Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 1

Liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej

funkcja przybliżana

)

x

(

f

,

siatka węzłów

)

x

(

f

f

,

m

,...,

i

,

x

i

i

i



 0

dane: punkty węzłowe

m

,...,

i

)

f

,

x

(

i

i

0



współczynniki wagowe

m

,...,

i

w

i

0

0





funkcje bazowe

n

,...,

i

)

x

(

i

0





funkcja aproksymująca







n

i

i

i

*

)

x

(

c

)

x

(

f

0



szukane stałe

i

c

takie by

min

w

)

f

)

x

(

f

(

i

i

i

*

m

i









2

0

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 2

Notacja:

dla dowolnych funkcji

),

(

g

),

(

f





przy danej siatce

węzłów i współczynników wagowych

i

i

m

i

i

w

)

x

(

g

)

x

(

f

:

g

,

f







0

Jeżeli

0



g

,

f

to funkcje

),

(

g

),

(

f





nazywamy

ortogonalnymi.

Jeżeli

0



j

i

f

,

f

dla

j

i 

i

0



i

i

f

,

f

to funkcje

,...

,

i

),

(

f

i

2

1





układem (rodziną) funkcji

ortogonalnych.

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 3

Twierdzenie

Jeżeli funkcje bazowe są liniowo niezależne to liniowe
zadanie aproksymacji średniokwadratowej ma jedyne
rozwiązanie. Rozwiązanie to spełnia układ równań
normalnych:











































































n

n

n

n

n

n

n

n

f

f

f

c

c

c











































,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0



















Jeżeli funkcje bazowe są rodziną funkcji ortogonalnych to
rozwiązanie upraszcza się do:

n

,...,

i

,

,

,

f

c

i

i

i

i

0











Grammian

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 4

Przykład

n

,...,

i

,

x

)

x

(

i

i

0







1

1

0

1

0







m

x

,

...

,

m

x

,

x

, m=10

m

,...,

i

,

w

i

0

1





n

Maksymalny element odwrotności
Grammianu

1

0.9

2

12.5

3

375

4

9 874

5

252 828

6

8 771 904

7

3.9133e+008

n

Maksymalny element odwrotności
Grammianu

8

1.9908e+010

9

1.4199e+012

10

2.4218e+014

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 5

Wielomiany Czebyszewa

,...

,

n

,

x

)

x

cos

arc

n

cos(

)

x

(

T

n

1

0

1

1











,...

,

n

)

x

(

T

)

x

(

xT

)

x

(

T

,

x

)

x

(

T

)

x

(

T

n

n

n

2

1

2

1

1

1

1

0















Współczynnik wiodący wielomianu

)

x

(

T

n

jest równy

2

n-1

dla n=1,2,.

)

x

(

T

)

(

)

x

(

T

n

n

n

1







Wielomian

)

x

(

T

n 1



ma n+1 zer

,....

,

n

,

n

,...,

,

k

,

)

n

(

)

k

(

cos

x

k

1

0

1

0

1

2

1

2













Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 6

Układ wielomianów

)

x

(

T

),...,

x

(

T

),

x

(

T

n

1

0

jest

ortogonalny względem wag

1



i

w

i węzłów

i

x

, które są

zerami wielomianu

)

x

(

T

n 1



:



























0

1

0

2

1

0

j

i

dla

n

j

i

dla

n

j

i

dla

T

,

T

j

i

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 7

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2

W2 - 8

Zadanie wielomianowej aproksymacji jednostajnej

funkcja przybliżana

)

x

(

f

,

siatka węzłów

)

x

(

f

f

,

m

,...,

i

,

x

i

i

i



 0

dane: punkty węzłowe

m

,...,

i

)

f

,

x

(

i

i

0



funkcja aproksymująca







n

i

i

i

*

x

a

)

x

(

f

0

ma być

wielomianem stopnia co najwyżej n
szukane stałe

i

a

takie by

min

f

)

x

(

f

max

i

i

*

i





Tw. Weierstrassa

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w skończonym przedziale

 

b

,

a

, to dla każdego

0





istnieje wielomian

)

x

(

P

n

stopnia n, taki że dla każdego

 

b

,

a

x 

,







)

x

(

P

)

x

(

f

n