10. Dobór regulatorów

142

10. DOBÓR REGULATORÓW

Ogólne kryteria doboru typu regulatora.
Ogólnie sygnał wyjściowy regulatora ma trzy składowe:
- składową proporcjonalną P;
- składową całkującą I;
- składową różniczkującą D.

Składową proporcjonalną nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora

proporcjonalną do sygnału uchybu. Składowa ta powoduje przeważnie zmniejszenie
błędów statycznych, a więc w stanach ustalonych polepsza się dokładność pracy układu. W
szczególności układ lepiej odtwarza sygnał sterujący i lepiej kompensuje działanie
zakłóceń. Wpływa na zmniejszenie czasu regulacji.

Składową całkującą nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora będącą całką z

sygnału uchybu. Powoduje ona zwiększenie klasy układu, a więc likwiduje błędy
statyczne. W stanach ustalonych układ całkowicie odtwarza układ sterujący i całkowicie
kompensuje działanie zakłóceń. Ujemnym skutkiem samej składowej całkującej jest
znaczne wydłużenie czasu regulacji.

Składowa różniczkująca jest pochodną z sygnału uchybu. Składowa ta występuje

jedynie w stanach przejściowych a zanika w stanach ustalonych. Powoduje skrócenie czasu
regulacji przez przyspieszenie początkowej fazy procesu przejściowego.

Dobór typu regulatora

Tabela 10.1.

Lp. Przewidywany skutek działania układu

Typ regulatora

1 Zmniejszenie błędu statycznego odpowiedzi na

skokowy sygnał sterujący lub zakłócający

Regulator P

K

2 Likwidacja błędu statycznego odpowiedzi na

skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
Wydłużenie czasu regulacji

Regulator PI

s

T

K

K

i

+

3 Zmniejszenie błędu statycznego odpowiedzi na

skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
Skrócenie czasu regulacji

Regulator PD lub

człon korekcyjny PD

(

)

1

+

s

T

K

d

4 Likwidacja błędu statycznego odpowiedzi na

skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
Skrócenie czasu regulacji

Regulator PID









+

+

s

T

s

T

K

i

d

1

1

Regulator PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o małych

częstotliwościach.

Regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator PI, ale z gorszą jakością

regulacji przy małych częstotliwościach. Akcja różniczkująca wzmacnia również wszelkie
szumy przetwornika pomiarowego, a ponadto przynosi niewielkie korzyści dla τ/T > 0,5

Regulatory dzielimy na idealne i rzeczywiste. Idealne są zbudowane na

wzmacniaczach a rzeczywiste na elementach RLC i nazywane są członami korekcyjnymi.
W poniższej tabeli zestawiono podstawowe typy regulatorów.

10. Dobór regulatorów

143

Tabela 10.2.

Typ

Schemat

Impedancja

wejściowa

Impedancja

wyjściowa

Transmitancja i wartości

współczynników

P

R

1

R

2

1

2

;

R

R

K

K

=

−

PI

R

1

2

1

R

Cs

+

C

R

T

R

R

K

s

T

K

i

i

2

1

2

;

;

1

1

=

=









+

−

PD

1

1

1

1

+

s

R

C

R

R

2

(

)

1

1

1

2

;

;

1

C

R

T

R

R

K

s

T

K

d

d

=

=

+

−

PID

1

1

1

1

+

s

R

C

R

s

C

s

C

R

2

2

2

1

+

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

;

;

1

1

C

R

C

R

C

C

R

R

T

C

R

C

R

T

C

R

C

R

C

R

K

s

T

s

T

K

d

i

d

i

+

=

+

=

+

=









+

+

−

Aby móc dokonać wyboru regulatora, należy mieć choćby przybliżone wartości obiektu
regulacji:
a) zidentyfikować obiekt

- statyczny

( )

1

+

=

−

Ts

K

e

s

G

s

o

τ

Rys. 10.1

- astatyczny

( )

Ts

K

e

s

G

s

o

τ

−

=

Rys. 10.2

b) dla

2

,

0

<

T

τ

można zastosować regulator dwupołożeniowy (lub ciągły);

R

1

R

2

R

1

R

2

C

R

1

R

2

C

1

C

1

R

2

C

2

R

1

τ

T

x

st

τ

T

x

st

10. Dobór regulatorów

144

dla

1

<

T

τ

należy zastosować regulator o działaniu ciągłym;

dla

1

>

T

τ

należy zastosować regulator impulsowy.

