1

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Wykład 4.

Uchyb ustalony regulacji

Jak można było zauważyć na podstawie ostatniego wykładu, odpowiedź asymptotycz-
nie stabilnego układu liniowego ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia transmitancji



jest uzależniona od części ustalonej odpowiedzi o wymuszeniu (sygnale sterują-

cym) stałym w czasie.

Powiedzieliśmy, że w czasie trwania odpowiedzi skokowej układu składowa

przejściowa zanika, dlatego pozostała składowa ustalona odpowiedzi wpływa na war-
tość ustaloną mierzoną na wyjściu obiektu regulacji

.

Jeśli zmierzona wartość

ustalona jest inna niż wartość zadana na wejściu do układu, to w wyniku porównania
amplitud tych sygnałów otrzymujemy wartość różną od zera. Wartość tę nazywa się
uchybem regulacji, a jeśli wynika ona z różnicy pomiędzy wartością zadaną (sterującą)
a wartością zmierzoną na wyjściu układu znajdującego się w stanie ustalonym (asymp-
totycznie stabilnym), to nazywamy ją uchybem ustalonym regulacji.

Zatem, definiując uproszczone zagadnienie sterowania liniowego odwołamy się

do rysunku

1

z drugiego wykładu w nieco zmienionej postaci.

2

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Rysunek

1

. Obiekt regulacji o transmitancji



włączonej na linii toru głównego

układu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym z zaznaczeniem uchybu regulacji



na wyjściu sumatora. Pozostałe symbole oznaczają transformaty Laplace’a sygnału sterują-

cego (zadanego)



i sygnału wyjściowego



.

Jeśli w pokazanym na rysunku

1

układzie pojawia się uchyb ustalony, to proble-

mem do rozwiązania jest zaprojektowanie odpowiedniego sterownika – lub też do-
branie odpowiedniego elementu znajdującego się na linii sprzężenia zwrotnego (tutaj
dla przykładu, czujnik pomiarowy), który dla określonego zakresu wartości sterujących



sprowadzi uchyb ustalony do zera. Czasami w celu możliwie największej mini-

malizacji uchybu ustalonego regulacji stosuje się na linii sprzężenia zwrotnego układu
z rysunku

1

człony dynamiczne (np.



, lub

 

), wtedy

  



 1

obiekt regulacji

np. czujnik pomiarowy





   

3

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

.

Uchyb regulacji



w stanie ustalonym powinien zbiegać do zera w od-

powiednio krótkim czasie.

Na podstawie schematu liniowego układu sterowania (rysunek

1

) można zapisać:

   






(

4.1

)

Aby znaleźć uchyb ustalony, a więc rozwiązanie





lim





można zasto-

sować twierdzenie o wartości końcowej funkcji danej w postaci transformaty Lapla-
ce’a. Wykorzystując równanie (

4.1

) zapiszemy:





lim



 lim







 lim

!

"# lim

!

$

 



%.

(

4.2

)

Równanie (

4.2

) można użyć do oszacowania postaci elementu dynamicznego (o

transmitancji



) umieszczonego na linii toru sprzężenia zwrotnego w taki sposób,

aby sprowadzić uchyb ustalony do zera dla różnych postaci sygnałów wejściowych, tj.
sygnał skokowy czy czasowo-liniowy.

4

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

0



&

'

Rysunek

2

. Funkcja skokowa.

Definicja. Postać układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym jest uwarunkowana
liczbą biegunów funkcji przejścia otwartego układu sterowania umiejscowionych w
środku układu współrzędnych zmiennej zespolonej

s

. Z transmitancji układu otwartego

)


 *

+

,

…+

.





/

0

,

0

1

…20

34/

5

.

(

4.3

)

Tę definicję stosowaliśmy już wcześniej przy szacowaniu liczby zer licznika i mia-

nownika funkcji przejścia zamkniętego układu sterowania na potrzeby wykreślania li-
nii pierwiastkowych. Poniżej rozpatrzymy dwa rodzaje funkcji wejściowej



.

4.1.

Wejście w postaci funkcji skokowej

' & 8 1

Celem sterowania jest spowodowanie, aby układ pokazany
na rysunku

1

osiągnął możliwie dokładnie wartość sterują-

cą daną w postaci funkcji skokowej (rysunek

2

). Oznacza

to, że składowa ustalona

9





odpowiedzi tego układu ma

zbiegać do wartości stałej

9:



' & 8 1

, gdzie

& 1

jest amplitudą wymuszenia skokowego. Przyjmując,

że

' 





, otrzymujemy na podstawie wzoru

5

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

0



'

;

Rysunek

3

. Funkcja czasowo-

liniowa.

(

4.2

) jak następuje:





lim

<!

"# lim

!

$





8





%



=>?

@A

"#



B

C

,

(

4.4

)

gdzie

*

0

jest stałą położenia ustalonego i na podstawie wzoru (

4.4

) dane zależnością

*

0

lim

!

"
#.

(

4.5

)

Widać zatem, że dla zapewnienia zerowej wartości uchybu ustalonego (gdy na

wejściu do układu jest zadany sygnał sterujący o charakterze skokowym) potrzeba,
aby

*

0

 ∞

. Podstawiając zależność (

4.3

) do (

4.5

) widać, że jest to równoważne wa-

runkowi

E F 1

(w odniesieniu do podanej definicji).

4.2.

Wejście w postaci funkcji czasowo-liniowej

' G 8 

Celem sterowania jest spowodowanie, aby układ pokazany
na rysunku

1

podążał możliwie dokładnie za wartością steru-

jącą daną w postaci funkcji czasowo-liniowej (rysunek

3

).

