10. Dobór regulatorów
142
10. DOBÓR REGULATORÓW
Ogólne kryteria doboru typu regulatora.
Ogólnie sygnał wyjściowy regulatora ma trzy składowe:
- składową proporcjonalną P;
- składową całkującą I;
- składową różniczkującą D.
Składową proporcjonalną nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora
proporcjonalną do sygnału uchybu. Składowa ta powoduje przeważnie zmniejszenie
błędów statycznych, a więc w stanach ustalonych polepsza się dokładność pracy układu. W
szczególności układ lepiej odtwarza sygnał sterujący i lepiej kompensuje działanie
zakłóceń. Wpływa na zmniejszenie czasu regulacji.
Składową całkującą nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora będącą całką z
sygnału uchybu. Powoduje ona zwiększenie klasy układu, a więc likwiduje błędy
statyczne. W stanach ustalonych układ całkowicie odtwarza układ sterujący i całkowicie
kompensuje działanie zakłóceń. Ujemnym skutkiem samej składowej całkującej jest
znaczne wydłużenie czasu regulacji.
Składowa różniczkująca jest pochodną z sygnału uchybu. Składowa ta występuje
jedynie w stanach przejściowych a zanika w stanach ustalonych. Powoduje skrócenie czasu
regulacji przez przyspieszenie początkowej fazy procesu przejściowego.
Dobór typu regulatora
Tabela 10.1.
Lp. Przewidywany skutek działania układu
Typ regulatora
1 Zmniejszenie błędu statycznego odpowiedzi na
skokowy sygnał sterujący lub zakłócający
Regulator P
K
2 Likwidacja błędu statycznego odpowiedzi na
skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
Wydłużenie czasu regulacji
Regulator PI
s
T
K
K
i
+
3 Zmniejszenie błędu statycznego odpowiedzi na
skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
Skrócenie czasu regulacji
Regulator PD lub
człon korekcyjny PD
(
)
1
+
s
T
K
d
4 Likwidacja błędu statycznego odpowiedzi na
skokowy sygnał sterujący i zakłócający;
Skrócenie czasu regulacji
Regulator PID
+
+
s
T
s
T
K
i
d
1
1
Regulator PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o małych
częstotliwościach.
Regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator PI, ale z gorszą jakością
regulacji przy małych częstotliwościach. Akcja różniczkująca wzmacnia również wszelkie
szumy przetwornika pomiarowego, a ponadto przynosi niewielkie korzyści dla τ/T > 0,5
Regulatory dzielimy na idealne i rzeczywiste. Idealne są zbudowane na
wzmacniaczach a rzeczywiste na elementach RLC i nazywane są członami korekcyjnymi.
W poniższej tabeli zestawiono podstawowe typy regulatorów.
10. Dobór regulatorów
143
Tabela 10.2.
Typ
Schemat
Impedancja
wejściowa
Impedancja
wyjściowa
Transmitancja i wartości
współczynników
P
R
1
R
2
1
2
;
R
R
K
K
=
−
PI
R
1
2
1
R
Cs
+
C
R
T
R
R
K
s
T
K
i
i
2
1
2
;
;
1
1
=
=
+
−
PD
1
1
1
1
+
s
R
C
R
R
2
(
)
1
1
1
2
;
;
1
C
R
T
R
R
K
s
T
K
d
d
=
=
+
−
PID
1
1
1
1
+
s
R
C
R
s
C
s
C
R
2
2
2
1
+
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
;
;
1
1
C
R
C
R
C
C
R
R
T
C
R
C
R
T
C
R
C
R
C
R
K
s
T
s
T
K
d
i
d
i
+
=
+
=
+
=
+
+
−
Aby móc dokonać wyboru regulatora, należy mieć choćby przybliżone wartości obiektu
regulacji:
a) zidentyfikować obiekt
- statyczny
( )
1
+
=
−
Ts
K
e
s
G
s
o
τ
Rys. 10.1
- astatyczny
( )
Ts
K
e
s
G
s
o
τ
−
=
Rys. 10.2
b) dla
2
,
0
<
T
τ
można zastosować regulator dwupołożeniowy (lub ciągły);
R
1
R
2
R
1
R
2
C
R
1
R
2
C
1
C
1
R
2
C
2
R
1
τ
T
x
st
τ
T
x
st
10. Dobór regulatorów
144
dla
1
<
T
τ
należy zastosować regulator o działaniu ciągłym;
dla
1
>
T
τ
należy zastosować regulator impulsowy.
