13. Rodzaje zbie»no±ci ci¡gów funkcyjnych przygotowanie do

sprawdzianu

Zad. 13.1 W ka»dej z topologii: L

∞

, L

1

, L

2

,

wedªug miary oraz prawie wsz¦dzie, zbada¢

zbie»no±¢ poni»szych ci¡gów funkcyjnych okre±lonych na przestrzeni ([0, 1], B

[0,1]

, l

[0,1]

)

1. f

n

(x) := (1 + x/n)

3

,

2. f

n

(x) := 1

[0,1]

(x + 1/n),

3. f

n

(x) :=

√

n1

[0,1/n]

(x

4

),

4. f

n

(x) := cos(1 + x/n).

Zad. 13.2 Niech f

n

(x) :=

√

n1

[0,1/n]

.

Pokaza¢, »e w L

1

([0, 1], B

[0,1]

, l)

ci¡g f

2

n

nie zbiega

do (lim

n→∞

f

n

)

2

.