Oznacza to, że składowa ustalona

9





odpowiedzi rozwa-

żanego układu ma podążać za wartością

' G 8 

, gdzie

dla przykładu

G tan ; 1

jest współczynnikiem kierun-

6

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

kowym prostej. Przyjmując, że

' 





1

, otrzymujemy na podstawie wzo-

ru (

4.2

) jak następuje:





lim

<!

"# lim

!

K



1 L
 8

1



M

N

1

lim

!

" L 
#

1

*

O

gdzie

*

O

lim

!

"
#

jest stałą prędkości ustalonej.

(

4.6

)

Analogicznie jak w punkcie 4.1, dla zapewnienia zerowej wartości uchybu ustalo-

nego (gdy na wejściu do układu jest zadany sygnał sterujący o charakterze czasowo-
liniowym) potrzeba, aby

*

O

 ∞

. Podstawiając zależność (

4.3

) do (

4.6

) widać, że jest

to równoważne warunkowi

E F 2

(w odniesieniu do podanej definicji). Tą samą me-

todykę można zastosować do określenia warunku na zerowy uchyb ustalony, gdy na
wejściu do układu z rysunku

1

jest wprowadzony sygnał wejściowy (próbny) wyższego

rzędu, np. sygnał czasowo-paraboliczny.

Przykład 1. Zbadajmy odpowiedź na sygnał skokowy

' 1

pewnego układ dy-

namicznego, opisanego następującym równaniem różniczkowym:

QR L S



QT L S

!

Q 9T L U

!

9.

Stosując transformatę Laplace’a otrzymuje się następującą funkcję przejścia:

7

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej



V<
W<

X

A

<

1

Y

,

<Y

A

,

a na podstawie wzoru (

4.5

) stała położenia ustalonego (przy

 1

) wynosi:

*

0

lim

!

"
# lim

!

$

X

A

<

1

Y

,

<Y

A

%

Z

A

[

A

.

Zatem na podstawie powyższego oraz wzoru (

4.4

) uchyb ustalony wynosi





lim

!

$





8





%



=>?

@A

"#



B

C





\A

]A

[

A

[

A

Z

A

.

Skoro odpowiedź

9

układu zamkniętego (patrz rysunek

1

) charakteryzuje się

uchybem ustalonym





(niezależnym od

S



), to zbiegnie się ona do wartości:

9:



1  



1 

[

A

[

A

Z

A

Z

A

[

A

Z

A

.

Połóżmy zatem

S

!

2, S



3

i

U

!

6

. Wybranym wartościom parametrów od-

powiada

9:



0.75

. Jest to prawdą, ponieważ dla wybranego zestawu parametrów

przykładowego układu uchyb ustalony





[

A

[

A

Z

A

M

Md

0.25

. Rozwiązanie nume-

ryczne tego zadania pokazano na rysunku

4

.

8

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Rysunek

4

. Rozwiązanie numeryczne odpowiedzi

skokowej układu z przykładu 1.

4.3.

Układ regulacji z zakłóceniem

ef działającym na wejściu

do obiektu regulacji

Na wejściu do obiektu może pojawić się zakłócenie, które wpływać będzie na odpo-
wiedzi przejściową i ustaloną. W związku z tym można spróbować określić zależności
na uchyb regulacji w odniesieniu do pojawiającego się zakłócenia.

9

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Transmitancję zakłóceniową (zerując wymuszenie) można określić według wzoru:

g

 h

i
j

k

lm!



C





n



C





C





o



,

(

4.8

)

gdzie

)



oznacza transmitancję układu otwartego. Na podstawie wzorów (

4.7

)

i (

4.8

):

0





obiekt regulacji

p



q



regulator

r



10

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej



+

p L

g

r,

(

4.9

)

gdzie

+



jest transmitancją zamkniętego układu sterowania wyznaczoną ze wzoru

(

4.7

) przy

r 0

.

Na podstawie schematu z rysunku

5

uchybu regulacji

 p  

w funkcji wymuszenia

p

i zakłócenia

r

obliczamy (również na podstawie wyżej

podanych zależności) jak następuje:

•

podstawiamy



ls



do wzoru (

4.7

);

•

p  

+

p L

g

r;

•

 21 

+

5p

tuuuuuuvuuuuuuw

ms

x





g

r

tuuuuvuuuuw

ms

y



;

•

podstawiamy wzory na

+

 i

g

;

•

wyznaczamy transmitancje uchybową wymuszeniową

z{

 i uchybową zakłó-

ceniową

z+

.

 |1 



n



C





n



C



} p 



C





n



C



r |



n



C





n



C







n



C





n



C



~ p 



C





n



C



r

11

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej





n



C



tuuuuvuuuuw

o@

p 



C





n



C



tuuuuvuuuuw

o@

r





o



p 



C





o



r



{

 L 

g

.

(

4.10

)

Na podstawie wzoru (

4.10

) oraz, że

h|

jm!

p  

definiuje

się transmitancję uchybową wymuszeniową

z{



i zakłóceniową

z+



:

z{

 h

s

x



l

k

jm!





o



,

z+

 h

s

y



j

k

lm!



C





o



. (

4.11

)

Jak należało oczekiwać, na wartość uchybu obliczoną za pierwszym sumatorem

(pierwszy od lewej na rysunku

5

) wpływa suma sygnałów uchybu wymuszeniowego

i zakłóceniowego:

 

{

 L 

+



z{

p L

z+

r.

(

4.12

)

4.4.

Układ regulacji z zakłóceniem

ef działającym na wyjściu

obiektu regulacji

Tą część rozważań prześledzimy na podstawie przykładu ćwiczeniowego załączonego
w osobnym pliku.