Najczęściej występuje
T
τ
= 0,2÷0,7, w związku z czym regulatory PID o działaniu
ciągłym są najpopularniejsze w przemyśle. Dla nich bazując na odpowiedzi obiektu na
wymuszenie skokowe jak na rysunku 10.1 i 10.2 bez podłączonego sprzężenia
zwrotnego, jeżeli istnieje taka możliwość, otrzymujemy dla struktury regulatora
następujące wartości nastaw:
P
K
r
= (0,57
÷
0,7)
τ
K
T
PI
K
r
= 0,7
τ
K
T
,
T
i
= τ + 0,3 T
PID
K
r
= 1,2
τ
K
T
,
T
i
= 2 τ ,
T
d
= 0,4 τ
Metoda ta minimalizuje czas regulacji, a przeregulowanie nie przekracza 20%.
c) wśród wielu metod suboptymalnych doboru parametrów regulatora największe
praktyczne znaczenie posiada metoda Zieglera - Nicholsa która, minimalizuje całkę
I
1m
. Polega ona na tym, że obiekt sterowany jest przez regulator nastawiony na
działanie proporcjonalne (P), ostrożnie zwiększając współczynnik wzmocnienia aż
do wartości K
gr
dochodzimy do granicy stabilności (wystąpią oscylacje o okresie T
osc
),
stąd otrzymujemy dla struktury regulatora następujące wartości nastaw:
P
K
r
= 0.5 K
gr
PI
K
r
= 0.45
K
gr
, T
i
= 0.85
T
osc
PID
K
r
= 0.6
K
gr
,
T
i
= 0.5
T
osc
,
T
d
= 0.12
T
osc
Istnieje również zmodyfikowana metoda Zieglera - Nicholsa uwzględniająca czas
próbkowania T, w której określa się nastawy regulatorów wg wzorów:
PI
K
r
= 0.45 K
gr
(1 - 0,6
osc
T
T
) , T
i
= 1,85 T
osc
gr
r
K
K
PID
K
r
= 0.6 K
gr
(1 -
osc
T
T
) ,
T
i
= 0,83 T
osc
gr
r
K
K
, T
d
= 0,075 T
osc
r
gr
K
K
10.1. Regulatory liniowe w układach regulacji
Przykład 10.1.
Wyznaczyć charakterystyki czasowe idealnego i rzeczywistego regulatora P poddanego
działaniu skokowego sygnału uchybu
ε
(t) = A
1
(t). Funkcje przejścia regulatora maja
postać.:
G
r id
(s) = K
r
( )
1
+
=
Ts
K
s
G
r
rz
r
Dane liczbowe:
K
r
= 5 [V/V]
10. Dobór regulatorów
145
T = 0,1 [s]
A = 0,3 [V]
Idealny regulator P zachowuje się tak jak człon proporcjonalny. Charakterystykę
czasową takiego członu przedstawia zależność
ε
r id
(t) = AK
r
= 1,5 [V]
Rzeczywisty regulator P zachowuje się tak jak człon inercyjny pierwszego rzędu.
Charakterystykę takiego członu przedstawia zależność
( )
(
)
[ ]
V
e
e
AK
t
t
T
t
r
rz
r
10
1
5
,
1
1
−
−
−
=
−
=
ε
Obie charakterystyki czasowe zestawiono na rysunku 10.3, z którego wynika, że
działanie regulatora rzeczywistego pokrywa się z działaniem idealnego dopiero po upływie
czasu równego czterem stałym czasowym.
Rys. 10.3
Przykład 10.2.
Wyznaczyć charakterystyki czasowe idealnego i rzeczywistego regulatora PID, poddanego
działaniu skokowego sygnału uchybu ε = A1(t). Funkcje przejścia regulatora mają postać:
( )
+
+
=
s
T
s
T
K
s
G
i
d
r
id
r
1
1
( )
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
T
Ts
K
s
G
i
d
d
d
r
rz
r
1
1
1
1
α
Dane liczbowe:
A = 0,5 [V]
K
r
= 1,0 [
V
/
V
]
T
d
= 0,4 [s]
T
i
= 4 [s]
T = 0,2 [s]
α
d
= 10
Charakterystykę czasową regulatora idealnego wyznaczymy ze wzoru
( )
( )
( )
[
][ ]
V
t
t
T
t
t
T
AK
t
i
d
r
id
r
25
,
0
4
,
0
1
5
,
0
1
+
+
=
+
+
=
δ
δ
ε
Dla wyznaczenia charakterystyki regulatora rzeczywistego zapiszemy jego funkcję
przejścia w postaci
1,0
t [s]
ε
r rz
ε
r id
ε
r
[V]
10. Dobór regulatorów
146
( )
(
)
+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
s
T
s
T
Ts
K
Ts
s
T
K
s
G
d
d
d
r
i
r
rz
r
α
Pierwszy składnik powyższej sumy jest funkcją przejścia rzeczywistego regulatora I,
drugi składnik jest funkcją przejścia rzeczywistego regulatora PD, w związku z tym z
zasady superpozycji otrzymamy
( )
(
)
[
] [
]
t
t
t
T
t
d
d
d
T
t
d
d
d
r
T
t
i
r
rz
r
e
e
e
t
e
T
T
T
e
T
T
T
AK
e
T
t
T
T
AK
t
d
d
25
5
5
5
,
2
5
,
1
1
5
,
0
1
5
025
,
0
1
1
1
−
−
−
−
−
−
+
+
−
−
=
=
−
−
−
−
+
+
−
−
=
α
α
α
ε
Obie charakterystyki czasowe zestawiono na rysunku 10.4.