Najczęściej występuje

T

τ

= 0,2÷0,7, w związku z czym regulatory PID o działaniu

ciągłym są najpopularniejsze w przemyśle. Dla nich bazując na odpowiedzi obiektu na
wymuszenie skokowe jak na rysunku 10.1 i 10.2 bez podłączonego sprzężenia
zwrotnego, jeżeli istnieje taka możliwość, otrzymujemy dla struktury regulatora
następujące wartości nastaw:

P

K

r

= (0,57

÷

0,7)

τ

K

T

PI

K

r

= 0,7

τ

K

T

,

T

i

= τ + 0,3 T

PID

K

r

= 1,2

τ

K

T

,

T

i

= 2 τ ,

T

d

= 0,4 τ

Metoda ta minimalizuje czas regulacji, a przeregulowanie nie przekracza 20%.

c) wśród wielu metod suboptymalnych doboru parametrów regulatora największe

praktyczne znaczenie posiada metoda Zieglera - Nicholsa która, minimalizuje całkę
I

1m

. Polega ona na tym, że obiekt sterowany jest przez regulator nastawiony na

działanie proporcjonalne (P), ostrożnie zwiększając współczynnik wzmocnienia aż
do wartości K

gr

dochodzimy do granicy stabilności (wystąpią oscylacje o okresie T

osc

),

stąd otrzymujemy dla struktury regulatora następujące wartości nastaw:

P

K

r

= 0.5 K

gr

PI

K

r

= 0.45

K

gr

, T

i

= 0.85

T

osc

PID

K

r

= 0.6

K

gr

,

T

i

= 0.5

T

osc

,

T

d

= 0.12

T

osc

Istnieje również zmodyfikowana metoda Zieglera - Nicholsa uwzględniająca czas
próbkowania T, w której określa się nastawy regulatorów wg wzorów:

PI

K

r

= 0.45 K

gr

(1 - 0,6

osc

T

T

) , T

i

= 1,85 T

osc

gr

r

K

K

PID

K

r

= 0.6 K

gr

(1 -

osc

T

T

) ,

T

i

= 0,83 T

osc

gr

r

K

K

, T

d

= 0,075 T

osc

r

gr

K

K

10.1. Regulatory liniowe w układach regulacji

Przykład 10.1.
Wyznaczyć charakterystyki czasowe idealnego i rzeczywistego regulatora P poddanego
działaniu skokowego sygnału uchybu

ε

(t) = A

1

(t). Funkcje przejścia regulatora maja

postać.:

G

r id

(s) = K

r

( )

1

+

=

Ts

K

s

G

r

rz

r

Dane liczbowe:
K

r

= 5 [V/V]

10. Dobór regulatorów

145

T = 0,1 [s]
A = 0,3 [V]

Idealny regulator P zachowuje się tak jak człon proporcjonalny. Charakterystykę

czasową takiego członu przedstawia zależność

ε

r id

(t) = AK

r

= 1,5 [V]

Rzeczywisty regulator P zachowuje się tak jak człon inercyjny pierwszego rzędu.

Charakterystykę takiego członu przedstawia zależność

( )

(

)

[ ]

V

e

e

AK

t

t

T

t

r

rz

r

10

1

5

,

1

1

−

−

−

=









−

=

ε

Obie charakterystyki czasowe zestawiono na rysunku 10.3, z którego wynika, że

działanie regulatora rzeczywistego pokrywa się z działaniem idealnego dopiero po upływie
czasu równego czterem stałym czasowym.

