Matematyka A, kolokwium, 28 kwietnia 2010, 18:00 – 19:55
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem
pisza
,
cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej
´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych
urza
,
dze´
n elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone!
Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twier-
dzenia, kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (10 pt.) Funkcja t
2
·cos t jest rozwia
,
zaniem jednego, dw´och a mo˙ze nawet trzech
r´owna´
n wypisanych ni˙zej:
x
(3)
(t) + 3x
0
(t) = 0 ,
x
(3)
(t) + 3x
0
(t) = −6 sin t − 2t
2
sin t ,
x
(3)
(t) + 3x
0
(t) = −6 cos t − 2t
2
cos t .
Kt´
orych? Odpowied´z nale˙zy dok ladnie uzasadni´c!
2. (10 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie r´ownania r´o˙zniczkowego
x
0
(t) −
t
1+t
2
x(t) =
t
1+t
2
spe lniaja
,
ce warunek pocza
,
tkowy x(0) = 0 .
3. (10 pt.)
Rozwia
,
za´c r´ownanie r´o˙zniczkowe
x
00
(t) − 2x
0
(t) + 5x(t) = −8e
t
sin(2t) + 5t .
4. (10 pt.) Znale´z´c rozwia
,
zanie r´ownania r´o˙zniczkowego
x
00
(t) + 8x
0
(t) + 16x(t) = 6te
−4t
+ 64te
4t
+ 16e
4t
+ 32 cos(4t) ,
kt´ore spe lnia warunek pocza
,
tkowy x(0) = 2 , x
0
(0) = −3 .
5. (10 pt.) Znale´z´c zbi´or z lo˙zony ze wszystkich liczb zespolonych z , dla kt´orych
istnieje taka liczba rzeczywista t , ˙ze
z =
1+ti
1−ti
.