Rys. 10.4
10.2. Synteza parametryczna regulatorów
Przykład 10.4.
Dany jest układ regulacji, którego schemat blokowy sprowadzono do postaci
z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym (rys.10.5.).
Rys. 10.5
Dobrać wartości stałych czasowych następujących regulatorów, przeznaczonych do
współpracy z obiektem regulacji występującym w schemacie blokowym:
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
t [s]
ε
r
[V]
C(s)
R
1
(s)
(
)(
)(
)
1
1
1
3
2
1
+
+
+
s
T
s
T
s
T
KK
z
G
r
(s)
-
10. Dobór regulatorów
147
a) regulatora PI
( )
+
=
s
T
K
s
G
i
r
r
1
1
b) członu korekcyjnego PI
( )
1
1
+
+
=
s
T
s
T
K
s
G
i
i
r
r
α
c) regulatora PD
( )
(
)
1
+
=
s
T
K
s
G
d
r
r
d) członu korekcyjnego PD
( )
1
1
+
+
=
s
T
s
T
K
s
G
d
d
r
r
α
α
e) regulatora PID
( )
+
+
=
s
T
s
T
K
s
G
i
d
r
r
1
1
f) członu korekcyjnego PID
( )
(
)(
)
(
)
+
+
+
+
=
1
1
1
1
s
T
s
T
s
T
s
T
K
s
G
d
i
d
i
r
r
α
α
Przyjąć wartości stałych czasowych i wzmocnień obiektu regulacji
T
1
= 0,5 [s]
T
2
= 1 [s]
T
3
= 2 [s]
KK
Z
= 5
Kryteria stosowane dla oceny jakości pracy oraz dla syntezy układów regulacji można
podzielić na dwie grupy:
1. Kryteria pozwalające na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia i stałych
czasowych regulatora, mianowicie:
−
kryterium optymalnego modułu,
−
całkowy wskaźnik jakości.
2. Kryteria pozwalające tylko na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia
regulatora, mianowicie:
−
kryterium amplitudy rezonansowej w zastosowaniu do nomogramów Halla
i Blacka,
−
kryterium zapasu wzmocnienia i fazy,
−
kryterium miejsca geometrycznego pierwiastków,
−
kryterium stabilności aperiodycznej,
−
całkowy wskaźnik jakości zastosowany w sposób uproszczony.
W związku z powyższym, w przypadku zastosowania któregokolwiek kryterium
z drugiej grupy, należy wstępnie i możliwie dobrze przyjąć wartości stałych czasowych
regulatora. Zasady doboru tych stałych, mające uzasadnienie praktyczne są przedmiotem
tego zadania.