Rys. 10.3

Przykład 10.2.
Wyznaczyć charakterystyki czasowe idealnego i rzeczywistego regulatora PID, poddanego
działaniu skokowego sygnału uchybu ε = A1(t). Funkcje przejścia regulatora mają postać:

( )









+

+

=

s

T

s

T

K

s

G

i

d

r

id

r

1

1

( )

























+

+

+

+

=

s

T

s

T

s

T

Ts

K

s

G

i

d

d

d

r

rz

r

1

1

1

1

α

Dane liczbowe:
A = 0,5 [V]
K

r

= 1,0 [

V

/

V

]

T

d

= 0,4 [s]

T

i

= 4 [s]

T = 0,2 [s]
α

d

= 10

Charakterystykę czasową regulatora idealnego wyznaczymy ze wzoru

( )

( )

( )

[

][ ]

V

t

t

T

t

t

T

AK

t

i

d

r

id

r

25

,

0

4

,

0

1

5

,

0

1

+

+

=













+

+

=

δ

δ

ε

Dla wyznaczenia charakterystyki regulatora rzeczywistego zapiszemy jego funkcję

przejścia w postaci

1,0

t [s]

ε

r rz

ε

r id

ε

r

[V]

10. Dobór regulatorów

146

( )

(

)

























+

+

+

+

+

=

1

1

1

1

s

T

s

T

Ts

K

Ts

s

T

K

s

G

d

d

d

r

i

r

rz

r

α

Pierwszy składnik powyższej sumy jest funkcją przejścia rzeczywistego regulatora I,

drugi składnik jest funkcją przejścia rzeczywistego regulatora PD, w związku z tym z
zasady superpozycji otrzymamy

( )

(

)

[

] [

]

t

t

t

T

t

d

d

d

T

t

d

d

d

r

T

t

i

r

rz

r

e

e

e

t

e

T

T

T

e

T

T

T

AK

e

T

t

T

T

AK

t

d

d

25

5

5

5

,

2

5

,

1

1

5

,

0

1

5

025

,

0

1

1

1

−

−

−

−

−

−

+

+

−

−

=

=

























−

−

























−

−

+

+

























−

−

=

α

α

α

ε

Obie charakterystyki czasowe zestawiono na rysunku 10.4.

Rys. 10.4

10.2. Synteza parametryczna regulatorów

Przykład 10.4.
Dany jest układ regulacji, którego schemat blokowy sprowadzono do postaci
z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym (rys.10.5.).

Rys. 10.5

Dobrać wartości stałych czasowych następujących regulatorów, przeznaczonych do

współpracy z obiektem regulacji występującym w schemacie blokowym:

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t [s]

ε

r

[V]

C(s)

R

1

(s)

(

)(

)(

)

1

1

1

3

2

1

+

+

+

s

T

s

T

s

T

KK

z

G

r

(s)

-

10. Dobór regulatorów

147

a) regulatora PI

( )









+

=

s

T

K

s

G

i

r

r

1

1

b) członu korekcyjnego PI

( )

1

1

+

+

=

s

T

s

T

K

s

G

i

i

r

r

α

c) regulatora PD

( )

(

)

1

+

=

s

T

K

s

G

d

r

r

d) członu korekcyjnego PD

( )

1

1

+

+

=

s

T

s

T

K

s

G

d

d

r

r

α

α

e) regulatora PID

( )









+

+

=

s

T

s

T

K

s

G

i

d

r

r

1

1

f) członu korekcyjnego PID

( )

(

)(

)

(

)













+

+

+

+

=

1

1

1

1

s

T

s

T

s

T

s

T

K

s

G

d

i

d

i

r

r

α

α

Przyjąć wartości stałych czasowych i wzmocnień obiektu regulacji

T

1

= 0,5 [s]

T

2

= 1 [s]

T

3

= 2 [s]

KK

Z

= 5

Kryteria stosowane dla oceny jakości pracy oraz dla syntezy układów regulacji można

podzielić na dwie grupy:

1. Kryteria pozwalające na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia i stałych

czasowych regulatora, mianowicie:

−

kryterium optymalnego modułu,

−

całkowy wskaźnik jakości.

