Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 1

Liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej

funkcja przybliżana

,

)

x

(

f

siatka węzłów

m

i

(

f

∑

=0

)

x

(

f

f

,

m

,...,

i

,

x

i

i

i

=

= 0

m

,...,

i

dane: punkty węzłowe

(

Instytut Automatyki Politechniki

)

f

,

x

i

i

0

=

m

,...,

i

w

i

0

0

współczynniki wagowe

m

i

∑

=

=

>

n

,...,

i

funkcje

bazowe

(

i

0

=

ϕ

Ł

)

x

funkcja aproksymująca

ódzkiej - Metody Numeryczne wyk

∑

=

=

n

i

i

*

c

)

x

(

f

0

ϕ

i

min

)

x

(

f

(

i

*

−

0

i

)

x

(

w

)

f

i

i

→

2

szukane stałe

c

takie by

ład 2

W2 - 2

Jeżeli

to funkcje

nazywamy

ortogonalnymi.

dla dowolnych funkcji

przy danej siatce

węzłów i wsp. wagowych

i

i

i

w

)

x

(

g

)

x

:

g

,

f

=

Notacja:

),

(

g

),

(

f

⋅

⋅

0

=

g

,

f

),

(

g

),

(

f

⋅

⋅

Jeżeli

dla

j

i

i

to funkcje

układem (rodziną) funkcji

ortogonalnych.

0

=

j

i

f

,

f

≠

0

≠

i

i

f

,

f

,...

,

i

),

(

f

i

2

1

=

⋅

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 3

Twierdzenie

Jeżeli funkcje bazowe są liniowo niezależne to liniowe
zadanie aproksymacji średniokwadratowej ma jedyne
rozwiązanie. Rozwiązanie to spełnia układ równań
normalnych;

























=

















































n

n

n

n

n

n

n

n

f

f

f

c

c

c

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

L

M

L

L

L

L

L

L

L

Jeżeli funkcje bazowe są rodziną funkcji ortogonalnych to
rozwiązanie upraszcza się do:

n

,...,

i

,

,

,

f

c

i

i

i

i

0

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

Instytut Automatyki Politechniki

i

,

i

0

=

1

1

=

,

m

x

m

,...,

i 0

=

Ł

ład 2

ódzkiej - Metody Numeryczne wyk

1

W2 - 4

n

,...,

x

)

x

(

i

=

ϕ

Przykład

0

0

=

=

m

x

,

...

,

x

,

w

i

1

n

el. max. mac. odwr.

1 0.9
2 12.5
3 375
4 9

874

5 252

828

6

8 771 904

7 3.9133e+008

n

el. max. mac. odwr.

8 1.9908e+010
9 1.4199e+012
10 2.4218e+014

=

, m=10

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 5

Wielomiany Czebyszewa

,...

,

n

,

x

)

x

cos

arc

n

cos(

)

x

(

T

n

1

0

1

1

=

≤

≤

−

=

,...

,

n

)

x

(

T

)

x

(

xT

)

x

(

T

,

x

)

x

(

T

)

x

(

T

n

n

n

2

1

2

1

1

1

1

0

=

−

=

=

=

−

+

Współczynnik wiodący wielomianu

T

n

)

x

(

T

)

(

)

x

(

T

n

n

n

1

−

=

−

jest równy

2

n-1

dla n=1,2,.

)

x

(

Wielomian

T

n 1

+

ma n+1 zer

)

x

(

,....

,

,

)

n

(

n

,

n

,...,

,

k

0

1

0

=

=

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wyk

(

T

),...,

x

(

T

),

x

(

n

1

0

1

=

i

)

x

(

n 1

+

=

=

≠

=

≠

=

1

2

1

0

n

n

T

,

T

j

i

0

0

j

i

dla

j

i

dla

j

i

dla

)

k

(

cos

x

k

1

1

2

1

2

+

+

=

π

ład 2

W2 - 6

Układ wielomianów

T

jest

ortogonalny względem wag

w

i węzłów

, które są

zerami wielomianu

T

:











+

+

)

x

i

x

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 7

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T4

(x

)

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T

10(

x)

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T3

0

(x

)

-1

-0.5

0

0.5

-1

0

1

T6

0

(x

)

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 8

Zadanie wielomianowej aproksymacji jednostajnej

x

i

i

i

i

funkcja przybliżana

,

)

x

m

,...,

0

,

x

i

*

x

(

f

ax

i

(

f

siatka węzłów

)

x

(

f

f

,

i

,

=

=

m

,...,

i

dane: punkty węzłowe

(

funkcja aproksymująca

ma być

wielomianem stopnia co najwyżej n
szukane stałe

a

takie by

m

Tw. Weierstrassa

)

f

i

0

=

∑

=

=

n

i

i

i

x

a

)

0

min

f

)

x

(

f

i

i

*

→

−

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w skończonym przedziale

[

, to dla

każdego

ε

istnieje wielomian

stopnia n, taki że dla każdego

,

[ ]

b

,

a

x

∈

]

b

,

a

0

>

ε

<

−

)

x

(

P

)

x

(

f

n

)

x

(

P

n