1. Stała czasowa regulatora PI
Rozważmy funkcję przejścia w układzie otwartym skorygowanym, zapisaną
w postaci:
( ) ( )
( ) ( )
(
)(
)(
)
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
=
=
s
T
s
T
s
T
s
s
T
T
KK
K
s
G
s
G
s
G
s
H
i
i
Z
r
ob
r
O niezadowalających własnościach dynamicznych układu regulacji w dużym stopniu
decydują duże stałe czasowe mianownika funkcji przejścia w układzie otwartym. Można
10. Dobór regulatorów
148
zatem postarać się o skompensowanie działania największej z tych stałych drogą doboru
odpowiedniej stałej T
i
. Matematycznie kompensacja sprowadza się do skracania
identycznych wielomianów zmiennej s w liczniku i mianowniku funkcji przejścia w
układzie otwartym. Można zatem napisać:
T
i
= T
max mianownika obiektu
W rozpatrywanym przypadku mamy
T
i
= T
3
= 2 [s]
a funkcja przejścia po korekcji przyjmie postać
( ) ( )
(
)(
)
(
)( )
1
1
5
,
0
1
2
5
1
1
1
2
1
+
+
=
+
+
=
s
s
s
K
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
r
i
z
r
2. Stałe czasowe członu korekcyjnego PI
Weźmy pod uwagę funkcje przejścia w układzie otwartym skorygowanym
( ) ( )
(
)(
)(
)(
)
1
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
i
i
z
r
α
Zadaniem członu korekcyjnego PI jest zastąpienie regulatora PI, a więc przybliżona
realizacja działania proporcjonalno-całkującego. Jest ono wykonalne wtedy, gdy stała
czasowa αT
i
jest odpowiednio duża w porównaniu z pozostałymi stałymi czasowymi
obiektu, czyli gdy
αT
i
>> T
max mianownika obiektu
Warunek ten pozwala na uproszczony zapis funkcji przejścia w układzie otwartym
( ) ( )
(
)(
)(
)
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
≈
s
T
s
T
s
T
s
s
T
T
KK
K
s
G
s
H
i
i
z
r
α
Praktyczne zastosowanie wymienionego wyżej warunku, dla zbyt dużej wartości stałej T
i
,
może doprowadzić do nadmiernego wydłużenia czasu regulacji. Ze względu na ten czas
należałoby się posłużyć warunkiem przeciwnym
αT
i
<< T
max mianownika obiektu
Decydując się zatem na kompromisowe rozwiązanie problemu przyjmujemy
αT
i
= 5T
max mianownika obiektu
Ponadto, przybliżone działanie całkujące uwidacznia się wtedy, gdy stałe αT
i
oraz T
i
różnią
się znacznie od siebie. Ten kolejny warunek realizuje się przyjmując najczęściej
α = 10
Tak więc w rozpatrywanym przypadku otrzymamy
αT
i
= 5T
3
= 10 [s]
czyli
T
i
= 1 [s]
a funkcja przejścia po korekcji przyjmie postać
( ) ( )
(
)(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
1
2
1
5
,
0
1
10
1
5
1
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
s
s
s
K
s
T
s
T
s
T
S
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
r
i
i
z
r
α
3. Stałe czasowe regulatora PD
Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym jest obecnie równa
( ) ( )
(
)(
)(
)
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
d
z
r
Kompensujące działanie regulatora wystąpi wyraźnie, gdy jego stałą czasową dobierzemy
tak jak da regulatora PI
T
d
= T
max mianownika obiektu
10. Dobór regulatorów
149
Tak więc otrzymamy
T
d
= T
3
= 2 [s]
oraz
( ) ( )
(
)(
)
(
)( )
1
1
5
,
0
1
5
1
1
1
2
1
+
+
⋅
=
+
+
=
s
s
K
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
r
z
r
W analogiczny sposób można dobrać stałą czasową regulatora rzeczywistego o znanym
współczynniku α
d
.
4. Stałe czasowe członu korekcyjnego PD
Funkcja przejścia w układzie otwartym ma postać po korekcji
( ) ( )
(
)(
)(
)
1
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
d
d
z
r
α
α
Kompensujące działanie członu korekcyjnego wystąpi wyraźnie przy takim samym
warunku jak dla regulatora PD
T
d
= T
max mianownika obiektu
Ponadto przybliżone działanie różniczkującego członu uzyskamy wtedy, gdy stała czasowa
α
d
T
będzie możliwie mała. Warunek ten osiąga się przyjmując najczęściej
α = 10
Tak więc otrzymamy
T
d
= T
3
= 2 [s]
α
d
T
= 0,2 [s]
oraz
( ) ( )
(
)(
)
(
)(
)(
)
1
1
5
,
0
1
2
,
0
1
10
5
1
1
1
1
2
1
+
+
+
=
=
+
+
+
=
s
s
s
K
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