2. Kryteria pozwalające tylko na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia

regulatora, mianowicie:

−

kryterium amplitudy rezonansowej w zastosowaniu do nomogramów Halla
i Blacka,

−

kryterium zapasu wzmocnienia i fazy,

−

kryterium miejsca geometrycznego pierwiastków,

−

kryterium stabilności aperiodycznej,

−

całkowy wskaźnik jakości zastosowany w sposób uproszczony.

W związku z powyższym, w przypadku zastosowania któregokolwiek kryterium

z drugiej grupy, należy wstępnie i możliwie dobrze przyjąć wartości stałych czasowych
regulatora. Zasady doboru tych stałych, mające uzasadnienie praktyczne są przedmiotem
tego zadania.

1. Stała czasowa regulatora PI

Rozważmy funkcję przejścia w układzie otwartym skorygowanym, zapisaną

w postaci:

( ) ( )

( ) ( )

(

)(

)(

)

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+

+

=

=

s

T

s

T

s

T

s

s

T

T

KK

K

s

G

s

G

s

G

s

H

i

i

Z

r

ob

r

O niezadowalających własnościach dynamicznych układu regulacji w dużym stopniu

decydują duże stałe czasowe mianownika funkcji przejścia w układzie otwartym. Można

10. Dobór regulatorów

148

zatem postarać się o skompensowanie działania największej z tych stałych drogą doboru
odpowiedniej stałej T

i

. Matematycznie kompensacja sprowadza się do skracania

identycznych wielomianów zmiennej s w liczniku i mianowniku funkcji przejścia w
układzie otwartym. Można zatem napisać:

T

i

= T

max mianownika obiektu

W rozpatrywanym przypadku mamy

T

i

= T

3

= 2 [s]

a funkcja przejścia po korekcji przyjmie postać

( ) ( )

(

)(

)

(

)( )

1

1

5

,

0

1

2

5

1

1

1

2

1

+

+

=

+

+

=

s

s

s

K

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

r

i

z

r

2. Stałe czasowe członu korekcyjnego PI

Weźmy pod uwagę funkcje przejścia w układzie otwartym skorygowanym

( ) ( )

(

)(

)(

)(

)

1

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+

+

+

=

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

i

i

z

r

α

Zadaniem członu korekcyjnego PI jest zastąpienie regulatora PI, a więc przybliżona
realizacja działania proporcjonalno-całkującego. Jest ono wykonalne wtedy, gdy stała
czasowa αT

i

jest odpowiednio duża w porównaniu z pozostałymi stałymi czasowymi

obiektu, czyli gdy

αT

i

>> T

max mianownika obiektu

Warunek ten pozwala na uproszczony zapis funkcji przejścia w układzie otwartym

( ) ( )

(

)(

)(

)

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+

+

≈

s

T

s

T

s

T

s

s

T

T

KK

K

s

G

s

H

i

i

z

r

α

Praktyczne zastosowanie wymienionego wyżej warunku, dla zbyt dużej wartości stałej T

i

,

może doprowadzić do nadmiernego wydłużenia czasu regulacji. Ze względu na ten czas
należałoby się posłużyć warunkiem przeciwnym

αT

i

<< T

max mianownika obiektu

Decydując się zatem na kompromisowe rozwiązanie problemu przyjmujemy

αT

i

= 5T

max mianownika obiektu

Ponadto, przybliżone działanie całkujące uwidacznia się wtedy, gdy stałe αT

i

oraz T

i

różnią

się znacznie od siebie. Ten kolejny warunek realizuje się przyjmując najczęściej

α = 10

Tak więc w rozpatrywanym przypadku otrzymamy

αT

i

= 5T

3

= 10 [s]

czyli

T

i

= 1 [s]

a funkcja przejścia po korekcji przyjmie postać

( ) ( )

