Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 1
Liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej
funkcja przybliżana
)
x
(
f
,
siatka węzłów
)
x
(
f
f
,
m
,...,
i
,
x
i
i
i
0
dane: punkty węzłowe
m
,...,
i
)
f
,
x
(
i
i
0
współczynniki wagowe
m
,...,
i
w
i
0
0
funkcje bazowe
n
,...,
i
)
x
(
i
0
funkcja aproksymująca
n
i
i
i
*
)
x
(
c
)
x
(
f
0
szukane stałe
i
c
takie by
min
w
)
f
)
x
(
f
(
i
i
i
*
m
i
2
0
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 2
Notacja:
dla dowolnych funkcji
),
(
g
),
(
f
przy danej siatce
węzłów i współczynników wagowych
i
i
m
i
i
w
)
x
(
g
)
x
(
f
:
g
,
f
0
Jeżeli
0
g
,
f
to funkcje
),
(
g
),
(
f
nazywamy
ortogonalnymi.
Jeżeli
0
j
i
f
,
f
dla
j
i
i
0
i
i
f
,
f
to funkcje
,...
,
i
),
(
f
i
2
1
układem (rodziną) funkcji
ortogonalnych.
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 3
Twierdzenie
Jeżeli funkcje bazowe są liniowo niezależne to liniowe
zadanie aproksymacji średniokwadratowej ma jedyne
rozwiązanie. Rozwiązanie to spełnia układ równań
normalnych:
n
n
n
n
n
n
n
n
f
f
f
c
c
c
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
Jeżeli funkcje bazowe są rodziną funkcji ortogonalnych to
rozwiązanie upraszcza się do:
n
,...,
i
,
,
,
f
c
i
i
i
i
0
Grammian
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 4
Przykład
n
,...,
i
,
x
)
x
(
i
i
0
1
1
0
1
0
m
x
,
...
,
m
x
,
x
, m=10
m
,...,
i
,
w
i
0
1
n
Maksymalny element odwrotności
Grammianu
1
0.9
2
12.5
3
375
4
9 874
5
252 828
6
8 771 904
7
3.9133e+008
n
Maksymalny element odwrotności
Grammianu
8
1.9908e+010
9
1.4199e+012
10
2.4218e+014
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 5
Wielomiany Czebyszewa
,...
,
n
,
x
)
x
cos
arc
n
cos(
)
x
(
T
n
1
0
1
1
,...
,
n
)
x
(
T
)
x
(
xT
)
x
(
T
,
x
)
x
(
T
)
x
(
T
n
n
n
2
1
2
1
1
1
1
0
Współczynnik wiodący wielomianu
)
x
(
T
n
jest równy
2
n-1
dla n=1,2,.
)
x
(
T
)
(
)
x
(
T
n
n
n
1
Wielomian
)
x
(
T
n 1
ma n+1 zer
,....
,
n
,
n
,...,
,
k
,
)
n
(
)
k
(
cos
x
k
1
0
1
0
1
2
1
2
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 6
Układ wielomianów
)
x
(
T
),...,
x
(
T
),
x
(
T
n
1
0
jest
ortogonalny względem wag
1
i
w
i węzłów
i
x
, które są
zerami wielomianu
)
x
(
T
n 1
:
0
1
0
2
1
0
j
i
dla
n
j
i
dla
n
j
i
dla
T
,
T
j
i
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 7
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 2
W2 - 8
Zadanie wielomianowej aproksymacji jednostajnej
funkcja przybliżana
)
x
(
f
,
siatka węzłów
)
x
(
f
f
,
m
,...,
i
,
x
i
i
i
0
dane: punkty węzłowe
m
,...,
i
)
f
,
x
(
i
i
0
funkcja aproksymująca
n
i
i
i
*
x
a
)
x
(
f
0
ma być
wielomianem stopnia co najwyżej n
szukane stałe
i
a
takie by
min
f
)
x
(
f
max
i
i
*
i
Tw. Weierstrassa
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w skończonym przedziale
b
,
a
, to dla każdego
0
istnieje wielomian
)
x
(
P
n
stopnia n, taki że dla każdego
b
,
a
x
,
)
x
(
P
)
x
(
f
n