r
d
z
r
α
α
5. Stałe czasowe regulatora PID
Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym ma postać
( ) ( )
(
)(
)(
)
1
1
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
i
d
z
r
lub po sprowadzeniu do wspólnego mianownika
( ) ( )
(
)(
)(
)
1
1
1
1
3
2
1
2
+
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
T
T
KK
K
s
G
s
H
i
d
i
i
z
r
Praktyczne zastosowania regulatorów PID oraz dobór ich stałych czasowych np. metodą
modelowania analogowego prowadzą do wniosku, że między stałymi czasowymi powinna
zachodzić nierówność
T
i
> T
d
Dla przeprowadzenia rozkładu trójmianu kwadratowego w liczniku H(s)G(s) na czynniki
pierwszego stopnia zapiszemy tę nierówność w postaci
T
i
= βT
d
gdzie: β > 1
10. Dobór regulatorów
150
Wtedy otrzymamy
0
1
2
2
=
+
+
s
T
s
T
d
d
β
β
Wyróżnik ma zatem postać
(
)
4
4
2
2
2
2
−
=
−
=
∆
β
β
β
β
d
d
d
T
T
T
Mając na uwadze kompensację największej stałej czasowej mianownika H(s)G(s) za
pomocą rzeczywistego czynnika w liczniku, rozważymy tylko te wartości β, dla których
Δ ≥ 0. W związku z tym rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego będą równe
(
)
d
T
s
β
β
β
β
2
4
1
−
−
−
=
(
)
d
T
s
β
β
β
β
2
4
2
−
+
−
=
przy czym
β ≥ 4
Wobec tego otrzymamy następujący wynik rozkładu na czynniki:
(
)(
)
( )( )(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
+
+
=
=
+
+
−
−
=
−
−
=
+
+
s
T
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
s
s
s
T
s
T
s
T
r
r
r
r
d
d
d
d
β
β
β
β
gdzie:
(
)
d
d
r
T
T
s
T
1
1
1
4
2
1
γ
β
β
β
β
=
−
+
=
−
=
(
)
d
d
r
T
T
s
T
2
2
2
4
2
1
γ
β
β
β
β
=
−
−
=
−
=
Wyniki obliczeń współczynników γ
1
i γ
2
dla kilku wartości β zebrano w tabeli 10.3.
Tabela 10.3.
β
4
6
8
10
γ
1
2
1,27
1,17
1,13
γ
2
2
4,73
6,83
8,87
Aby w układzie skorygowanym nie zostawiać dużych stałych czasowych,
wpływających na wydłużenie czasu regulacji, do korekcji wykorzystamy stałą czasową T
r2
wynikającą z dużej wartości współczynnika γ
2
. W związku z tym przyjmiemy następującą
regułę doboru stałych czasowych regulatora.
8,87 T
d
= T
max mianownika obiektu
T
i
= 10 T
d
Reguła ta pozwoli na zapisanie funkcji przejścia regulatora w postaci
( )
(
)(
)
1
87
,
8
1
13
,
1
10
1
1
1
+
+
=
+
+
=
s
T
s
T
s
T
K
s
T
s
T
K
s
G
d
d
d
r
i
d
r
r
W rozpatrywanym przypadku otrzymamy:
[ ]
s
T
T
d
22
,
0
87
,
8
3
=
=
[ ]
s
T
T
d
i
2
,
2
10
=
=
Wtedy funkcja przejścia regulatora będzie równa
( )
(
)(
)
1
2
1
25
,
0
2
,
2
+
+
=
s
s
s
K
s
G
r
r
10. Dobór regulatorów
151
Wobec tego funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym przyjmie ostateczną
postać
( ) ( )
(
)
(
)( )
1
1
5
,
0
1
25
,
0
2
,
2
+
+
+
=
s
s
s
s
KK
K
s
G
s
H
z
r
W analogiczny sposób można dobrać stałe czasowe regulatora rzeczywistego o znanym
współczynniku α
d
.
6. Stałe czasowe członu korekcyjnego PID
Funkcja przejścia w układzie otwartym skorygowanym ma obecnie postać
( ) ( )
(
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
d
i
d
i
z
r
α
α
Przed przystąpieniem do doboru stałych czasowych uszeregujemy dominujące stałe
czasowe mianownika w kolejności malejących wartości
T
max1
, T
max2
na przykład
T
max1
= 2 [s],
T
max2
= 1 [s]
Mając na uwadze kompensację dominującego czynnika w mianowniku H(s)G(s)
i jednocześnie realizację przybliżonego działania całkującego, prowadzącego do co
najwyżej niedużych zmian czasu regulacji, przyjmiemy następujący sposób postępowania:
T
d
= T
max1 mianownika obiektu
αT
i
= 5 T
max2 mianownika obiektu
α = 10
W rozpatrywanym przypadku otrzymamy
T
max1
= T
3
= 2 [s]
T
max2
= T
2
= 1 [s]
a zatem
T
d
= T
3
= 2 [s]
αT
i
= 5 T
2
= 5 [s]
czyli
T
i
= 0,5 [s]
Wobec czego funkcja przejścia będzie równa
( ) ( )
(
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
1
2
,
0
1
1
5
1
5
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
⋅
=
=
+
+
+
+
+
+
+
=
s
s
s
K
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
KK
K
s
G
s
H
r
d
i
d
i
z
r
α
α