(

)(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

1

2

1

5

,

0

1

10

1

5

1

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

=

s

s

s

K

s

T

s

T

s

T

S

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

r

i

i

z

r

α

3. Stałe czasowe regulatora PD

Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym jest obecnie równa

( ) ( )

(

)(

)(

)

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+

+

=

s

T

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

d

z

r

Kompensujące działanie regulatora wystąpi wyraźnie, gdy jego stałą czasową dobierzemy
tak jak da regulatora PI

T

d

= T

max mianownika obiektu

10. Dobór regulatorów

149

Tak więc otrzymamy

T

d

= T

3

= 2 [s]

oraz

( ) ( )

(

)(

)

(

)( )

1

1

5

,

0

1

5

1

1

1

2

1

+

+

⋅

=

+

+

=

s

s

K

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

r

z

r

W analogiczny sposób można dobrać stałą czasową regulatora rzeczywistego o znanym
współczynniku α

d

.

4. Stałe czasowe członu korekcyjnego PD

Funkcja przejścia w układzie otwartym ma postać po korekcji

( ) ( )

(

)(

)(

)

1

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+













+

+

=

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

d

d

z

r

α

α

Kompensujące działanie członu korekcyjnego wystąpi wyraźnie przy takim samym
warunku jak dla regulatora PD

T

d

= T

max mianownika obiektu

Ponadto przybliżone działanie różniczkującego członu uzyskamy wtedy, gdy stała czasowa

α

d

T

będzie możliwie mała. Warunek ten osiąga się przyjmując najczęściej

α = 10
Tak więc otrzymamy

T

d

= T

3

= 2 [s]

α

d

T

= 0,2 [s]

oraz

( ) ( )

(

)(

)

(

)(

)(

)

1

1

5

,

0

1

2

,

0

1

10

5

1

1

1

1

2

1

+

+

+

=

=

+

+













+

=

s

s

s

K

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

r

d

z

r

α

α

5. Stałe czasowe regulatora PID

Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym ma postać

( ) ( )

(

)(

)(

)

1

1

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+









+

+

=

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

i

d

z

r

lub po sprowadzeniu do wspólnego mianownika

( ) ( )

(

)(

)(

)

1

1

1

1

3

2

1

2

+

+

+

+

+

=

s

T

s

T

s

T

s

s

T

s

T

T

T

KK

K

s

G

s

H

i

d

i

i

z

r

Praktyczne zastosowania regulatorów PID oraz dobór ich stałych czasowych np. metodą
modelowania analogowego prowadzą do wniosku, że między stałymi czasowymi powinna
zachodzić nierówność

T

i

> T

d

Dla przeprowadzenia rozkładu trójmianu kwadratowego w liczniku H(s)G(s) na czynniki
pierwszego stopnia zapiszemy tę nierówność w postaci

T

i

= βT

d

gdzie: β > 1

10. Dobór regulatorów

150

Wtedy otrzymamy

0

1

2

2

=

+

+

s

T

s

T

d

d

β

β

Wyróżnik ma zatem postać

(

)

4

4

2

2

2

2

−

=

−

=

∆

β

β

β

β

d

d

d

T

T

T

Mając na uwadze kompensację największej stałej czasowej mianownika H(s)G(s) za
pomocą rzeczywistego czynnika w liczniku, rozważymy tylko te wartości β, dla których
Δ ≥ 0. W związku z tym rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego będą równe

(

)

d

T

s

β

β

β

β

2

4

1

−

−

−

=

(

)

d

T

s

β

β

β

β

2

4

2

−

+

−

=

przy czym

β ≥ 4

Wobec tego otrzymamy następujący wynik rozkładu na czynniki:

(

)(

)

( )( )(

)(

)

(

)(

)

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

+

+

=

=

+

+

−

−

=

−

−

=

+

+

s

T

s

T

s

T

s

T

s

s

T

s

s

s

s

T

s

T

s

T

r

r

r

r

d

d

d

d

β

β

β

β

gdzie:

(

)

d

d

r

T

T

s

T

1

1

1

4

2

1

γ

β

β

β

β

=

−

+

=

−

=

(

)

d

d

r

T

T

s

T

2

2

2

4

2

1

γ

β

β

β

β

=

−

−

=

−

=

Wyniki obliczeń współczynników γ

1

i γ

2

dla kilku wartości β zebrano w tabeli 10.3.

Tabela 10.3.

β

4

6

8

10

γ

1

2

1,27

1,17

1,13

γ

2

2

4,73

6,83

8,87

Aby w układzie skorygowanym nie zostawiać dużych stałych czasowych,

wpływających na wydłużenie czasu regulacji, do korekcji wykorzystamy stałą czasową T

r2

wynikającą z dużej wartości współczynnika γ

2

. W związku z tym przyjmiemy następującą

regułę doboru stałych czasowych regulatora.

8,87 T

d

= T

max mianownika obiektu

T

i

= 10 T

d

Reguła ta pozwoli na zapisanie funkcji przejścia regulatora w postaci

( )

(

)(

)

1

87

,

8

1

13

,

1

10

1

1

1

+

+

=









+

+

=

s

T

s

T

s

T

K

s

T

s

T

K

s

G

d

d

d

r

i

d

r

r

W rozpatrywanym przypadku otrzymamy:

[ ]

s

T

T

d

22

,

0

87

,

8

3

=

=

[ ]

s

T

T

d

i

2

,

2

10

=

=

Wtedy funkcja przejścia regulatora będzie równa

( )

(

)(

)

1

2

1

25

,

0

2

,

2

+

+

=

s

s

s

K

s

G

r

r

10. Dobór regulatorów

151

Wobec tego funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym przyjmie ostateczną
postać

( ) ( )

(

)

(

)( )

1

1

5

,

0

1

25

,

0

2

,

2

+

+

+

=

s

s

s

s

KK

K

s

G

s

H

z

r

W analogiczny sposób można dobrać stałe czasowe regulatora rzeczywistego o znanym
współczynniku α

d

.

6. Stałe czasowe członu korekcyjnego PID

Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym ma obecnie postać

( ) ( )

(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

1

1

1

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+













+

+

+

+

=

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

d

i

d

i

z

r

α

α

Przed przystąpieniem do doboru stałych czasowych uszeregujemy dominujące stałe

czasowe mianownika w kolejności malejących wartości

T

max1

, T

max2

na przykład

T

max1

= 2 [s],

T

max2

= 1 [s]

Mając na uwadze kompensację dominującego czynnika w mianowniku H(s)G(s)

i jednocześnie realizację przybliżonego działania całkującego, prowadzącego do co
najwyżej niedużych zmian czasu regulacji, przyjmiemy następujący sposób postępowania:

T

d

= T

max1 mianownika obiektu

αT

i

= 5 T

max2 mianownika obiektu

α = 10

W rozpatrywanym przypadku otrzymamy

T

max1

= T

3

= 2 [s]

T

max2

= T

2

= 1 [s]

a zatem

T

d

= T

3

= 2 [s]

αT

i

= 5 T

2

= 5 [s]

czyli

T

i

= 0,5 [s]

Wobec czego funkcja przejścia będzie równa

( ) ( )

(

)(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

1

2

,

0

1

1

5

1

5

1

1

1

1

1

1

1

3

2

1

+

+

+

⋅

=

=

+

+

+













+

+

+

+

=

s

s

s

K

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

KK

K

s

G

s

H

r

d

i

d

i

z

r

α

α