13. Rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych – rozwiązania

Ćw. 13.1

1. Oczywiście f

n

→ 0 prawie wszędzie. Poza tym

||f

n

||

∞

= n

2/3

,

||f

n

||

1

= n

−1/3

,

||f

n

||

2

= n

1/3

.

Wnioskujemy stąd, że f

n

→ 0 w topologii L

1

, ale nie w L

2

i L

∞

.

2. Zauważmy, że szereg

P

∞
k=1

1

2

[log2 k]

zbiega do ∞ (bo

1

2

[log2 k]

­

1
k

a wiadomo, że

P

∞
k=1

1
k

= +∞.) W szczególności dla każdego x ∈ [0, 1] istnieje nieskończenie

wiele indeksów n, dla których f

n

(x) = 1 i nieskończenie wiele takich n, że

f

n

(x) = 0. Zatem ciąg f

n

nie jest zbieżny prawie wszędzie. Jest on więc rozbieżny

także w L

∞

, bo zbieżność w L

∞

pociąga zbieżność p.w.. Natomiast

||f

n

||

1

= ||f

n

||

2

= 1/2

[log

2

(n+1)]

→ 0,

a zatem w tych topologiach zachodzi zbieżność ciągu f

n

do 0.

3. Mamy ||f

n

||

∞

= sup

x∈[0,1]

| sin(x/n)| = sin(1/n) → 0. Zatem zachodzi zbieżność

f

n

→ 0 w normie || · ||

∞

, skąd wynika także analogiczna zbieżność w innych

topologiach.

4. (1 − x/n)

n

→ exp(−x) punktowo na całym [0, 1]. Co więcej, |(1 − x/n)

n

| ¬ 1,

skąd na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej wywniosko-
wać można zbieżność f

n

→ exp(−x) także w L

1

i w L

2

. Aby udowodnić zbież-

ność w || · ||

∞

korzystamy z rozwinięcia logarytmu naturalnego w 1 otrzymując

(1 − x/n)

n

= exp(n ln(1 − x/n)) = exp(n(−x/n + o(1/n))) = exp(−x + o(1))

jednostajnie na [0, 1].

Ćw. 13.2 Zbieżność w L

1

lub L

2

pociąga zbieżność według miary. Tak więc w naszym

przypadku badany ciąg funkcyjny (nazwiemy go f

n

) posiada dwie granice według

miary (oznaczymy ją µ): f i g. Załóżmy, że nie jest prawdą, że f = g prawie wszędzie.
Wówczas istnieje δ > 0 taka, że µ(|f − g| > δ) = η > 0. Oznacza to, że

µ(|f

n

− f | ­ δ/2) + µ(|f

n

− g| ­ δ/2) ­ η

dla każdego n. Jest to sprzeczne z założeniem, że f

n

→ f i f

n

→ g według miary.

Ćw. 13.3 Por. Zad. 13.1, punkt 1.