

0

2

ϕ

=

M

K

r

[kNm/rad]

(17)

Poprzez wymodelowanie sztywności na obrót podpór palowych uzyskuje się redukcję momentów zginających
w oczepie i możliwość oszacowania momentów zginających w głowicach pali.

V

1

V

2

M

1

q

H

1

H

2

k

xi

K

z

EJ

p

EJ

F

V

1

V

2

M

1

q

H

1

H

2

EJ

F

K

x

L

z

E,A

z

,J

z

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

51

Rys. 25. Zastępczy schemat fundamentu palowego obciążonego pionowo uwzględniający sztywność osiową i giętną pali

5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI

Przedstawione w niniejszej pracy metody obliczania statycznego fundamentów palowych wskazują na duże zróżni-
cowanie tych metod i równie duże zróżnicowanie otrzymywanych wyników obliczeń. Stosowanie metod klasycz-
nych, uproszczonych wynikało dawniej głównie z braku odpowiednich urządzeń i technik obliczeniowych. Rozwią-
zania teoretyczne były już wówczas na bardzo wysokim poziomie i znacznie wyprzedzały możliwości techniczne
maszyn liczących. Dopiero pojawienie się elektronicznych i numerycznych technik obliczania pozwoliło na
praktyczne i pełne wykorzystanie osiągnięć wiedzy teoretycznej i umożliwiło sprawne i dokładne rozwiązywanie
złożonych układów konstrukcyjnych, w tym i złożonych ustrojów palowych.

Spośród wymienionych i scharakteryzowanych w pracy metod obliczania statycznego fundamentów palowych

za najbardziej uniwersalną i najbardziej zalecaną należy uznać metodę współpracy pali ze sprężysto-plastycznym
ośrodkiem gruntowym zwaną również metodą uogólnioną. Pozwala ona na bardzo dobre odwzorowanie w sche-
macie obliczeniowym rzeczywistej pracy pali w ośrodku gruntowym, a tym samym bezpieczne i optymalne zapro-
jektowanie całej konstrukcji palowej. Uproszczone metody obliczeniowe, takie jak metoda sztywnego oczepu, czy
sprężystego oczepu mogą być i są nadal wykorzystywane do obliczania nieskomplikowanych układów palowych,
a głównie układów złożonych z pali pionowych i obciążonych siłami pionowymi. Wyniki obliczeń takich funda-
mentów z użyciem tych metod są wystarczająco dokładne i miarodajne do bezpiecznego zaprojektowania fun-
damentu. Nie zalecane jest natomiast stosowanie metod klasycznych do obliczania układów palowych obciążonych
poziomo i z palami ukośnymi, gdyż uzyskiwane wyniki obliczeń przy użyciu tych metod mogą bardzo odbiegać od
rzeczywistości. Dowiodły tego zaprezentowane w pracy przykłady obliczeniowe.

W pracy nie przytoczono i nie scharakteryzowano innych, rozpowszechnionych dawniej metod klasycznych

obliczania fundamentów palowych, takich jak. np. metoda Nökkentveda, Smorodyńskiego, Antonowa-Majersona,
Schiela i innych, z racji całkowitego ich wyparcia przez bardziej wygodne i dokładniejsze nowoczesne metody
numeryczne.

Należy pamiętać, że warunkiem uzyskania miarodajnych wyników obliczeń fundamentów palowych jak również

innych konstrukcji geotechnicznych jest oprócz odpowiedniego wymodelowania schematu statycznego, przyjęcie
właściwie zbadanych i miarodajnych parametrów geotechnicznych podłoża gruntowego.

BIBLIOGRAFIA

1. Gwizdała, K., Wilk, Z., Brzozowski, T. (2001). Influence of subsoil deformation on the construction of concrete

reinforced foundations for containers. V International Seminar on Renovation and Improvements to Existing
Quay Structures, Technical University of Gdańsk.

2. Kosecki, M. (1988). Statyka ustrojów palowych. Zasady obliczania metodą uogólnioną. Biuletyn Nr 1/88

PZIiTB O/Szczecin.

V

1

V

2

M

1

q

V

3

M

3

V

1

V

2

M

1

q

V

3

M

3

K

z

K

r

V

1

V

2

M

1

q

V

3

M

3

N

1

M

01

N

2

M

02

N

3

M

03

N

4

M

04

N

5

M

05

N

6

M

06

SEMINARIUM „Zagadnienia posadowień na fundamentach palowych”

Gdańsk, 25 czerwca 2004

52

3. Krasiński, A., Świniański, J., Gwizdała, K., Tejchman, A. (1998). Obliczanie fundamentów palowych

z uwzględnieniem zmiennej podatności pali. Materiały I Problemowej Konferencji Geotechniki: „Współpraca
budowli z podłożem gruntowym”, Białystok-Wigry.

4. Rafalska, W., Tejchman, A. (1980). Metody obliczeń ustrojów palowych. Politechnika Gdańska, Instytut

Hydrotechniki, pomoce dydaktyczne.

5. Rosiński, B. (1976). Fundamentowanie. PWN Łódź-Warszawa.

6. Tejchman, A., Krasiński, A., Słabek, A. (2002). A proposal of calculation of piled raft foundations. Proc.

of Ninth International Conference on Piling and Deep Foundations, Nice, 3-5 June 2002. Presses Ponts
et Chaussées.

7. Tejchman, A, Gwizdała, K, Słabek, A. (2004). Obliczanie fundamentów płytowo-palowych. Materiały

II Problemowej Konferencji Geotechniki: „Współpraca budowli z podłożem gruntowym”, Białystok-Białowieża.

8. PN-83/B-02482. Fundamenty budowlane. Nośność pali i fundamentów palowych.

9. Wytyczne techniczne projektowania pali wielkośrednicowych w obiektach mostowych. Instytut Badawczy Dróg

i Mostów, Warszawa, 1993.